Formulaire de géométrie

©pa2003
Formulaire de géométrie
Les formules données sont valables dans le plan. Sauf mention contraire, elles se généralisent
sans difficulté à l’espace.
1RWDWLRQV
$([ ; \), %([ ; \), …, 0([ ; \) : coordonnées des points $, %, …, 0.
X
&
([; \), Y
&
([’ ; \’), … : coordonnées des vecteurs X
&
, Y
&
, …
Dans un repère (2, L
&
, M
&
) quelconque
&RRUGRQQpHV
Point : Le point $ a pour couple de coordonnées ([ ; \) dans le repère (2, L
&
, M
&
) si et
seulement si 2$ = [L
&
+ \ M
&
.
Vecteur : Le vecteur X
&
a pour couple de coordonnées ([; \) dans le repère (2, L
&
, M
&
) si et
seulement si X
&
= [L
&
+ \ M
&
.
3URGXLWG¶XQYHFWHXUSDUXQUpHO
Pour tous vecteurs X
&
, Y
&
et Z
&
et tous réels D, E et F :
0X
&
= 0
&
D0
&
= 0
&
1X
&
= X
&
D(EX
&
) = (DE)X
&
D(X
&
+ Y
&
) = DX
&
+ DY
&
(D + E)X
&
= DX
&
+ EX
&
'pWHUPLQDQW
det(X
&
; Y
&
) = ’
’
\\
[[ = [\’ −\[’.
X
&
et Y
&
sont colinéaires si et seulement si det(X
&
; Y
&
) = 0.
eTXDWLRQVGHGURLWHV
La droite d’équation \ = P[ + S passe par le point (0 ; S) et admet X
&
(1 ; P) comme vecteur
directeur. Son coefficient directeur est P.
La droite ($%) (non parallèle à l’axe (2; M
&
)) admet comme coefficient directeur
P = [[
\\
−
−
, et comme « ordonnée à l’ origine » S = \ − P[ = \ − P[ .
Les droites d’équations \ = P[ + S et \ = P’[ + S’ sont parallèles si et seulement si P = P’ .
La droite d’ équation D[ + E\ + F = 0 admet X
&
(−E ; D) comme vecteur directeur. Son
coefficient directeur est −
E
D.
Les droites d’équationsD[ + E\ + F = 0 etD’[ + E’\ + F’ = 0 sont parallèles si et seulement si
DE’ − ED’ = 0.

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Dans un repère orthonormé (2, L
&
, M
&
)
'LVWDQFH
$% = 22 )()( \\[[ −+−
1RUPH
||X
&
|| = 22 \[ +
3URGXLWVFDODLUH
X
&
.Y
&
= [[’ + \\’
X
&
.Y
&
= ||X
&
|| × ||Y
&
|| × cos (X
&
; Y
&
)
X
&
.Y
&
=
2
1(||X
&
+ Y
&
||2 − ||X
&
||2 − ||Y
&
||2)
$%
.$& =
$%
.
$+
, où + est le projeté orthogonal de & sur ($%)
$%
.$& =
$.
.$& , où . est le projeté orthogonal de % sur ($&)
$%
.$& = $% × $& × cos(%Æ&)
3URSULpWpVGXSURGXLWVFDODLUH
X
&
et Y
&
sont orthogonaux si et seulement si X
&
.Y
&
= 0
Pour tous vecteurs X
&
, Y
&
et Z
&
et tous réels D, E et F :
X
&
.Y
&
= Y
&
.X
&
X
&
.(Y
&
+ Z
&
) = X
&
.Y
&
+ X
&
.Z
&
(DX
&
).Y
&
= X
&
.(DY
&
) = D × (X
&
.Y
&
)
(X
&
+ Y
&
)2 = X
&
2 + 2X
&
.Y
&
+ Y
&
2(X
&
− Y
&
)2 = X
&
2 − 2X
&
.Y
&
+ Y
&
2
X
&
+ Y
&
).(X
&
− Y
&
) = X
&
2 − Y
&
2
eTXDWLRQVGHGURLWHV
Les droites d’ équations \ = P[ + S et \ = P’[ + S’ sont perpendiculaires si et seulement si
PP’ = −1.
Les droites d’équations D[ + E\ + F = 0 et D’ x + E’\ + F’ = 0 sont perpendiculaires si et
seulement si DD’ + EE’ = 0.
eTXDWLRQVGHFHUFOHV
Le cercle de centre ([; \) et de rayon U a pour équation ([ − [)2 + (\ − \)2 = U2.
'LVWDQFHG¶XQSRLQWjXQHGURLWH
La distance du point 0([;\) à la droite d’équation D[ + E\ + F = 0 est égale à 22 ED
FE\D[
+
++

