Nombres réels et suites numériques 1 Rappels et compléments sur

Lycée Berthollet PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 12 au 16 décembre 2016
Nombres réels et suites numériques
1 Rappels et compléments sur les nombres réels
I Bornes supérieures et inférieures
— Définition des bornes supérieures et inférieures
— Une partie qui admet un plus grand (resp. petit) élément admet une borne supérieure
(resp. inférieure) qui est égale à ce plus grand (resp. petit) élément.
— Si ces quantités existent, inf(A)≤sup(A), avec égalité ssi Aest un singleton.
— Propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de Radmet une borne
supérieure.
—Convention : on convient de noter sup(A)=+∞(resp. inf(A) = −∞) lorsque la partie
An’est pas majorée (resp. pas minorée).
II Archimédianité et approximations décimales
—Nn’est majoré par aucun réel.
— Le corps Rest archimédien,i.e. ∀a>0,∀b∈R,∃n∈N,b<na.
— Toute partie de Zbornée dans Rest finie.
— Toute partie de Znon vide et majorée (resp. minorée) dans Radmet un plus grand (resp.
plus petit) élément.
— Définition des parties entières inférieure et supérieure d’un réel.
— Approximations décimales de xpar défaut ou excès à 10−nprès.
III Convexité
— Définition de la convexité d’une partie de R.
— Les convexes de Rsont les intervalles.
2 Généralités sur les suites réelles
I Définition et exemples
II Propriétés générales des suites
— Suites majorées, minorées, bornées, caractérisation des suites bornées avec la valeur
absolue.
— Suites croissantes, décroissantes, monotones, strictement ..., constantes, stationnaires.
— Suites périodiques, notion de période.

3 Limite d’une suite réelle
I Définitions
1 Limites finies
— Définition, reformulation en termes d’intervalles.
— Démonstration du fait que 1
n→0.
— Toute suite convergente est bornée.
2 Limites infinies
— Définition, reformulation en termes d’intervalles.
— Démonstration du fait que √n−→
n→+∞+∞.
3 Unicité de la limite
II Opérations sur les limites
1 Cas des limites finies
— Somme, produit, quotient, combinaison linéaire.
— Si uest bornée et limv=0, alors limuv =0.
2 Cas des limites infinies
— Somme d’une suite minorée par une suite tendant vers +∞. Analogue en −∞.
— Forme indéterminée “−∞+∞”
— Si limu=±∞et limv=`∈R\{0}, alors limuv =sgn(`)limu,
— Forme indéterminée ∞×0.
— Limite par valeurs strictement supérieures (inférieures).
— Inverse d’une limite infinie.
— Inverse d’une limite “0+” ou “0−”.
— Comportement des suites (nα)n, où le paramètre αest réel.
III Limites et ordre
— Passage à la limite dans une inégalité large. Cela ne conserve pas les inégalités strictes.
— Théorème de convergence par encadrement.
— Théorème de divergence par minoration ou majoration.
— Comportement des suites (an)n, avec a∈R.
4 Suites monotones
— Théorème de la limite monotone.
— Définitions des suites adjacentes, théorème des suites adjacentes.
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5 Suites extraites
— Définition d’une suite extraite de u:u◦ϕ, avec ϕ:N→Nstrictement croissante, notée
(uϕ(n))n,(uϕ(k))kou (unk)k,
— Une suite extraite d’une suite extraite de uest une suite extraite de u.
— Si une suite utend vers une limite `∈R, alors toute suite extraite de utend aussi vers `.
— Si deux suites extraites d’une même suite uadmettent des limites différentes, alors la
suite un’a pas de limite.
— Si les suites extraites de rangs pairs de de rangs impairs (u2k)ket (u2k+1)ktendent vers
une même limite `∈R, alors la suite utend aussi vers `.
6 Itérations de fonctions
Suites définies par
®u0∈Df
∀n∈N,un+1=f(un).
— Définition pour tout nsi u0appartient à une partie Ede Dfstable par f(f(E)⊂E).
— Notion de point fixe de fet suite constante associée.
— Étude graphique : point fixes et itérations successives de u0par f, conjectures sur la
monotonie et les limites.
— Démonstration des conjectures de monotonie : cas “∀x∈E,f(x)>x” (resp. <), dé-
monstration par récurrence, ou autre.
— Démonstration des existences de limites le plus souvent par le théorème de la limite
monotone.
— Pour les valeurs des limites, on peut utiliser le “théorème” suivant : si la suite est conver-
gente de limite `et la fonction fest continue en `, alors `est un point fixe de f.
— Résultat “hors-programme” mais qu’il faut connaître et redémontrer dans les cas où il
s’applique : si fest croissante sur une partie Ede Dfstable par fet u0∈E, alors uest
monotone.
7 Suites à valeurs complexes
— Définition de la limite analogue à celle des suites réelles, interprétation graphique (disques).
— Traduction en termes de parties réelles et imaginaires.
— Unicité de la limite par unicité de la limite dans R.
— Suites complexes bornées, toute suite convergente est bornée.
— Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient.
Systèmes d’équations linéaires
Comme précédemment Kdésignera soit le corps R, soit le corps C.
