Méthode de couplage éléments finis/éléments de frontière avec

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Année académique 2009- 2010
Faculté des Sciences appliquées
Service Aéro-Thermo-Mécanique
Méthode de couplage éléments finis/éléments de
frontière avec accélération pour l'équation
d'induction.
Directeur de Mémoire : Prof. Gérard Degrez
Personne ressource
: Ir. Thomas Cordaro
Mémoire de fin d'étude présenté par Xavier Dechamps en vue de l'obtention du diplôme de
Master en Sciences de l’Ingénieur Civil Mécanicien à finalité Aéronautique.
Résumé du travail
Dans ce présent travail, il sera traité de l’utilisation de méthodes d’éléments de
frontière pour la résolution de l’équation d’induction du champ électrique en
électromagnétisme. Ce travail s’insère dans le cadre du sujet de doctorat de Thomas
Cordaro visant à la modélisation numérique de l’écoulement au sein d’une torche à
plasma. Cette torche à plasma, élaborée au von Kármán Institute, fournit les résultats
expérimentaux indispensables à la validation du code numérique.
L’intérêt de l’utilisation de la méthode des éléments de frontière dans le domaine de
l’électromagnétisme est évident. En effet, dans le cas de la méthode des éléments finis, il
est indispensable de tenir compte du domaine extérieur en plus du domaine intérieur à la
torche afin de respecter la condition de rayonnement infiniment loin de la torche. Or seul
l’intérieur de la torche constitue le domaine d’intérêt, ce qui induit une taille du système
d’équations beaucoup plus grande qu’elle ne devrait l’être. Dans le cas de la méthode des
éléments de frontière, seul le domaine intérieur doit intervenir.
Il serait tentant d’en déduire que cette réduction du nombre d’inconnues va mener à
un temps de calcul réduit, mais il sera montré dans la suite qu’il n’en est pas toujours le
cas. En effet, la méthode des éléments de frontière nécessite énormément de temps pour
assembler les matrices correspondant à l’équation intégrale dirigeant le problème sur la
frontière de la torche. Dans un but d’accélérer cet assemblage, la méthode multipôles
semble toute indiquée.
La méthodologie suivie dans ce travail est la suivante :
•
Encoder et valider la méthode des éléments finis (Finite Element Method FEM) dont la solution servira de référence pour la suite (point de vue temps de
calcul). Le chapitre II se concentrera sur l’étude des résultats issus de cette
méthode.
•
Encoder et valider une méthode de couplage entre les méthodes des éléments
finis et des éléments de frontière (Boundary Element Method - BEM). La
solution issue de la méthode BEM sur le contour de la torche servira de
condition aux limites pour la méthode FEM, utilisée pour déterminer les
inconnues au sein de la torche. Ceci constituera le sujet du chapitre III.
•
Le principal désavantage de la méthode BEM réside en la production de
matrices pleines et donc un temps d’assemblage et d’inversion assez
conséquent. Une manière d’accélérer le processus est de se tourner vers la
méthode multipôles, méthode émergente depuis quelques années. Le chapitre
IV sera dédié à l’étude de cette méthode.
Les différents codes sont écrits sous format Matlab®. Ce choix a été grandement
facilité par l’aisance de l’utilisation des matrices par ce logiciel. Par contre, comme
l’affichage d’un grand nombre de surfaces élémentaires est relativement malaisé avec
Matlab®, la représentation des différents résultats sera faite à l’aide de Gmsh ([GEU09]), un
outil de maillage tridimensionnel et de post-traitement. La génération des différents
maillages se fera également par l’intermédiaire de ce dernier logiciel.
Remerciements
Je voudrais commencer en remerciant tous ceux qui ont contribué à leur manière à
l’élaboration de ce travail.
Tout d’abord, je tiens à remercier mon promoteur, le professeur Gérard Degrez,
source intarissable de connaissances, de conseils et d’anecdotes. Je suis constamment
étonné par son dynamisme et sa capacité à fournir des explications aux situations les plus
complexes.
Que serait mon mémoire sans Thomas Cordaro ? Merci beaucoup, Thomas ! Je te
serai éternellement reconnaissant pour ta patience toujours présente. J’espère seulement ne
pas en avoir abusé. Petit mot personnel : mon antédiluvien PC a quand même tenu le coup
jusque la fin, même s'il m'a causé quelques frayeurs.
Vient maintenant le tour de ma famille. Je me rends compte maintenant des efforts
réalisés par mes parents pour supporter ma mauvaise humeur malheureusement assez
souvent présente. Par chance, mon grand frangin a passé le cap du mémoire avant moi,
mes parents ont ainsi pu exercer leur talent de remonteurs de moral. Merci. Merci
beaucoup, 'pa et 'man. Merci également à toi, Yves, pour ton soutien et tes conseils.
Jessica, Jessica, Jessica. Tu t'es souvent retrouvée aux premières lignes de mes
explosions de sentiments lors de cette dernière année d’études. Je ne saurais dire dans quel
état je serais si tu n’étais pas là à mes côtés. Je te remercie de tout mon cœur.
Je tiens également à remercier les autres membres de l’équipe ATM. Axel, pour tes
blagues et piques toujours présentes, Matthew, pour tes chemises toujours aussi originales,
ainsi que tous les autres pour leur magnifique accueil.
Table des matières
HISTOIRE ET PHYSIQUE DU PROBLEME................................................................................................1
1.
2.
UN PEU D'HISTOIRE ............................................................................................................................... 1
PHYSIQUE DU PROBLEME ...................................................................................................................... 1
METHODE DES ELEMENTS FINIS..............................................................................................................5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
INTRODUCTION ..................................................................................................................................... 5
DISCRETISATION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ...................................................................... 6
2.1.
Discrétisation de l’équation du champ induit ............................................................................. 7
2.2.
Discrétisation de l’équation du champ total ............................................................................... 8
ASSEMBLAGE DES MATRICES ELEMENTAIRES ....................................................................................... 9
DEVELOPPEMENTS DES MATRICES ELEMENTAIRES.............................................................................. 10
PARTICULARITES DU MAILLAGE .......................................................................................................... 12
CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NULLE DANS TOUT LE DOMAINE............................................................. 14
6.1.
Détermination de la taille du domaine extérieur....................................................................... 14
6.2.
Validation du code implémenté ................................................................................................. 16
6.3.
Performances temporelles du code FEM sur le problème du champ créé par les spires.......... 19
CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NON NULLE A L’INTERIEUR DE LA TORCHE ............................................. 21
7.1.
Conséquences de la présence d’une conductivité électrique..................................................... 21
7.2.
Influence de la conductivité électrique - 27.6 MHz ................................................................... 22
7.3.
Influence de la fréquence d’excitation - σ = 5000 S/m.............................................................. 25
7.4.
Performances temporelles du code FEM sur le problème du champ induit.............................. 26
CONCLUSION ...................................................................................................................................... 27
METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERE ........................................................................................28
1.
2.
3.
4.
INTRODUCTION ................................................................................................................................... 28
UN PEU D'HISTOIRE ............................................................................................................................. 29
COMPARAISON DES METHODES DES ELEMENTS FINIS ET DES ELEMENTS DE FRONTIERE ...................... 29
FONDEMENTS MATHEMATIQUES DE LA METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERE ............................... 31
4.1.
Fonction de Green..................................................................................................................... 31
4.2.
Equation intégrale pour le champ électrique ............................................................................ 32
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
Cas général tridimensionnel .................................................................................................................32
Caractère axisymétrique .......................................................................................................................34
Domaine de dimensions infinies............................................................................................................35
5.
6.
7.
8.
DEVELOPPEMENTS NUMERIQUES DE LA METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERE............................... 36
COUPLAGE FAIBLE SUR LE FLUX ......................................................................................................... 39
MODIFICATIONS A APPORTER A LA METHODE DES ELEMENTS FINIS .................................................... 40
CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NULLE A L'INTERIEUR DE LA TORCHE - VALIDATION DU CODE ............... 41
8.1.
Validation de la méthode BEM sans couplage .......................................................................... 42
8.2.
Validation de la méthode de couplage FEM / BEM .................................................................. 43
9. CONDUCTIVITE ELECTRIQUE NON NULLE A L'INTERIEUR DE LA TORCHE ............................................. 44
9.1.
Influence de la conductivité électrique - 27.6 MHz ................................................................... 45
9.2.
Influence de la fréquence d'excitation - σ = 5000 S/m .............................................................. 48
9.3.
Conductivité électrique variable dans le plasma....................................................................... 50
10. PERFORMANCES TEMPORELLES DE LA METHODE DE COUPLAGE FEM / BEM ..................................... 53
11. CONCLUSION ...................................................................................................................................... 56
METHODE MULTIPOLES ...........................................................................................................................58
1.
2.
3.
INTRODUCTION ................................................................................................................................... 58
UN PEU D’HISTOIRE ............................................................................................................................. 58
DEVELOPPEMENTS MATHEMATIQUES ................................................................................................. 59
3.1.
Référentiel centré sur la spire de courant ................................................................................. 61
3.2.
Référentiel centré sur le centre multipôles ................................................................................ 62
3.3.
Moments multipôles................................................................................................................... 63
4. DEVELOPPEMENTS NUMERIQUES DE LA METHODE MULTIPOLES ......................................................... 66
4.1.
Discrétisation des moments multipôles ..................................................................................... 66
4.2.
Regroupement des éléments de frontière................................................................................... 66
4.3.
Méthodologie de la méthode MM-BEM .................................................................................... 67
5. RESULTATS NUMERIQUES ................................................................................................................... 69
5.1.
Validation de la méthode de couplage MM-BEM/FEM ............................................................ 69
5.2.
Influence de la position des centres multipôles ......................................................................... 70
5.3.
Influence du nombre de groupes d'éléments de surface ............................................................ 72
5.4.
Performances temporelles ......................................................................................................... 73
6. CONCLUSION ...................................................................................................................................... 75
CONCLUSION - PERSPECTIVES ...............................................................................................................76
BIBLIOGRAPHIE...........................................................................................................................................77
ANNEXE A - DETERMINATION DE L’EQUATION D’INDUCTION DU CHAMP ELECTRIQUE .79
ANNEXE B - FORMULATION THEORIQUE DES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE
CREES PAR UNE SPIRE .......................................................................................................81
ANNEXE C - INTEGRATION NUMERIQUE.............................................................................................85
ANNEXE D - FONCTION DE GREEN DE L'EQUATION SCALAIRE DE LAPLACE EN
COORDONNEES CYLINDRIQUES.....................................................................................87
ANNEXE E - EQUATION BEM DE L’EQUATION SCALAIRE DE LAPLACE A PARTIR DU CAS
TRIDIMENSIONNEL .............................................................................................................91
ANNEXE F - POST-TRAITEMENT - CHAMP MAGNETIQUE ..............................................................97
Table des figures
Figure 1 : Mini-torche de la VKI lors de son fonctionnement. Sa fréquence d’excitation est de
27.6MHz ([ABE00]). ................................................................................................................................2
Figure 2 : Géométrie et dimensions de la mini-torche à plasma ([ABE00])........................................................2
Figure 3 : Méthode des éléments finis. Topologie du maillage et des propriétés des milieux. .....................6
Figure 4 : Transformation géométrique - définition de l’élément parent. ..................................................11
Figure 5 : Modèle de maillage adapté aux propriétés physiques du problème ...........................................13
Figure 6 : Influence de la taille du domaine extérieur sur la qualité de la solution - Evolution de la
solution selon la coordonnée radiale pour une coupe au niveau du conducteur central. ..........15
Figure 7 : Influence de la taille du domaine extérieur sur la qualité de la solution - Evolution de
l’erreur relative selon la coordonnée radiale pour une coupe au niveau du conducteur
central. ..............................................................................................................................................15
Figure 8 : Influence de la taille du domaine extérieur sur la norme L2 de l’erreur pour les nœuds situés
à l’intérieur de la torche..................................................................................................................16
Figure 9 : Evolution de la norme du champ électrique théorique (I.11) [V/m] dans le domaine
extérieur à la torche.........................................................................................................................17
Figure 10 : Emission du champ par les spires - Norme du champ électrique total [V/m]. Comparaison
entre la solution théorique (au-dessus) et la solution numérique FEM (en dessous). ................18
Figure 11 : Variation de la norme L2 de l’erreur par rapport au nombre de degrés de liberté à
l’intérieur de la torche.....................................................................................................................19
Figure 12 : Temps caractéristiques obtenus sur le problème du champ créé par les spires en fonction
du nombre de degrés de liberté. .....................................................................................................20
Figure 13 : Norme du champ électrique total [V/m]. 27.6 MHz - σ = 1000 S/m. Mise en évidence du
phénomène d’effet pelliculaire........................................................................................................23
Figure 14 : Phase (°) du champ électrique total. 27.6 MHz - σ = 1000 S/m.................................................23
Figure 15 : Influence de la conductivité électrique. 27.6 MHz. Norme du champ électrique total en
fonction de la coordonnée radiale [V/m]. Coupe transversale au niveau du conducteur
central. ..............................................................................................................................................24
Figure 16 : Influence de la fréquence d’excitation. σ = 5000 S/m. Norme du champ électrique total
[V/m] en fonction de la coordonnée radiale. Coupe transversale au niveau du conducteur
central. ..............................................................................................................................................25
Figure 17 : Temps caractéristiques obtenus sur le problème du champ induit en fonction du nombre
de degrés de liberté. .........................................................................................................................26
Figure 18 : Couplage entre les méthodes FEM et BEM. Domaines de résolution pour les méthodes
BEM et FEM. ...................................................................................................................................28
Figure 19 : Définition des domaines intervenant dans le développement de l’équation intégrale au
point x0 ..............................................................................................................................................33
Figure 20 : Définition des notations intervenant dans le développement de l’équation intégrale au point
x0 pour un domaine de dimensions infinies. ..................................................................................35
Figure 21 : Fonctions d’interpolation du champ électrique et du flux sur la frontière Γ ..........................37
Figure 22 : Conventions pour la description de la condition faible sur le flux ...........................................39
Figure 23 : Validation de la méthode des éléments de frontière sans couplage. Représentation de la
solution sur la frontière...................................................................................................................42
Figure 24 : Validation du code BEM sans couplage - Norme L2 de l’erreur en fonction du nombre de
nœuds situés sur la frontière...........................................................................................................43
Figure 25 : Validation de la méthode de couplage FEM/BEM - Norme du champ électrique total
[V/m]. Solution théorique (au-dessus) et la solution numérique FEM/BEM (en dessous). .......43
Figure 26 : Variation de la norme L2 de l’erreur en fonction du nombre de degrés de libertés à
l’intérieur de la torche. Résultats FEM, BEM (6 points d’intégration - vert) et BEM (nombre
variables de points d’intégration - rouge)......................................................................................44
Figure 27 : Norme du champ électrique total [V/m]. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Comparaison des
résultats FEM (au dessus) et FEM/BEM (en dessous)..................................................................45
Figure 28 : Phase (°) du champ électrique total. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Comparaison des résultats
FEM (au dessus) et FEM/BEM (en dessous). ................................................................................45
Figure 29 : Influence de la conductivité électrique. 27.6 MHz. Norme du champ électrique total [V/m]
en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et FEM/BEM. .........................................46
Figure 30 : Influence de la conductivité électrique. 27.6 MHz. Norme du champ électrique total [V/m]
en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et FEM/BEM. Echelle logarithmique...47
Figure 31 : Comparaison des résultats FEM avec imposition de la condition de rayonnement à des
distances variables et du résultat FEM/BEM. 27.6 MHz et σ = 1000 S/m. .................................48
Figure 32 : Influence de la fréquence d’excitation. σ = 5000 S/m. Norme du champ électrique total
[V/m] en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et BEM. ........................................49
Figure 33 : Influence de la fréquence d’excitation. σ = 5000 S/m. Norme du champ électrique total
[V/m] en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et BEM. Echelle logarithmique..49
Figure 34 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Topologie du problème..............50
Figure 35 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Norme du champ électrique
total [V/m]. Solution FEM (au-dessus) et FEM/BEM (en dessous). ............................................51
Figure 36 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Phase (°) du champ électrique
total. Solution FEM (au-dessus) et FEM/BEM (en dessous)........................................................51
Figure 37 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Norme du champ électrique
total [V/m] selon une coupe transversale au niveau du conducteur central (z=0.053m). ..........52
Figure 38 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Norme du champ électrique
total [V/m] selon une coupe transversale au niveau du conducteur central. Echelle
logarithmique...................................................................................................................................52
Figure 39 : Performances temporelles. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Méthode FEM (II.8) et (II.9).
Méthode FEM/BEM avec un nombre de points d'intégration fixe et variable. .........................53
Figure 40 : Temps caractéristiques obtenus par la méthode FEM / FEM avec un nombre fixe de points
d’intégration en fonction du nombre de degrés de liberté. ..........................................................54
Figure 41 : Taux d’occupation de la matrice globale [K] [%] en fonction du nombre de degrés de
liberté intérieurs à la torche............................................................................................................55
Figure 42 : Schéma explicatif du fonctionnement des méthodes MM-BEM et FMM ([YOS01])....................60
Figure 43 : Notations utilisées pour une spire de courant centrée en l'origine du repère en coordonnées
sphériques ([HIR10]).............................................................................................................................61
Figure 44 : Notations utilisées pour le centre du repère sphérique centré sur le centre multipôles. ........62
Figure 45 : Regroupement des éléments de surface dans le plan méridien [SIN08]. ......................................67
Figure 46 : Assemblage de la matrice [A’] par les méthodes BEM traditionnelle et multipôles. ..............68
Figure 47 : Validation de la méthode de couplage MM-BEM/FEM - Norme du champ électrique total
[V/m]. Solution théorique (au-dessus) et la solution numérique MM-BEM/FEM (en dessous)
avec 50 groupes d'éléments de frontière. .......................................................................................70
Figure 48 : Proportion [%] d’opérations effectuées par la méthode multipôles lors de l’assemblage des
matrices de l’équation intégrale en fonction de la position des centres multipôles sur l’axe
longitudinal. .....................................................................................................................................71
Figure 49 : Proportion [%] d’opérations effectuées par la méthode multipôles lors de l’assemblage des
matrices de l’équation intégrale en fonction du nombre de groupes d’éléments de surface.....72
Figure 50 : Temps caractéristiques obtenus par la méthode MM-BEM / FEM avec un nombre fixe de
points d’intégration en fonction du nombre de degrés de liberté................................................73
Figure 51 : Performances temporelles. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Méthodes FEM (II.8) et (II.9),
FEM/BEM avec un nombre de points d'intégration fixe et variable, MM-BEM / FEM...........74
Figure 52 : Topologie du problème du champ créé par une spire ...............................................................81
Figure 53 : Définition des coordonnées aréolaires et positions des points d’intégration dans le repère
local ...................................................................................................................................................85
Figure 54 : Définition du repère cylindrique par rapport au repère cartésien...........................................88
Figure 55 : Norme du champ magnétique théorique [T] créé par les spires dans le vide. .........................98
Tableaux
Tableau 1 : Profondeurs de peau [mm] théoriques (II.29) pour les différentes configurations
envisagées dans les études correspondantes................................................................................22
Tableau 2 : Influence de la conductivité électrique - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numérique. .....................................................................................................................................24
Tableau 3 : Influence de la fréquence d’excitation - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numérique. .....................................................................................................................................25
Tableau 4 : Validation du code BEM sans couplage - Norme L2 de l’erreur de la solution numérique...43
Tableau 5 : Influence de la conductivité électrique - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numériques pour les méthodes FEM et FEM/BEM. ..................................................................46
Tableau 6 : Influence de la fréquence d’excitation - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numériques pour les méthodes FEM et FEM/BEM. ..................................................................50
Tableau 7 : Temps d’inversion [s] des matrices pour les méthodes FEM et FEM/BEM. ..........................55
Tableau 8 : Pourcentage du nombre de points d'intégration en fonction du nombre de nœuds situés sur
la frontière. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz..........................................................................................56
Tableau 9 : Proportions de temps [%] demandées pour l’assemblage des matrices correspondant à
l’équation intégrale par rapport à la durée totale. Méthodes FEM/BEM et MMBEM/FEM......................................................................................................................................74
Tableau 10 : Points d’intégrations sur un élément triangulaire - Table de Hammer. ...............................86
Tableau 11 : Points d’intégrations sur un élément unidimensionnel - Table de Gauss-Legendre([WAR08]) 86
Chapitre I
Histoire et physique du problème
1. Un peu d'histoire
L’interaction entre l’écoulement d’un fluide conducteur et un champ
électromagnétique, également appelé magnétohydrodynamique (MHD), constitue un sujet
d’étude assez ancien. Les premières traces d’expérience à ce sujet remontent à 1832, année
à laquelle Michael Faraday tenta de mesurer le débit de la Tamise ([FAR32]). En effet,
l’expérience était rendue possible grâce à la présence d’une grande quantité de sel dans
l’eau qui interagissait avec le champ électromagnétique terrestre et produisait une
différence de potentiel entre les deux rives du fleuve. L’intensité du courant à mesurer
étant trop faible avec les moyens de l’époque, l’expérience se solda donc par un échec. En
1942, le terme « magnétohydrodynamique » fut pour la première fois introduit par Hannes
Alfvén ([ALF42]). Sa contribution au domaine lui valut le prix Nobel de physique en 1970.