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Dans un repère orthonormé direct (2, L
&
, M
&
)
([SUHVVLRQDQDO\WLTXHG¶XQHURWDWLRQ
0’([’ ; \’) est l’ image de 0([ ; \) par la rotation de centre 2 et d’angle α si et seulement si
+=
−=
\[\
\[[
)cos()sin(’
)sin()cos(’
αα
αα
.
([SUHVVLRQDQDO\WLTXHGHODV\PpWULHGHFHQWUHO
0’([’ ; \’) est le symétrique de 0([ ; \) par rapport à 2 si et seulement si
−=
−=
\\
[[
’
’.
([SUHVVLRQDQDO\WLTXHGXTXDUWGHWRXUGLUHFW
0’([’ ; \’) est l’image de 0([ ; \) par la rotation de centre 2 et d’ angle
2
π
si et seulement si
=
−=
[\
\[
’
’.
([SUHVVLRQDQDO\WLTXHGHODUpIOH[LRQGHGURLWHG¶pTXDWLRQ\ [
0’([’ ; \’) est l’ image de 0([ ; \) par la réflexion de droite d’ équation \ = [ si et seulement si
=
=
[\
\[
’
’.

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Relations métriques
La diagonale G d’un carré de côté F vaut G = 2F.
La hauteur K d’un triangle équilatéral de côté a vaut K =
2
3D.
Longueur d’un arc de cercle de rayon U et d’ angle au centre
θ
exprimé en
radians : O = U θ .
Aire d’ une portion de disque de rayon U et d’angle au centre
θ
exprimé
en radians : $ =
2
2
U θ
.
7KpRUqPHGH3\WKDJRUH
Si $%& est un triangle rectangle, alors le carré de l’ hypoténuse est égal à la somme des carrés
des côtés de l’angle droit.
Si $%& est un triangle rectangle en $, alors $%2 + $&2 = %&2.
5pFLSURTXHGXWKpRUqPHGH3\WKDJRUH
Si le carré d’ un côté d’ un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce
triangle est rectangle, l’hypoténuse étant le plus long des côtés.
Si $%2 + $&2 = %&2, alors $%& est un triangle rectangle en $.
)RUPXOHVG¶$O.DVKLWKpRUqPHGH3\WKDJRUHJpQpUDOLVp
Dans un triangle $%&, soit D = %&, E = $& et F = $%.
Alors D2 = E2 + F2 − 2EFcos(Æ). Relations analogues par permutations des sommets.
7ULJRQRPpWULHGXWULDQJOHUHFWDQJOH
Dans un triangle $%& rectangle en $ :
cos(
%
ˆ) =
%&
$% sin(
%
ˆ) =
%&
$& tan(
%
ˆ) =
$%
$&
cos( ) =
%&
$& sin( ) =
%&
$% tan( ) =
$&
$%
7ULJRQRPpWULHGXWULDQJOH
Dans un triangle $%&, soit D = %&, E = $& et F = $%.
Alors
D
$)
ˆ
sin( =
E
%)
ˆ
sin( =
F
&)
ˆ
sin( .