Exercices – Mathématiques Gestion Compléments - Maths13

Exercices – Mathématiques Gestion Compléments
Principales lois de probabilités
Exercice 1 :
Pour sa production, une entreprise utilise une machine d'un certain modèle. La probabilité que cette machine tombe en panne, et soit
donc inutilisable, une journée donnée, est de 0,05. Lorsque la machine tombe en panne, elle est réparée le soir même. Soit X la
variable aléatoire qui, à chaque mois, associe le nombre de jours de ce mois pendant lesquels la machine est inutilisable. On admet
que dans un mois il y a vingt jours ouvrables et que les pannes sont indépendantes.
1. Quelle est la loi de probabilité de X?
2. Quelle est la probabilité que la machine ne soit jamais en panne dans le mois?
3. Calculer
PX=2
et
PX2
.
4. Sur une très longue période, quel est, par mois, le nombre moyen de jours en panne?
Exercice 2 :
Un courtier en assurance reçoit une commission de 200€ chaque fois qu'il obtient la signature d'un nouveau contrat. Chaque jour il
rencontre 8 clients potentiels, et une personne sur 12 accepte le contrat. Soit X le nombre de contrats signés un jour donné.
1.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer la probabilité que le courtier obtienne 2 signatures au cours d'une journée.
c. Calculer la probabilité que le courtier obtienne au moins une signature au cours d'une journée.
2. Si les frais professionnels non remboursés du courtier s'élève à 6000€ par an et s'il travaille 300 jours par an, quels sont
l'espérance mathématique et l'écart type de son revenu net annuel?
Exercice 3 :
On considère un médicament Z. On sait que la probabilité pour qu'une personne soit allergique à ce produit est de 0,001. On
considère une population de 2000 personnes. Déterminer la probabilité de l'événement A : « plus de 3 personnes sont allergiques à ce
médicament ».
Exercice 4 :
1. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale
N0;1
. Calculer à l'aide des tables de probabilités :
a.
PX1,82
b.
PX=−0,77
c.
PX1,19
d.
PX−0,85
e.
P0,83X1,57
f.
P−1,96X1,96
2. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale
N0;1
. En utilisant les tables de probabilités, calculer
x
tel que :
a.
PXx=0,8289
b.
PXx=0,0154
c.
PXx=0,0244
d.
P−xXx=0,95
e.
PXx=0,01
f.
PXx=0,7123
g.
PXx=0,6938
h.
PXx=0,42
i.
P−xXx=0,8
3. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale
N10;5
. Calculer
P5X15
.
4. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale
N175; 5
. Calculer
PX170
5. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale
N0;1
. Déterminer
x
tel que
PX1,842=x
.
Exercice 5 :
1. On suppose que la variable aléatoire X
→
Nm; 
. Calculer
Pm−2  Xm2 
.
2. On suppose que la variable aléatoire X
→
N10; 4
. Déterminer un intervalle
I
centré en 10 tel que
PX∈I=0,9
.
Exercice 6 :
On admet que la variable aléatoire X représentant la taille d'une population exprimée en mètre suit une loi normale N(,). De plus
en utilisant les statistiques on a établi que :
PX1,8=0,3085
et
PX1,6=0,0668
.
1. Déterminer  et .
2. En déduire la proportion théorique des personnes dont la taille est supérieure à 1,9.
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Exercice 7 : (Facultatif)
On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale
N5;3
.
Déterminer les probabilités des événements suivants : « X<8 », « X>2 », « -1<X<11 », « X<5 sachant X>2 ».
Exercice 8 : (Facultatif)
20000
étudiants passent un examen au mois de juin. La moyenne des notes obtenues par chacun des élèves suit une loi normale de
moyenne 9 et de variance 16. Il est prévu que :
- Les candidats qui ont obtenu une moyenne au moins égale à 12 sont reçus définitivement.
- Les candidats dont la moyenne des notes est comprise entre 9 et 12 seront conviés à subir un oral de rattrapage.
- Les candidats dont la moyenne des notes est comprises entre 7 et 9 seront admis à se présenter à une seconde session de l'examen,
en octobre.
- Les autres candidats ont échoué définitivement à l'examen, au moins pour l'année en question.
Déterminer, pour chacune des quatre éventualités, le nombre de candidats concernés.
Exercice 9 : (Facultatif)
Calculer la probabilité de l'événement A : « obtenir entre 95 et 105 fois la face 6 » lorsque l'on lance 600 fois un dé équilibré. Tous les
résultats (même intermédiaires) seront arrondis à
10−2
.
Exercice 10 : (Facultatif)
Une quincaillerie industrielle commercialise des vis dont un contrôle de qualité a révélé 2% de défauts. On prélève 2000 vis au
hasard.
1. Dans le cadre d'une étude sur des vis défectueuses, peut-on avoir recours à la loi binomiale? Si oui, Quels seraient les paramètres
de la variable aléatoire X qui suit cette loi binomiale?
2. Vérifier que la loi de X peut être approximée par une loi normale de paramètre 40 et 6,26.
3. En utilisant l'approximation par cette loi normale, quelle serait la probabilité :
a. D'avoir 40 vis défectueuses (sur 2000 prélevées)?
b. D'avoir plus de 50 vis défectueuses (sur 2000 prélevées)?
Exercice 11 : (Facultatif)
Une entreprise commercialise des produits de consommation courante en très grand nombre. Il y a une probabilité constante égale à
0,1 qu'un article choisi au hasard dans la production ne satisfasse pas aux normes imposées.
1. On prélève au hasard 10 articles. Soit X le nombre d'articles non conformes parmi ces 10 articles.
a. Indiquer la loi suivie par X.
b. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un article non conforme parmi ces 10 articles.
2. On prélève au hasard 50 articles. Soit X le nombre d'articles non conformes parmi ces 50 articles.
a. Indiquer la loi suivie par X.
b. Montrer que cette loi peut être approchée par une loi que l'on précisera.
c. A l'aide de cette loi, calculer la probabilité qu'il y ait au moins 5 articles non conformes parmi ces 50 articles.
3. On prélève au hasard 500 articles. Soit X le nombre d'articles non conformes parmi ces 500 articles.
Indiquer la loi suivie par X.
a. Montrer que cette loi peut être approchée par une loi que l'on précisera.
b. A l'aide de cette loi, calculer la probabilité qu'il y ait au moins 50 articles non conformes parmi ces 500 articles.
c. Le coût de revient d'un article est de 20€ et le prix de vente de 30€. Le client décide de ne pas régler les articles non
conformes. Soit une commande de 500 articles.
c.1 Exprimer le bénéfice en fonction de X.
c.2 Calculer l'espérance et l'écart type de ce bénéfice.
Exercice 12 : (Facultatif)
Une société fabriquant du matériel électronique estime que la variable aléatoire X représentant le nombre de composants défectueux
fabriqués en 1 heure suit une loi de Poisson de paramètre
. Par ailleurs on sait que le nombre moyen de composants défectueux
fabriqués en 1 heure est10.
1. Déterminer
.
2. Calculer la probabilité pour que le nombre de composants défectueux fabriqués en 1 heure soit (on pourra utiliser la table de la loi
de poisson) : Inférieur strictement à 10, puis supérieur ou égale à 20.
3. L'entreprise veut réaliser des tests, pour cela elle teste heure par heure pendant 100 heures ses composants. On note Y la variable
aléatoire représentant le nombre d'heures où le nombre de composants défectueux est inférieur à 10.
a. Déterminer la loi de Y et
EY
.
b. En utilisant une approximation de Y par une loi normale, déterminer
PY50
.
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