LES LOIS DE PROBABILITES AU BTS LOI BINOMIALE : X, une

LES LOIS DE PROBABILITES AU BTS
1. LOI BINOMIALE :
X, une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n et p : B(n ;p) si et seulement si :

le nombre n d’épreuves est fixé à l’avance.


Toutes les épreuves sont identiques et indépendantes.
La probabilité p d’obtenir un succès est constante d’une épreuve à l’autre.
Dans ces conditions :
Espérance : E(X)=np
Ecart type : = √𝑛𝑝(1 − 𝑝 ) .
Sur calculatrice : X suit la loi B(n ;p)
Sur T.I : Pour calculer P(X=k) : binomFdp(n,p,k) (la virgule se trouve sur l’écran)
Pour calculer P(X≤k) : binomFRèp(n,p,k)
Sur Casio : dans le menu STAT ;on accède à la loi binomiale par DIST/BINM puis
pour calculer P(X=k) on utilise l’instruction Bpd et pour calculer P(X≤k) on utilise Bcd.
2. LOI NORMALE :
X, une variable aléatoire suit la loi normale de moyenne  et d’écart type 
(Attention, parfois, c’est ² qui est donné, il faut être attentif à l’énoncé).
Si la variable aléatoire X suit la loi
normale de moyenne  et d’écart type 
alors : ● P( –  X  +  ) = 0,68
 P( – 2 X  + 2 ) = 0,95
 P( – 3 X  + 3 ) = 0,997
Calculatrice :
Sur T.I : P(a < 𝑿 < 𝒃) =normalFrèp(a,b, ,)
P(X< 𝒃) = normalFrèp(–10^99,b, ,)
P(X> 𝒂) =normalFrèp(a,10^99, ,)
Sur Casio : dans le menu STAT ;on accède à la loi
normale par DIST/NORM puis Ncd .
On peut remplacer –∞ par – 10^99 ou + ∞ par 10^99 .
Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
si n est « grand » et si p n’est « ni trop voisin de 0 , ni trop voisin de 1 », alors la loi binomiale B(n ;p)
admet pour approximation la loi normale de moyenne  et d’écart type  avec  = np et  = √𝑛𝑝(1 − 𝑝 )
.
3. LOI EXPONENTIELLE :
Si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre  alors :
1. P( a  X  b ) = 𝑒 −𝜆𝑎 – 𝑒 −𝜆𝑏
1
2. P( X t ) = 1 – 𝑒 −𝜆𝑡
Espérance
de
X
=
𝜆
3. P( X t ) = 𝑒 −𝜆𝑡
Sur calculatrice, on peut programmer un algorithme simple qui demande chaque borne du
calcul ; on peut aussi utiliser les formules.
4. LOI DE POISSON :
Si X , une variable aléatoire suit une loi
de Poisson de paramètre  ; alors :
Espérance de X : E(X) =  .
Ecart type : (X)=√𝜆
Tous les calculs sont effectués avec une
calculatrice ou un logiciel.
Sur calculatrice : X suit la loi de Poisson de paramètre 𝝀
Sur T.I : Pour calculer P(X=k) : poissonFdp(𝝀,k) (la virgule se trouve sur l’écran)
Pour calculer P(X≤k) : poissonFRèp(𝝀,k)
Sur Casio : dans le menu STAT ;on accède à la loi de Poisson par DIST/POISN puis
pour calculer P(X=k) on utilise l’instruction Ppd et pour calculer P(X≤k) on utilise Pcd.
Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson :
On admet que si n est « grand », p « voisin de 0 » et np pas trop grand, alors la loi binomiale de
paramètres n et p ; B(n ;p) peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre  , le
paramètre de cette loi est :  = np