Nombres réels et suites numériques 1 Rappels et compléments sur

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 12 au 16 décembre 2016
Nombres réels et suites numériques
1
I
Rappels et compléments sur les nombres réels
Bornes supérieures et inférieures
— Définition des bornes supérieures et inférieures
— Une partie qui admet un plus grand (resp. petit) élément admet une borne supérieure
(resp. inférieure) qui est égale à ce plus grand (resp. petit) élément.
— Si ces quantités existent, inf(A) ≤ sup(A), avec égalité ssi A est un singleton.
— Propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de R admet une borne
supérieure.
— Convention : on convient de noter sup(A) = +∞ (resp. inf(A) = −∞) lorsque la partie
A n’est pas majorée (resp. pas minorée).
II
Archimédianité et approximations décimales
—
—
—
—
N n’est majoré par aucun réel.
Le corps R est archimédien, i.e. ∀a > 0, ∀b ∈ R, ∃ n ∈ N, b < n a.
Toute partie de Z bornée dans R est finie.
Toute partie de Z non vide et majorée (resp. minorée) dans R admet un plus grand (resp.
plus petit) élément.
— Définition des parties entières inférieure et supérieure d’un réel.
— Approximations décimales de x par défaut ou excès à 10−n près.
III
Convexité
— Définition de la convexité d’une partie de R.
— Les convexes de R sont les intervalles.
2
I
II
Généralités sur les suites réelles
Définition et exemples
Propriétés générales des suites
— Suites majorées, minorées, bornées, caractérisation des suites bornées avec la valeur
absolue.
— Suites croissantes, décroissantes, monotones, strictement ..., constantes, stationnaires.
— Suites périodiques, notion de période.
3
Limite d’une suite réelle
I
Définitions
1
Limites finies
— Définition, reformulation en termes d’intervalles.
— Démonstration du fait que n1 → 0.
— Toute suite convergente est bornée.
2
Limites infinies
— Définition, reformulation en
√termes d’intervalles.
— Démonstration du fait que n −→ +∞.
n→+∞
3
II
1
Unicité de la limite
Opérations sur les limites
Cas des limites finies
— Somme, produit, quotient, combinaison linéaire.
— Si u est bornée et lim v = 0, alors lim uv = 0.
2
Cas des limites infinies
—
—
—
—
—
—
—
—
III
Limites et ordre
—
—
—
—
4
Somme d’une suite minorée par une suite tendant vers +∞. Analogue en −∞.
Forme indéterminée “−∞ + ∞”
Si lim u = ±∞ et lim v = ` ∈ R \ {0}, alors lim uv = sgn(`) lim u,
Forme indéterminée ∞ × 0.
Limite par valeurs strictement supérieures (inférieures).
Inverse d’une limite infinie.
Inverse d’une limite “0+ ” ou “0− ”.
Comportement des suites (nα )n , où le paramètre α est réel.
Passage à la limite dans une inégalité large. Cela ne conserve pas les inégalités strictes.
Théorème de convergence par encadrement.
Théorème de divergence par minoration ou majoration.
Comportement des suites (an )n , avec a ∈ R.
Suites monotones
— Théorème de la limite monotone.
— Définitions des suites adjacentes, théorème des suites adjacentes.
2
5
Suites extraites
— Définition d’une suite extraite de u : u ◦ ϕ, avec ϕ : N → N strictement croissante, notée
(uϕ(n) )n , (uϕ(k) )k ou (unk )k ,
— Une suite extraite d’une suite extraite de u est une suite extraite de u.
— Si une suite u tend vers une limite ` ∈ R, alors toute suite extraite de u tend aussi vers `.
— Si deux suites extraites d’une même suite u admettent des limites différentes, alors la
suite u n’a pas de limite.
— Si les suites extraites de rangs pairs de de rangs impairs (u2k )k et (u2k+1 )k tendent vers
une même limite ` ∈ R, alors la suite u tend aussi vers `.
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Itérations de fonctions
Suites définies par
®
u0 ∈ D f
.
∀n ∈ N, un+1 = f (un )
— Définition pour tout n si u0 appartient à une partie E de D f stable par f ( f (E) ⊂ E).
— Notion de point fixe de f et suite constante associée.
— Étude graphique : point fixes et itérations successives de u0 par f , conjectures sur la
monotonie et les limites.
