Quatre exercices de vecteurs aléatoires.

Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
Enoncés
Exercice 1
Soient l Î ¥* et p Î ]0,1[ . Soit N la variable aléatoire égale au nombre de clients d'un marchand de
fruits et légumes un jour donné. On suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre l et que
chaque client achète des fruits avec une probabilité p et des légumes avec une probabilité
q = 1 - p (on suppose que les clients ne peuvent acheter à la fois des fruits et des légumes). On
suppose que les achats des différents clients sont indépendants.
Soient X la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant des fruits et Y la variable aléatoire
égale au nombre de clients achetant des légumes.
1) Déterminer la loi conjointe de (X,Y) .
2) a) Déterminer les lois marginales de X et de Y.
b) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? En déduire cov(X,Y) et E(XY) .
Exercice 2
Soit n un entier naturel non nul et p Î ]0,1[ . Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n
correspondants distincts. On admet que les appels constituent n expériences de Bernoulli
indépendantes de même paramètre p. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de correspondants
obtenus.
1) Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
2) La secrétaire rappelle une seconde fois, et dans les mêmes conditions, chacun des
correspondants qu'elle n'a pu joindre au cours de la première série d'appels. Soient alors Y la
variable aléatoire égale au nombre de personnes jointes au cours de cette seconde série d'appels
et Z = X + Y la variable aléatoire égale au nombre total de correspondants obtenus lors de ces
deux séries d'appels.
a)
b)
Déterminer, pour tout i Î §0,n¨ , la loi conditionnelle de Y sachant [X = i] .
Déterminer la loi de Z et montrer que Z suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
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Vecteurs aléatoires discrets
Exercice 3
Soient X une variable aléatoire à valeurs dans une partie de
probabilisé considéré, tel que p(A) ¹ 0 .
¥ et A un événement de l'espace
Sous réserve d'existence, on appelle espérance de la variable aléatoire X conditionnée par
l'événement A et on note E(X ) le réel défini par :
A
(
)
E(X ) = å kp [X = k] .
A
A
k Îx(W )
1) Soient X une variable aléatoire et A un événement vérifiant les hypothèses précédentes. On
suppose en outre que p(A) ¹ 1 et que X admet une espérance.
a) Montrer que E(X ) et E(X ) existent.
A
A
b) Etablir que :
( )
( )
E(X) = p(A)E(X ) + p A E X
A
A
c) Soit k Î ¥* . Quelle relation similaire peut-on déterminer si X admet un moment d'ordre k?
2) Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans ¥ prenant toutes leurs valeurs avec une
probabilité non nulle. On suppose que Y admet une espérance.
(
a) Montrer que, pour tout i Î ¥, E Y
) existe.
[X = i]
b) Etablir que :
E(Y) =
å p(X = i)E ( Y [X = i]) ,
+¥
i=0
(on pourra inverser les deux sommes).
c)
Quelle relation similaire peut-on déterminer si Y admet un moment d'ordre k (k Î ¥* ) ?
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Exercice 4
Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans ¥ , on note Gx la fonction :
t a Gx (t) =
å p(X = k)t
k Υ
k
(lorsque X(W) est fini, Gx est définie sur ¡ et lorsque X(W) est infini, Gx
est au moins définie sur [-1,1] ).
1)
Soient p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et ( Xi )1£i£ p une famille de variables aléatoires
mutuellement indépendantes à valeurs dans §0,n¨ . En remarquant que, pour toute variable
aléatoire X à valeurs dans §0,n¨ , on a : "t Î ¡, Gx( t ) = E(t x ) , montrer que :
p
"t Î ¡, G p = Õ Gxi (t) .
å xi
i=1
i= 1
2)
Soit ( Xi )iÎ ¥* une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans ¥ .
En
remarquant
que,
pour
toute
variable
x
on a : "t Î [- 1,1],Gx (t) = E(t ) , montrer que :
aléatoire
X
à
valeurs
dans
¥,
n
"n Î ¥* , "t Î [- 1,1],G n (t) = Õ Gxi (t) .
