3 approximation de Poisson

1
Approximation d’une loi binomiale par une
loi de POISSON
Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson.................................. 2
Exercices pour se convaincre de la validité de l’approximation ........................... 3
Solution des exercices 1 et 2 ................................................................................. 4
Remarques intéressantes ....................................................................................... 5
Un choix de loi de POISSON ................................................................................ 6
Un choix du paramètre n d’une loi binomiale ....................................................... 7

2
Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres
)p,n(
.
)p,n(BX 
Donc :
1) les valeurs possibles de X sont
n.........;;2;1;0
2) les probabilités correspondantes sont
n,.......,2,1,0kpour
kn
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P 
.
Lorsque n est « grand »
)30n( 
et lorsque
pn
est « petit »
)10pn( 
alors,
on peut approcher la loi binomiale
)p,n(B
par la loi de POISSON
P
de
paramètre avec
pn
.
Information
Les conditions
)30n( 
)10pn( 
qui permettent l’approximation par une loi
de Poisson de paramètre
pn
ne sont que des indications d’ordre de
grandeur et peuvent être modifiées selon le contexte.
Remarque
Si n est « grand » et si
pn
est petit alors p est « très petit ».
Ici p représente une probabilité, un événement de probabilité très petite est
souvent appelé « un accident » ; les Lois de POISSON sont parfois appelées
« lois des accidents ».
Ce que veut dire : « approcher la loi binomiale
)p,n(B
par la loi de
POISSON
P
de paramètre avec
pn
»
La variable aléatoire X suit la loi
)p,n(B
, les valeurs possibles de X
sont
n;;.........2;1;0
les probabilités correspondantes sont
n,.......,2,1,0kpour
kn
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P 
.
Si n est « grand » et si
pn
est petit alors :
pnavece
!k
k
kn
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P:n,.,2,1,0kpour 
On obtient une bonne approximation des valeurs des probabilités en
calculant avec les formules de la loi de POISSON.

3
Exercices pour se convaincre de la validité de l’approximation
Exercice 1
X suit la loi binomiale de paramètres
.05,0pet30n
On note
05,030pn: 
.
Remplir le tableau suivant :
k
0
1
2
P(X=k)
e
!k
k
e
!k
k)kX(P
Exercice 1
Y suit la loi binomiale de paramètres
.05,0pet100n
1) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire ?
2) Donner l’espérance mathématique, la variance, l’écart de Y.
3) Par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable aléatoire Y ?
4) On note
05,0100pn: 
.
Remplir le tableau suivant :
k
0
1
2
P(X=k)
e
!k
k
 e
!k
k
)kX(P

4
Solution des exercices 1 et 2
Solution de l’exercice 1
X suit la loi binomiale de paramètres
.05,0p,30n
On note
5,105,030pn: 
.
k
0
1
2
P(X=k)
214638764.0
30
95,0
0
05,0
0
30
C
...338,0
29
95,005,0
1
30
C
...258,0
28
95,0
2
05,0
2
30
C
e
!k
k
223130160,0
5,1
e
5,1
e5,1
0334...
5,1
e
!2
2
5,1
0,251...
 e
!k
k
)kX(P
...00849,0
...004,0
007,0
Solution de l’exercice 2
Y suit la loi binomiale de paramètres
.05,0pet100n
1)1es valeurs possibles de Y sont
100.........;;2;1;0
95,05)Y(95,05)Y(V5)Y(E)2 
3) On peut approcher la loi de Y par la loi de POISSON de paramètre
5
.
On note
05,0100pn: 
.
4) Tableau
k
0
1
2
P(X=k)
...00592,0
99
95,005,0100 
98
95,0
2
05,0
299100 
e
!k
k
...00674,0
5
e5 
5
e5,12 
 e
!k
k
)kX(P
...0008,0
0025,0
003,0

5
Remarques intéressantes
X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
)p,n(B
telle
que
10pnet30n
.
Y est une variable aléatoire qui suit la loi de POISSON de paramètre tel que :
.pn 
On sait que :
k)P(Yk)P(X alorsn à égalou inférieur entier un est k si)3
.....1;........n n;.....;0;1;2,.... sont Y de possibles valeursles )2
n .....;0;1;2,.... sont X de possibles valeursles1)
Remarque
Si
nk 
, k n’est pas une valeur prise par la variable aléatoire X mais c’est une
valeur prise par la variable aléatoire Y.
Les espérances mathématiques
pn)Y(Epn)X(E 
Les espérances mathématiques de X et de Y sont égales
Les variances
Les variances ne sont pas égales :
pn)Y(V)p1(pn)X(V 
.
2
pn)Y(V)X(V 