Une application technologique de cette théorie est la torche à plasma (plasma wind
tunnel). Historiquement, deux types de technologies différentes se sont développés à partir
des années 1960 ([ABE00]). Les Européens et Américains se basèrent sur la génération d'un
arc électrique entre deux électrodes pour augmenter la température du gaz jusqu'environ
10.000K par effet Joule ([AUW99]). Les Russes développèrent de leur côté le plasmatron,
forme du procédé actuellement utilisée par les Européens ([GOR99], [REE61]) et également
connue sous le nom de Inductively Coupled Plasma (ICP) dont le fonctionnement est
expliqué dans le point suivant.
A partir de 1970, des modèles de simulations des ICP hautes pressions apparurent peu
à peu sous l'influence qu'eut le travail de Miller et Ayen ([MIL96]). Des contributions
importantes furent celles de Boulos (1976), Mostaghimi (1985) et McKelliget (1986).
2. Physique du problème
Le cadre du travail se repose entièrement sur la description suivante du problème. La
von Kármán Institute (VKI) a mis en oeuvre une mini-torche à plasma ICP (Inductively
Coupled Plasma, figure 1) dont les dimensions sont données sur la figure 2 ([ABE00]). Le
principe de fonctionnement d’une telle torche est assez simple en soi : un gaz est injecté
dans un tube en quartz autour duquel plusieurs spires sont placées. Ces spires sont excitées
par un courant alternatif à très grande fréquence (de l’ordre du MHz), ce qui induit un
courant secondaire au sein du gaz. L’apparition de ce courant secondaire va élever la
température du gaz (~10.000K), par effet Joule, jusqu’à sa transformation partielle en un
plasma faiblement ionisé. En raison de la très grande pureté du plasma produit, les
Chapitre I - Histoire et physique du problème
1
applications d'un tel procédé sont assez nombreuses : dépôt de recouvrements métalliques,
synthèse de poudre ultra-fines,…
Figure 1 : Mini-torche de la VKI lors de son fonctionnement. Sa fréquence d’excitation est de
27.6MHz ([ABE00]).
Figure 2 : Géométrie et dimensions de la mini-torche à plasma ([ABE00]).
Chapitre I - Histoire et physique du problème
2
En raison du caractère axisymétrique de la géométrie, il est intéressant d’utiliser un
système d’axes cylindriques en n’étudiant que la partie avec des coordonnées radiales
positives.
On désire déterminer le champ électrique total au sein du plasma, de par l’excitation
des spires conductrices et en connaissant l’intensité du courant y circulant, la fréquence
d’excitation ainsi que la conductivité électrique locale du plasma.
Le champ électrique total est dû à deux composantes différentes : le champ créé par
les spires (on considère alors l’espace comme étant le vide et donc avec une conductivité
électrique nulle) et le champ induit dans le plasma (conductivité électrique non nulle).
Cette décomposition peut se faire en raison de la linéarité des équations de Maxwell.
L’équation d’induction (I.1) permet de déterminer le champ électrique total en tout point
du domaine, extérieur ou intérieur à la torche à plasma. Le cheminement suivi à partir des
équations de Maxwell pour déboucher sur cette expression est disponible en annexe A.
nr
JJG
JJG
G JG JJG
Δ Ee θ − jωμ0σ Ee θ = − jωμ0 I C ∑ δ r − ri e θ
(
)
i =1
(
)
(I.1)
Dans cette dernière équation, ω est la pulsation du courant dans les spires, μ0 la
perméabilité du vide, σ la conductivité du milieu, IC l’intensité du courant circulant dans
JG
les spires, nr le nombre de spires encerclant la torche à plasma, ri la position de chacune
G JG
des spires dans le plan (z,r) et δ ( r − ri ) l’impulsion de Dirac étant égale à l’unité lorsque la
position du point considéré coïncide avec celle d’un conducteur et nulle dans le cas
contraire.
De plus, afin de tenir compte du déphasage au sein du plasma, le champ électrique est
complexe en tout point de l’espace. Le champ électrique physique correspond donc à la
partie réelle du phaseur complexe :
G
G
G
G
G
(I.2)
E ( x, t ) = Re ⎡ E ( x) e j ( Φ ( x )+ωt ) ⎤ = E ( x) cos(Φ ( x) + ωt )
⎣
⎦
L’équation (I.1) est elliptique en raison de la présence du Laplacien du champ
électrique. Pour assurer l’existence et l’unicité de la solution, il faut donc imposer les
conditions aux limites (I.3) sur l’ensemble du contour du domaine. Les conditions
imposées infiniment loin du dispositif assurent la condition de rayonnement du champ
électrique. La condition imposée sur l’axe de symétrie n’est pas indispensable pour assurer
l’existence de la solution (la matrice globale est toujours inversible) mais permet une
meilleure variation de la solution pour de faibles coordonnées radiales.
E ( z , 0) = 0
E ( z , +∞) = 0
E (±∞, r ) = 0
(I.3)
Il est important de faire remarquer à ce niveau-ci que la contribution des spires au
champ électrique est indéfinie au niveau des conducteurs. En effet, dans le cas d’un
conducteur rectiligne infiniment long et d'épaisseur nulle, le champ électrique varie de
manière inversement proportionnelle à la distance entre le conducteur et le point considéré,
menant donc à une valeur infinie du champ au niveau du conducteur. Cette singularité est
issue de l'hypothèse d'épaisseur nulle du conducteur.
Dans le cas où l'on désire modéliser la géométrie des conducteurs de manière non
simplifiée, il est alors indispensable de tenir compte de la répartition de la densité de
courant au sein des conducteurs électriques. En raison de l'ordre de grandeur de la
fréquence d'excitation, la densité de courant se concentre principalement sur la surface
extérieure des conducteurs, du côté intérieur à la spire. Ce phénomène physique, connu
sous le nom d'effet pelliculaire, induit une variation de l'impédance de la bobine.
Chapitre I - Histoire et physique du problème
3
Dans le cas où l'on ne désire pas tenir compte de ce phénomène (et donc assimiler le
conducteur à un fil infiniment mince), il faut reconsidérer le problème sous un autre angle.
Afin d’éviter tout problème lors de la résolution du champ externe à la torche, il est
intéressant de faire apparaître dans l’équation d’induction les contributions séparées du
champ non singulier induit au sein du plasma EI et du champ singulier créé par les spires
EC, comme indiqué dans (I.4) et (I.5).
JJG
JJG
JJG
Ee θ = EI e θ + EC e θ
(I.4)
nr
JJG
JJG
JJG
JJG
G JG JJG
Δ EI e θ + EC e θ − jωμ0σ EI e θ + EC e θ = − jωμ0 I C ∑ δ r − ri e θ
(
)
(
)
i =1
(
)
(I.5)
De plus, par la définition même du champ électrique créé par les spires, on a que
nr
JJG
G JG JJG
Δ EC e θ = − jωμ0 I C ∑ δ r − ri e θ
(
)
i =1
(
)
(I.6)
Si bien que (I.5) se réécrit alors sous la forme suivante :
JJG
JJG
JJG
Δ EI e θ − jωμ0σ EI e θ = jωμ0σ EC e θ
(
)
(I.7)
Dans cette dernière forme, le champ EC remplace le terme de forçage précédemment
défini par l'intensité du courant IC. Finalement, on peut développer l’expression du
Laplacien en coordonnées cylindriques.
JJG
JJG 1 ∂ ⎛ ∂E ⎞ JJG 1 ∂ 2 EI e θ
∂ 2 EI JJG
I
(I.8)
Δ EI e θ =
r
e
+
+
eθ
⎜
⎟ θ
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
r2
∂θ 2
∂z 2
(
(
)
)
Il ne faut pas oublier que la dérivée seconde suivant θ du champ vectoriel est non
nulle (la norme du champ étant bien indépendante de la coordonnée azimutale) :
JJG
JJG
2
2
1 ∂ EI e θ
EI ∂ e θ
EI JJG
(I.9)
=
=
−
eθ
r2
∂θ 2
r 2 ∂θ 2
r2
JJG
L’équation vectorielle devient scalaire car tous les termes de (I.5) sont proportionnels à e θ .
(
)
( )
1 ∂ ⎛ ∂EI
⎜r
r ∂r ⎝ ∂r
2
⎞ ∂ EI EI
+
− 2 − jωμ0σ EI = jωμ0σ EC
⎟
2
r
⎠ ∂z
2
2
∂ EI 1 ∂EI ∂ EI EI
⇔
+
+ 2 − 2 − jωμ0σ EI = jωμ0σ EC
r
∂r 2 r ∂r
∂z
(I.10)
La singularité du champ créé par les spires ne pose plus de problème si on considère
que les conducteurs, d’épaisseur infiniment mince, se trouvent dans le vide, donc dans un
milieu de conductivité électrique σ nulle. La seule inconnue dans ce système d’équations
est le champ induit dans le plasma. En effet, le champ créé par une spire est connu en tout
point dans le vide par la relation (I.11). La démonstration en est donnée dans l’annexe B.
EC ( z , r ) = −
μI
∂A
= − jω 0 C
∂t
π m
R ⎛⎛ m ⎞
⎞
4rR
(I.11)
⎜1 − ⎟ K (m) − E (m) ⎟ avec m =
⎜
2
r ⎝⎝
2⎠
(r + R) + ( Z − z )2
⎠
Dans cette dernière relation, r et z sont les coordonnées du point considéré, R le rayon
de la spire, (Z-z) la distance suivant l’axe longitudinal z entre la spire et le point considéré,
K(m) et E(m) respectivement les intégrales elliptiques complètes du premier et second
ordre dont m est le module.
Chapitre I - Histoire et physique du problème
4
Chapitre II
Méthode des éléments finis
1. Introduction
La méthode des éléments finis se base sur une représentation fonctionnelle de la
solution ainsi que sur des considérations de minimisations énergétiques. Il s’agit d’un outil
très performant car la méthode s’applique facilement pour tout type de géométrie. Dans ce
cas-ci, la méthode de Galerkin est utilisée avec des éléments bidimensionnels d’ordre
unitaire. Il est bon de rappeler que la géométrie présente un aspect axisymétrique. Il est dès
lors inutile de recourir aux éléments tridimensionnels pour plusieurs raisons :
•
Le nombre d’éléments augmente considérablement par rapport à une étude
bidimensionnelle en raison de la dimension supplémentaire ajoutée.
•
Il existe une erreur de représentation de la géométrie de la torche à moins de
réaliser un raffinement suffisant au niveau de la surface extérieure de la torche
•
Comme il le sera expliqué dans la suite sur base de phénomènes
électromagnétiques, il sera nécessaire de réaliser un raffinement suffisant au niveau
de l’interface plasma-vide ainsi qu’au niveau des différents conducteurs
électriques. Ces raffinements mènent directement à une augmentation énorme du
nombre d’éléments volumiques.
•
Si les conducteurs électriques sont supposés être infiniment minces et circulaires
(on néglige la nature hélicoïdale de l’inductance), le champ électrique est purement
axisymétrique.
Résoudre un problème par la méthode des éléments finis introduit nécessairement un
certain nombre d'approximations. Cet ensemble d'approximations est entre autres dû au
besoin d'obtenir la solution dans un délai le plus bref possible. Dans le cas de ce travail, il
est nécessaire d'imposer une condition aux limites sur le champ électrique à l'infini pour
respecter la condition de rayonnement (I.3) (cf. figure 3). Comme il est impensable de
mailler un domaine de dimensions infinies, la condition aux limites sera imposée à une
distance limitée mais suffisamment éloignée de la torche que pour ne pas influencer
négativement la qualité de la solution. Il est d'usage courant de considérer un domaine de
taille 5 à 10 fois plus grand que celle du dispositif étudié de sorte que le champ électrique
tende asymptotiquement et de manière naturelle vers la condition aux limites imposée sur
la limite extérieure.
Le champ électrique est un nombre complexe en chacun des nœuds du maillage afin
de tenir compte de l’effet de déphasage induit par le plasma (I.2). Les inconnues du
système d’équations sont donc les grandeurs réelles et imaginaires du champ dans tout le
domaine. Deux équations sont donc présentes à chaque nœud.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
5
Remarque
La forme théorique du champ électrique développé par les spires présente une
singularité au niveau des conducteurs électriques. Pour éviter un problème lors de la
représentation du champ total dans le vide, il est prudent de ne pas placer de nœud du
maillage coïncidant avec un conducteur. Le conducteur se situe donc à l'intérieur d'un
élément, ce qui permet d'atténuer la singularité au niveau des nœuds de l'élément.
Figure 3 : Méthode des éléments finis. Topologie du maillage et des propriétés des milieux.
2. Discrétisation par la méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis introduit la notion de représentation fonctionnelle de la
solution. La valeur de la solution en dehors des nœuds du maillage est déterminée par la
connaissance de la solution aux nœuds du maillage et du type de fonction d'interpolation
choisi.
N
E = ∑ N jE j
(II.1)
j =1
La méthode des éléments finis repose également sur une minimalisation du résidu rh
de la solution numérique (le résidu étant défini comme étant la norme de la différence
entre la solution exacte du problème et la solution du problème discrétisé). De manière
plus concrète, on intègre sur le domaine considéré le résidu local pondéré par une fonction
poids. Le choix de la nature de cette fonction poids détermine le type de méthode
d'éléments finis considéré. Dans ce travail-ci, la méthode utilisée est celle de Galerkin : la
fonction poids de pondération est choisie égale à la fonction d'interpolation de la solution
aux nœuds.
∫ N r dV = 2π ∫ rN r drdz = 0
h
h
i i
V
i i
D
(II.2)
h
dans laquelle ri est le résidu de la solution numérique au noeud i
Il s'agit d'une méthode assez courante de résoudre un problème ne présentant pas de
propriétés périodiques dans la direction longitudinale ou radiale. Ce choix de la fonction
poids présente un très grand avantage : la matrice du système d'équation à résoudre est très
creuse, ce qui permet l'utilisation de méthodes de résolution du système d'équations assez
Chapitre II - Méthode des éléments finis
6
performantes du point de vue temps de calcul et coût en mémoire. La raison de cette
constatation est assez simple : la fonction d'interpolation en un nœud est nulle en tout autre
point que celui considéré. Ecrire l'équation du problème en un noeud ne fait donc
intervenir que les nœuds directement voisins à celui considéré. Finalement, la nature des
fonctions de forme est la suivante : il s'agit d'éléments surfaciques axisymétriques. Le
degré des fonctions de forme de ces éléments est choisi unitaire puisque le problème
considéré ne présente pas de propriété particulière de ce point de vue-là. Ces différentes
considérations sont maintenant exprimées de manière mathématique dans les deux
paragraphes suivants qui traitent de la discrétisation des deux équations (I.1) et (I.10).
2.1.
Discrétisation de l’équation du champ induit
L’équation (I.10) est explicitée pour le nœud i, en tenant compte de (II.2).
⎡ ∂ 2 EI ( z , r ) 1 ∂EI ∂ 2 EI ( z , r ) EI ( z , r )
⎤
N
(
z
,
r
)
+
+
−
− jωμ0σ ( EI ( z , r ) + EC ( z , r ) ) ⎥ rdrdz = 0
⎢
2
2
2
∫D i
r ∂r
r
∂z
⎣ ∂r
⎦
(II.3)
La représentation fonctionnelle (II.1) est introduite tant pour le champ induit que pour
le champ créé par les spires. De manière générale, les fonctions de forme Ni et Nj
dépendent des coordonnées radiale r et longitudinale z.
⎡ ∂ 2 N j ( z , r ) 1 ∂N j ( z , r ) ∂ 2 N j ( z , r ) N j ( z , r )
⎤ j
N
(
z
,
r
)
j
N
(
z
,
r
)
EI rdrdz
ωμ
σ
+
+
−
−
⎢
⎥
j
0
2
∫D i
r
r2
∂r
∂z 2
⎣⎢ ∂r
⎦⎥
= ∫ jωμ0σ N i ( z , r ) N j ( z , r ) ECj rdrdz
D
(II.4)
Une intégration par parties est effectuée sur les deux intégrales contenant les termes
de dérivées secondes afin de rendre faible le problème et de pouvoir utiliser des fonctions
de formes d’ordre unitaire :
∫ Ni ( z, r )
∂ 2 N j ( z, r )
∂r
D
∫ N ( z, r )
i
D
2
rdrdz =
i
∂D
∂ N j ( z, r )
2
∂z
∫ rN ( z, r )
2
rdrdz =
∫ rN ( z, r )
i
∂D
∂N j ( z , r )
∂r
∂N j ( z, r )
∂z
nr d Γ − ∫
D
∂ ( rN i ( z , r ) ) ∂N j ( z , r )
∂r
∂r
drdz
∂ ( rN i ( z , r ) ) ∂N j ( z , r )
drdz
∂z
∂z
D
nz d Γ − ∫
⎡ ∂ 2 N j ( z, r ) ∂ 2 N j ( z, r ) ⎤
⇒ ∫ Ni ( z, r ) ⎢
+
⎥ rdrdz
2
∂z 2
⎢⎣ ∂r
⎥⎦
D
∂N j ( z , r )
∂ ( N i ( z , r ) ) ∂N j ( z , r ) ⎤
⎡ ∂ ( rN i ( z , r ) ) ∂N j ( z, r )
+r
= ∫ rN i ( z , r )
dΓ − ∫ ⎢
⎥ drdz
∂n
∂r
∂r
∂z
∂z
⎦
D⎣
∂D
(II.5)
Dans cette dernière relation, la dérivée normale de la fonction de forme Nj est définie
par rapport à la normale du contour dans le plan (z,r) et ne dépend donc pas de la
coordonnée azimutale θ. En tenant compte des conditions aux limites (I.3) sur les
frontières du domaine, les intégrales de contour apparaissant dans (II.5) disparaissent. Il
reste donc dans (II.5) la contribution de la deuxième intégrale de surface :
Chapitre II - Méthode des éléments finis
7
∂N j ( z , r )
⎡ ∂ ( rN i ( z , r ) ) ∂N j ( z , r )
∂N ( z , r ) ∂N j ( z , r )
drdz + ∫ N i ( z , r )
drdz − ∫ r i
drdz
⎢−∫
∂r
∂r
∂r
∂z
∂z
D
D
⎣ D
N ( z, r ) N j ( z, r )
⎤
−∫ i
drdz − ∫ jωμ0σ N i ( z , r ) N j ( z , r )rdrdz ⎥ EIj = ∫ jωμ0σ N i ( z , r ) N j ( z , r )rdrdz.ECj ( z , r )
r
D
D
D
⎦
(II.6)
Afin d’alléger la visualisation, on pose successivement :
∂ ( rN i ( z , r ) ) ∂ ( N j ( z , r ) )
drdz
∂r
∂r
D
[ KeI ] = − ∫
[ KeII ] = ∫ Ni ( z, r )
D
[ KeIII ] = − ∫ r
D
[ KeIV ] = − ∫
D
∂ ( N j ( z, r ) )
∂r
drdz
∂ ( Ni ( z, r ) ) ∂ ( N j ( z, r ) )
drdz
∂z
∂z
Ni ( z, r ) N j ( z, r )
r
(II.7)
drdz
[ KeV ] = − ∫ jωμ0σ Ni ( z, r ) N j ( z, r )rdrdz
D
Le système d’équations sur le champ induit se réécrit donc sous forme plus concise :
[ K ] = [ KeI ] + [ KeII ] + [ KeIII ] + [ KeIV ] + [ KeV ]
[ K ]{EI } = − [ KeV ]{EC }
(II.8)
Remarque
La matrice élémentaire [KeV] introduit un couplage entre les grandeurs réelles et
imaginaires en raison de la présence du nombre imaginaire j dans sa définition. Cette
particularité est explicitée dans le point concernant l'assemblage des matrices élémentaires.
