Méthode de couplage éléments finis/éléments de frontière avec

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Année académique 2009- 2010
Faculté des Sciences appliquées
Service Aéro-Thermo-Mécanique
Méthode de couplage éléments finis/éléments de
frontière avec accélération pour l'équation
d'induction.
Directeur de Mémoire : Prof. Gérard Degrez
Personne ressource : Ir. Thomas Cordaro
Mémoire de fin d'étude présenté par Xavier Dechamps en vue de l'obtention du diplôme de
Master en Sciences de l’Ingénieur Civil Mécanicien à finalité Aéronautique.

Résumé du travail
Dans ce présent travail, il sera traité de l’utilisation de méthodes d’éléments de
frontière pour la résolution de l’équation d’induction du champ électrique en
électromagnétisme. Ce travail s’insère dans le cadre du sujet de doctorat de Thomas
Cordaro visant à la modélisation numérique de l’écoulement au sein d’une torche à
plasma. Cette torche à plasma, élaborée au von Kármán Institute, fournit les résultats
expérimentaux indispensables à la validation du code numérique.
L’intérêt de l’utilisation de la méthode des éléments de frontière dans le domaine de
l’électromagnétisme est évident. En effet, dans le cas de la méthode des éléments finis, il
est indispensable de tenir compte du domaine extérieur en plus du domaine intérieur à la
torche afin de respecter la condition de rayonnement infiniment loin de la torche. Or seul
l’intérieur de la torche constitue le domaine d’intérêt, ce qui induit une taille du système
d’équations beaucoup plus grande qu’elle ne devrait l’être. Dans le cas de la méthode des
éléments de frontière, seul le domaine intérieur doit intervenir.
Il serait tentant d’en déduire que cette réduction du nombre d’inconnues va mener à
un temps de calcul réduit, mais il sera montré dans la suite qu’il n’en est pas toujours le
cas. En effet, la méthode des éléments de frontière nécessite énormément de temps pour
assembler les matrices correspondant à l’équation intégrale dirigeant le problème sur la
frontière de la torche. Dans un but d’accélérer cet assemblage, la méthode multipôles
semble toute indiquée.
La méthodologie suivie dans ce travail est la suivante :
• Encoder et valider la méthode des éléments finis (Finite Element Method -
FEM) dont la solution servira de référence pour la suite (point de vue temps de
calcul). Le chapitre II se concentrera sur l’étude des résultats issus de cette
méthode.
• Encoder et valider une méthode de couplage entre les méthodes des éléments
finis et des éléments de frontière (Boundary Element Method - BEM). La
solution issue de la méthode BEM sur le contour de la torche servira de
condition aux limites pour la méthode FEM, utilisée pour déterminer les
inconnues au sein de la torche. Ceci constituera le sujet du chapitre III.
• Le principal désavantage de la méthode BEM réside en la production de
matrices pleines et donc un temps d’assemblage et d’inversion assez
conséquent. Une manière d’accélérer le processus est de se tourner vers la
méthode multipôles, méthode émergente depuis quelques années. Le chapitre
IV sera dédié à l’étude de cette méthode.
Les différents codes sont écrits sous format Matlab®. Ce choix a été grandement
facilité par l’aisance de l’utilisation des matrices par ce logiciel. Par contre, comme
l’affichage d’un grand nombre de surfaces élémentaires est relativement malaisé avec
Matlab®, la représentation des différents résultats sera faite à l’aide de Gmsh ([GEU09]), un
outil de maillage tridimensionnel et de post-traitement. La génération des différents
maillages se fera également par l’intermédiaire de ce dernier logiciel.

Remerciements
Je voudrais commencer en remerciant tous ceux qui ont contribué à leur manière à
l’élaboration de ce travail.
Tout d’abord, je tiens à remercier mon promoteur, le professeur Gérard Degrez,
source intarissable de connaissances, de conseils et d’anecdotes. Je suis constamment
étonné par son dynamisme et sa capacité à fournir des explications aux situations les plus
complexes.
Que serait mon mémoire sans Thomas Cordaro ? Merci beaucoup, Thomas ! Je te
serai éternellement reconnaissant pour ta patience toujours présente. J’espère seulement ne
pas en avoir abusé. Petit mot personnel : mon antédiluvien PC a quand même tenu le coup
jusque la fin, même s'il m'a causé quelques frayeurs.
Vient maintenant le tour de ma famille. Je me rends compte maintenant des efforts
réalisés par mes parents pour supporter ma mauvaise humeur malheureusement assez
souvent présente. Par chance, mon grand frangin a passé le cap du mémoire avant moi,
mes parents ont ainsi pu exercer leur talent de remonteurs de moral. Merci. Merci
beaucoup, 'pa et 'man. Merci également à toi, Yves, pour ton soutien et tes conseils.
Jessica, Jessica, Jessica. Tu t'es souvent retrouvée aux premières lignes de mes
explosions de sentiments lors de cette dernière année d’études. Je ne saurais dire dans quel
état je serais si tu n’étais pas là à mes côtés. Je te remercie de tout mon cœur.
Je tiens également à remercier les autres membres de l’équipe ATM. Axel, pour tes
blagues et piques toujours présentes, Matthew, pour tes chemises toujours aussi originales,
ainsi que tous les autres pour leur magnifique accueil.