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1 Généralités
I Systèmes linéaires
— Équation linéaire à pinconnues (xi,i∈[[1,p]]),
— Exemples d’équations de droites en dimension 2 et de plans en dimension 3,
— Système Sde néquations linéaires à pinconnues (∀i∈[[1,n]],
p
X
j=1
ai,jxj=bi),
— Système linéaire homogène associé H, seconds membres,
II Représentation matricielle
On représente un système linéaire d’une part par le tableau Aànlignes et pcolonnes des
coefficients ai,j((i,j)∈[[1,n]] ×[[1,p]]), qu’on appelle matrice du système H, et d’autre part
par le tableau Bànlignes et une colonne des bi(i∈[[1,n]]), qu’on appelle vecteur colonne
(ou matrice colonne) des seconds membres. On représente la donnée totale du système dans
un tableau (A|B)ànlignes et p+1 colonnes formé en juxtaposant Aet B, séparés par un trait
vertical, appelé matrice augmentée du système S.
III Opérations élémentaires sur les lignes
— On traite simultanément le cas des systèmes et des matrices : échange de deux lignes
(Li↔Lj,i6=j), ajout à une ligne d’un multiple d’une autre (Li←Li+λLj,i6=j),
produit d’une ligne par un scalaire non nul (Li←λLi,λ6=0).
—Équivalence par lignes : deux systèmes linéaires (resp. matrices, resp matrices augmen-
tées) sont équivalents par lignes si l’on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie
d’opérations sur les lignes. On notera S∼
LS0(resp. A∼ LA0, resp. (A|B)∼ L(A0|B0)). L’équi-
valence par lignes est une relation d’équivalence sur l’ensemble des systèmes linéaires
(resp. sur l’ensemble des matrices, resp. sur l’ensemble des matrices augmentées). Si
deux systèmes sont équivalents par lignes, alors ils sont équivalents d’un point de vue
logique, c’est-à-dire qu’ils ont le même ensemble de solutions. Deux systèmes linéaires
sont équivalents par lignes si et seulement si leur matrices augmentées le sont.
2 Échelonnement et algorithme du pivot
I Matrices échelonnées
Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
1. Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi ;
2. À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non
nul à partir de la gauche est situé plus à droite que le premier coefficient non nul de la
ligne précédente.
L’échelonnement se traduit par le fait que la matrice vérifie un schéma “en escalier”, à marches
éventuellement inégales. Pour une matrice échelonnée, on appelle pivot le premier coefficient
non nul de chaque ligne non nulle. Une matrice échelonnée par lignes est dite échelonnée réduite
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par lignes si (elle est nulle ou si) tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non
nuls de leur colonne. Le résultat fondamental de ce chapitre est le suivant :
Théorème. Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite
par lignes. On admet l’unicité, qui peut se montrer à l’aide des outils d’algèbre linéaire qu’on
verra au second semestre. L’existence repose sur l’algorithme du pivot de Gauβ-Jordan, qu’on
décrit ci-dessous.
II Algorithme du pivot
Soit Aune matrice à nlignes et pcolonnes. Cet algorithme mène par une suite d’opérations
élémentaires sur les lignes à l’unique matrice échelonnée réduite par lignes qui est équivalente
par lignes à la matrice A. Il se compose de trois étapes :
1. La descente, qui mène à une matrice échelonnée par lignes ;
2. La remontée, qui mène à une matrice échelonnée par lignes telle que les pivots sont les
seuls éléments non nuls de leur colonne ;
3. La normalisation, qui mène à une matrice échelonnée réduite par lignes.
Les étapes de remontée et de normalisation peuvent éventuellement être interverties.
Pour la commodité de la description des algorithmes, on prend la convention d’appeler tou-
jours ai,jles coefficients des différentes matrices obtenues après chaque opération élémentaire.
Cette convention est cohérente avec la vision informatique des choses, où la variable représen-
tant la matrice garde le même nom tout en étant sans cesse modifée.
Descente : Le principe de la descente est d’échelonner la matrice colonne par colonne, dans le
sens des indices croissants.
Initialisation : Si la première colonne est entièrement nulle, elle convient. Sinon, quitte à
échanger des lignes, on s’arrange pour que le coefficient a1,1(le pivot) soit non nul. On fait
ensuite les opérations Li←Li−ai,1
a1,1L1pour i∈[[2,n]] ce qui fait apparaître des 0 sous le pivot.
Hérédité : Supposons qu’on ait déja “échelonné” une partie de la matrice jusquà la colonne
j0−1<pcomprise, le dernier pivot exhibé (i.e. le plus à droite) étant dans une colonne j<j0
et en ligne i0−1. On considère alors la colonne j0.
— Si les coefficients ai,j0pour i≥i0sont nuls, alors la colonne j0convient.
— Sinon, quitte à faire des échanges de lignes, on peut s’arranger pour que ai0,j06=0 : c’est
alors notre pivot, dont on se sert pour faire apparaître des 0 en dessous de lui, par les
opérations élémentaires
Li←Li−ai,j0
ai0,j0
Li0,pour i∈[[i0+1,n]]
puis la colonne j0convient.
On continue ainsi jusqu’à la dernière colonne et on obtient une matrice échelonnée par lignes.
Remontée : on parcourt cette fois les colonnes par ordre décroissant des indices, et dans
chaque colonne contenant un pivot, on effectue des opérations élémentaires pour faire appa-
raître des 0 au dessus du pivot : si la colonne a comme indice j0et le pivot est en ligne i0, on
effectue :
Li←Li−ai,j0
ai0,j0
Li0,pour i∈[[1,i0−1]].
Remarquer qu’on peut faire ces opérations-là en “remontant” cette colonne ou en la descendant
car ces opérations sont indépendantes les unes des autres.
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