å xi
i=1
i =1
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Correction
Exercice 1
1)
D’après l’énoncé, on a clairement : (X,Y)(W) = ¥2 . De plus, comme X+Y=N (chacun des clients
achetant des fruits ou des légumes), on a également :
"(i,j) Î ¥2 ,p ([X = i] Ç [Y = j]) = p ([X = i] Ç [N- X = j])
d’où
= p ([X = i] Ç [N = i + j])
(
=p X=i
soit, d’après la formule des
)p(N = i + j) .
probabilités composées :
N =i+ j
Or, comme chaque client achète des fruits avec une probabilité p, pour tout (i, j) Î ¥2 , sachant
que le nombre total de clients N est égal à i+j, X suit une loi binomiale de paramètres i+j et p.
On peut alors écrire :
(
"(i,j) Î ¥2 ,p X = i
)=C
i
i
i+ j
N=i+j
p qj .
De plus, comme N suit une loi de Poisson de paramètre l , on peut également écrire :
"(i,j) Î ¥2 ,p(N = i + j) = e-l
li+ j
.
(i + j)!
On en déduit alors :
"(i,j) Î ¥2 ,p ([X = i] Ç [Y = j]) = Cii+ jpiq j ge-l
= e-l
li+ j
(i + j)!
soit :
(lp)i (lq)i
.
i!
j!
On peut désormais conclure :
(X,Y)(W) = ¥2 et "(i,j) Î ¥2 ,p ([X = i] Ç [Y = j]) = e-l
2)
(lp)i (lq)i
i!
j!
a) o On a : X(W) = ¥ . Comme on a également Y(W) = ¥ , on peut écrire :
"i Î ¥,[X = i] =
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U ([X = i] Ç [Y = j])
jΥ
soit, en passant aux probabilités :
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æ
ö
"i Î ¥,p(X = i) = p ççç U ([X = i] Ç [Y = j])÷÷÷
çè jÎ ¥
ø÷
soit encore, l’union étant disjointe (il ne peut y avoir
simultanément un jour donné j et j’ clients achetant
des légumes avec j ¹ j ' ) :
=
=
å p ([X = i] Ç [Y = j])
j Υ
donc,
d’après
les
résultats
de
la
question
précédente :
åe
-l
jΥ
(lp)i (lq)j
i!
j!
= e-l
(lp)i
i!
= e-l
(lp) lq
e
i!
+¥
å
j =0
i.e. :
(lq)j
j!
soit enfin, en reconnaissant la somme d’une série
exponentielle :
i
= e-l (1-q)
= e-lp
et
et donc :
(lp)i
i!
d’où, comme 1-q=p :
(lp)i
.
i!
o X et Y munis de leurs paramètres respectifs p et q jouant des rôles symétriques, on
(lq)i
. On peut désormais
i!
conclure que X et Y suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs lp et lq ,
peut également écrire : Y(W) = ¥ et
"i Î ¥,p(Y = i) = e-lq
i.e. :
i
ì
ï
ïp(X = i) = e-lp (lp)
ï
ï
i!
xåP(lp) et XåP(lq), i.e. : X(W) = Y(W) = ¥ et "i Î ¥, ï
í
i
ï
(lq)
ï
ï
p(Y=i)=e- lq
ï
ï
i!
î
b) o On en déduit alors :
"(i,j) Î ¥2 ,p(X = i) p(Y = j) = e-l p
(lp)i -l q (lq)i
ge
i!
j!
= e-l (p + q)
= e-l
(lp)i (lq)j
i!
j!
(lp)i (lq)i
i!
j!
i.e. :
soit, comme p+q=1 :
i.e. :
= p ([X = i] Ç [Y = j]) .
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On peut donc conclure :
X et Y sont donc indépendantes
o Comme X et Y sont indépendantes, on peut alors écrire :
cov(X,Y) = 0 et E(XY)=E(X)E(Y) .
Or, comme X et Y suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs lp et lq , on peut
écrire : E(X) = lp et E(Y)=lq , d’où la conclusion :
cov(X,Y) = 0 et E(XY)=l 2pq
Exercice 2
1)
Comme X est le nombre de correspondants obtenus, X représente le nombre de succès (obtenir
un correspondant) lors de la réalisation de n essais indépendants (n coups de téléphone) d’une
expérience à deux issues possibles (joindre ou ne pas joindre le correspondant) dont la
probabilité de succès est p. X suit donc une loi binomiale de paramètre n et p.
