32. Approximation d`une loi binomiale par une loi de POISSON

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Approximation des lois
binomiales par des lois
de POISSON ou des
lois NORMALES
32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON ....................... 1
33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE ......................... 2
34. Approximation des lois binomiales (synthèse) ............................................... 3
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32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres
).p;n(
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
)!kn(!k !n
k
n
Cavec
k5
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P 
Si maintenant l’entier n est grand
)généralenconvient30n( 
les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Lorsque
pn
est petit
)généralenconvient10pn( 
on peut approcher la
valeur de
k5
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P 
par
.
)pn(
e
!k
k
)pn( 
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Soit Y est une variable aléatoire de POISSON de paramètres
.pn
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres
).p;n(
Avec les conditions
10pn)2
30n)1
Ton peut affirmer :
)kY(P)kX(P 
n,1,0kpour 
.
On dit que la loi de X est approchée par la loi de POISSON de paramètre
.pn 
Remarque Si l’entier n est grand et si
pn
est petit alors la probabilité p est
« très petite ». Un événement de probabilité très petite peut être considéré
comme un accident, la loi de POISSON est souvent dite »loi des accidents ».
Si p est très petit :
)Y(pn)p1(pn)X(et)Y(Epn)X(E  
Exercice 30 X suit la loi
)02,0;100(B
. Calculer
).1X(P 
Donner le paramètre
de la loi POISSON qui approche la loi de X. Calculer
)1Y(P 
si Y suit la loi
de POISSON de paramètre trouvé (vérifier l’approximation).
Réponses
.
2
e2
99
98,002,0100.
2
e2.
99
98,002,0100.2 
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33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres
).p;n(
Si maintenant l’entier n est grand
)généralenconvient30n( 
les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Si n grand est la probabilité pour que X ait une valeur donnée est presque nulle.
Lorsque
pn
n’est pas petit
)généralenconvient10pn( 
on peut approcher
La loi de X par la loi NORMALE de paramètres
),m( 
p1(pn,pnmavec  
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Ainsi :
mx )xX(P
Remarque
Si Z suit la loi NORMALE de paramètres
)p1(pn;pnm  
alors
on a bien
).Z()X(),Z(E)X(E  
Exercice 31 X suit la loi
)02,0;10000(B
. Calculer
).1X(P 
Par quelle loi peut-on
approcher la loi de X. Donner une approximation de
)210X(P 
Solution
)98,0200,200(N 
98,0200
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34. Approximation des lois binomiales (synthèse)
Exercice 32
X suit une loi binomiale de paramètres
).p;n(
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X=k) si n=100 et
p=0.05, puis de P(Xk) pour tout entier k=0,1,…,100.
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X x) pour un réel x si
n=1000 et p=0.05.
Réponses
.
95,050 50x
.
k
e
!k
k
5
)kX(P 
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B (n, p)
On est
grand
(n>30 ?)
Onp petit (<10 ?)
 POISSON DE
PARAMETRE 
pn 
Onp pas petit :
NORMALE DE
PARAMETRES
)p1(pn
pnm
),m(