Cette matrice élémentaire intervient dans le terme de droite du système d'équation
correspondant au terme de forçage théorique créé par les spires. La contribution de cette
matrice dans le membre de droite n'intervient que lors de l'écriture de l'équation réelle et
pas du tout pour l'équation imaginaire.
2.2.
Discrétisation de l’équation du champ total
L’équation (I.1) sera d’utilité par la suite pour la validation du code élément finis. Il
est donc important de développer la discrétisation de cette équation. La même méthode de
discrétisation que celle du système (II.8) est employée, de sorte à pouvoir directement
écrire la formulation décrite ci-dessous.
Fondamentalement, seuls le membre de droite et le vecteur inconnu subissent un
changement par rapport à la situation du paragraphe précédent. Si on reprend les mêmes
notations que dans (II.8), on peut écrire le système d'équations sur le champ total sous une
forme plus compacte :
Chapitre II - Méthode des éléments finis
8
[ K ] = [ KeI ] + [ KeII ] + [ KeIII ] + [ KeIV ] + [ KeV ]
[ K ]{E} = {KeVI }
(II.9)
Le vecteur élémentaire correspondant au terme de forçage, noté [KeVI], est défini par :
nr
G JG
{KeVI } = − ∫ jωμ0 Ni ( z, r ) I C ∑ δ ( r − ri )rdrdz
D
(II.10)
i =1
Il est bon de faire remarquer que, lors de la discrétisation du domaine en éléments
surfaciques, cette dernière intégrale sera non nulle uniquement pour les éléments contenant
un conducteur électrique. En effet, la présence des pics de Dirac annule la contribution de
tous les autres éléments. On peut donc expliciter la contribution en chacun des nœuds d’un
élément contenant un conducteur par (II.10). Il faut faire attention au fait que la
contribution du forçage par le conducteur ne se fait pas sur l’ensemble de l’élément mais
uniquement en un point précis de celui-ci. La contribution en chacun des nœuds de
l’élément sera donc différente selon l’importance de la fonction de forme au niveau du
conducteur.
{KeVI } = − jωμ0 IC rC Ni ( zC , rC )
(II.11)
3. Assemblage des matrices élémentaires
La méthode habituelle d’assemblage des éléments est utilisée grâce à la
renumérotation locale/globale des inconnues. La matrice [K] du système d’équations n’est
pas symétrique en raison de la définition des matrices élémentaires (II.7). La taille des
matrices élémentaires est 6x6. L'organisation du vecteur inconnu et du vecteur {EC}
consiste en une succession des grandeurs réelles et imaginaires pour chacun des nœuds
numérotés selon la méthode de maillage. Ce choix est plus judicieux que celui consistant à
séparer distinctement les grandeurs réelles et imaginaires (par exemple en plaçant les
grandeurs réelles en première moitié du vecteur inconnu et inversement pour les grandeurs
imaginaires). En effet, si ce dernier choix était fait, l'inversion de la matrice [K] du
système d'équation serait moins évidente en raison de l'écartement plus important de
certains termes par rapport à la diagonale de cette dernière comme il le sera montré dans la
suite.
Ci-dessous, le remplissage des matrices élémentaires introduites au point 2.1 est
présenté afin de bien mettre en évidence le couplage entre les grandeurs réelles et
imaginaires.
Le cas des matrices élémentaires [KeI], [KeII], [KeIII] et [KeIV] ne pose pas de
problème particulier. En effet, si on écrit la contribution d’une des ces matrices,
correspondant au nœud i de l’élément en cours d’assemblage :
Kei1 ( Er1 + jEi1 ) + Kei 2 ( Er2 + jEi2 ) + Kei 3 ( Er3 + jEi3 )
(II.12)
La résolution d’une équation faisant intervenir des grandeurs complexes se fait en
scindant la contribution des valeurs réelles et imaginaires. Ceci est clairement représenté
dans (II.13).
Chapitre II - Méthode des éléments finis
9
⎡ Ke11
[ KeI ] ⎫ ⎢ 0
⎪ ⎢
[ KeII ] ⎪ ⎢ Ke21
⎬=⎢
[ KeIII ]⎪ ⎢ 0
[ KeIV ]⎪⎭ ⎢⎢ Ke31
⎢⎣ 0
0
Ke12
0
Ke13
Ke11
0
Ke12
0
0
Ke21
Ke22
0
0
Ke22
Ke23
0
0
Ke32
0
Ke33
Ke31
0
Ke32
0
0 ⎤
Ke13 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
Ke23 ⎥
0 ⎥
⎥
Ke33 ⎥⎦
(II.13)
Par contre, concernant la contribution de la matrice [KeV], il faut être plus prudent. En
effet, en exprimant la contribution de cette matrice pour le nœud i de l’élément :
si on pose Keij = − ∫ ωμ0σ N i ( z , r ) N j ( z , r )rdrdz
D
jKei1 ( E + jE ) + jKei 2 ( E + jE
1
r
1
i
2
r
2
i
) + jKe ( E
i3
3
r
+ jE
3
i
)
(II.14)
Dans cette dernière équation, un changement de notation est fait par rapport au point
2.1 afin de mettre en évidence le caractère imaginaire de la matrice [KeV]. On peut alors
continuer à développer (II.14) :
Kei1 ( jEr1 − Ei1 ) + Kei 2 ( jEr2 − Ei2 ) + Kei 3 ( jEr3 − Ei3 )
(II.15)
La contribution [KeV] est plus clairement mise en évidence sous forme matricielle :
⎡
⎢
⎢
⎢
[ KeV ] = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0
− Ke11
0
− Ke12
0
Ke11
0
Ke12
0
Ke13
0
Ke21
− Ke21
0
0
Ke22
− Ke22
0
0
Ke23
0
− Ke31
0
− Ke32
0
Ke31
0
Ke32
0
Ke33
− Ke13 ⎤
0 ⎥⎥
− Ke23 ⎥
⎥
0 ⎥
− Ke33 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
(II.16)
On voit à ce niveau-ci l’inconvénient que ferait apparaître l’utilisation d’un vecteur
inconnu dont les grandeurs réelles et imaginaires sont placées de manière bien distinctes
(par exemple les grandeurs réelles en début de vecteur et inversement pour les grandeurs
imaginaires). En effet, (II.16) ferait alors apparaître des termes très éloignés de la
diagonale de la matrice globale [K] et ralentirait l’inversion de cette dernière.
4. Développements des matrices élémentaires
Intéressons-nous maintenant à la définition des fonctions de forme des éléments
surfaciques en coordonnées cylindriques et par la suite aux expressions analytiques de
certaines intégrales surfaciques.
De manière générale, le domaine du problème est découpé en éléments surfaciques de
forme quelconque. Un certain nombre de nœuds sont associés à la définition d’un élément
particulier. A chaque nœud est également associée une fonction de forme, valant l’unité en
ce nœud et nulle pour tous les autres nœuds de l’élément. Le degré de ces fonctions de
forme est défini par le nombre de nœuds au sein de l’élément. Dans ce cas-ci, les éléments
sont choisis comme étant triangulaires de degré unitaire et sont donc caractérisés par trois
nœuds situés en chacun des sommets du triangle.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
10
Figure 4 : Transformation géométrique - définition de l’élément parent.
Les définitions des matrices élémentaires correspondent à des intégrations de
fonctions non triviales dans un système de coordonnées (z,r). Il est plus aisé de réaliser ces
intégrations en réalisant un changement de coordonnées afin de travailler dans un plan
(ξ,η). Les fonctions de forme définies dans ce plan sont alors plus simples à exprimer, ce
qui facilite grandement les différentes intégrations.
⎧ N1 (ξ ,η ) = 1 − ξ − η
⎪
⎨ N 2 (ξ ,η ) = ξ
⎪ N (ξ ,η ) = η
⎩ 3
(II.17)
La liaison entre les deux systèmes de coordonnées se fait par le biais du Jacobien. La
définition de celui-ci est exprimée par :
⎛ ∂r
⎜ ∂ξ
J (ξ ,η ) = ⎜
⎜ ∂z
⎜ ∂ξ
⎝
∂r ⎞
∂η ⎟
⎟
∂z ⎟
∂η ⎟⎠
(II.18)
Les définitions des matrices élémentaires (II.7) sont modifiées, les changements étant
exprimés de manière globale pour une fonction quelconque par l’équation suivante. On
remarque l’apparition du déterminant du Jacobien.
1 1−ξ
∫ψ ( z, r ) drdz = ∫ ∫ ψ (ξ ,η ) J (ξ ,η ) dη dξ
D
(II.19)
0 0
Maintenant que les bases fondamentales de la méthode des éléments finis sont
construites, les expressions analytiques de certaines intégrales surfaciques peuvent être
construites. En effet, à l’exception d’un cas particulier, il est possible d’exprimer de
manière générale les intégrales surfaciques en coordonnées globales, et ce pour les
différents nœuds de l’élément ([DET04]).
Les conventions d’écriture suivies dans ce paragraphe sont les suivantes :
•
(z1,r1), (z2,r2), (z3,r3) sont les coordonnées des nœuds de l’élément surfacique en
cours d’assemblage.
•
S=
•
On pose également :
det( J )
est la surface de cet élément.
2
Chapitre II - Méthode des éléments finis
11
JG
JG
JG
n1 = (r3 − r2 )1z + ( z2 − z3 )1r
JJG
JG
JG
n2 = (r1 − r3 )1z + ( z3 − z1 )1r
JJG
JG
JG
n3 = (r2 − r1 )1z + ( z1 − z2 )1r
(II.20)
On exprime alors les différentes matrices élémentaires sous formes analytiques :
∂ ( rN i ( z , r ) ) ∂N j ( z , r )
∂N j ( z , r ) ⎞
⎛ ∂N ( z , r ) ∂N j ( z , r )
+ Ni ( z, r )
drdz = − ∫ ⎜ r i
⎟ drdz
∂
r
∂
r
∂
r
∂
r
∂
r
⎠
D
D⎝
r r
r
⎛ n n (r + r + r ) n ⎞
= −⎜ i j 1 2 3 + j ⎟
(II.21)
⎜
⎟
12
6
S
⎝
⎠
r
∂N ( z , r )
n
drdz = j
(II.22)
[ KeII ] = ∫ Ni ( z, r ) j
∂r
6
D
[ KeI ] = − ∫
n z n z (r + r + r )
∂N i ( z , r ) ∂N j ( z , r )
drdz = − i j 1 2 3
∂z
∂z
12S
D
S (r + r + r + r + r )(1 + δ ij )
[ KeV ] = − ∫ jωμ0σ Ni ( z, r ) N j ( z, r )rdrdz = − jωμ0σ 1 2 3 i j
60
D
[ KeIII ] = − ∫ r
(II.23)
(II.24)
Dans cette dernière, δij représente le symbole de Kronecker, valant 1 lorsque i=j et 0
lorsque i≠j.
Concernant la matrice élémentaire [KeIV], aucun développement analytique n’est
possible. Il faut donc recourir à une intégration numérique pour ce terme. La première
étape consiste en un changement de variable afin de faciliter l’écriture des fonctions de
forme. La deuxième étape revient à exprimer l’intégrale surfacique sous forme d’une
somme pondérée de l’intégrant en certains points bien définis de l’élément. Le détail des
intégrations numériques sur des éléments triangulaires est donné en annexe C.
[ KeIV ] = − ∫
D
Ni ( z, r ) N j ( z, r )
r
1 1−ξ
drdz = − ∫
∫
0 0
N i (ξ ,η ) N j (ξ ,η )
r (ξ ,η )
J (ξ ,η ) dη dξ
3
N i (ξ k ,ηk ) N j (ξ k ,ηk )
k =1
r (ξ k ,ηk )
= −∑
(II.25)
J (ξ k ,η k ) ωk
5. Particularités du maillage
Quelques remarques ont déjà été faites concernant les particularités spécifiques au
maillage. Dans ce paragraphe, ces remarques sont rassemblées et complétées.
•
Le domaine extérieur doit être de taille suffisante afin que la solution tende
naturellement et de manière asymptotique vers la condition aux limites imposée.
De plus, la nature de la solution est de forme concentrique. La forme extérieure du
domaine qui se prête le mieux à ce genre d’évolution est celle d’un cercle.
•
Sur cette limite extérieure du domaine, la taille des éléments ne doit pas
nécessairement être petite afin de ne pas inutilement augmenter le nombre
d’inconnues du système. A une telle distance du dispositif, la variation de la
Chapitre II - Méthode des éléments finis
12
solution est suffisamment lente que pour ne pas justifier un raffinement excessif
du maillage.
•
Lors de la représentation finale du champ total extérieur, la singularité du champ
créé par les spires impose la non coexistence entre un conducteur électrique et un
nœud du maillage. Une manière d’adoucir cette singularité est de placer les
conducteurs électriques au sein d’éléments du maillage afin que la source soit
distribuée entre les nœuds de l’élément.
•
Au niveau des conducteurs électriques, la solution varie très rapidement en raison
de l’évolution de la solution inversement proportionnelle à la distance. Afin de
capturer de manière satisfaisante cette évolution, le maillage doit être
progressivement raffiné du domaine extérieur vers les conducteurs électriques.
•
Au niveau de l’interface vide-plasma, les lignes de champ subissent une rapide
déviation en raison des conditions électromagnétiques d’interface. Afin de
capturer de manière satisfaisante cette évolution, le maillage doit être
progressivement raffiné en direction de l’interface.
•
Au niveau de l’axe de symétrie, les lignes de champ doivent se refermer et
subissent donc une rapide variation. Afin de capturer de manière satisfaisante
cette évolution, le maillage doit être progressivement raffiné en direction de l’axe
de symétrie.
•
Le maillage est du type structuré à l’intérieur de la torche car les deux
raffinements, sur l'axe de symétrie et le côté qui lui est opposé, ne se font que
dans le sens radial et non axial. Il s’agit d’un maillage suffisant pour déterminer le
champ électrique. Ce maillage n’est peut-être pas suffisant pour caractériser un
écoulement MHD au sein de la torche en raison des nombreuses particularités
liées à un écoulement (couches limites, zones tourbillonaires,…).
Un maillage type reprenant l’ensemble des remarques précédentes est représenté sur
la figure suivante. Le domaine extérieur n’est pas entièrement montré afin d’être encore
capable de discerner les détails au niveau de la torche.
Figure 5 : Modèle de maillage adapté aux propriétés physiques du problème
Chapitre II - Méthode des éléments finis
13
6. Conductivité électrique nulle dans tout le domaine
Imposer une conductivité nulle dans tout le domaine, y compris l’intérieur de la
torche à plasma, permet de simplifier le problème original et donc de réaliser quelques
étapes importantes comme la détermination de la taille du domaine extérieur, la validation
du code implémenté,…
Le cas sur lequel ce point se base consiste en une simplification du problème original,
c’est-à-dire l’émission du champ électrique par les spires, sans l’influence du champ
induit. La discrétisation de ce problème a été développée dans le paragraphe 2.2. Dans
celle-ci, la matrice élémentaire [KeV] n'intervient plus dans le problème comme la
conductivité électrique est imposée égale à une valeur nulle dans tout le domaine. Les
équations complexes sont donc découplées. Comme le terme de forçage (I.11) est
purement imaginaire et que les équations réelles sont découplées des équations
imaginaires, le champ électrique obtenu est purement imaginaire.
6.1.
Détermination de la taille du domaine extérieur
Une manière rigoureuse de déterminer la dimension optimale que doit avoir le
domaine extérieur consiste en la comparaison de la qualité du résultat pour différents
rayons du cercle sur lequel on impose la condition de rayonnement.
Pour ces différents maillages, seul le rayon du cercle formant la limite extérieure
varie. Les différents raffinements conservent leurs tailles caractéristiques. Comme pour ces
différents maillages, la distance entre la torche et la limite extérieure varie, la taille des
éléments sur cette frontière doit être ajustée, et ce principalement pour les maillages avec
un petit rayon du domaine extérieur.
Le meilleur moyen de visualiser les subtiles différences de la solution obtenue sur ces
différents maillages consiste à réaliser une coupe au niveau du conducteur central et de
tracer l’évolution de la solution par rapport à la coordonnée radiale. Pour rappel, la
longueur totale de la torche est de 0.10m. Les diamètres choisis pour le domaine extérieur
sont : 0.12m, 0.20m, 0.40m et 0.70m.
Les différents résultats sont repris dans la figure suivante. La torche s’étend jusqu’à
une coordonnée radiale de 0.015m. Le conducteur électrique est placé à une distance
radiale de 0.019m pour laquelle le maximum de la solution est atteint. Théoriquement, la
solution devrait même y être infinie, mais en raison de la discrétisation, on ne peut
qu’approcher la valeur maximale. Les principales différences se font ressentir au-delà du
conducteur électrique. En effet, dans le cas d’une forte limitation de la taille du domaine,
la solution est beaucoup plus forcée à tendre vers la valeur imposée comme condition aux
limites.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
14
Figure 6 : Influence de la taille du domaine extérieur sur la qualité de la solution - Evolution de la
solution selon la coordonnée radiale pour une coupe au niveau du conducteur central.
Afin de mieux visualiser les performances des différents domaines, il est encore plus
intéressant de visualiser l’erreur relative de la solution. Cette erreur relative est prise par
rapport au domaine de plus grande dimension (de rayon 0.35m) fournissant la solution la
plus proche de la réalité.
εh =
uh − uhR =0.35
uhR =0.35
(II.26)
Les différents résultats sont reportés sur la figure suivante.
Figure 7 : Influence de la taille du domaine extérieur sur la qualité de la solution - Evolution de
l’erreur relative selon la coordonnée radiale pour une coupe au niveau du conducteur central.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
15
Comme le champ électrique est nul sur l’axe de symétrie, l’erreur relative n’est pas
déterminée en ce point. On observe plus facilement sur le résultat précédent l’amélioration
progressive de la qualité de la solution lors de l’augmentation de la taille du domaine
extérieur. On peut néanmoins souligner qu’au sein de la torche, l’erreur relative reste
toutefois acceptable pour le plus petit des domaines (~3.5%).