On en déduit alors :
XåB(n,p), i.e. : X(W) = §0,n¨ et "k Î §0,n,¨ p(X=k)=Ckn pk (1 - p)n-k , d’où :
E(X)=np et V(X)=np(1-p)
2)
a) Pour tout i Î §0,n¨ , si X=i, lors de la seconde série d’appels, la secrétaire rappelle les n-i
correspondants qu’elle n’a pas réussi à joindre lors de la première série, et ce dans les
mêmes conditions que précédemment.
On déduit alors que si X = i (i Î §0 , n¨ ), Y suit une loi binomiale de paramètres n-i et p, d’où
la conclusion :
(
"i Î §0,n,
¨ "k Î §0,n - i¨, p Y = k
)=C
X=i
pk (1 - p)n-i-k
k
n-i
b) o Comme Z est le nombre total de correspondants joints à l’issue de la seconde série
d’appels, on a clairement : Z(W) = §0,n¨ . De plus, comme Z=X+Y, on a :
"k Î §0,n,[Z
¨
= k] =
Page 6
k
U ([X = i] Ç [Y = k - i])
d’où en passant aux probabilités :
i=0
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æk
ö
"k Î §0,n,p(Z
¨
= k) = p ççU ([X = i] Ç [Y = k - i])÷÷÷
÷ø
çèi=0
=
=
k
å p ([X = i] Ç [Y = k - i])
i=0
k
i=0
åC
=
åC C
k
i=0
soit encore, d’après la formule des
et
donc,
d’après
les
résultats
précédents :
=
i=0
peut avoir simultanément [X=i] et
[X=i’] avec i ¹ i ' ) :
probabilités composées :
å p ( Y = k - i X = i)p(X = i)
k
soit, l’union étant disjointe (on ne
p (1 - p)n-k ´ Cinpi (1 - p)n-i i.e. :
k -i k -i
n-i
i
n
p (1 - p)2n-k- i
k -i k
n-i
et comme "k Î §0,n¨ , "i Î §0,k ¨ ,
CinCkn--ii = Ckn Cki :
k
= Ckn pk (1 - p)2n-2k å Cik (1 - p)k-i
i=0
soit encore, à l’aide de la formule du
binôme de Newton :
= Ckn pk (1 - p)2n-2k (2 - p)k
d’où la conclusion :
Z(W) = §0,n¨ et " k Î §0,n,¨ p(Z=k)=Ckn (p(2 - p))k ((1 - p)2 )n-k
o Comme p(2-p)+(1-p)2=1, on peut maintenant écrire que Z suit une loi binomiale de
paramètres n et p(2-p), i.e. :
ZåB(n,p(2-p))
Exercice 3
1)
a) o On a :
(
"k Î X(W),p [X = k]
(
"k Î X(W),p [X = k]
(
A
A
= k] Ç A)
) = p([X p(A)
d’où comme : p ([X = k] Ç A) £ p(X = k)
= k)
) £ p(Xp(A)
donc :
"k Î X(W),0 £ kp [X = k]
Page 7
A
(car ([X=k] Ç A) Ì [X=k]) :
= k)
.
) £ k p(Xp(A)
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Or, comme X admet une espérance, la série de terme général kp(X=k) est convergente, donc
comme p(A) est indépendant de k, d’après les théorèmes de comparaison des séries à termes
positifs, la série de terme général kp [X = k]
converge. On peut donc conclure :
A
(
)
( A) existe
E X
(
"k Î X(W),0 £ p [X = k]
o De même, comme :
espérance, on peut conclure :
= k)
,
) £ p(Xp(A)
A
et comme X admet une
( A) existe
E X
b) Comme X admet une espérance, on peut écrire :
E(X) =
å
k ÎX(W )
kp(X = k)
soit, d’après la formule des probabilités totales, la famille
(A,A) étant un système
probabilités non nulles :
=
(
)
(
æ
k çççp(A)p [X = k] + p A p [X = k]
A
è
A
k ÎX(W )
å
( )
)ö÷÷ø÷
complet
k Î X( W)
(
kp [X = k]
