Quatre exercices de vecteurs aléatoires.

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Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
Enoncés
Exercice 1
Soient
*
lÎ
¥
et
]
[
p0,1
Î
. Soit N la variable aléatoire égale au nombre de clients d'un marchand de
fruits et légumes un jour donné. On suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre
l
et que
chaque client achète des fruits avec une probabilité p et des légumes avec une probabilité
q1p
=-
(on suppose que les clients ne peuvent acheter à la fois des fruits et des légumes). On
suppose que les achats des différents clients sont indépendants.
Soient X la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant des fruits et Y la variable aléatoire
égale au nombre de clients achetant des légumes.
1) Déterminer la loi conjointe de
(X,Y)
.
2) a) Déterminer les lois marginales de X et de Y.
b) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? En déduire
cov(X,Y)
et
E(XY)
.
Exercice 2
Soit n un entier naturel non nul et
]
[
p0,1
Î
. Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n
correspondants distincts. On admet que les appels constituent n expériences de Bernoulli
indépendantes de même paramètre p. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de correspondants
obtenus.
1) Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
2) La secrétaire rappelle une seconde fois, et dans les mêmes conditions, chacun des
correspondants qu'elle n'a pu joindre au cours de la première série d'appels. Soient alors Y la
variable aléatoire égale au nombre de personnes jointes au cours de cette seconde série d'appels
et
ZXY
=+
la variable aléatoire égale au nombre total de correspondants obtenus lors de ces
deux séries d'appels.
a) Déterminer, pour tout
i0,n
Î
§¨
, la loi conditionnelle de Y sachant
[Xi]
=
.
b) Déterminer la loi de Z et montrer que Z suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
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Mathématiques
Vecteurs aléatoires discrets
Exercice 3
Soient X une variable aléatoire à valeurs dans une partie de
¥
et A un événement de l'espace
probabilisé considéré, tel que
p(A)0
¹
.
Sous réserve d'existence, on appelle espérance de la variable aléatoire X conditionnée par
l'événement A et on note X
E()
A
le réel défini par :
(
)
kx()
[Xk]
X
E()kp
AA
ÎW
=
=å.
1) Soient X une variable aléatoire et A un événement vérifiant les hypothèses précédentes. On
suppose en outre que
p(A)1
¹
et que X admet une espérance.
a) Montrer que XX
E() et E()
A
A
existent.
b) Etablir que :
(
)
(
)
XX
E(X)p(A)E()pAE
A
A
=+
c) Soit k
*
Î
¥
. Quelle relation similaire peut-on déterminer si X admet un moment d'ordre k?
2) Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans
¥
prenant toutes leurs valeurs avec une
probabilité non nulle. On suppose que Y admet une espérance.
a) Montrer que, pour tout
(
)
Y
i,E
[Xi]
Î= ¥ existe.
b) Etablir que :
(
)
i0
Y
E(Y)p(Xi)E
[Xi]
+¥
=
== =
å,
(on pourra inverser les deux sommes).
c) Quelle relation similaire peut-on déterminer si Y admet un moment d'ordre
k (k)
*
Î
¥
?
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Vecteurs aléatoires discrets
Exercice 4
Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans
¥
, on note
x
G
la fonction :
k
xk
tG(t)p(Xk)t
Î
==
å
¥
a (lorsque
X()
W
est fini,
x
G
est définie sur
¡
et lorsque
X()
W
est infini,
x
G
est au moins définie sur
[1,1]
-
).
1) Soient p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et
i1ip
(X)
££
une famille de variables aléatoires
mutuellement indépendantes à valeurs dans
0,n
§¨
. En remarquant que, pour toute variable
aléatoire X à valeurs dans
0,n
§¨
, on a :
x
x
t,G(t)E(t)
"Î=¡, montrer que :
pi
i
i1
p
x
xi1
t,GG(t)
=
=
"Î=
åÕ
¡.
2) Soit ii
(X)
*
Î
¥
une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans
¥
.