Afin de quantifier la qualité de la solution, il est beaucoup plus intéressant de recourir
à la norme L2 de l’erreur par rapport à la solution théorique (I.11). Cette norme est définie
par (II.27), dans laquelle on appelle respectivement uh et u les solutions numérique et
théorique. L’erreur est calculée sur les nœuds intérieurs à la torche afin de ne pas tenir
compte du raffinement arbitraire des conducteurs.
uh − u
L2
=
2
1
uh − u )
(
∫
SS
(II.27)
Cette erreur est reportée sur la figure suivante pour les différents maillages considérés
dans ce point. Il est à noter que le degré de raffinement au niveau des conducteurs et à
l’intérieur de la torche est identique pour tous ces maillages, seul le rayon extérieur du
domaine varie.
Figure 8 : Influence de la taille du domaine extérieur sur la norme L2 de l’erreur pour les nœuds situés
à l’intérieur de la torche.
On remarque très bien que la norme de l’erreur dépend de la distance à laquelle est
imposée la condition de rayonnement. Le domaine de rayon 0.35m semble tout indiqué
pour minimiser le blocage de la solution, ce blocage étant dû à l’imposition de la condition
de rayonnement à une distance finie du dispositif. Néanmoins, la précision gagnée par
rapport à un domaine de moindres dimensions est relativement faible.
6.2.
Validation du code implémenté
De manière générale, pour procéder à la validation d'un code éléments finis, une
situation particulière du problème doit être choisie. En effet, il faut que deux critères soient
Chapitre II - Méthode des éléments finis
16
respectés : le cas considéré doit être simple et la solution théorique ou expérimentale
connue. Pour répondre à ces deux critères, le cas de l’émission du champ électrique par les
spires, sans l’influence du champ induit, est considéré. Ce cas revient à choisir une
conductivité électrique nulle dans tout l’espace, même au sein de la torche.
La discrétisation (II.8) ne permet pas de déterminer le champ total : si la conductivité
électrique est nulle, le terme de forçage est annulé. Avec les conditions aux limites
imposées, la solution à l'équation de Laplace ne peut fournir que la solution triviale d’un
champ induit nul dans tout l’espace. Il faut donc recourir au système d’équation initial
(II.9).
Sur la figure suivante, la norme du champ électrique total théorique (I.11) est
représentée dans le domaine entier. On remarque très bien la fermeture des lignes de
champ au niveau de l’axe de symétrie de la torche à plasma. On remarque également la
forme concentrique du champ électrique dans le domaine extérieur, ce qui prouve le choix
adéquat de la forme du domaine extérieur sur laquelle la condition de rayonnement est
imposée. Le champ magnétique calculé sur base de la forme théorique du champ électrique
est montré en annexe F.
Figure 9 : Evolution de la norme du champ électrique théorique (I.11) [V/m] dans le domaine
extérieur à la torche.
Le résultat numérique du système d'équation (II.9) est représenté sur la figure
suivante. La solution théorique du champ (I.11) y est également reportée afin de pouvoir
effectuer une comparaison aisée. Seul l’intérieur de la torche est représenté comme il s’agit
du seul domaine d’intérêt dans le problème.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
17
Figure 10 : Emission du champ par les spires - Norme du champ électrique total [V/m]. Comparaison
entre la solution théorique (au-dessus) et la solution numérique FEM (en dessous).
Plusieurs constatations peuvent être faites à partir du résultat précédent :
•
On remarque une bonne concordance entre les deux solutions. Le léger écart au
niveau de l’amplitude peut s'expliquer par l'atténuation du terme de forçage dans
le cas de la solution numérique. La représentation fonctionnelle linéaire du terme
de forçage empêche en effet une excellente évaluation du champ créé au niveau
des nœuds des éléments contenant les conducteurs électriques. Cette sousévaluation du champ électrique se propage ensuite dans tous les éléments voisins
du domaine entier.
•
Tant le champ théorique que le résultat numérique présentent une dissymétrie
axiale : on remarque en effet que sur les frontières gauche et droite, les lignes de
champ ne coupent pas la torche pour la même valeur de la coordonnée radiale.
Ceci est dû à la géométrie de la torche dans laquelle les spires sont légèrement
décalées par rapport au centre de la torche (figure 2).
•
Les lignes de champ des deux solutions se referment de sorte à encercler les
conducteurs électriques. La norme du champ électrique total est donc nulle dans
l’axe de la torche et maximale perpendiculairement à celle-ci.
De manière plus quantitative, la norme quadratique de l’erreur (II.27) est calculée en
fonction du nombre de degrés de libertés intérieurs à la torche. La construction de ces
différents maillages est un peu particulière : le raffinement de l’intérieur de la torche varie
tandis que le raffinement au niveau des conducteurs reste identique. La raison en est que
seul l’intérieur de la torche constitue le réel domaine d’intérêt du problème. Une autre
raison est que le maillage à l’intérieur de la torche doit également être adapté à l’étude de
l’écoulement du plasma, c’est-à-dire contenir des couches limites sur les surfaces de la
torche ainsi que des raffinements locaux.
La variation de cette norme quadratique de l’erreur est représentée sur la figure
suivante. La convergence vers la solution théorique se déroule bien avec un raffinement du
maillage intérieur à la torche.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
18
Figure 11 : Variation de la norme L2 de l’erreur par rapport au nombre de degrés de liberté à
l’intérieur de la torche.
6.3.
Performances temporelles du code FEM sur le problème
du champ créé par les spires
Plusieurs expériences numériques ont été menées sur le problème du champ créé par
les spires, sans tenir compte de la conductivité électrique du milieu. Le paramètre que l’on
va faire varier est le nombre de degrés de liberté du système d’équations. Pour ce faire,
plusieurs maillages sont construits et soumis au code implémenté pour la résolution de
(II.9). Différentes durées caractéristiques du problème sont retenues afin d’avoir une idée
globale des performances des différentes parties de la méthodologie suivie. Ces différentes
durées sont :
•
•
•
•
•
Construction du maillage bidimensionnel à l’aide de l’outil Gmsh.
Lecture du maillage et des données
Evaluation des intégrales et assemblage des matrices élémentaires (II.7)
Imposition des conditions aux limites (I.3)
Inversion de la matrice globale
Concernant l’inversion de la matrice, comme le nombre d’entrées dans cette matrice
est assez limité en comparaison avec la taille de la matrice, une méthode directe est
utilisée. L’opérateur ‘\’ de Matlab® suffit à cet effet. Ce logiciel effectue une
renumérotation des indices de la matrice afin de diminuer le nombre d’entrées de la
matrice et de mieux organiser celle-ci (les structures idéales sont diagonale, en bande et
triangulaire). Une raison supplémentaire de ne pas utiliser une méthode itérative est qu’il
faut déterminer une matrice de préconditionnement, ce qui ne va pas toujours de soi.
Les performances obtenues sur les différents maillages sont représentées sur la figure
12. Les calculs ont été réalisés sur un Intel® Core™ 2 Quad CPU Q9550 @ 2.83GHz avec
une mémoire RAM de 8 Go DDR2.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
19
On remarque tout de suite que la contribution de l’assemblage des matrices
élémentaires est la plus importante d’entre toutes. L’utilisation d’une mise en parallèle du
code permettrait de grandement réduire la durée mise pour cette étape. Comme annoncé
auparavant, on remarque que l’inversion de la matrice n’est pas l’élément le plus
contraignant dans le cas de l’utilisation de la méthode des éléments finis. On remarque
également que la construction du maillage contribue également pour une bonne partie à la
durée totale de la résolution. Il s’agit bien évidemment d’un inconvénient majeur inhérent
à la méthode des éléments finis.
Concernant la durée demandée pour l’imposition des conditions aux limites, il y a une
très grande influence du nombre de nœuds se trouvant sur les frontières sur lesquelles ces
conditions aux limites sont imposées. Comme il n’y a pas de relation exacte entre le
nombre de nœuds situés sur ces frontières et le nombre de nœuds situés à l’intérieur de la
torche, l’évolution de cette courbe fait juste ressentir une tendance.
Il est également important de faire remarquer que la qualité de la solution se détériore
grandement avec une trop grande diminution du nombre de degrés de liberté. En effet,
avec un moins bon raffinement au niveau des conducteurs, le terme de forçage de (II.9) est
moins bien modélisé et mène donc à une diminution globale de l’amplitude de la solution
dans le domaine. Certaines oscillations sont également observées dans le domaine.
La durée totale demandée tend vers un ordre de O(N²) où N est le nombre total de
degrés de liberté.
Figure 12 : Temps caractéristiques obtenus sur le problème du champ créé par les spires en fonction
du nombre de degrés de liberté.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
20
7. Conductivité électrique non nulle à l’intérieur de la torche
7.1.
Conséquences de la présence d’une conductivité
électrique
Cette fois-ci, le cas complet du problème est considéré. Contrairement au cas
précédent, le système d’équations (II.8) peut être utilisé pour déterminer le champ
électrique induit au sein de la torche. Afin de déterminer le champ électrique total, il
suffira d’ajouter la contribution du champ créé par les spires (I.11) dont les composantes
sont purement imaginaires. La présence de la matrice élémentaire [KeV] introduit un
couplage entre les équations complexes (cf. point 3 sur l’assemblage des matrices
élémentaires). Le champ électrique total possède donc une composante réelle et une
composante imaginaire.
En électromagnétisme classique, la présence d’une interface entre deux milieux
différents introduit la notion de conditions d’interface sur le champ électrique de part et
d’autre de l’interface ([SIN04]) :
⎧ε1 En1 − ε 2 En 2 = ρ s
⎨
⎩ Et1 = Et 2
(II.28)
Dans le cas particulier de l’écoulement d’un plasma, il n’existe pas de densité de
charge libre sur l’interface. De plus, les permittivités des deux milieux sont égales à la
permittivité du vide εo. La condition sur la composante normale devient donc : En1=En2.
La présence d’une conductivité au sein de la torche introduit également la notion
d’effet pelliculaire : l’intensité du courant induit se concentre sur la surface de la torche sur
une épaisseur dépendant de la fréquence d’excitation de la source et de la conductivité
électrique locale. Dans un cas général, cette profondeur de peau est estimée par la relation
suivante :
δ=
2
(II.29)
ωμ0σ
La densité de courant induit varie de manière exponentielle au sein du plasma :
JG JJG − x /δ
J = JSe
(II.30)
La profondeur de peau correspond donc à la distance x par rapport à la surface pour
laquelle la densité de courant induit a diminué d’un facteur 1/e par rapport à la densité de
courant en surface JS.
Une analogie peut également être faite avec la propagation d’une onde dans un milieu
conducteur ([SIN04]) pour laquelle une solution à l’équation suivante est donnée par (II.31).
Cette analogie sera utile pour l’interprétation des résultats dans la suite.
d 2 E ( x)
= γ 2 E ( x)
dx 2
avec γ =
jωμ (σ + jωε ) = α + j β =
1
δ
+ jβ
⇔ E ( x) = E f e − x /δ cos(ωt − β x + θ f ) + Eb e x /δ cos(ωt + β x + θb )
Chapitre II - Méthode des éléments finis
(II.31)
21
La solution consiste en une combinaison linéaire de deux ondes se propageant en sens
opposés. Le paramètre α est appelé constante d’atténuation et β est la constante de phase.
L’onde se propageant au sein du plasma est atténuée tandis que celle se dirigeant vers le
domaine extérieur est amplifiée.
Il a été choisi d’imposer la conductivité électrique au niveau des nœuds du maillage et
non pas au sein des éléments. Ce choix permet de tenir compte de la conductivité
électrique du quartz situé entre le vide et le plasma. Néanmoins, ici, cette interface
intermédiaire n’est pas retenue afin de simplifier le problème. La conductivité électrique
au sein du plasma est choisie uniforme. Le cas d’une conductivité électrique non uniforme
sera traité dans le chapitre suivant. Afin de ne pas compliquer le problème, tous les nœuds
situés sur la frontière de la torche ont une conductivité électrique égale à celle du plasma.
Les valeurs usuelles de cette conductivité dépendent grandement de la température locale
([VAN00])
. Dans ce cas-ci, trois valeurs (100, 1000 et 10.000 S/m) seront choisies afin de
clairement mettre en évidence leurs influences. Lors de cette étude, la fréquence
d’excitation sera fixée à celle utilisée par la mini-torche à plasma (27.6 MHz).
L’influence de la fréquence d’excitation sera également prise en considération dans
un des points suivants. Les fréquences choisies pour cette étude sont 1, 10 et 100 MHz.
Lors de cette étude, la conductivité électrique sera fixée à 5000 S/m afin d’avoir une
profondeur de peau d’un ordre de grandeur satisfaisant.
Les profondeurs de peau théoriques δ (II.29) (exprimées en millimètres)
correspondant aux différents cas sont présentées dans le tableau suivant.
σ = 100 S/m
σ = 1000 S/m
σ = 10000 S/m
9.58
3.0295
0.958
1 MHz
10 MHz
100 MHz
7.1176
2.2508
0.7118
Influence de la conductivité
électrique - 27.6 MHz
Influence de la fréquence
d’excitation - σ = 5000 S/m
Tableau 1 : Profondeurs de peau [mm] théoriques (II.29) pour les différentes configurations
envisagées dans les études correspondantes.
7.2.
Influence de la conductivité électrique - 27.6 MHz
Dans ce paragraphe, on se concentre sur l’étude de l’influence de la conductivité
électrique sur le champ électrique total au sein de la torche. Pour ce faire, la fréquence
d’excitation est fixée à celle utilisée sur la mini-torche (27.6 MHz). Les conductivités
électriques choisies ainsi que leurs profondeurs de peau théoriques sont données dans le
tableau 1.
Le résultat obtenu sur σ = 1000 S/m est donné sur les deux figures suivantes 13 et 14.
On observe très bien sur la première figure l’apparition de l’accumulation du champ
électrique au niveau de la surface de la torche, en comparaison avec une conductivité
électrique nulle sur la figure 9. La déviation des lignes de champs se remarque également
très bien au niveau de l’interface de changement de milieu plasma-vide. Dans le vide, le
champ électrique rayonne de manière concentrique. Par contre, au sein du plasma, la phase
(figure 14) du champ électrique change complètement par rapport au milieu extérieur, ce
qui implique un changement de signe du champ électrique total (I.2).
Chapitre II - Méthode des éléments finis
22
Figure 13 : Norme du champ électrique total [V/m]. 27.6 MHz - σ = 1000 S/m. Mise en évidence du
phénomène d’effet pelliculaire.
Figure 14 : Phase (°) du champ électrique total. 27.6 MHz - σ = 1000 S/m.
Pour comparer les résultats obtenus sur les différentes conductivités, il est plus aisé de
réaliser une coupe transversale des champs électriques obtenus au niveau du conducteur
électrique central. Les différents résultats sont reportés sur la figure suivante représentant
l’évolution de la norme du champ électrique total en fonction de la coordonnée radiale.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
23
Figure 15 : Influence de la conductivité électrique. 27.6 MHz. Norme du champ électrique total en
fonction de la coordonnée radiale [V/m]. Coupe transversale au niveau du conducteur central.
Sur cette dernière figure, l’effet pelliculaire se fait très bien remarquer avec une
augmentation de la conductivité électrique. Dans le milieu extérieur, l’évolution du champ
électrique est inversement proportionnelle à la distance par rapport aux spires. Au niveau
du conducteur central (r=0.019m), la norme du champ électrique total tend à devenir
infinie. En raison de l’organisation du maillage (point 5), il n’est pas possible de capturer
cette valeur infinie.
Dans le tableau ci-dessous, les profondeurs de peau obtenues numériquement sont
comparées avec les profondeurs de peau théoriques (II.29). La profondeur de peau
numérique est définie comme étant la distance à partir de la paroi de la torche pour
laquelle la norme du champ électrique a diminué d’un facteur 1/e par rapport à la paroi. On
remarque l’assez bonne capture de la profondeur par la solution numérique. Au plus la
conductivité électrique augmente, au meilleur est la similitude avec la profondeur de peau
théorique.
Théorique
Numérique
σ = 100 S/m
9.58
8.1
σ = 1000 S/m
3.0295
3.1
σ = 10000 S/m
0.958
0.95
Tableau 2 : Influence de la conductivité électrique - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numérique.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
24
7.3.
Influence de la fréquence d’excitation - σ = 5000 S/m
Dans ce paragraphe, l’étude de l’influence de la fréquence d’excitation des spires est
faite pour une conductivité électrique fixée à 5000 S/m. Les fréquences choisies restent
dans le domaine de l’ordre du MHz (1, 10 et 100 MHz). Les résultats sont reportés sur la
figure suivante représentant la norme de la solution pour une coupe transversale au niveau
du conducteur central (z=0.053m).
Figure 16 : Influence de la fréquence d’excitation. σ = 5000 S/m. Norme du champ électrique total
[V/m] en fonction de la coordonnée radiale. Coupe transversale au niveau du conducteur central.
La profondeur de peau δ est inversement proportionnelle à la fréquence, ce qui
produit une concentration du champ électrique au niveau de la surface de la torche pour
des fréquences de plus en plus élevées.
Dans le tableau ci-dessous, les profondeurs de peau obtenues numériquement sont
comparées avec les profondeurs de peau théoriques (II.29). La profondeur de peau
numérique est définie de la même manière que pour le tableau 2. On remarque l’assez
bonne capture de la profondeur par la solution numérique. Au plus la conductivité
électrique augmente, au meilleur est la similitude avec la profondeur de peau théorique.
Théorique
Numérique
σ = 100 S/m
7.1176
7.5
σ = 1000 S/m
2.2508
2.3
σ = 10000 S/m
0.7118
0.72
Tableau 3 : Influence de la fréquence d’excitation - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numérique.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
25
7.4.
Performances temporelles du code FEM sur le problème
du champ induit
Dans ce dernier paragraphe, l’étude se concentre maintenant sur les performances du
code implémenté, du point de vue temps de calcul. Le paramètre que l’on va faire varier
est le nombre de degrés de liberté du système d’équations. Les mêmes maillages que
l’étude faite au point 6.3 sont utilisés et soumis au code implémenté pour la résolution de
(II.8). Différentes durées caractéristiques du problème sont retenues afin d’avoir une idée
globale des performances des différentes parties de la méthodologie suivie. Ces différentes
durées sont :
•
•
•
•
•
•
Construction du maillage bidimensionnel à l’aide de l’outil Gmsh.
Lecture du maillage et des données
Calcul du champ théorique EC (I.11) pour tous les nœuds du maillage
Evaluation des intégrales et assemblage des matrices élémentaires (II.7)
Imposition des conditions aux limites (I.3)
Inversion de la matrice globale
Ces différents temps caractéristiques sont représentés sur la figure suivante. Par
rapport à la résolution du champ créé par les spires (figure 12), une certaine augmentation
de la durée totale est observée (environ 38.8% d’augmentation en moyenne). Cela
s’explique par l’ajout du calcul du champ théorique EC et de la multiplication matricielle
avec [KeV] (II.7) dans le membre de droite de (II.8).
La durée totale demandée tend vers un ordre de O(N²) où N est le nombre total de
degrés de liberté.
Figure 17 : Temps caractéristiques obtenus sur le problème du champ induit en fonction du nombre
de degrés de liberté.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
26
8. Conclusion
Ce chapitre a traité de la résolution des deux types de systèmes d’équations par la
méthode des éléments finis classique. Dans cette conclusion, on rappelle l’ensemble des
observations intéressantes qui ont pu être faites.
Un des premiers problèmes considérés consistait en la détermination de la distance à
laquelle la condition de rayonnement devait être imposée, autrement dit la taille du
domaine extérieur. Une taille de ce domaine minimisant l’erreur sur le champ électrique
total a été déterminée. Il a également été remarqué qu’une taille du domaine plus petite que
celle du domaine idéal introduisait une erreur assez faible vis-à-vis de ce dernier.
