Notes de cours de mathématiques, DEUG MIAS

DEUG MIAS premier niveau
Cours de mathématiques
année /
Guillaume Legendre
(version révisée du 6 janvier 2017)

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Table des matières
1 Éléments de logique 1
1.1 Assertions............................................... 1
1.1.1 Opérations sur les assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Tableauxdevérité ...................................... 2
1.2 Quantificateurs ............................................ 2
1.3 La démonstration en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Démonstrationdirecte.................................... 3
1.3.2 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Démonstration par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.4 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.5 Lecontre-exemple ...................................... 4
I Algèbre 5
2 Ensembles et relations 7
2.1 Ensembles............................................... 7
2.1.1 Appartenance......................................... 7
2.1.2 Inclusion ........................................... 8
2.1.3 Partie d’un ensemble. Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Produitd’ensembles ..................................... 10
2.2 Relations ............................................... 11
2.2.1 Généralités .......................................... 11
2.2.2 Relationsd’équivalence ................................... 12
2.2.3 Relationsd’ordre....................................... 13
2.3 Applications.............................................. 14
2.3.1 Définitions .......................................... 15
2.3.2 Surjection. Injection. Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Restrictions et prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.5 Images directes ou réciproques de parties par une application . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.6 Familles............................................ 18
2.4 Ensemblesfinisetinfinis....................................... 19
2.4.1 Équipotence.......................................... 19
2.4.2 Ensemblesfinis........................................ 19
2.4.3 Ensemblesinfinis....................................... 20
3 Espaces vectoriels 21
3.1 Généralités .............................................. 21
3.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 Structuredegroupe ..................................... 22
i

3.2 Structured’espacevectoriel ..................................... 22
3.3 Sous-espacesvectoriels........................................ 24
3.3.1 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 Sous-espace engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Familles génératrices, familles libres et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Théoriedeladimension ....................................... 27
3.5.1 Généralités .......................................... 27
3.5.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Applications linéaires 31
4.1 Généralités .............................................. 31
4.2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Projecteursetsymétries ....................................... 33
4.4 Familles de vecteurs et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Casdeladimensionfinie....................................... 34
5 Matrices 37
5.1 Calculmatriciel............................................ 37
5.1.1 Notiondematrice ...................................... 37
5.1.2 Matrice représentative d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.3 L’espace vectoriel (Mn,p(K),+,·).............................. 39
5.1.4 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.5 Matricescarrées ....................................... 41
5.1.6 Matrices écrites par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.7 Rangd’unematrice...................................... 43
5.2 Changementdebases ........................................ 43
6 Systèmes d’équations linéaires 45
6.1 Différentes interprétations d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1.2 Interprétation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.3 Interprétation en termes de combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.4 Interprétation en termes d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Méthode d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.1 Opérationsélémentaires................................... 48
6.2.2 Principe et mise en œuvre de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.3 Exemples ........................................... 50
6.2.4 Autres applications de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II Analyse 55
7 Nombres réels 57
7.1 Rappels ................................................ 57
7.2 Majorant, minorant, bornes supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Propriétésdesnombresréels..................................... 58
7.3.1 Théorèmed’Archimède ................................... 58
7.3.2 Partieentièred’unréel.................................... 59
7.3.3 Valeurabsolued’unréel ................................... 59
7.3.4 Densité de Qdans R..................................... 59
7.4 Intervalles............................................... 59
7.5 Droitenumériqueachevée...................................... 60
ii

8 Suites numériques 61
8.1 Généralités .............................................. 61
8.1.1 Définitionsetpropriétés................................... 61
8.1.2 Opérationssurlessuites................................... 62
8.1.3 Suitesextraites........................................ 62
8.1.4 SuitesdeCauchy....................................... 62
8.1.5 Suitesréellesmonotones................................... 63
8.2 Convergenced’unesuite....................................... 63
8.2.1 Généralités .......................................... 63
8.2.2 Suites réelles tendant vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2.3 Suitesadjacentes....................................... 64
8.2.4 Propriétés d’une suite réelle convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2.5 Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2.6 Propriétés algébriques des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3 Existencedelimites.......................................... 69
8.4 Quelquessuitesparticulières..................................... 72
8.4.1 Suitearithmétique ...................................... 72
8.4.2 Suitegéométrique ...................................... 72
8.4.3 Suite arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.4.4 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9 Fonctions d’une variable réelle 75
9.1 Généralitéssurlesfonctions..................................... 75
9.1.1 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.2 Relation d’ordre pour les fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.3 Propriétés globales des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2 Limites................................................. 78
9.2.1 Notiondelimite ....................................... 78
9.2.2 Ordreetlimite ........................................ 81
9.2.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2.4 Cas des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2.5 Applications équivalentes au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3 Continuité............................................... 84
9.3.1 Définitions .......................................... 84
9.3.2 Opérations algébriques sur les applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.3 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3.4 Continuitéuniforme ..................................... 89
9.3.5 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4 Fonctionshyperboliques ....................................... 90
10 Dérivabilité 91
10.1Dérivées................................................ 91
10.1.1Dérivabilitéenunpoint ................................... 91
10.1.2 Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.1.3Applicationdérivée...................................... 93
10.1.4Dérivéessuccessives ..................................... 93
10.2 Propriétés des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2.1 Extrema locaux d’une fonction réelle dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2.2ThéorèmedeRolle...................................... 96
10.2.3 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2.4 Sens de variation d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.3FormuledeTaylor–Lagrange..................................... 97
iii