Mouvements dans les champs de pesanteur et électrostatiques

Mouvements dans les champs de pesanteur et électrostatiques uniformes
Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Champ de pesanteur uniforme
 La Terre crée, en un point de son voisinage, un champ de pesanteur  défini par
g
=
m
P
où  est le poids d’un
objet de masse m placé en ce point. Ses caractéristiques sont :
 Sa direction : définie par la verticale du lieu ;
 Son sens : vers le bas ;
 Sa valeur : appelée intensité g de la pesanteur au lieu considéré. Au voisinage du sol terrestre, l’intensité g
de la pesanteur a une valeur de 9,8N.kg-1.
 Dans un domaine restreint dont les dimensions ont pour ordre de grandeur le kilomètre, le champ de pesanteur
est identique en direction, sens et intensité : on dit que le champ de pesanteur est uniforme. Dans une telle
région, le vecteur champ de pesanteur est constant.
Application de la deuxième loi de Newton
 Une chute libre n’a lieu que dans le vide : un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
 On étudie le mouvement du projectile dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
 Une fois lâché ou lancé, le projectile n’est soumis qu’à une seule force, son poids
P
.
 La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
P
=m.
Ga
or
P
=m.
g
d’où
Ga
=
g
 Le mouvement d’ensemble est indépendant de la masse du solide.
1) Chute sans vitesse initiale
 Le solide est lâché, sans vitesse, à la date t = 0.
 Le mouvement étant vertical, on note :
kaa 
.
et
kgg 
.
 Projetons l’équation différentielle sur un axe Oz orienté vers le bas :
a =
dt
dv
= g (g>0)
 Une primitive de cette relation donne l’équation horaire de la vitesse :
v = g.t + v(0) ; comme v(0)=0 alors : v = g.t
 Une nouvelle primitive de cette relation donne : z =
2
1
.g.t2 + z(0) ; comme
z(0) = 0 alors : z =
2
1
.g.t2
Chute avec vitesse initiale
Equations horaires
 Un projectile est lancé à une date qui sera prise comme origine des temps.
 Son centre d’inertie G possède alors un vecteur vitesse
0v
faisant un angle α avec le
plan horizontal.
 On choisit un repère (O ;
kji 
 ,,
) tel que l’origine O coïncide avec la position du centre
d’inertie du solide à la date t = 0.
 On projette la relation
Ga
=
g
dans le repère choisi:
 Les coordonnées de l’accélération
Ga
sont
ax =
x
= 0
ay =
y
= 0
az =
z
= -g (g>0)

 Par intégration, on obtient le vecteur vitesse
v
 Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales.
A l’instant t = 0, le vecteur vitesse
0v
a pour coordonnées :
 D’où :
v
 Une nouvelle recherche de primitives donne les équations horaires paramétriques du mouvement :
OG
 A l’instant t = 0, le centre d’inertie G du projectile se trouve au point O, de coordonnées (0,0,0), donc C1 = C2 =
C3 = 0.
 Les équations paramétriques de mouvement du centre d’inertie G d’un projectile dans un champ de pesanteur
terrestre sont :
OG
Equation de la trajectoire
 Pour trouver l’équation de la trajectoire du centre d’inertie d’un projectile, il suffit de remplacer le
paramètre temps t dans l’expression de z par :
t =
cos.0vx
et z = -
2
1
.g.
cos
.2
2
0
2
vx
+ x.tanα
 La trajectoire du centre d’inertie d’un
projectile lancé avec une vitesse
quelconque est une portion de parabole
située dans le plan vertical contenant
0v
.
La parabole est d’axe vertical et sa concavité
tournée vers le bas.
 Les caractéristiques de la parabole obtenue
dépendent des paramètres α et v0, c’est-à-
dire des conditions initiales.
vx =
x
= C1
vy =
y
= C2
vz =
z
= -g .t + C3
v0x = v0.cosα
v0y = 0
v0z = v0.sinα
vx =
x
= v0.cosα
vy =
y
= 0
vz =
z
= -g .t + v0.sinα
x = v0.cosα.t + C1
y = C2
z = -
2
1
.g.t2 + v0.sinα.t + C3
x = (v0.cosα).t
y = 0
z = -
2
1
.g.t2 + (v0.sinα).t

Mouvement dans un champ électrique uniforme
 On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
 On étudie le mouvement d’une particule de masse m et de charge q, placée dans un
champ électrique uniforme (orienté de la plaque chargée positivement vers la
plaque chargée négativement), elle est soumise à une force électrique 
 = q.
,
son poids est considéré comme négligeable devant la force électrique.
 La deuxième loi de Newton donne : 
 = m. = q. 
d’où  = 
 Les coordonnées de l’accélération
Ga
sont
 Par intégration, on obtient le vecteur vitesse
v
 Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales.
A l’instant t = 0, le vecteur vitesse
0v
a pour coordonnées :
 D’où :
v
 Une nouvelle recherche de primitives donne les équations horaires paramétriques du mouvement :
OG
 A l’instant t = 0, le centre d’inertie G du projectile se trouve au point O, de coordonnées (0,0,0), donc C1 = C2 =
C3 = 0.
 Les équations paramétriques de mouvement du centre d’inertie G d’une particule chargée dans un champ
électrique sont :
OG
 D’où l’équation de la trajectoire :
z = -
2
1
.
E.
cos
.2
2
0
2
vx
+ x.tanα
ax =
x
= 0
ay =
y
= 0
az =
z
= -
 E
vx =
x
= C1
vy =
y
= C2
vz =
z
= - 
 E.t + C3
v0x = v0.cosα
v0y = 0
v0z = v0.sinα
vx =
x
= v0.cosα
vy =
y
= 0
vz =
z
= -
 E.t + v0.sinα
x = v0.cosα.t + C1
y = C2
z = -
2
1
.
E.t2 + v0.sinα.t + C3
x = (v0.cosα).t
y = 0
z = -
2
1
.
E.t2 + (v0.sinα).t