La validation du code implémenté sur le système d’équations du champ électrique
total a fait apparaître une légère différence d’amplitude par rapport à la solution théorique.
La raison de cette différence réside dans la construction du maillage. Le raffinement au
niveau des conducteurs joue un rôle assez important.
Lors de la détermination du champ électrique total par l’intermédiaire du système
d’équations régularisées sur le champ électrique induit, les profondeurs de peau ont été
assez bien approchées dans l’ensemble des situations envisagées (influence de la
conductivité électrique et de la fréquence d’excitation des spires).
Les deux systèmes d’équations sur le champ électrique total et induit présentent des
performances contraires : le système d’équations sur le champ induit présente une
meilleure précision en raison de l’exactitude du terme de forçage. Par contre, le système
d’équations sur le champ électrique total a une durée totale d’exécution plus faible que
l’autre système d’équations.
La méthode des éléments finis sans couplage constitue en soi la méthode de base dont
on cherche à améliorer la durée d’exécution tout en conservant/améliorant la précision sur
le résultat. Ces améliorations peuvent être réalisées en introduisant par exemple un
couplage avec la méthode des éléments de frontière, ce qui est l’objectif du chapitre
suivant.
Chapitre II - Méthode des éléments finis
27
Chapitre III
Méthode des éléments de frontière
1. Introduction
Dans ce chapitre, une méthode de couplage des méthodes des éléments de frontière
(Boundary Element Method - BEM) et des éléments finis (Finite Element Method - FEM)
est analysée. Dans ce cas-ci, grâce aux avantages présentés par la méthode des éléments de
frontière, il devient possible de ne mailler que l’intérieur de la torche. L’équation BEM est
écrite sur la frontière Γ de cette torche afin de tenir compte du champ extérieur dans le
domaine ΩBEM tandis que l’équation FEM est écrite au sein de la torche, le domaine Ω,
avec un couplage avec les nœuds situés sur la frontière de la torche (cf. figure suivante).
Ce couplage remplace la condition de rayonnement introduite dans le chapitre précédent.
La condition de champ nul sur l’axe de symétrie est toutefois conservée.
Figure 18 : Couplage entre les méthodes FEM et BEM. Domaines de résolution pour les méthodes
BEM et FEM.
Dans les points qui suivent, un aperçu historique de la méthode BEM est présenté
ainsi qu’une comparaison des avantages et inconvénients de l’utilisation des méthodes
BEM et FEM. Par la suite, sur base des fondements mathématiques de la méthode BEM,
les équations intégrales du problème seront développées de manière mathématique puis
numérique. Un point suivant sera l’éclaircissement des modifications à apporter au code
FEM ainsi que la méthode de couplage. Tout comme dans le chapitre précédent, une
validation du code sera indispensable pour ensuite continuer sur l’étude des performances
de la méthode BEM tant sur le point de la précision que de la durée de résolution.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
28
2. Un peu d'histoire
La méthode des éléments de frontière telle qu'utilisée actuellement a connu une
évolution progressive sur plus de 200 ans ([CHE05]). Les précurseurs de la méthode sont les
mathématiciens Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace en fournissant une
solution élémentaire à une équation désormais connue sous le nom d'équation de Laplace,
dans le domaine de l'attraction gravitationnelle. Par après, George Green ajouta une pièce
supplémentaire à l'édifice grâce à ses trois identités, dont leur utilité ne fut appréciée
qu'après sa mort. Ces trois identités constituent le coeur de la méthode des éléments de
frontière. De son côté, Erik Ivar Fredholm contribua à la détermination de solutions aux
équations intégrales avec une application dans le domaine de la déflection de poutres sous
l'action de charges distribuées. D'autres noms comme Hermann Ludwig Ferdinand von
Helmholtz, Enrico Betti, William Thomson (Lord Kelvin),… contribuèrent également à
l'élaboration de solutions particulières dans de nouveaux domaines tels que l'acoustique,
l'élasticité,…
Peu avant l'apparition des premières machines numériques, de nouvelles techniques
furent mises en œuvre pour résoudre les problèmes de frontière. Walter Ritz permit
d'ouvrir une nouvelle voie grâce à l'utilisation de théorèmes variationnels et de la
décomposition de la solution en fonctions de forme. Les résultats furent encourageants
bien que pénibles à mettre en œuvre en raison de la complexité des calculs à réaliser.
L'apparition des premières machines numériques (accessibles aux scientifiques du moins)
dans les années 1960 permit de pousser plus en avant l'exploitation de ces méthodes. Ce
n'est que vers 1975 que la méthode des éléments de frontière fit son apparition en temps
que telle. Sa première exploitation se basa sur la formulation des résidus pondérés, choix
particulièrement influencé par les premières brèches ouvertes vers les années 1960. Par
après, la dénomination 'éléments de frontière' engloba une série de nouvelles méthodes.
Répondre à la question "Qui inventa la méthode des éléments de frontière?" est un
véritable défi en raison du nombre important de contributeurs tout au long des deux
siècles.
Les domaines scientifiques de prédilection de la méthode des éléments de frontière
sont la théorie potentielle (en électromagnétique, transfert de chaleur, mécanique des
fluides,…), la théorie des structures, les problèmes d'élasticité et de plasticité,… Cette
technique n'a pas connu autant de succès pour la résolution de problèmes généraux
d'écoulements autour de structures complexes en raison de l'émergence antérieure des
méthodes des différences finies, des éléments finis et des volumes finis.
3. Comparaison des méthodes des éléments finis et des
éléments de frontière
Les méthodes des éléments finis et des éléments de frontière constituent deux
manières totalement différentes de résoudre le problème, basées toutes deux sur des
visions opposées de la méthodologie à suivre. Ces différences de méthodologie mènent
bien évidemment à de grandes différences au point de vue développement théorique, de la
programmation et des caractéristiques du système d'équations à résoudre. Dans ce
paragraphe, ces différences fondamentales sont rassemblées afin d'avoir un aperçu clair
des avantages et inconvénients de chacune des méthodes ([HUN03], [PAR97]).
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
29
•
En toute généralité, les matrices du système d’équations introduites par la méthode
BEM ne sont pas symétriques. Ce manque de symétrie sera clairement mis en
évidence lors de l’écriture mathématique de ces équations.
•
La méthode BEM nécessite l’évaluation d’intégrales de contour. La méthode FEM
introduit une fonction de pondération que l’on prend égale à la fonction de forme
dans le cas de la méthode de Galerkin. La méthode FEM permet donc d’obtenir des
matrices assez creuses. Dans la méthode BEM, il n’existe pas de fonction de
pondération et les intégrales de contour font donc intervenir l’ensemble des inconnues
situées sur la frontière. Les matrices introduites par la méthode BEM sont donc
naturellement remplies. Si N est le nombre de degrés de libertés situés sur la frontière,
la durée demandée par la méthode pour déterminer le champ électrique ainsi que la
taille de stockage sont d’ordre O(N²).
•
Pour un même degré de discrétisation sur le contour, la taille du système BEM sera
toujours inférieure à celle du système FEM. Cette différence est influencée par le taux
de raffinement tridimensionnel de la méthode FEM, c’est-à-dire la proportion de
frontière par rapport au domaine.
•
La solution particulière, également appelée fonction de Green, du problème
indispensable à la méthode BEM apparaît de manière indépendante dans l’équation
intégrale qui constitue le cœur de la méthode. Cette solution est donc approximée
d’une manière indépendante par rapport au reste, ce qui permet de conserver un degré
de précision comparable pour chaque paramètre de l’équation. Ceci est à mettre en
avant par rapport à la méthode FEM pour laquelle les réactions sur la frontière sont
généralement moins précises que les variables dépendantes.
•
Dans le cas d’un calcul BEM sans couplage, le principal avantage de la méthode
BEM réside en sa faculté à fournir une solution sur la frontière uniquement sur base
d’une discrétisation de cette frontière et donc un degré de modélisation moindre que
celui de la méthode FEM. Cet avantage est d’autant plus mis en avant dans un
problème nécessitant l’introduction d’une condition aux limites appliquée infiniment
loin de la structure étudiée. En effet, par la méthode FEM, l’utilisateur se verra dans
l’obligation de discrétiser une grande partie du domaine extérieur afin d’imposer la
condition aux limites suffisamment loin de la structure. Concernant la méthode BEM,
cette condition aux limites est automatiquement respectée par la solution particulière
et ne nécessite donc aucun traitement particulier. Du point de vue commodité pour
l’utilisateur, il s’agit sans conteste d’un atout majeur. Comme il le sera mis en
évidence dans la suite, les équations intégrales font intervenir deux inconnues en
chacun des nœuds de la frontière. Il est donc indispensable d’imposer une de ces deux
inconnues afin de pouvoir résoudre le problème.
Par contre, dans le cas d’un calcul avec couplage FEM / BEM, la méthode FEM
ajoute des conditions aux limites sur la méthode BEM mais permet d’ôter le problème
d’imposition d’une des variables sur la frontière.
•
Un deuxième avantage de la méthode BEM est que l’équation du problème ne subit
pas d’approximation dans le domaine mais uniquement sur la frontière à l’opposé de
la méthode FEM.
•
Les trois principaux désavantages de la méthode BEM sont :
•
la détermination de l’équation intégrale pour chaque type de problème
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
30
•
la détermination de la solution particulière pour chaque type de problème. Il
n’existe en effet pas de méthode générale pour aboutir à une expression finale de
cette fonction.
•
les techniques numériques particulières nécessaires pour assurer un degré de
précision suffisant lors des intégrations numériques. Ces techniques dépendent
également du type de problème.
Ces trois observations induisent une nouvelle difficulté : contrairement à la méthode
FEM, il est extrêmement difficile de passer d’un problème à un autre par la méthode
BEM en raison des nombreuses particularités propres à chaque problème.
•
Un avantage net de la méthode FEM est que les intégrales sur les éléments sont
généralement faciles à évaluer. Par contre, dans la méthode BEM, l’introduction
d’une solution particulière souvent singulière introduit une difficulté supplémentaire
lors de l’évaluation des intégrales de contour.
•
Finalement, la méthode FEM s’applique à tout type de problème (équations linéaires
et non linéaires) tandis que pour la méthode BEM, certaine solutions particulières ne
sont pas encore connues, ce qui induit une limitation d’applicabilité de cette dernière
méthode.
4. Fondements mathématiques de la méthode des éléments de
frontière
La manière de procéder est la suivante : une fois la fonction de Green de l’équation
connue ainsi que les conditions aux limites à imposer sur les frontières du domaine, il
devient possible d’écrire l’équation intégrale du problème. Comme annoncé dans le point
précédent, le principal problème consiste à déterminer la fonction de Green de l’équation
considérée.
4.1.
Fonction de Green
La définition de la solution particulière, ou encore fonction de Green, à une équation
différentielle est la suivante : il s’agit de la solution à l’équation en un point source ne
satisfaisant pas pour autant aux conditions aux limites imposées pour le problème global.
L’équation à résoudre s’écrit sous la forme (III.1) en tenant compte des conditions
aux limites (I.3) ainsi que du caractère axisymétrique. Il s’agit de l’équation de Poisson
dans laquelle p(z0,r0) constitue le terme de forçage :
JG
JG
⎧Δ E ( z0 , r0 ) = p( z0 , r0 )
⎪⎪ JG
(III.1)
⎨ E ( z0 , r0 = ∞) = 0
⎪ JG
⎪⎩ E ( z0 , r0 = 0) = 0
La fonction de Green correspondant à (III.1) s’exprime alors par la résolution de
l’équation (III.2) dans laquelle (z,r) sont les coordonnées d’un point source concentré.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
31
JG
JG
ΔG ( z0 , r0 , z , r ) = −δ ( z0 , r0 , z , r )
JG
⎧1 lorsque r0 = r et z0 = z
avec δ ( z0 , r0 , z , r ) = ⎨
⎩0 sinon
(III.2)
Dans notre cas particulier, le champ théorique créé par les spires a déjà été développé
dans l’annexe B, rappelée ci-dessous :
EC ( z , r ) = −
μI
∂A
= − jω 0 C
∂t
π m
= − jω
μ0 I C
2π
⎞
4rR
R ⎛⎛ m ⎞
⎜1 − ⎟ K (m) − E (m) ⎟ avec m =
⎜
2
2⎠
(r + R) + ( Z − z )2
r ⎝⎝
⎠
(r0 + r ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎛ ⎛ m ⎞
⎞
⎜ 1 − ⎟ K ( m) − E ( m ) ⎟
⎜
r0
2⎠
⎝⎝
⎠
(III.3)
On peut assimiler la solution particulière de (III.1) avec (III.3), légèrement modifié de
sorte à pouvoir exprimer de manière plus générale :
JG
μ
G ( z0 , r0 , z , r ) = 0
2π
(r0 + r ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎛ ⎛ m ⎞
4r0 r
⎞ JG
1
−
K
(
m
)
−
E
(
m
)
1θ avec m =
⎜
⎟
⎜
⎟
2
r0
2⎠
(r0 + r ) + ( z − z0 ) 2
⎝⎝
⎠
(III.4)
Il est possible de vérifier que cette fonction satisfait à l’équation de Laplace
vectorielle exprimée en coordonnées cylindriques, forme plus développée de (III.2) :
∂ 2G 1 ∂G ∂ 2G G
+
+
− =0
∂r 2 r ∂r ∂z 2 r 2
(III.5)
Malheureusement, comme les dérivées suivant r et z de la fonction (III.4) (fournies en
annexe B) sont singulières lorsque r=r0 et z=z0, il n’est pas possible de vérifier la validité
de la valeur unitaire de (III.2).
Remarque
Dans les annexes D et E, la fonction de Green correspondant à l’équation de Laplace
scalaire (III.6) a été développée. Comme il s’agit d’un problème rencontré plus souvent
dans la littérature, un développement mathématique est devenu possible pour cette
fonction.
∂ 2G 1 ∂G ∂ 2G
+
+
= −δ ( z0 , r0 , z , r )
∂r 2 r ∂r ∂z 2
4.2.
(III.6)
Equation intégrale pour le champ électrique
4.2.1. Cas général tridimensionnel
L’équation intégrale correspondant au Laplacien du champ électrique (III.1) se base
sur le deuxième théorème de Green (III.7) ([PAR97], [HSI08]). Le domaine D est pour l’instant
tridimensionnel sans le caractère axisymétrique. La figure suivante présente les différents
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
32
domaines intervenant dans l’écriture de l’équation intégrale. L’équation intégrale est écrite
pour un nœud x0 se trouvant sur la frontière ∂D du domaine.
Figure 19 : Définition des domaines intervenant dans le développement de l’équation intégrale au
point x0
⎛
∫ ( E ( z )ΔG ( x , z ) − G ( x , z )ΔE ( z ) ) dV ( z ) = ∫ ⎜⎝ E ( y)
0
0
∂D
D
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y )
∂n
∂n ⎠
(III.7)
En raison du caractère singulier de la fonction de Green, il faut établir l’équation
intégrale en isolant le point x0 du domaine D. La frontière extérieure du domaine devient
donc égale à ∂D-∂Dεe+∂Dε. Le deuxième théorème de Green se réécrit donc sous la
forme suivante :
limε →0
∫ ( E ( z )ΔG( x , z) − G( x , z )ΔE ( z ) ) dV ( z )
0
0
D − Dε
= limε →0
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
⎛
− G ( x0 , y )
⎜ E ( y)
⎟ dS ( y )
∂n
∂n ⎠
∂D −∂Dεe ⎝
∫
+ limε →0
⎛
∫ ⎜⎝ E ( y)
∂Dε
(III.8)
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y )
∂n
∂n ⎠
En tenant compte de (III.1) et de (III.2), on peut développer le premier membre de
(III.8). La première intégrale sur le domaine D de (III.8) disparaît car le point x0 se trouve
en dehors du domaine d’intégration.
∫ ( E ( x)ΔG ( x , z ) − G( x , z )ΔE ( z ) ) dV ( z ) = − ∫ G( x , z ) p( z )dV ( z )
0
0
D
0
(III.9)
D
Le deuxième membre de (III.8) est plus délicat à développer. Le premier membre de
la deuxième intégrale de surface devient ([PAR97], [HSI08]) :
limε →0
∫
∂Dε
E ( y)
∂G ( x0 , y )
dS ( y ) = C ( x0 ) E ( x0 )
∂n
(III.10)
Le coefficient C(x0) dépend de la géométrie locale au point x0. Il est caractérisé par :
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
33
⎧1/ 2 lorsque la surface est lisse au point x 0
⎪
C ( x0 ) = ⎨ α
⎪⎩ 2π lorsque la surface est anguleuse au point x 0
α est l'angle intérieur au domaine D
(III.11)
Le deuxième membre de la deuxième intégrale de surface est nul car l’intégrale du
flux du champ est nulle sur une surface fermée :
⎛
⎞
⎛
⎞
∂E ( y )
∂E ( y )
limε →0 ⎜ ∫ G ( x0 , y )
dS ( y ) ⎟ = limε →0 ⎜ G ( x0 , ε ) ∫
dS ( y ) ⎟ = 0
⎜ ∂D
⎟
⎜
⎟
∂n
∂n
∂Dε
⎝ ε
⎠
⎝
⎠
(III.12)
Il est maintenant possible de simplifier (III.8) en tenant compte de (III.9), (III.10) et
(III.12). Le deuxième théorème de Green se réécrit donc sous la forme :
C ( x0 ) E ( x0 ) +
⎛
∫ ⎜⎝ E ( y)
∂D
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y ) = − ∫ G ( x0 , z ) p( z )dV ( z )
∂n
∂n ⎠
D
(III.13)
Dans la méthode BEM, l’écriture de l’équation sur la frontière du domaine D fait
donc intervenir deux inconnues : le champ électrique ainsi que le gradient normal de ce
champ sur la frontière.
4.2.2. Caractère axisymétrique
Pour l’instant, le domaine D a gardé son caractère tridimensionnel global. La
prochaine étape consiste à introduire le système de coordonnées cylindriques dans (III.13)
afin de pouvoir appliquer l’équation intégrale sur le problème de la torche axisymétrique.
⎧dS = rdθ d Γ
Comme ⎨
⎩dV = rdθ drdz
2π
C ( x0 ) E ( x0 ) +
∫
0
2π
∂G ( x , y )
∂E ( y ) ⎞
⎛
∫Γ ⎜⎝ E ( y) ∂n0 − G ( x0 , y) ∂n ⎟⎠ rd Γ( y)dθ = − ∫0 Ω ∫ G( x0 , z ) p( z )rd Ω( z )dθ
BEM
(III.14)
Comme seule la fonction de Green dépend de la coordonnée azimutale, on peut
encore réécrire (III.14) sous la forme suivante :
2π
2π
⎛
⎞
∂E ( y )
⎛ ∂G ( x0 , y ) ⎞
C ( x0 ) E ( x0 ) + ∫ ⎜ E ( y ) ∫ ⎜
d
θ
−
( G ( x0 , y ) ) dθ ⎟ rd Γ( y )
⎟
∫
∂n
∂n 0
⎠
0 ⎝
Γ⎝
⎠
=−
∫
Ω BEM
2π
p( z )r ∫ ( G ( x0 , z ) ) dθ d Ω( z )
0
Ou encore :
∂E ( y ) AX
⎛
⎞
C ( x0 ) E ( x0 ) + ∫ ⎜ E ( y )ψ AX ( x0 , y ) −
G ( x0 , y ) ⎟ rd Γ( y ) = − ∫ p( z )rG AX ( x0 , z )d Ω( z )
∂n
⎠
Γ⎝
Ω BEM
(III.15)
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
34
En posant, dans un souci de clarté :
2π
⎧ AX
⎪G ( x0 , y ) = ∫ G ( x0 , y )dθ
⎪
0
⎨
2π
⎪ψ AX ( x , y ) = ∂G ( x0 , y ) dθ
0
∫0 ∂n
⎪
⎩
(III.16)
Cette dernière fonction de Green Gax tient compte de l’aspect axisymétrique de la
source et est égale à (III.4). La dérivée normale ψax est explicitée dans l’annexe B.