) + p (A) å kp ([X = k] A)
A
(
généraux respectifs kp [X = k]
(
å
de
d’où comme les séries de termes
) convergent
E (X ) et E ( X ) existent) :
A
A
et kp [X = k]
= p(A)
d’événements
A
A
)
(car
soit finalement :
k Î X( W)
( A ) + p (A )E ( X A)
E(X) = p(A)E X
c) On montrerait, par un raisonnement analogue, que, si X admet un moment d'ordre k, alors
k
k
E(X ) et E(X ) existent, puis que :
A
A
(
k
E(Xk ) = p(A)E X
Page 8
) + p(A)E (X A)
k
A
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2) a)
Soit i Î X(W) . Comme p(X = i) ¹ 0 , en substituant [X = i] à A et Y à X dans le
raisonnement de la question 1.a, on peut conclure :
(
Pour tout i Î X(W),E Y
) existe
[X = i]
b) Comme Y admet une espérance et comme Y est une variable aléatoire à valeurs
dans ¥ , on a :
E(Y) =
+¥
å kp(Y = k)
k =0
=
soit, d'après la formule des probabilités totales, la famille
(X = i)iÎ ¥ étant un système complet d'événements tous de
probabilités non nulles :
å çççèkå p(X = i)p ([Y = k][X = i])÷÷÷÷ø soit,
l'inversion
å çççèp(X = i)å kp ([Y = k][X = i])÷÷÷÷ø d'où,
comme,
+¥
æ
k =0
ö
+¥
des
sommes
infinies
étant
i=0
autorisées car Y admet une espérance :
=
+¥
i=0
æ
ö
+¥
k =o
existe:
E(Y) =
pour
tout
(
i Î X(W),E Y
)
[X = i]
å p(X = i)E ( Y [X = i])
+¥
i=0
c) On montrerait, par un raisonnement analogue, que, si Y admet un moment d'ordre k,
(
k
alors pour tout i Î X(W) , E Y
E(Y k ) =
Page 9
) existe, puis que :
[X = i]
å p(X = i)E ( Y
+¥
i=0
k
)
(X = i]
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Exercice 4
1) Comme pour tout t Î ¡ , la fonction x a t x est définie en tout point de ¥ , donc en tout point
de §0,n¨ , pour toute variable aléatoire X à valeurs dans §0,n¨ telle que, pour tout t Î ¡,E(t x )
existe, on a (théorème de transfert):
"t Î ¡, Gx( t ) = E(t x )
=
Or,
pour
n
å p(X = k)t
k
.
k =0
toute
"t Î ¡,Gx (t) =
donc :
variable
n
å p(X = k)t
k
k =0
aléatoire
X
à
valeurs
§0,n¨ ,
dans
on
a
également
:
, donc, en reconnaissant E(t x ) , pour tout t Î ¡,E(t x ) existe et :
"t Î ¡, Gx( t ) = E(t x ) .
Montrons, par montée fine, que si les variables aléatoires ( Xi )1£i£ p à valeurs dans §0,n¨ sont
mutuellement indépendantes, alors : "k Î §2 , p¨, " t Î ¡,G k (t) =
å Xi
i= 1
k
ÕG
i=1
xi
(t) .
Ÿ Si les variables aléatoires ( Xi )1£i£ p sont mutuellement indépendantes, alors X1 et X2 sont
indépendantes, donc, pour tout t Î ¡ ,t x 1 et t x2 sont indépendants. On peut alors écrire :
"t Î ¡,E(t x1 tx2 ) = E(tx1 )E(t x2 ) , soit: "t Î ¡,E(t x1+ x2 ) = E(tx1 )E(t x2 ) .
En utilisant la remarque précédente, on en déduit alors : "t Î ¡ ,Gx1 +x 2 (t) = Gx 1 (t)Gx 2 (t) . La
propriété est donc bien vérifiée au rang k=2.
Ÿ Soit
k Î §2,p - 1¨ (si p ³ 3) ,
supposons
que
:
k
"t Î ¡, G k (t) = Õ Gxi (t) .
