3 approximation de Poisson
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1 Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson.................................. 2 Exercices pour se convaincre de la validité de l’approximation ........................... 3 Solution des exercices 1 et 2 ................................................................................. 4 Remarques intéressantes ....................................................................................... 5 Un choix de loi de POISSON ................................................................................ 6 Un choix du paramètre n d’une loi binomiale ....................................................... 7 2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres (n, p) . X B(n, p) Donc : 1) les valeurs possibles de X sont 0;1; 2;.........; n 2) les probabilités correspondantes sont k P(X k ) C p k (1 p) n k pour k 0,1,2,.......,n . n Lorsque n est « grand » ( n 30) et lorsque n p est « petit » (n p 10) alors, on peut approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi de POISSON P de paramètre avec n p . Information Les conditions ( n 30) (n p 10) qui permettent l’approximation par une loi de Poisson de paramètre n p ne sont que des indications d’ordre de grandeur et peuvent être modifiées selon le contexte. Remarque Si n est « grand » et si n p est petit alors p est « très petit ». Ici p représente une probabilité, un événement de probabilité très petite est souvent appelé « un accident » ; les Lois de POISSON sont parfois appelées « lois des accidents ». Ce que veut dire : « approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi de POISSON P de paramètre avec n p » La variable aléatoire X suit la loi B(n, p) , les valeurs possibles de X sont 0;1;2;.........; nles probabilités correspondantes sont k P(X k ) C p k (1 p) n k pour k 0,1,2,.......,n . n Si n est « grand » et si n p est petit alors : k k k n k pour k 0,1,2,., n : P(X k ) C p (1 p) e avec n p k! n On obtient une bonne approximation des valeurs des probabilités en calculant avec les formules de la loi de POISSON. 3 Exercices pour se convaincre de la validité de l’approximation Exercice 1 X suit la loi binomiale de paramètres n 30 et p 0,05. On note : n p 30 0,05 . Remplir le tableau suivant : 0 1 2 k P(X=k) k e k! P( X k ) k e k! Exercice 1 Y suit la loi binomiale de paramètres n 100 et p 0,05. 1) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire ? 2) Donner l’espérance mathématique, la variance, l’écart de Y. 3) Par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable aléatoire Y ? 4) On note : n p 100 0,05 . Remplir le tableau suivant : 0 1 2 k P(X=k) k e k! k P( X k ) e k! 4 Solution des exercices 1 et 2 Solution de l’exercice 1 X suit la loi binomiale de paramètres n 30, p 0,05. On note : n p 30 0,05 1,5 . 0 1 2 k P(X=k) 0 0,050 0,9530 C1 0,05 0,95 29 C 2 0,05 2 0,95 28 C30 30 30 0,258 ... 0,338 ... 0.214638764 e 1,5 0,223130160 1,5e 1,5 0334... k 1,52 1,5 e 0,251... e 2! k! 0,004... 0,007 0,00849 ... k P( X k ) e k! Solution de l’exercice 2 Y suit la loi binomiale de paramètres n 100 et p 0,05. 1)1es valeurs possibles de Y sont 0;1; 2;.........;100 2) E(Y) 5 V(Y) 5 0,95 (Y) 5 0,95 3) On peut approcher la loi de Y par la loi de POISSON de paramètre 5 . On note : n p 100 0,05 . 4) Tableau 0 1 2 k 0,00592 ... 100 0,05 0,9599 100 99 P(X=k) 0,052 0,9598 2 0 , 00674 ... 5 5e 12,5 e 5 k e k! 0,0008... 0,0025 0,003 k P( X k ) e k! 5 Remarques intéressantes X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p) telle que n 30 et n p 10 . Y est une variable aléatoire qui suit la loi de POISSON de paramètre tel que : n p. On sait que : 1) les valeurs possibles de X sont 0;1;2,.........;n 2) les valeurs possibles de Y sont 0;1;2,.........;n; n 1;............. 3) si k est un entier inférieur ou égal à n alors P(X k) P(Y k) Remarque Si k n , k n’est pas une valeur prise par la variable aléatoire X mais c’est une valeur prise par la variable aléatoire Y. Les espérances mathématiques E ( X) n p E ( Y) n p Les espérances mathématiques de X et de Y sont égales Les variances Les variances ne sont pas égales : V(X) n p (1 p) V(Y) n p . V(X) V(Y) n p 2 6 Un choix de loi de POISSON Question Si Y suit la loi de Poisson de paramètre , comment choisir afin que la probabilité pour que Y soit au moins égal à 1 dépasse une probabilité donnée ? Réponse La probabilité pour que Y soit au moins égal à 1est : P(Y 1) 1 P(Y 0) Puisque Y suit la loi de Poisson de paramètre : P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 e Soit g la probabilité à dépasser : 0 g 1 et P(Y 1) 1 e g e 1 g donc : ln(1 g) On doit avoir : ln(1 g) Remarque ln(1 g) 0 puisque 0 1 g 1 donc ln(1 g) 0. Par exemple : si g 0,9 alors il faut choisir ln( 0,20) 1,6094 Question Comment doit-on choisir le paramètre de la loi de POISSON suivie par Y 1 pour que P(Y 1) ? 2 1 Réponse ln ln 2 0,693. 2 7 Un choix du paramètre n d’une loi binomiale X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p) . La probabilité p étant fixée on veut trouver les valeurs de n pour lesquelles : P(X 1) g avec 0 g 1. P(X 1) 1 P(X 0) 1 (1 p) n 1 (1 p) n g veut dire : (1 p) n 1 g donc : n ln(1 p) ln(1 g). Attention Comme 0 1 p 1 :ln(1 p) 0. Lorsque l’on divise une inégalité par un nombre négatif cette inégalité change de sens 1n (1 g) n ln(1 p) 1 g devient n ln(1 p) Travail à faire La probabilité de gagner au loto est : p C 1 6 49 Si on joue une fois par semaine trouver combien de semaines on doit prévoir pour avoir au moins une chance sur deux de gagner au moins une fois à ce jeu ? On nomme n ce nombre de semaines et on appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on gagnera pendant ce temps. Donner la loi de POISSON qui approche la loi de la variable aléatoire X (son paramètre sera donné au plus près à 4 décimale après la virgule). A l’aide de cette loi, donner la probabilité de gagner au moins 2 fois pendant la durée prévue pour gagner au moins une fois (avec une probabilité d’au moins 0,5).