La dernière étape de ce paragraphe consiste en l’explicitation du terme de forçage
p(z) qui a jusqu’alors gardé son caractère globale. En considérant le terme de droite de
(I.1), on remarque que l’intégrale de surface se ramène à une somme sur les trois
conducteurs.
−
∫
Ω BEM
p ( z )rG
AX
nr
( x0 , z )d Ω( z ) = jωμ0 I C ∑ rc ,i G AX ( z0 , r0 , zc ,i , rc ,i )
(III.17)
i =1
Il est à faire observer que l’équation intégrale fait intervenir deux variables (le champ
électrique et le flux au travers de la frontière). Il y a donc deux fois plus d’inconnues que
d’équations écrites sur la frontière. Dans le cas de la résolution du problème par la
méthode BEM pure sans couplage, il faut que soit le champ électrique soit le flux soit
imposé sur la frontière. Dans le cas d’un couplage avec la méthode des éléments finis, il
faudra ajouter autant d’équations de compatibilité du flux qu’il y a de nœuds sur la
frontière afin d’avoir un système d’équations qui soit inversible.
4.2.3. Domaine de dimensions infinies
Dans le cas particulier de la torche rayonnant dans un domaine de dimensions
infinies, on peut montrer que l’équation intégrale reste identique par rapport à ce qui a été
démontré auparavant ([PAR97]). Le schéma ci-dessous représente la situation et donne les
notations utilisées dans la suite de ce point.
En reprenant le même raisonnement suivi dans le point 4.2.1, on peut écrire le
deuxième théorème de Green en repartant directement de (III.13) pour déboucher sur
(III.18).
Figure 20 : Définition des notations intervenant dans le développement de l’équation intégrale au point
x0 pour un domaine de dimensions infinies.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
35
C ( x0 ) E ( x0 ) +
⎛
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y )
∂n
∂n ⎠
⎛
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y ) = − ∫ G ( x0 , z ) p ( z )dV ( z )
∂n
∂n ⎠
D
∫ ⎜⎝ E ( y)
∂D
+
∫ ⎜⎝ E ( y)
∂DR
(III.18)
Lorsque la distance R entre le point x0 et la frontière extérieure ∂DR tend vers l’infini,
il est possible, par un raisonnement, de retirer la contribution de la deuxième intégrale dans
(III.18).
lim R →∞
⎛
∫ ⎜⎝ E ( y)
∂DR
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y ) = 0
∂n
∂n ⎠
(III.19)
En effet, la solution au problème décroît plus rapidement avec R que la solution
particulière. L’équation intégrale pour le problème de l’équation de Poisson dans un
domaine de dimensions infinies devient donc égale à :
C ( x0 ) E ( x0 ) +
⎛
∫ ⎜⎝ E ( y)
∂D
∂G ( x0 , y )
∂E ( y ) ⎞
− G ( x0 , y )
⎟ dS ( y ) = − ∫ G ( x0 , z ) p( z )dV ( z )
∂n
∂n ⎠
D
(III.20)
On retrouve exactement la forme de l’équation intégrale dans le cas développé dans le
point 4.2.1. L’équation intégrale dans le cas axisymétrique d’un domaine de dimensions
infinies reste donc égale à celle développée dans le point 4.2.2.
5. Développements numériques de la méthode des éléments de
frontière
Les fondements mathématiques de la fonction de Green et de l’équation intégrale du
problème de Poisson dans un domaine axisymétrique de dimensions infinies ont été
présentés dans le point précédent. A présent, il est possible de passer à la discrétisation de
l’équation intégrale et donc à la méthode des éléments de frontière en elle-même.
Dans l’équation (III.15), les deux variables (le champ électrique et le flux au travers
de la frontière) sont interpolées de manière fonctionnelle de la manière suivante :
N
⎧
=
E
N jE j
⎪
∑
j =1
⎪
⎨
N front
⎪Φ = ∂E =
N jΦ j
∑
⎪
∂n
j =1
⎩
front
(III.21)
La frontière Γ dans le plan (z,r) est unidimensionnelle. On choisit un degré
d’interpolation unitaire pour les fonctions de forme Nj(z,r). Ces fonctions de forme
interpolant les variables sont donc tout simplement les suivantes, dans un repère local ξ :
1
⎧
⎪⎪ N i = 2 (1 − ξ )
⎨
⎪ N = 1 (1 + ξ )
⎪⎩ i +1 2
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
(III.22)
36
Figure 21 : Fonctions d’interpolation du champ électrique et du flux sur la frontière Γ
En discrétisant la frontière Γ en éléments Γk dans (III.15), en tenant compte de
(III.17) et en écrivant l’équation résultante au nœud i, on obtient :
nr
C ( xi ) Ei + ∑ ∫ ( E ( y )ψ AX ( xi , y ) − Φ ( y )G AX ( xi , y ) ) rd Γ k ( y ) = jωμ0 I C ∑ rc ,mG AX ( zi , ri , zc ,m , rc ,m )
m =1
k Γk
(III.23)
En introduisant les interpolations du champ électrique et du flux (III.21) dans le
résultat précédent, on écrit :
⎛
C ( xi ) Ei + ∑ ∫ ⎜ ( N1k
⎜
k Γk ⎝
N )ψ
k
2
AX
⎛ E1k ⎞
( xi , y ) ⎜ k ⎟ − ( N1k
⎝ E2 ⎠
N
k
2
)G
AX
⎛ Φ1k ⎞ ⎞
( xi , y ) ⎜ k ⎟ ⎟ rd Γ k ( y )
⎟
⎝ Φ2 ⎠ ⎠
nr
= jωμ0 I C ∑ rc , mG AX ( zi , ri , zc , m , rc ,m )
m=1
(III.24)
Il est impossible de développer une expression analytique de ces intégrales en raison
de la nature même de la fonction de Green. La solution consiste en le recours aux
intégrations numériques. En raison de la singularité de la fonction de Green et de ses
dérivées directionnelle, il est indispensable de doubler de prudence lors du choix du type
de point d’intégration. Les tables de Gauss-Legendre permettent d’introduire des points
d’intégration ne correspondant pas avec les nœuds situés sur la frontière et évitent donc
toute singularité maladroite (annexe C).
La définition des points d’intégration nécessite un changement de repère pour les
intégrales de contour. Le nombre de points d’intégration NG peut dépendre de la distance
entre le point de collocation et le point d’intégration. En effet, la variation de la fonction de
Green est assez rapide lorsque cette distance est faible. Il est donc sage de prévoir un grand
nombre de points d’intégration pour un élément de frontière se trouvant proche du point de
collocation. Un nombre moins important de points d’intégration peut par contre être prévu
pour les éléments de frontière se trouvant très loin du nœud de collocation dans le but de
limiter le temps de calcul. De par la définition des fonctions d’interpolation (III.22), le
Jacobien de la transformation de repère est la demi-longueur de l’élément de frontière k.
Les points ξ et poids ωξ d’intégrations sont fournis dans l’annexe C.
L’introduction des intégrations numériques transforme donc (III.24) en l’équation
suivante :
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
37
NG ⎛
⎛ Ek ⎞
⎛ Φk ⎞ ⎞ L
Ci Ei + ∑∑ ⎜ ( N1k (ξ ) N 2k (ξ ) )ψ AX ( xi , yξ ) ⎜ 1k ⎟ − ( N1k (ξ ) N 2k (ξ ) ) G AX ( xi , yξ ) ⎜ 1k ⎟ ⎟ rξ k ωξ
⎜
⎟
k n =1 ⎝
⎝ E2 ⎠
⎝ Φ1 ⎠ ⎠ 2
nr
= jωμ0 I C ∑ rc , mG AX ( zi , ri , zc , m , rc ,m )
m =1
(III.25)
Afin de simplifier la vision du système d’équation, posons [A]i et [B]i les
composantes des matrices globales et {F}i la composante du terme de forçage,
correspondant à l’écriture de l’équation intégrale au ième nœud de frontière :
NG
[ A]i = ∑∑ ( N1k (ξ ) N 2k (ξ ) )ψ AX ( xi , yξ ) rξ
k
n =1
NG
[ B]i = ∑∑ ( N1k (ξ ) N 2k (ξ ) ) G AX ( xi , yξ ) rξ
k
n =1
nr
Lk
ωξ
2
(III.26)
Lk
ωξ
2
(III.27)
{F }i = jωμ0 I C ∑ rc ,mG AX ( zi , ri , zc ,m , rc , m )
(III.28)
[ A '] = diag (C ) + [ A]
(III.29)
m =1
Le système d’équations intégrales sur la frontière Γ s’écrit donc sous forme concise :
[ A ']{ E} − [ B]{Φ} = { F }
(III.30)
Comme il l’avait été introduit dans le paragraphe discutant des avantages et
inconvénients des méthodes des éléments finis et des éléments de frontière, on remarque
que les matrices [A’] et [B] du système d’équations sur les nœuds de la frontière sont non
symétriques et complètement remplies.
Pour en terminer avec la discussion des caractéristiques de la discrétisation de
l’équation intégrale, la variation de l’intégrant des matrices [A] et [B] a été discuté plus
haut. Afin d’accélérer l’assemblage de ces deux matrices tout en conservant une précision
du résultat acceptable, il est intéressant de faire varier le nombre de points d’intégration
NG en fonction de la distance entre le point de collocation et l’élément de frontière en
cours d’assemblage. Pour cela, [KYT95] propose d’utiliser une règle de bonne pratique qui
introduit le paramètre s (III.31) pour lequel Lk, (z1, r1), (z2, r2) et (zcol, rcol) sont
respectivement la longueur de l’élément de frontière, les coordonnées des deux extrémités
de l’élément de frontière et les coordonnées du point de collocation :
s=
1
2 Lk
( 2 zcol − z1 − z2 ) + ( 2rcol − r1 − r2 )
2
2
(III.31)
En fonction de la valeur prise par ce paramètre s, on attribue un nombre de points
d’intégration pour l’évaluation de la contribution de l’élément de frontière k sur le nœud
de collocation :
si s ≤ 1.5
→ 6 points d'intégration
si 1.5 < s < 5.5 → 4 points d'intégration
si s ≥ 5.5
(III.32)
→ 2 points d'intégration
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
38
6. Couplage faible sur le flux
Dans les équations intégrales de la méthode BEM, des termes de flux du champ
électrique au niveau de la frontière Γ apparaissent. Il a alors été choisi d’interpoler de
manière linéaire les inconnues de flux sur cette frontière (III.21).
Concernant la méthode des éléments finis, il n’existe pas de terme de flux à l’intérieur
du domaine Ω mais bien au niveau de la frontière Γ. Comme il avait été choisi dans le
chapitre précédent d’interpoler de manière linéaire les inconnues du champ au sein des
éléments de surface, ces termes de flux sur la frontière sont constants sur les éléments de
surface.
On remarque donc qu’il y a une incompatibilité entre le degré d’interpolation du flux
par les deux méthodes. Afin de se débarrasser de cette incompatibilité, il est indispensable
d’ajouter une condition faible sur le flux au niveau de la frontière Γ. Cette condition faible
sur le flux va permettre de rétablir l’équilibre sur le flux et va également introduire un
couplage entre les termes de flux de la méthode BEM et les termes de champ de la
méthode FEM. Cette condition faible sur le flux du champ s’écrit à l’aide de (III.33).
⎛ ∂E FEM
⎞
−
Φ
N
⎜
⎟ dΓ = 0
i
∫Γ ⎝ ∂n
⎠
(III.33)
Figure 22 : Conventions pour la description de la condition faible sur le flux
Dans cette dernière, Ni est la fonction d’interpolation du ième nœud de frontière sur
lequel on écrit la condition de flux. Comme cette fonction est nulle pour tout autre point
que le nœud i, on peut alors développer (III.33) de manière plus explicite :
FEM
FEM
⎞
⎞
k ⎛ ∂E
k +1 ⎛ ∂E
−
Φ
Γ
+
− Φ ⎟ dΓ = 0
N
d
N
⎟
⎜
i
∫k i ⎜⎝ ∂n
∫
⎠
⎝ ∂n
⎠
k +1
(III.34)
C’est à ce niveau-ci que sont introduites la discrétisation (III.21) et le fait que le flux
développé par la méthode FEM est constant par élément de surface. Dans (III.35) et
(III.36), les intégrales sur les deux éléments de frontière k et k+1 sont développées.
FEM
⎛
⎞
⎞
⎛ ∂E FEM ⎞
k ⎛ ∂E
k
k
k
k
N
d
−
Φ
Γ
=
⎜
⎟ ∫ N i d Γ − ∫ N i ( N i −1Φ i −1 + N i Φ i ) d Γ
∫k i ⎜⎜ ⎜⎝ ∂n ⎟⎠ ⎟⎟
⎝ ∂n ⎠ I k
k
I
⎝
⎠
=
Lk
2
⎛ ∂E FEM ⎞ Lk
Lk
⎜
⎟ − Φ i −1 − Φ i
3
⎝ ∂n ⎠ I 6
(III.35)
Et de même pour l’intégrale sur l’élément k+1 :
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
39
FEM
⎛
⎞
⎞
⎛ ∂E FEM ⎞
k +1 ⎛ ∂E
k +1
k +1
k +1
k +1
N
d
−
Φ
Γ
=
⎜
⎟
⎜
⎟ ∫ N i d Γ − ∫ N i ( N i +1 Φ i +1 + N i Φ i ) d Γ
∫k +1 i ⎜ ⎜⎝ ∂n ⎟⎠
⎟
n
∂
⎝
⎠ II k
k
II
⎝
⎠
=
Lk +1 ⎛ ∂E FEM ⎞
Lk +1
L
Φ i +1 − k +1 Φ i
⎜
⎟ −
2 ⎝ ∂n ⎠ II
6
3
(III.36)
En introduisant (III.35) et (III.36) dans (III.34), on aboutit à l’équation discrétisée de
la condition faible sur le flux :
Lk ⎛ ∂E FEM ⎞ Lk +1 ⎛ ∂E FEM ⎞
Lk +1
L + Lk +1
L
Φ i −1 − k
Φ i − k Φ i +1 = 0
⎜
⎟ +
⎜
⎟ −
2 ⎝ ∂n ⎠ I
2 ⎝ ∂n ⎠ II
6
3
6
(III.37)
Les termes de flux décomposés par la méthode FEM sont exprimés en fonction des
inconnues des nœuds des éléments de surface à partir de :
3 ∂N
∂E FEM
j
=∑
Ej
∂n
j =1 ∂n
(III.38)
La condition faible sur le flux discrétisé (III.37) peut également s’écrire sous la forme
suivante, plus concise :
int
flux
⎡⎣ Kecond
⎤⎦ { E int } + ⎡⎣ Kecond
⎤⎦ {Φ} = 0
(III.39)
7. Modifications à apporter à la méthode des éléments finis
Par rapport au code développé dans le chapitre précédent, quelques changements sont
à apporter. En effet, comme la méthode des éléments finis est désormais utilisée à
l’intérieur de la torche, les conducteurs ne se trouvent plus dans le domaine maillé. Le
terme de forçage provient maintenant du couplage avec la méthode des éléments de
frontière et de l’imposition de l’égalité des valeurs prises par le champ aux nœuds situés
sur la frontière pour les méthodes des éléments finis et des éléments de frontière.
De plus, la méthode des éléments de frontière emploie l’équation non régularisée (I.1)
afin que le terme de forçage (III.17) puisse s’exprimer facilement sous la forme d’une
somme de la contribution des conducteurs. Afin de ne pas ajouter de difficulté
supplémentaire, la méthode des éléments finis va donc également résoudre le champ total
au sein de la torche, ce qui n’introduit pas les problèmes rencontrés au chapitre II vu que
les singularités se trouvent en dehors du domaine d’intégration Ω de la méthode.
Le système d’équations à résoudre par la méthode des éléments finis se ramène donc
à (II.9) sans le membre de droite, soit encore :
[ K ] = [ KeI ] + [ KeII ] + [ KeIII ] + [ KeIV ] + [ KeV ]
[ K ] { E} = 0
(III.40)
Il faut encore faire remarquer que la méthode des éléments finis est écrite uniquement
pour les nœuds intérieurs à la torche et ne se trouvant pas sur la frontière Γ. Concernant les
éléments de surface contenant un nœud sur la frontière, la situation est résumée sur la
figure suivante :
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
40
L’équation FEM (III.40) est écrite pour le nœud 1 et fait
intervenir les nœuds 2 et 3.
L’équation BEM est écrite pour les nœuds 2 et 3.
S’il avait été choisi d’écrire l’équation FEM sur les nœuds de la frontière, il aurait
fallu conserver les termes d’intégrales de contour dans (II.5) vu que le champ et son flux
sont non nuls sur la frontière Γ.
Il est maintenant possible d’avoir une vision globale de la matrice du système
d’équations à résoudre pour obtenir le champ total aussi bien sur la frontière qu’à
l’intérieur de la torche. En rassemblant (III.30), (III.39) et (III.40), on aboutit donc à :
⎡ A
⎢ 0
⎢
⎢⎣ K IF
−B
flux
Kecond
0
front
⎫ ⎧F ⎫
⎤ ⎧E
⎪ ⎪
int ⎥ ⎪
front ⎪
Kecond ⎥ ⎨Φ ⎬ = ⎨0 ⎬
K II ⎥⎦ ⎪ E int ⎪ ⎪⎩0 ⎪⎭
⎩
⎭
0
(III.41)
Avant de passer à la validation du code implémenté, quelques commentaires
supplémentaires sont à faire sur l’observation du système (III.41). Sur les nœuds situés sur
la frontière, deux équations sont écrites en raison des deux inconnues : le champ et le flux.
Les équations correspondant au système FEM et à la condition faible sur le flux créent une
matrice assez creuse. Par contre la matrice créée par le système BEM est remplie par
rapport aux variables sur la frontière. Le positionnement des variables dans le vecteur des
inconnues a son importance. En effet, lors de l’inversion de la matrice globale, le
positionnement d’un grand nombre de valeurs non nulles loin de la diagonale de la matrice
va plutôt favoriser l’emploi de méthodes itératives plutôt qu’une méthode directe. Dans ce
cas-ci, il a été choisi de placer les termes de flux du champ électrique en fin du vecteur
inconnu.
8. Conductivité électrique nulle à l'intérieur de la torche Validation du code
Tout comme dans le chapitre II, une étape de validation numérique du code
implémentée est indispensable pour l’exploitation des résultats et la comparaison des
performances des méthodes des éléments finis et des éléments de frontière. La même
situation physique que dans le chapitre II est choisie, c’est-à-dire le cas d’une conductivité
électrique nulle dans tout l’espace y compris l’intérieur de la torche. La fréquence
d’excitation des spires est de 27.6 MHz. Dans un premier temps, il est intéressant de
vérifier la validité de la méthode des éléments de frontière seule, sans couplage avec la
méthode des éléments finis. Une fois fait, il serait ensuite intéressant de valider la méthode
de couplage FEM/BEM comme les deux méthodes FEM et BEM auront alors été validées
séparément.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
41
8.1.