å xi
i=1
i= 1
aléatoires
( Xi )1£i£ p
étant mutuellement indépendantes, pour tout
Les
variables
t Î ¡ , les variables
k
å Xi
aléatoires t i =1 et t Xk+1 sont également indépendantes, d'où :
k
k
æ å
ö
æ å
ö
çç i =1 Xi Xk + 1 ÷÷
çç i= 1 X i ÷÷ Xk +1
÷
÷÷ E(t )
ç
ç
"t Î ¡,E ç t
t ÷÷ = E çt
÷÷
ççè
÷÷ø
çèç
ø÷
i.e. :
+1
æ kå
ö
æ k Xi ÷ö
çç i =1 Xi ÷÷
çç å
÷÷ = E ç t i =1 ÷÷÷ E(t Xk + 1 ) ce qui s'écrit encore, d'après la remarque précédente :
"t Î ¡,E ççt
çç
÷÷
÷÷
çç
çè
÷ø
è
ø÷
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"t Î ¡ ,Gk +1 (t) = G k (t)GXk +1 (t) et donc, d'après l'hypothèse :
å Xi
å Xi
i =1
i =1
æk
ö
= ççÕ GXi (t)÷÷÷ GXk +1 (t)
÷ø
çè i=1
i.e. :
k +1
= Õ GXi (t) .
i=1
k
Ÿ Ainsi, on a bien : "k Î §2 , p¨, " t Î ¡,G k (t) = Õ GXi (t) .
å Xi
i=1
i =1
On peut alors conclure, pour k=p :
Si ( Xi )1£i£ p est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes
k
à valeurs dans §0,n¨ , alors : "t Î ¡,G k (t) = Õ GXi (t)
å Xi
i=1
i =1
2) Comme pour tout t Î [-1,1] , l'application x a t x est définie en tout point de ¥ , pour toute
variable aléatoire X à valeurs dans ¥ telle que, pour tout t Î ¡,E(t x ) existe, on a (théorème de
transfert) : "t Î [- 1,1],E(t x ) =
+¥
å p(X = k)t
k
.
k =0
Or, pour toute variable aléatoire X à valeurs dans ¥ , Gx est au moins définie sur [-1,1] et on
peut écrire : "t Î ¡, Gx (t) =
+¥
å p(X = k)t
k =0
k
. Ainsi, la série de terme général p(X = k)t k converge
absolument donc E(t x ) existe et l'on a :
"t Î [- 1,1],Gx (t) = E(t x ) .
Montrons alors par récurrence, que si les variables aléatoires ( Xi )iÎ ¥* à valeurs dans ¥ sont
n
mutuellement indépendantes, alors : "n Î ¥* , "t Î [- 1,1],G n (t) = Õ G xi (t) .
å Xi
i=1
i =1
Ÿ
Au rang n=1, on a clairement :
"t Î [- 1,1],Gx1 (t) = Gx 1 (t) . La propriété est donc bien
vérifiée au rang 1.
n
Ÿ
Soit n Î ¥* , supposons "t Î [- 1,1],G n (t) = Õ Gx i (t) .
å xi
i=1
i =1
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Les variables aléatoires ( Xi )iÎ ¥* étant mutuellement indépendantes, il est clair que pour tout
n
å xi
t Î [-1,1] , les variables aléatoires t i =1
et txn+1 sont indépendantes, d'où :
n
n
æ å
ö
æ å
ö
çç i =1 xi x n+ 1 ÷÷
çç i =1 xi ÷÷ x n +1
÷÷ E(t ) i.e. :
"t Î [- 1,1],E ççt
t ÷÷÷ = E ççt
÷÷
çç
çç
÷
÷
è
ø
è
ø÷
+1
n
æ nå
ö
æ å
ö
çç i =1 xi ÷÷
çç i =1 x i ÷÷ xn +1
÷÷ = E çt
÷÷ E(t )
"t Î [- 1,1],E ççt
çç
÷÷
÷÷
çç
ç
÷
è
ø
è
ø÷
ce qui s'écrit encore, d'après la remarque
précédente :
"t Î [- 1,1],Gn+ 1 (t) = G n (t)G xn +1 (t)
å xi
å xi
i= 1
et donc, d'après l'hypothèse de récurrence :
i =1
æn
ö
= ççÕ Gx i (t)÷÷÷ Gx n +1 (t)
÷ø
çè i=1
i.e. :
n+1
= Õ Gxi (t) .
i=1
n
Ÿ
Ainsi, on a bien : "n Î ¥* , "t Î [- 1,1],G n (t) = Õ Gxi (t) , d'où la conclusion :
å xi
i=1
i =1
Si ( Xi )iÎ ¥* est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes
n
à valeurs dans ¥ , alors : "n Î ¥* , "t Î [- 1,1],G n (t) = Õ Gxi (t) .
å xi
i=1
i =1
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Matthias FEGYVERES – Stéphane PRETESEILLE
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