M3.9. Petites oscillations au voisinage d`une position d`équilibre. 1

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M3.9. Petites oscillations au voisinage d’une position d’équilibre.
1. Allongement a.
On applique au point Mde masse mla seconde loi de Newton et cela dans le référentiel terrestre supposé
galiléen.
Ce point est soumis à son poids et à la tension du ressort.
A l’équilibre :
0
0 1
0
(2)
x x
e o
e o
mgu k l l u
mg k l l
mg ka
m
a g
k
A une date tdu mouvement :
(3)
x x x
o
o
mgu k l l u mxu
mg k l l mx
En effectuant (3) – (1) on obtient :
o e o
e
mg k l l mg k l l mx
k l l mx
On pose et comme
e
X l l x l
on a
x X
d’où :
2
0
0 avec
o o
mX kX
k
X X
m
Cette dernière équation est celle d’un oscillateur harmonique.
Xrend compte de l’écart par rapport à la position d’équilibre et
o
de la pulsation des oscillations autour de
la position d’équilibre.
La relation (2) peut aussi s’écrire :
2
(4)
o
g a
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2. Equation différentielle.
Pour déterminer l’équation différentielle du mouvement, on applique le fait que le point Mde masse mest
uniquement soumis à des forces conservatives : son poids, la tension du ressort et à la réaction du support.
L’énergie de ce point se conserve donc au cours de son mouvement.
0 avec +
p e
mm c p p
dE E E E E
dt
p
p
E
énergie potentielle de pesanteur :
sin
p
p m
E mgz mga
avec l’axe Oz orienté verticalement vers le bas et la référence de l’énergie potentielle de pesanteur prise
en O.
e
p
E
énergie potentielle élastique :
2
1
2
e
p o
E k l l
  avec la référence prise lorsque le ressort est à vide.
On exprime l’allongement
o
l l
en fonction de l’angle :
2 2
2 sin d'où :
2
2 sin 2
e
o
p
l l a
E a k
c
E
énergie cinétique :
2 2
1
2
c
E ma
On exprime la dérivée temporelle de l’énergie mécanique :
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2 2
2 2
2
2
1
cos 2 2 sin cos 2 0 pour 0:
2 2 2 2
cos sin 0
sin cos 0 or
sin cos 0 5
m
o
o
dE mga ka ma
dt
mga ka ma
k g k g
m a m a
A l’équilibre 0 et d’où :
sin cos
4
Soit
avec 1
. L’équation différentielle (5) s’écrit alors :
2
2
sin cos 0
sin cos sin cos cos cos sin sin 0
o
o
Or
sin et cos 1
2
2
2
sin cos cos sin 0 or sin cos
2 sin 0
2 0
o
o
o
Autour de la position d’équilibre
4
, la masse moscille à la pulsation
2
o
. La position
d’équilibre étudiée est donc stable.
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