Validation de la méthode BEM sans couplage
Dans un premier temps, le code implémenté sur la méthode des éléments de frontière
doit être validé séparément du reste. Pour ce faire, seule la résolution de l’équation
intégrale (III.30) est effectuée. Comme cette équation fait intervenir deux inconnues en
chacun des nœuds, il est nécessaire d’imposer l’une des deux variables. Connaissant
l’expression théorique du champ électrique créé par les spires, il est possible d’en
déterminer les dérivées directionnelles suivant les coordonnées longitudinale et radiale et
donc le flux théorique au travers de la frontière. Ces dérivées sont fournies en annexe B.
Le système d’équation se transforme donc en (III.42) dans laquelle on cherche à
déterminer le champ électrique sur la frontière :
⎧ ∂Ethéorique ⎫
[ A ']{ E} = { F } + [ B ] ⎨
⎬
⎩ ∂n ⎭
(III.42)
La représentation tridimensionnelle de la solution sur la frontière est donnée sur la
figure suivante afin de donner une information qualitative de la qualité de la solution
BEM. On remarque le très bon accord entre les solutions numérique et théorique.
Figure 23 : Validation de la méthode des éléments de frontière sans couplage. Représentation de la
solution sur la frontière.
Pour donner une idée quantitative de l’évolution de la norme L2 de l’erreur (III.43)
avec le nombre de nœuds situés sur la frontière, plusieurs simulations sont effectuées.
Cette évolution de la norme de l’erreur est reportée dans le tableau 4. Une certaine
convergence est observée. La méthode tend vers un ordre 1 : la norme de l’erreur diminue
d’un ordre de grandeur pour un nombre de degrés de libertés multiplié par 10 (figure 24).
On donne également une correspondance avec le nombre de degrés de liberté à l’intérieur
de la torche si un maillage structuré était construit.
uh − u
L2
=
2
1
uih − ui )
(
∫
LΓ
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
(III.43)
42
Figure 24 : Validation du code BEM sans couplage Norme L2 de l’erreur en fonction du nombre de nœuds
situés sur la frontière.
8.2.
Degrés de
liberté à
l’intérieur
de la torche
Nœuds
sur la
frontière
Norme L2
de l’erreur
992
2442
4692
9952
19792
41692
60852
88
138
192
284
396
576
696
0.09850
0.08129
0.06958
0.05160
0.04766
0.04012
0.03538
Tableau 4 : Validation du code BEM
sans couplage - Norme L2 de l’erreur de
la solution numérique
Validation de la méthode de couplage FEM / BEM
Les méthodes des éléments finis et des éléments de frontière ont été validées
séparément respectivement dans le chapitre II et dans le point précédent. Il faut maintenant
valider la méthode de couplage entre ces deux méthodes en résolvant le système
d’équations complet (III.41). La solution numérique à ce système d’équations est
représentée sur la figure suivante ainsi que la solution théorique, ce qui permet de réaliser
une comparaison qualitative. On remarque la très bonne résolution au sein de la torche. Par
rapport au résultat obtenu par la méthode des éléments finis (figure 10), l’amplitude de la
solution semble être meilleure. Une explication serait l’absence de contrainte sur le
raffinement des conducteurs dans le cas de la méthode BEM. On remarque néanmoins au
niveau des frontières latérales une moins bonne fermeture des lignes de champ.
Figure 25 : Validation de la méthode de couplage FEM/BEM - Norme du champ électrique total
[V/m]. Solution théorique (au-dessus) et la solution numérique FEM/BEM (en dessous).
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
43
Tout comme lors de la validation de la méthode FEM et de la méthode BEM sans
couplage, il est intéressant d’étudier l’évolution de la norme L2 de l’erreur de la solution
numérique par rapport à la solution théorique (cf. figure 26). Le nombre de degrés de
liberté reporté sur l’abscisse du graphique correspond aux nœuds intérieurs à la torche.
L’évolution de l’erreur réalisée par la méthode FEM est également représentée afin de
comparer les performances en précision. Concernant la méthode FEM, les différents
maillages possèdent le même nombre de nœuds intérieurs que les maillages utilisés pour la
méthode BEM. Le raffinement des conducteurs est identique pour chacun des maillages
FEM. Concernant la méthode BEM, deux types de simulations ont été réalisés : l’un avec
un nombre fixe de points d’intégration (6 par élément de frontière) et l’autre avec un
nombre variable de points d’intégration en fonction de la distance entre le point de
collocation et l’élément de frontière en cours d’assemblage (III.32).
Pour tout type de raffinement à l’intérieur de la torche, on remarque l’avantage de
l’utilisation de la méthode BEM du point de vue précision du résultat. En moyenne, un
rapport de 1.7 existe entre les erreurs FEM et BEM. On remarque également que le critère
de variation de points d’intégration est assez bon : la précision du résultat a été conservée
pour un nombre total de points d’intégration réduit. Finalement, on remarque que la
convergence de la solution bidimensionnelle est plus rapide que celle du système
unidimensionnel (les points de la figure suivante correspondent avec ceux du tableau 4).
Figure 26 : Variation de la norme L2 de l’erreur en fonction du nombre de degrés de libertés à
l’intérieur de la torche. Résultats FEM, BEM (6 points d’intégration - vert) et BEM (nombre variables
de points d’intégration - rouge)
9. Conductivité électrique non nulle à l'intérieur de la torche
Tout comme dans le chapitre II, différents cas sont envisagés pour visualiser
l'influence d'un paramètre sur la solution. Dans ce point, les deux paramètres qui vont être
étudiés sont la conductivité électrique du milieu à l'intérieur de la torche et la fréquence
d'excitation des spires. Les mêmes valeurs de ces paramètres que dans le chapitre II sont
prises (cf. tableau 1).
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
44
9.1.
Influence de la conductivité électrique - 27.6 MHz
Dans ce point-ci, la fréquence d'excitation des spires est gardée constante et égale à
27.6 MHz tandis que la conductivité électrique prend les valeurs suivantes : 100, 1000 et
10.000 S/m. Une comparaison est faite entre les résultats obtenus par les méthodes FEM
(système d’équations (II.8)) et FEM/BEM. Sur les deux figures suivantes, la comparaison
bidimensionnelle est faite entre les deux méthodes (norme et phase du champ électrique
total).
Sur la figure 27, l'accumulation du champ électrique au niveau de la surface de la
torche se remarque très bien pour les deux méthodes. Du point de vue similitude, la
méthode FEM/BEM réussit à faire correspondre l’allure du champ électrique avec la
méthode FEM. Du point de vue amplitude, on remarque néanmoins une légère différence
entre les deux résultats, la méthode FEM sous-estimant le maximum du champ dans la
torche.
Figure 27 : Norme du champ électrique total [V/m]. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Comparaison des
résultats FEM (au dessus) et FEM/BEM (en dessous).
Figure 28 : Phase (°) du champ électrique total. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Comparaison des résultats
FEM (au dessus) et FEM/BEM (en dessous).
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
45
Sur la figure 28, la phase du champ électrique total est représentée pour les deux
méthodes. Par rapport à la norme reportée sur la figure 27, on remarque une plus grande
différence de résultat pour les deux méthodes.
Une comparaison plus quantitative est rendue possible en réalisant une coupe
transversale des deux solutions au niveau du conducteur central. La norme du champ
électrique total au sein de la torche est alors représentée sur les figures 29 et 30 pour les
différentes conductivités envisagées.
La figure suivante reporte la norme du champ électrique total en fonction de la
coordonnée radiale. De manière générale, les amplitudes des solutions obtenues par les
deux méthodes sont assez proches les unes des autres tout au long de l’évolution de la
coordonnée radiale. Tout comme dans le point précédent, on remarque très bien
l’accumulation du champ électrique au niveau de la paroi de la torche avec une
augmentation de la conductivité électrique.
Figure 29 : Influence de la conductivité électrique. 27.6 MHz. Norme du champ électrique total [V/m]
en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et FEM/BEM.
Dans le tableau suivant, les épaisseurs de peau théoriques (II.29) et numériques pour
les méthodes FEM et FEM/BEM sont données. On remarque un léger meilleur accord de
la solution FEM/BEM avec la profondeur de peau théorique que la méthode FEM.
Théorique
FEM
FEM/BEM
σ = 100 S/m
9.58
8.1
8.15
σ = 1000 S/m
3.0295
3.1
3.06
σ = 10000 S/m
0.958
0.95
0.954
Tableau 5 : Influence de la conductivité électrique - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numériques pour les méthodes FEM et FEM/BEM.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
46
Sur la figure suivante, la norme du champ électrique total est représentée dans une
échelle logarithmique afin de mieux mettre en évidence l’évolution de la solution au sein
de la torche pour de faibles amplitudes du champ électrique. On remarque une bonne
évolution linéaire dans l’échelle logarithmique, ce qui permet de valider la présence des
termes exponentiels dans la relation (II.31). Au voisinage de l’axe de symétrie de la torche,
le raccord est réalisé avec la condition de champ imposé nul. Concernant la comparaison
des deux méthodes numériques, on remarque encore le très bon accord entre les solutions
tout le long de la torche.
Figure 30 : Influence de la conductivité électrique. 27.6 MHz. Norme du champ électrique total [V/m]
en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et FEM/BEM. Echelle logarithmique.
Dans le chapitre précédent, une étude avait été faite quant à l’influence du rayon du
domaine extérieur sur lequel on impose la condition de rayonnement du champ électrique.
Il est maintenant intéressant de comparer les résultats FEM issus de maillages sur lesquels
on impose la condition de rayonnement à une distance finie avec le résultat de la méthode
BEM pour lequel la condition de rayonnement est automatiquement vérifiée.
Cette étude n’est faite que dans ce point-ci afin de ne pas trop alourdir la présentation
des résultats. Les résultats sont issus de calculs avec une conductivité électrique uniforme
de 1000 S/m et d’une fréquence d’excitation de 27.6 MHz.
Les différents résultats sont représentés sur la figure suivante. Un agrandissement au
niveau de la paroi de la torche a été effectué afin de rendre plus clair la présentation. On
remarque qu’au plus le rayon du domaine extérieur augmente, au plus la solution tend vers
celle issue de la méthode FEM/BEM pour laquelle le rayon du domaine extérieur est
virtuellement infini. Cette observation est vérifiée tout le long de la torche jusque l’axe de
symétrie. Un rayon de domaine extérieur trop faible entraîne donc une sous-estimation de
la norme du champ électrique par blocage du champ électrique dans le vide.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
47
Figure 31 : Comparaison des résultats FEM avec imposition de la condition de rayonnement à des
distances variables et du résultat FEM/BEM. 27.6 MHz et σ = 1000 S/m.
9.2.
Influence de la fréquence d'excitation - σ = 5000 S/m
Dans ce point, l'influence de la fréquence d'excitation des spires est étudiée. La
conductivité électrique au sein de la torche est choisie égale à 5000 S/m afin de bien mettre
en évidence le phénomène d’effet pelliculaire du champ électrique total au sein du plasma.
Tout comme dans le chapitre II, les fréquences choisies sont 1, 10 et 100 MHz. La
topologie de la solution ressemblant à celle du point précédent, il est plus intéressant de
directement réaliser la coupe au niveau du conducteur central (z=0.053m).
Les différents résultats sont reportés sur les deux figures suivantes pour les différentes
valeurs de la fréquence d’excitation. Modifier la fréquence induit une modification du
terme de forçage dans (II.8) et (III.30) ainsi que de la profondeur de peau (II.29).
Augmenter la fréquence d’excitation va donc induire une augmentation du champ
électrique ainsi qu’une accumulation de ce champ près de la surface de la torche.
La figure 32 reporte la norme du champ électrique total en fonction de la coordonnée
radiale. Les résultats issus des deux méthodes présentent de très fortes similitudes pour
chacune des fréquences.
Sur la figure 33, la norme du champ électrique total est représentée dans une échelle
logarithmique afin de mieux mettre en évidence l’évolution de la solution pour de faibles
valeurs du champ électrique. On remarque l’évolution linéaire dans l’échelle
logarithmique, ce qui permet encore une fois de valider la présence des termes
exponentiels dans la solution théorique (II.31).
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
48
Figure 32 : Influence de la fréquence d’excitation. σ = 5000 S/m. Norme du champ électrique total
[V/m] en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et BEM.
Figure 33 : Influence de la fréquence d’excitation. σ = 5000 S/m. Norme du champ électrique total
[V/m] en fonction de la coordonnée radiale. Solutions FEM et BEM. Echelle logarithmique
Dans le tableau suivant, les épaisseurs de peau théoriques (II.29) et numériques pour
les méthodes FEM et FEM/BEM sont données. On remarque un léger meilleur accord de
la solution FEM/BEM avec la profondeur de peau théorique que la méthode FEM.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
49
σ = 100 S/m
7.1176
7.5
7.4
Théorique
FEM
FEM/BEM
σ = 1000 S/m
2.2508
2.3
2.27
σ = 10000 S/m
0.7118
0.72
0.71
Tableau 6 : Influence de la fréquence d’excitation - Profondeurs de peau [mm] théorique (II.29) et
numériques pour les méthodes FEM et FEM/BEM.
9.3.
Conductivité électrique variable dans le plasma
Dans ce dernier point sur l’exploitation des résultats, on s’intéresse à l’influence
d’une variation de la conductivité électrique au sein du plasma. En effet, dans la situation
physique rencontrée dans la torche à plasma, il peut exister une zone dont la température
atteint les 10.000K. Selon [VAN00], la conductivité électrique correspondante vaut
environ 2000 S/m. En dehors de cette zone, la température avoisine les 6000K. La
conductivité électrique y est donc égale à 100 S/m. Dans la situation physique, la variation
de conductivité électrique se fait de manière évolutive. Afin de simplifier l’introduction
des données, la variation de conductivité électrique se fait de manière brusque dans le
plasma. Cette simplification, assez forte, permet néanmoins d’observer l’influence d’une
conductivité non uniforme. La fréquence d’excitation des spires est choisie égale à 27.6
MHz. La situation est résumée sur l’esquisse suivante.
σ = 100 S / m
h
σ = 2000 S / m
l/4
h
2
l
Figure 34 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Topologie du problème.
Les résultats obtenus par les méthodes FEM (système d’équations (II.8)) et
FEM/BEM sont reportés sur les deux figures suivantes. La première figure représente la
norme du champ électrique total, la seconde figure la phase de ce champ électrique.
Quelques observations intéressantes peuvent être faites à partir des résultats portés sur
la première figure. La discontinuité de la conductivité électrique se remarque
particulièrement bien au quart de la longueur de la torche. Les lignes de champ sont
repoussées vers le domaine de conductivité électrique égale à 100 S/m. La profondeur de
peau du milieu de conductivité égale à 100 S/m est assez faible en comparaison avec celle
du milieu de conductivité égale à 2000 S/m. Au niveau de l’interface entre ces deux
milieux, le phénomène peut être comparable à ce qui est observé au niveau de l’interface
vide-plasma sur la frontière de la torche. Il s’y forme un deuxième effet pelliculaire,
provoquant donc une déviation importante des lignes de champ. Concernant la
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
50
comparaison des résultats FEM et FEM/BEM, on remarque l’assez bonne concordance de
l’amplitude des solutions.
Figure 35 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Norme du champ électrique
total [V/m]. Solution FEM (au-dessus) et FEM/BEM (en dessous).
Figure 36 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Phase (°) du champ électrique
total. Solution FEM (au-dessus) et FEM/BEM (en dessous).
Sur la figure 36, la phase du champ électrique total est reportée. On remarque tout de
suite la présence de la zone de conductivité électrique égale à 2000S/m qui provoque un
changement brusque de phase.
Les deux figures suivantes permettent une meilleure comparaison quantitative en
réalisant une coupe transversale de la norme du champ électrique total au niveau du
conducteur central (z=0.053m). Sur ces figures, le champ électrique correspondant à une
conductivité électrique uniforme de 100 S/m est également reporté afin de mesurer
l’impact de la poche de conductivité égale à 2000 S/m.
Sur la figure 37, la norme du champ électrique total est reportée en fonction de la
coordonnée radiale. On remarque comme sur la figure 35 la légère différence d’amplitude
entre les méthodes FEM et FEM/BEM. Par rapport au résultat issu d’une conductivité
électrique uniforme et égale à 100 S/m, on remarque également une nette diminution de
l’amplitude du champ électrique au sein de la torche. La poche de conductivité électrique
égale à 2000 S/m repousse les lignes de champ électrique dans la zone de conductivité
électrique égale à 100 S/m.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
51
Figure 37 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Norme du champ électrique
total [V/m] selon une coupe transversale au niveau du conducteur central (z=0.053m).
La figure suivante présente la norme du champ électrique total dans une échelle
logarithmique.
Figure 38 : Conductivité électrique non uniforme au sein de la torche. Norme du champ électrique
total [V/m] selon une coupe transversale au niveau du conducteur central. Echelle logarithmique.
On remarque tout de suite dans ce dernier résultat la présence d’une évolution linéaire
dans chacune des zones, mais avec une pente différente. L’évolution linéaire du champ
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
52
dans une échelle logarithmique permet de confirmer la présence des termes exponentiels
dans la solution théorique (II.31). Dans chacune des deux zones, la profondeur de peau est
différente, ce qui entraîne donc une pente différente des droites dans la figure 38. Il existe
deux zones de raccord : l’une au niveau de l’interface entre les deux milieux de
conductivité électrique différente et l’autre au niveau de l’axe de symétrie pour assurer la
condition aux limites imposée.
10. Performances temporelles de la méthode de couplage FEM /
BEM
Dans les points précédents, les performances en précision ont été comparées pour les
méthodes des éléments finis et des éléments de frontière. Dans ce dernier points, les
performances temporelles de la méthode de couplage FEM/BEM sont étudiées. Les
performances de la méthode FEM sont également reportées afin de permettre une rapide
comparaison. Concernant les résultats issus de la méthode FEM, le nombre de nœuds
internes à la torche est choisi identique par rapport aux maillages utilisés pour la méthode
BEM. Cette prévoyance permet ainsi une comparaison sur base du nombre réel de degrés
de liberté utiles. Lors de la construction du maillage FEM, le nombre de nœuds en dehors
de la torche dépend du taux de raffinement à l’intérieur de la torche, notamment au niveau
de l’interface torche-vide. Il a donc fallu se fixer un raffinement au niveau des conducteurs
électriques pour tous les maillages FEM.
Plusieurs expériences numériques ont été menées. Concernant la méthode des
éléments finis, les deux discrétisations (II.8) et (II.9) sont utilisées. Concernant la méthode
des éléments de frontière, deux types de calcul ont également été réalisés : l’un avec un
nombre fixe de points d’intégration par élément de frontière (6 points par élément) et
l’autre avec un nombre variable de points d’intégration par élément de frontière en
fonction de la distance entre l’élément de frontière et le point de collocation (III.32). Ces
différents résultats sont reportés sur la figure suivante. Une courbe O(N²) y est également
reportée afin de montrer la convergence de la méthode BEM vers cet ordre.
Figure 39 : Performances temporelles. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Méthode FEM (II.8) et (II.9).
Méthode FEM/BEM avec un nombre de points d'intégration fixe et variable.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
53
On remarque tout de suite sur cette dernière figure le net avantage de l’utilisation de
la méthode de couplage FEM/BEM par rapport à la méthode FEM pure, pour de faibles
nombres de degrés de liberté du moins.
Au chapitre II, on avait remarqué que la discrétisation de l’équation du champ induit
était légèrement plus coûteuse en temps que la discrétisation de l’équation du champ total.
Par contre, la discrétisation de l’équation du champ induit assure un résultat plus précis en
raison de l’absence de singularité dans tout le domaine.
Concernant la méthode FEM/BEM, le critère de nombre variable de points
d’intégration permet d’accélérer de manière subtile le procédé d’assemblage tout en
assurant une précision du résultat comparable (figure 26).