— Démonstration des conjectures de monotonie : cas “∀x ∈ E, f (x) > x” (resp. <), démonstration par récurrence, ou autre.
— Démonstration des existences de limites le plus souvent par le théorème de la limite
monotone.
— Pour les valeurs des limites, on peut utiliser le “théorème” suivant : si la suite est convergente de limite ` et la fonction f est continue en `, alors ` est un point fixe de f .
— Résultat “hors-programme” mais qu’il faut connaître et redémontrer dans les cas où il
s’applique : si f est croissante sur une partie E de D f stable par f et u0 ∈ E, alors u est
monotone.
7
Suites à valeurs complexes
—
—
—
—
—
Définition de la limite analogue à celle des suites réelles, interprétation graphique (disques).
Traduction en termes de parties réelles et imaginaires.
Unicité de la limite par unicité de la limite dans R.
Suites complexes bornées, toute suite convergente est bornée.
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient.
Systèmes d’équations linéaires
Comme précédemment K désignera soit le corps R, soit le corps C.
3
1
I
Généralités
Systèmes linéaires
— Équation linéaire à p inconnues (xi , i ∈ [[1, p]]),
— Exemples d’équations de droites en dimension 2 et de plans en dimension 3,
— Système S de n équations linéaires à p inconnues (∀i ∈ [[1, n]],
p
X
ai, j x j = bi ),
j=1
— Système linéaire homogène associé H , seconds membres,
II
Représentation matricielle
On représente un système linéaire d’une part par le tableau A à n lignes et p colonnes des
coefficients ai, j ((i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, p]]), qu’on appelle matrice du système H , et d’autre part
par le tableau B à n lignes et une colonne des bi (i ∈ [[1, n]]), qu’on appelle vecteur colonne
(ou matrice colonne) des seconds membres. On représente la donnée totale du système dans
un tableau (A|B) à n lignes et p + 1 colonnes formé en juxtaposant A et B, séparés par un trait
vertical, appelé matrice augmentée du système S .
III
Opérations élémentaires sur les lignes
— On traite simultanément le cas des systèmes et des matrices : échange de deux lignes
(Li ↔ L j , i 6= j), ajout à une ligne d’un multiple d’une autre (Li ← Li + λL j , i 6= j),
produit d’une ligne par un scalaire non nul (Li ← λLi , λ 6= 0).
— Équivalence par lignes : deux systèmes linéaires (resp. matrices, resp matrices augmentées) sont équivalents par lignes si l’on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie
d’opérations sur les lignes. On notera S ∼ S 0 (resp. A ∼ A0 , resp. (A|B) ∼(A0 |B0 )). L’équiL
L
L
valence par lignes est une relation d’équivalence sur l’ensemble des systèmes linéaires
(resp. sur l’ensemble des matrices, resp. sur l’ensemble des matrices augmentées). Si
deux systèmes sont équivalents par lignes, alors ils sont équivalents d’un point de vue
logique, c’est-à-dire qu’ils ont le même ensemble de solutions. Deux systèmes linéaires
sont équivalents par lignes si et seulement si leur matrices augmentées le sont.
2
I
Échelonnement et algorithme du pivot
Matrices échelonnées
Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
1. Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi ;
2. À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non
nul à partir de la gauche est situé plus à droite que le premier coefficient non nul de la
ligne précédente.
L’échelonnement se traduit par le fait que la matrice vérifie un schéma “en escalier”, à marches
éventuellement inégales. Pour une matrice échelonnée, on appelle pivot le premier coefficient
non nul de chaque ligne non nulle. Une matrice échelonnée par lignes est dite échelonnée réduite
4
par lignes si (elle est nulle ou si) tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non
nuls de leur colonne. Le résultat fondamental de ce chapitre est le suivant :
Théorème. Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite
par lignes. On admet l’unicité, qui peut se montrer à l’aide des outils d’algèbre linéaire qu’on
verra au second semestre. L’existence repose sur l’algorithme du pivot de Gauβ-Jordan, qu’on
décrit ci-dessous.
II
Algorithme du pivot
Soit A une matrice à n lignes et p colonnes. Cet algorithme mène par une suite d’opérations
élémentaires sur les lignes à l’unique matrice échelonnée réduite par lignes qui est équivalente
par lignes à la matrice A. Il se compose de trois étapes :
1. La descente, qui mène à une matrice échelonnée par lignes ;
2. La remontée, qui mène à une matrice échelonnée par lignes telle que les pivots sont les
seuls éléments non nuls de leur colonne ;
3. La normalisation, qui mène à une matrice échelonnée réduite par lignes.
Les étapes de remontée et de normalisation peuvent éventuellement être interverties.