En remarquant que, pour toute variable aléatoire X à valeurs dans
¥
,
on a :
x
x
t[1,1],G(t)E(t)
"Î-=, montrer que :
ni
i
i1
n
x
xi1
n,t[1,1],G(t)G(t)
=
*
=
"Î"Î-=
åÕ
¥.
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Vecteurs aléatoires discrets
Correction
Exercice 1
1) D’après l’énoncé, on a clairement :
2
(X,Y)()W=
¥
. De plus, comme X+Y=N (chacun des clients
achetant des fruits ou des légumes), on a également :
(
)
(
)
2
(i,j),p[Xi][Yj]p[Xi][NXj]
"Î=Ç===Ç-=¥ d’où
(
)
p[Xi][Nij]
==Ç=+
soit, d’après la formule des
probabilités composées :
(
)
Xi
pp(Nij)
Nij
=
==+
=+ .
Or, comme chaque client achète des fruits avec une probabilité p, pour tout
2
(i,j) Î
¥
, sachant
que le nombre total de clients N est égal à i+j, X suit une loi binomiale de paramètres i+j et p.
On peut alors écrire :
(
)
2iij
ij
Xi
(i,j),pCpq
Nij +
=
"Î=
=+
¥.
De plus, comme N suit une loi de Poisson de paramètre
l
, on peut également écrire :
ij
2
(i,j),p(Nij)e
(ij)!
+
-l l
"Î=+=
+
¥.
On en déduit alors :
( )
ij
2iij
ij
(i,j),p[Xi][Yj]Cpqe
(ij)!
+
-l
+
l
"Î=Ç==
+
¥g soit :
ii
(p)(q)
e
i!j!
-l ll
=.
On peut désormais conclure :
( )
ii
22
(p)(q)
(X,Y)() et (i,j),p[Xi][Yj]e
i!j!
-l ll
W="Î=Ç==¥¥
2) a) o On a : X()
W=
¥
. Comme on a également Y()
W=
¥
, on peut écrire :
(
)
j
i,[Xi][Xi][Yj]
Î
"Î===Ç=
¥
¥
U
soit, en passant aux probabilités :
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( )
j
i,p(Xi)p[Xi][Yj]
Î
æö
÷
ç
÷
"Î===Ç=
ç
÷
ç
÷÷
ç
èø
¥
¥U soit encore, l’union étant disjointe (il ne peut y avoir
simultanément un jour donné j et j’ clients achetant
des légumes avec
jj'
¹
) :
(
)
j
p[Xi][Yj]
Î
==Ç=
å
¥
et donc, d’après les résultats de la question
précédente :
ij
j
(p)(q)
e
i!j!
-l
Î
ll
=å
¥
i.e. :
ij
j0
(p)(q)
e
i!j!
+¥
-l
=
ll
=å soit enfin, en reconnaissant la somme d’une série
exponentielle :
i
q
(p)
ee
i!
-ll
l
= et donc :
i
(1q)
(p)
e
i!
-l-
l
= d’où, comme 1-q=p :
i
p
(p)
e
i!
-l
l
=.
o X et Y munis de leurs paramètres respectifs p et q jouant des rôles symétriques, on
peut également écrire : Y()
W=
¥
et
i
q
(q)
i,p(Yi)e
i!
-l
l
"Î==¥. On peut désormais
conclure que X et Y suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs
p
l
et
q
l
,
i.e. :
xåP(lp) et XåP(lq), i.e. :
i
p
i
-q
(p)
p(Xi)e
i!
X()Y() et i, (q)
p(Y=i)=e i!
-l
l
ì
ïl
ï==
ï
ï
ï
ï
W=W="Î í
ïl
ï
ï
ï
ï
ïî
¥¥
b) o On en déduit alors :
ii
2pq
(p)(q)
(i,j),p(Xi) p(Yj)ee
i!j!
-l-l
ll
"Î===¥g i.e. :
ij
(pq)
(p)(q)
e
i!j!
-l+ ll
= soit, comme p+q=1 :
ii
(p)(q)
e
i!j!
-l ll
= i.e. :
(
)
p[Xi][Yj]
==Ç=
.
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