Table des matières
HISTOIRE ET PHYSIQUE DU PROBLEME................................................................................................1
1. UN PEU D'HISTOIRE ............................................................................................................................... 1
2. PHYSIQUE DU PROBLEME ...................................................................................................................... 1
METHODE DES ELEMENTS FINIS..............................................................................................................5
1. INTRODUCTION ..................................................................................................................................... 5
2. DISCRETISATION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS...................................................................... 6
2.1. Discrétisation de l’équation du champ induit ............................................................................. 7
2.2. Discrétisation de l’équation du champ total ............................................................................... 8
3. ASSEMBLAGE DES MATRICES ELEMENTAIRES ....................................................................................... 9
4. DEVELOPPEMENTS DES MATRICES ELEMENTAIRES.............................................................................. 10
5. PARTICULARITES DU MAILLAGE.......................................................................................................... 12
6. CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NULLE DANS TOUT LE DOMAINE............................................................. 14
6.1. Détermination de la taille du domaine extérieur....................................................................... 14
6.2. Validation du code implémenté ................................................................................................. 16
6.3. Performances temporelles du code FEM sur le problème du champ créé par les spires.......... 19
7. CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NON NULLE A L’INTERIEUR DE LA TORCHE............................................. 21
7.1. Conséquences de la présence d’une conductivité électrique..................................................... 21
7.2. Influence de la conductivité électrique - 27.6 MHz................................................................... 22
7.3. Influence de la fréquence d’excitation - σ = 5000 S/m.............................................................. 25
7.4. Performances temporelles du code FEM sur le problème du champ induit.............................. 26
8. CONCLUSION ...................................................................................................................................... 27
METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERE........................................................................................28
1. INTRODUCTION ................................................................................................................................... 28
2. UN PEU D'HISTOIRE ............................................................................................................................. 29
3. COMPARAISON DES METHODES DES ELEMENTS FINIS ET DES ELEMENTS DE FRONTIERE ...................... 29
4. FONDEMENTS MATHEMATIQUES DE LA METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERE ............................... 31
4.1. Fonction de Green..................................................................................................................... 31
4.2. Equation intégrale pour le champ électrique ............................................................................ 32
4.2.1. Cas général tridimensionnel .................................................................................................................32
4.2.2. Caractère axisymétrique .......................................................................................................................34
4.2.3. Domaine de dimensions infinies............................................................................................................35
5. DEVELOPPEMENTS NUMERIQUES DE LA METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERE............................... 36
6. COUPLAGE FAIBLE SUR LE FLUX ......................................................................................................... 39
7. MODIFICATIONS A APPORTER A LA METHODE DES ELEMENTS FINIS .................................................... 40
8. CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NULLE A L'INTERIEUR DE LA TORCHE - VALIDATION DU CODE............... 41
8.1. Validation de la méthode BEM sans couplage .......................................................................... 42
8.2. Validation de la méthode de couplage FEM / BEM .................................................................. 43
9. CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NON NULLE A L'INTERIEUR DE LA TORCHE ............................................. 44
9.1. Influence de la conductivité électrique - 27.6 MHz................................................................... 45
9.2. Influence de la fréquence d'excitation - σ = 5000 S/m .............................................................. 48
9.3. Conductivité électrique variable dans le plasma....................................................................... 50
10. PERFORMANCES TEMPORELLES DE LA METHODE DE COUPLAGE FEM / BEM ..................................... 53
11. CONCLUSION ...................................................................................................................................... 56
METHODE MULTIPOLES ...........................................................................................................................58
1. INTRODUCTION ................................................................................................................................... 58
2. UN PEU D’HISTOIRE............................................................................................................................. 58
3. DEVELOPPEMENTS MATHEMATIQUES ................................................................................................. 59
3.1. Référentiel centré sur la spire de courant ................................................................................. 61
3.2. Référentiel centré sur le centre multipôles ................................................................................ 62
3.3. Moments multipôles................................................................................................................... 63
4. DEVELOPPEMENTS NUMERIQUES DE LA METHODE MULTIPOLES ......................................................... 66