Si, dans le quatrième cas, on ne voulait connaître que l`angle C, on

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TRl<;OÎJOMÉTRlE.
Si, dans le quatrième
prendrait la formule
cas, on ne voulait connaître que l'angle C, on
cosC = — cosAcosB + sinA sin B cos c
d'où
cosC = — cosA (cosB — sinB tang A c o s n .
Posons
tang A cos c = cot y •
11 viendra
cosC = — cos A ( cosB — sinB cot y ) .
rosi'
ou. en remplaçant c o t o par
——,•
' •
•l
sin y
— cos A sin ( •!/ — B )
COSC =
:
r-1—
cos A sin ( B — -i 'Ï
-' =
-
= i
siny
sin y
Remarque. Comme les côtés et les angles du triangle sphérique considéré sont toujours supposés moindres que 180", les quatre cas que nous
venons d'examiner n'admettent jamais qu'une solution, et les deux derniers sont toujours possibles.
81. CINQUIÈME ET SIXIÈME CAS. On donne deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux ou deiur angles et le côté opposé à l'un d'eux : on
demande de calculer les éléments inconnus.
Supposons qu'on donne a. b. A ou A, B, a. La relation (66)
sinB
sin A
sine
sin«
permettra de trouver l'inconnue B ou l'inconnue /;.
Les inconnues C et c (communes aux deux cas i seront ensuite déterminées à l'aide de deux des formules de Xeper. On aura, par exemple,
sin - (a — b )
tang-C =
c o t - ( A — B),
sin - U/ -t- /; 1
•1
i
tang - c =
sin-(A-HB)
2 '
1
,
tang - -a — b , •
' 2 '
Sini(A-B)
•>-
Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que l'inconnue
sinB ou s i n i tombe entre o et 1 (puisque B ou b est inférieur à 180 0 ).
Admettons que cette condition soit remplie. Les tables donneront pour
B ou b deux valeurs supplémentaires l'une de l'autre. Il s'agit de voir
quand ces valeurs sont toutes deux admissibles.
Remarquons que tang - C et tang - c doivent être positives. Il faut donc
que les différences A — B et a — b soient de même signe, ce qui correspond au théorème suivant démontré en géométrie : Dans tout triangle
sphérique, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté, et réciproquement.
Si la dernière condition indiquée n'est pas rem plie, le triangle sera