32. Approximation d`une loi binomiale par une loi de POISSON

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Approximation des lois
binomiales par des lois
de POISSON ou des
lois NORMALES
32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON ....................... 1
33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE ......................... 2
34. Approximation des lois binomiales (synthèse) ............................................... 3
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32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ).
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
n!
k
5 k avec Ck 
P( X  k )  C k
n  p  (1  p)
n
k!(n  k )!
Si maintenant l’entier n est grand ( n  30 convient en général ) les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Lorsque n  p est petit ( n  p  10 convient en général ) on peut approcher la
( n  p) k
k
k
5

k
valeur de P(X  k )  C n  p  (1  p)
par
 e ( n  p) .
k!
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Soit Y est une variable aléatoire de POISSON de paramètres   n  p.
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ).
Avec les conditions
1) n  30
2) n  p  10
Ton peut affirmer :
P( X  k )  P( Y  k )
pour k  0,1, n .
On dit que la loi de X est approchée par la loi de POISSON de paramètre
  n  p.
Remarque Si l’entier n est grand et si n  p est petit alors la probabilité p est
« très petite ». Un événement de probabilité très petite peut être considéré
comme un accident, la loi de POISSON est souvent dite »loi des accidents ».
Si p est très petit :
E(X)  n  p    E(Y) et (X)  n  p  (1  p)  n  p    (Y)
Exercice 30 X suit la loi B(100; 0,02) . Calculer P(X  1). Donner le paramètre 
de la loi POISSON qui approche la loi de X. Calculer P(Y  1) si Y suit la loi
de POISSON de paramètre  trouvé (vérifier l’approximation).
Réponses   2 .100  0,02  0,9899 .2e  2 .100  0,02  0,9899  2e  2 .
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33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ).
Si maintenant l’entier n est grand ( n  30 convient en général ) les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Si n grand est la probabilité pour que X ait une valeur donnée est presque nulle.
Lorsque n  p n’est pas petit ( n  p  10 convient en général ) on peut approcher
La loi de X par la loi NORMALE de paramètres (m, )
avec m  n  p,   n  p  (1  p
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Ainsi :
 x  m
P( X  x )   

  
Remarque
Si Z suit la loi NORMALE de paramètres m  n  p;   n  p  (1  p) alors
on a bien E(X)  E(Z), (X)  (Z).


Exercice 31 X suit la loi B(10000; 0,02) . Calculer P(X  1). Par quelle loi peut-on
approcher la loi de X. Donner une approximation de P(X  210)
Solution
N(200, 200  0,98 )

10

 200  0,98




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34. Approximation des lois binomiales (synthèse)
Onp petit (<10 ?)

POISSON
PARAMETRE 
DE
 np
B (n, p)
On est
grand
(n>30 ?)
Onp pas petit :
NORMALE DE
PARAMETRES
(m, )
m  np
  n  p  (1  p)
Exercice 32
X suit une loi binomiale de paramètres (n; p).
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X=k) si n=100 et
p=0.05, puis de P(Xk) pour tout entier k=0,1,…,100.
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X x) pour un réel x si
n=1000 et p=0.05.
Réponses
 x  50 
5k  k
.
P(X  k ) 
e . 

k!
 50  0,95 
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