Pour la commodité de la description des algorithmes, on prend la convention d’appeler toujours ai, j les coefficients des différentes matrices obtenues après chaque opération élémentaire.
Cette convention est cohérente avec la vision informatique des choses, où la variable représentant la matrice garde le même nom tout en étant sans cesse modifée.
Descente : Le principe de la descente est d’échelonner la matrice colonne par colonne, dans le
sens des indices croissants.
Initialisation : Si la première colonne est entièrement nulle, elle convient. Sinon, quitte à
échanger des lignes, on s’arrange pour que le coefficient a1,1 (le pivot) soit non nul. On fait
ai,1
L1 pour i ∈ [[2, n]] ce qui fait apparaître des 0 sous le pivot.
ensuite les opérations Li ← Li − a1,1
Hérédité : Supposons qu’on ait déja “échelonné” une partie de la matrice jusquà la colonne
j0 − 1 < p comprise, le dernier pivot exhibé (i.e. le plus à droite) étant dans une colonne j < j0
et en ligne i0 − 1. On considère alors la colonne j0 .
— Si les coefficients ai, j0 pour i ≥ i0 sont nuls, alors la colonne j0 convient.
— Sinon, quitte à faire des échanges de lignes, on peut s’arranger pour que ai0 , j0 6= 0 : c’est
alors notre pivot, dont on se sert pour faire apparaître des 0 en dessous de lui, par les
opérations élémentaires
Li ← Li −
ai, j0
Li , pour i ∈ [[i0 + 1, n]]
ai0 , j0 0
puis la colonne j0 convient.
On continue ainsi jusqu’à la dernière colonne et on obtient une matrice échelonnée par lignes.
Remontée : on parcourt cette fois les colonnes par ordre décroissant des indices, et dans
chaque colonne contenant un pivot, on effectue des opérations élémentaires pour faire apparaître des 0 au dessus du pivot : si la colonne a comme indice j0 et le pivot est en ligne i0 , on
effectue :
ai, j0
Li ← Li −
Li , pour i ∈ [[1, i0 − 1]].
ai0 , j0 0
Remarquer qu’on peut faire ces opérations-là en “remontant” cette colonne ou en la descendant
car ces opérations sont indépendantes les unes des autres.
5
À la fin de cette étape, on a une matrice échelonnée, dont chaque pivot est le seul élément
non nul de sa colonne.
Normalisation : il suffit alors de multiplier chaque ligne contenant un pivot par l’inverse de ce
pivot pour obtenir une matrice échelonnée réduite par ligne.
3
Ensemble des solutions d’un système linéaire
On applique l’algorithme du pivot à la matrice A mais en faisant les opérations élémentaires
nécessaires directement sur la matrice augmentée (A|B). À la fin de la descente, on peut définir
les inconnues principales (correspondant aux colonnes contenant un pivot) et les inconnues secondaires ou paramètres (les autres). On peut aussi dire à cet instant si le système est compatible
(toutes les lignes de la matrice augmentée transformée ayant leurs p premiers coefficients nuls
sont nulles et le système aura alors des solutions, d’après la suite de l’algorithme du pivot) ou
incompatible (dans ce cas il est immédiat qu’il n’y a pas de solutions). On peut aussi définir à
cet instant le rang du système comme le nombre de pivots et donc le nombre de paramètres est
égal à la différence du nombre d’inconnues et du rang.
En poursuivant l’algorithme du pivot (remontée et normalisation), puis en revenant à l’écriture du système et passant les paramètres au second membre, on obtient l’expression des solutions du système linéaire : on donne différentes écritures de cette forme paramétrique. Interprétation : description des solutions comme somme d’une solution particulière du système avec
second membre et de la “solution générale” du système homogène associé.
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
—
—
—
—
Limite d’un produit de suites convergentes ;
Théorème de la limite monotone : cas d’une suite croissante et majorée dans R ;
Théorème des suites adjacentes (convergence des deux suites et limite commune).
Pour toute matrice, existence d’une matrice échelonnée réduite par lignes qui lui est
équivalente par ligne, par la description de l’algorithme du pivot de Gauβ-Jordan.
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