Il est également intéressant de connaître la répartition de la durée pour chacune des
opérations nécessaires pour la résolution du problème de couplage FEM/BEM. Ces
différentes durées sont régies par les étapes clés suivantes :
•
•
•
•
•
Lecture du maillage et des données
Assemblage des matrices [A’] et [B] et du vecteur {F} ((III.26) à (III.29))
correspondant à l’équation intégrale sur la frontière
Assemblage des matrices élémentaires FEM et des conditions faibles sur le
flux ((III.39) et (III.40))
Imposition des conditions aux limites (I.3) sur l’axe de symétrie
Inversion de la matrice globale du système d’équations
Ces différentes durées sont reportées sur la figure suivante en fonction du nombre de
degrés de liberté à l’intérieur de la torche. On remarque tout de suite que la contribution
majeure provient de l’assemblage des matrices de la méthode BEM. En effet, l’assemblage
de ces matrices dure en moyenne 73% du temps total de la simulation. Lorsque le nombre
de points d’intégration sur les éléments de frontière varie selon le critère (III.32), la
contribution de l’assemblage des matrices BEM diminue jusqu’environ 64% de la durée
totale de la simulation.
Figure 40 : Temps caractéristiques obtenus par la méthode FEM / FEM avec un nombre fixe de points
d’intégration en fonction du nombre de degrés de liberté.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
54
Le taux d’occupation de la matrice globale [K] est défini comme étant le rapport entre
le nombre total de composantes non nulles de la matrice globale [K] et le produit des
dimensions de cette matrice :
Taux d'occupation =
Nombre de composantes non nulles
(Taille de la matrice globale) 2
(III.44)
Ce taux d’occupation est reporté sur la figure 41 pour les simulations effectuées sur
les méthodes FEM et FEM/BEM. On observe que, même pour un maillage assez grossier,
le taux d’occupation ne dépasse pas 1% pour les deux méthodes. L’utilisation de méthodes
directes pour l’inversion de la matrice serait plutôt favorisée dans le cas de la méthode
FEM. Dans le cas de la méthode FEM/BEM, en raison du nombre plus important de
données à conserver en mémoire (matrices pleines pour l’équation intégrale) et du fort
écartement des composantes par rapport à la diagonale, une méthode itérative serait plutôt
intéressante. Dans le code implémenté, une méthode directe est utilisée pour l’inversion de
la matrice [K] issue de la méthode FEM/BEM, ce qui explique l’évolution du rapport entre
les durées nécessitées pour l’inversion de la matrice FEM/BEM et la matrice FEM (cf.
tableau 7).
Figure 41 : Taux d’occupation de la matrice globale [K] [%] en fonction du nombre de degrés de
liberté intérieurs à la torche.
Nombre de degrés de
liberté intérieurs
1984
4884
9384
19904
39584
83384
121704
Inversion FEM [s]
0.6183220
0.6355710
0.9380530
1.2994540
2.9168280
6.0683710
10.0458690
Inversion
FEM/BEM [s]
0.0472640
0.2106650
0.5643770
3.0658990
8.0229540
21.5123400
43.7381620
Rapport des temps
0.0765297
0.33145785
0.60164724
2.35937478
2.75057494
3.5449942
4.35384555
Tableau 7 : Temps d’inversion [s] des matrices pour les méthodes FEM et FEM/BEM.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
55
L’explication de l’évolution observée du taux d’occupation est assez simple : pour un
nombre croissant de degrés de liberté, le nombre de nœuds voisins à un nœud particulier
reste plus ou moins constant. Comme le nombre d’éléments de surface augmente beaucoup
plus vite que le nombre d’éléments de frontière et que le remplissage d’une ligne de la
matrice est déterminé par le nombre de nœuds voisins au nœud considéré dans le cas de la
méthode FEM, le taux de remplissage diminue lors d’une augmentation du nombre de
degrés de liberté.
Dans le tableau suivant, la proportion du nombre de points d’intégration par élément
de frontière en cours d’assemblage est donnée. Pour un maillage donné, on remarque la
très grande proportion de deux points d’intégration par élément de frontière par rapport
aux deux autres contributions. Le critère sur le paramètre s (III.32) est donc très bien
choisi vu qu’il permet de conserver la précision par rapport à un nombre fixe de points
d’intégration, d’accélérer l’assemblage des matrices [A’] et [B] ((III.26) et (III.27)) et
d’assurer un minimum de points d’intégration à cette fin.
Nombre de nœuds
à l’intérieur de la
torche
992
2442
4692
9952
19792
41692
60852
Nombre de
Pourcentage du nombre de points
nœuds situés
d’intégration
sur la frontière
2
4
6
88
86.011
10.2795
3.7095
138
91.5953
6.0827
2.322
192
94.0472
4.2757
1.677
284
95.9588
2.8878
1.1534
396
97.1474
2.024
0.8285
576
98.0284
1.4016
0.57
696
98.3807
1.1509
0.4685
Tableau 8 : Pourcentage du nombre de points d'intégration en fonction du nombre de nœuds situés sur
la frontière. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz.
Pour un raffinement progressif du maillage sur la frontière, on remarque que la
proportion de deux points d’intégration prend de plus en plus d’ampleur au détriment des
deux autres contributions. Ceci s’explique par le fait que, avec un raffinement de la
frontière, la proportion d’éléments éloignés du nœud de collocation augmente. Cette
variabilité du nombre de points d’intégration devient donc très intéressante pour un
maillage très raffiné sur la frontière.
11.
Conclusion
Dans ce chapitre, une méthode de couplage entre les méthodes des éléments finis et
des éléments de frontière (FEM/BEM) a été étudiée. L’objectif principal en était de réduire
la durée totale demandée pour la résolution complète du problème par rapport à
l’utilisation d’une méthode des éléments finis sans couplage.
Par rapport à la méthode des éléments finis, il a été remarqué que le niveau de
difficulté de mise en œuvre était largement accru. En effet, la méthode des éléments de
frontière se base sur des considérations mathématiques beaucoup plus poussées, ce qui a
également mené à une certaine abstraction par rapport à la physique du problème. Le
principal problème qui a requis énormément de temps a été la détermination de la forme
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
56
exacte de la fonction de Green correspondant à l’équation de Laplace axisymétrique pour
une grandeur vectorielle.
Lors de la validation de la méthode FEM/BEM, il a été observé que la norme
quadratique de l’erreur par rapport à la solution théorique était constamment inférieure à
celle de la méthode FEM sans couplage. Ceci s’explique par la nature de la fonction de
Green qui permet de tenir compte de manière exacte de l’intensité du terme de forçage par
les spires et de la distance théoriquement infinie à laquelle la condition de rayonnement est
imposée.
Lors de l’exploitation des résultats sur des configurations différentes (influence de la
conductivité électrique et de la fréquence d’excitation des spires), les profondeurs de peau
obtenues par la méthode FEM/BEM étaient en général plus proches de la théorie que celles
issues de la méthode FEM. La cause serait la distance finie à laquelle la condition de
rayonnement est imposée pour cette dernière méthode. L’évolution du champ électrique
total au sein de la torche a également validé l’approche théorique de la propagation d’une
onde dans un milieu conducteur.
Concernant les performances temporelles de la méthode FEM/BEM, on a également
observé le net avantage offert par cette méthode lorsque le nombre de degrés de liberté à
l’intérieur de la torche reste modéré. Une deuxième accélération a même pu être obtenue
en faisant varier le nombre de points d’intégration selon un critère basé sur des distances.
L’ordre O(N²) de la méthode FEM/BEM a également été vérifié.
Les principaux désavantages de la méthode de couplage FEM/BEM sont :
•
Le temps d’inversion de la matrice globale qui augmente de manière
considérable avec le nombre de degrés de liberté, du moins si une méthode
directe est employée.
•
La très grande proportion de la durée totale demandée pour l’assemblage des
matrices correspondant à l’équation intégrale.
Un moyen de résoudre le premier problème est de recourir à un solveur itératif, ce qui
permettrait de réduire considérablement le temps d’inversion pour de grands nombres de
degrés de liberté. Le seul inconvénient majeur de ce type de solveur réside dans la
nécessité de construire une matrice de préconditionnement adéquate au problème.
Concernant le deuxième problème, il est possible de réduire cette proportion en
recourant à la méthode multipôles, ce qui constitue le sujet du chapitre suivant.
Chapitre III - Méthode des éléments de frontière
57
Chapitre IV
Méthode multipôles
1. Introduction
Dans le chapitre précédent traitant de la méthode de couplage entre les méthodes des
éléments finis et des éléments de frontière, on a observé qu’une très grande partie de la
durée nécessitée pour la résolution complète du problème était demandée pour l’évaluation
des intégrales de contour et l’assemblage des matrices correspondantes (III.26) à (III.29).
Une manière d’accélérer le processus d’assemblage des matrices issues de l’équation
intégrale est de recourir à la méthode multipôles.
La méthode d’expansion multipôles permet d’évaluer l’impact sur le champ
électrique de sources situées dans le champ lointain. Par manque de temps, la méthode
multipôles rapide (Fast Multipole Method - FMM) n’a pas pu être étudiée en profondeur ni
encodée. Dans ce travail, on s’est intéressé à une méthode se basant sur les principes
généraux de la méthode multipôles rapide. L’approche suivie est alors la suivante : le
champ lointain est évalué par la méthode multipôles tandis que le champ proche est évalué
par la méthode BEM conventionnelle étudiée dans le chapitre précédent. Cette méthode
multipôles - éléments de frontière (Multipole Method-Boundary Element Method - MMBEM) sera également d’ordre O(N²) concernant le stockage des données en mémoire, dans
lequel N est le nombre de degrés de liberté situés sur la frontière. Par contre, on notera une
certaine accélération de l'assemblage des matrices correspondantes à l'équation intégrale.
La méthode multipôles rapide a principalement été développée pour des applications
bidimensionnelles et tridimensionnelles. Cette méthode n'a pas encore connu de
développement dans un repère axisymétrique, ce qui explique également pourquoi une
méthode MM-BEM a été choisie dans ce travail.
Vu le peu de littérature disponible sur le développement des expressions multipôles
dans le cas de l'équation de Laplace axisymétrique vectorielle, ce chapitre se base
principalement sur ce qui est développé dans [SIN08] traitant de l'équation de Laplace
axisymétrique scalaire et [HIR10] proposant un développement en série de Legendre pour
le potentiel vecteur dû à une spire de courant circulaire.
2. Un peu d’histoire
L'histoire de la méthode multipôles rapide telle que présentée dans la suite est issue
de [YOS01].
La méthode FMM a premièrement été pensée par V. Rokhlin[ROK85] dans le cadre
d'une accélération de la résolution des équations intégrales de l'équation de Laplace
Chapitre IV - Méthode multipôles
58
bidimensionnelle. La méthode FMM doit ensuite son avancée à L. Greengard et V.
Rokhlin ([GRE87], [GRE87]) dans leur tentative d'accélérer le calcul du potentiel dû à une
distribution spatiale de particules dont les interactions sont décrites par la loi de Coulomb.
Cette première application, dans un domaine bidimensionnel cartésien, permettait de
réduire le temps de calcul de O(N²) à O(N) si un solveur itératif est utilisé.
La méthode FMM initialement décrite par Rokhlin se base principalement sur
l'utilisation des moments multipôles pour l'évaluation de l'influence de groupes de
particules lointaines. Ces moments peuvent ensuite être translatés au centre local associé
au groupe auquel appartient le point où l'on recherche l'influence des particules lointaines.
Greengard compléta le travail de Rokhlin en introduisant les décompositions
hiérarchiques spatiales des groupes à l'aide de quad-tree dans un domaine bidimensionnel
et de oct-tree dans un domaine tridimensionnel. De plus, l'emploi d'opérateurs de
translations à une certaine échelle et entre chaque échelle permet de réduire la complexité
du calcul de O(N²) à O(N). On consultera [BEA97] pour une présentation claire et
didactique de la méthode FMM sur plusieurs applications.
Des travaux ultérieurs permirent d'étendre le panorama d'application de la méthode
FMM. Ces avancées progressives concernent les domaines suivants : l'équation de Laplace
bidimensionnelle et tridimensionnelle, l'élasticité bidimensionnelle et tridimensionnelle,
l'élastodynamique et la mécanique des fluides. Les équations intégrales sont
particulièrement intéressantes dans le cas de l'analyse des ondes dans un domaine de
dimensions infinies, ce qui explique la très grande recherche développée sur la méthode
FMM dans le cadre de l'acoustique et de la radiation électromagnétique.
3. Développements mathématiques
Comme annoncé dans l'introduction, la méthode FMM ne sera pas employée dans ce
travail mais plutôt une méthode MM-BEM. La raison en est assez simple ([SIN08]) : un des
points centraux de la méthode FMM réside en la possibilité de séparer les variables de
collocation et du point source dans l'expression de la fonction de Green. Cette séparation
est facilement mise en œuvre dans le cas d'un problème bi ou tridimensionnel. Or, dans le
cas d'une structure axisymétrique, le point source se dégénère en un anneau de source.
Cette dégénérescence se conserve dans la formulation de la fonction de Green telle que
présentée dans (III.4). Il n'est pas possible d'exprimer cette fonction de Green à l'aide de la
distance entre les deux points vu que la fonction de Green dépend également de la distance
de ces points par rapport à l'axe de symétrie. La séparation des points source et de
collocation ne peut donc pas s'effectuer aussi facilement que dans la méthode FMM.
En recoupant les données de [SIN08] et [HIR10], il est néanmoins possible de réaliser
une telle séparation dans le cas d'une méthode MM-BEM en utilisant une expansion
multipôles avec le centre multipôles situé sur l'axe de symétrie. Cette séparation va par la
suite permettre le regroupement des anneaux de source. L'influence au point de collocation
sera donc évaluée par ces groupes d'anneaux dans le champ lointain. La structure quadtree ou oct-tree de la méthode FMM n'est pas utilisée. Il ne sera donc pas possible de
profiter de l'accélération que permet un solveur itératif.
La situation est résumée sur la figure suivante ([YOS01]). La méthode BEM
traditionnelle telle qu’utilisée dans le chapitre III exprime l’influence de chacun des points
sources directement aux points de collocation, ce qui induit un nombre considérable de
transfert de données et donc d’opérations numériques.
Chapitre IV - Méthode multipôles
59
Dans le cas des méthodes MM-BEM et FMM, la contributions de chacune des
sources se ramène au centre multipôle du groupe par l’intermédiaire du moment
multipôles. La différence entre les deux méthodes réside dans la manière de transférer
cette information au point de collocation.
Dans le cas de la méthode MM-BEM, chaque information est transportée directement
en chacun des points de collocation.
Dans le cas de la méthode FMM, l’information est d’abord transposée au centre local
du groupe auquel appartient le point de collocation. L’information est ensuite transposée
au point de collocation par l’intermédiaire de l’expansion locale du groupe. La méthode
FMM permet donc de grandement limiter le nombre de transferts entre particules distantes
et donc le nombre d’opérations numériques à effectuer.
Méthode BEM
traditionnelle O(N²)
Méthode
MM-BEM
Méthode
multipôles rapide
FMM O(N)
Figure 42 : Schéma explicatif du fonctionnement des méthodes MM-BEM et FMM
([YOS01])
.
La technique MM-BEM proposée se base sur la décomposition en fonctions de
Legendre de la fonction de Green (III.4). En effet, la nature concentrique de la solution
fondamentale se prête particulièrement bien à un développement en harmoniques
sphériques. Les deux points suivants traitent de la décomposition de la fonction de Green
en fonctions de Legendre. Par après, lorsque les variables de collocation et des anneaux de
Chapitre IV - Méthode multipôles
60
source seront entièrement séparées, les moments par rapport aux centres multipôles seront
introduits.
3.1.
Référentiel centré sur la spire de courant
Dans [HIR10], le potentiel vecteur est développé en série si la spire de courant est
centrée sur l'origine du repère sphérique. La figure 43 indique les notations suivies dans ce
point.
Figure 43 : Notations utilisées pour une spire de courant centrée en l'origine du repère en coordonnées
[HIR10])
sphériques (
.
Les solutions élémentaires à l'équation de Laplace (IV.1) exprimée en coordonnées
sphériques sont de la forme (IV.2).
⎛ ∂2
⎞
∂ ⎛
∂ ⎞
2 ∂
1
1
+ 2
⎜ 2+
⎜ sin θ
⎟ − 2 2 ⎟ Gφ ( ρ , θ ) = 0
∂θ ⎠ ρ sin θ ⎠
ρ ∂ρ ρ sin θ ∂θ ⎝
⎝ ∂ρ
(IV.1)
n
⎧
⎛ρ⎞ 1
⎪∑ Gn ⎜ ⎟ Pn (cos θ ) pour ρ < a
⎝a⎠
⎪ n
Gφ ( ρ , θ ) = ⎨
n +1
⎛a⎞
⎪
1
⎪∑ Gn ⎜ ρ ⎟ Pn (cos θ ) pour ρ > a
⎝ ⎠
⎩ n
(IV.2)
Les fonctions Pnm sont les fonctions associées de Legendre de degré n et d'ordre m
satisfaisant à (IV.3). Dans cette dernière, Pn(x) est le polynôme de Legendre de degré n. Ce
polynôme est solution de (IV.4).
Pnm ( x) = (−1) m 1 − x 2
d m Pn ( x)
dx m
dP ( x) ⎤
d ⎡
(1 − x 2 ) n ⎥ + n(n + 1) Pn ( x) = 0
⎢
dx ⎣
dx ⎦
(IV.3)
(IV.4)
Le coefficient Gn dans (IV.2) est déterminé en multipliant l'équation (IV.1) par
Pn' (cosθ)sinθ, en insérant (IV.2) dans cette équation et en intégrant le tout de 0 à π par
rapport à θ. Le résultat final se présente alors sous la forme suivante :
1
Chapitre IV - Méthode multipôles
61
∞
Gφ ( ρ , θ ) = μ0 ∑ g n ( ρ )
n =1
Pn1 (0) Pn1 (cos θ )
2n(n + 1)
(IV.5)
Dans laquelle le facteur gn(ρ) est donné par (IV.6).
⎧⎛ ρ ⎞ n
pour ρ < a
⎪⎜ ⎟
⎪⎝ a ⎠
gn ( ρ ) = ⎨
n +1
⎪⎛ a ⎞
pour ρ > a
⎪⎜ ρ ⎟
⎩⎝ ⎠
3.2.
(IV.6)
Référentiel centré sur le centre multipôles
L'introduction des centres multipôles permet le regroupement des anneaux de source
et l'évaluation de l'influence de ce groupe d'anneau dans le champ lointain sur un point de
collocation. Il faut donc généraliser le résultat précédent en translatant le centre du repère
sphérique au centre multipôles. Soient (z', r'), (z, r) et (zc, rc) respectivement les
coordonnées du point de collocation, de l'anneau de source et du centre multipôles.
Figure 44 : Notations utilisées pour le centre du repère sphérique centré sur le centre multipôles.
Le résultat (IV.5) se réécrit donc sous la forme suivante :
Pn1 (cos θ ') Pn1 (cos θ )
Gφ ( ρ ', ρ , θ ', θ ) = μ0 ∑ g n ( ρ ', ρ )
2n(n + 1)
n =1
(IV.7)
⎧⎛ ρ ' ⎞ n
pour ρ ' < ρ
⎪⎜ ⎟
⎪⎝ ρ ⎠
g n ( ρ ', ρ ) = ⎨
n +1
⎪⎛ ρ ⎞
pour ρ ' > ρ
⎪⎜ ρ ' ⎟
⎩⎝ ⎠
(IV.8)
∞
Chapitre IV - Méthode multipôles
62
On remarque dans ces dernières relations que les variables de collocation et de
l'anneau de source sont complètement dissociées, ce qui sera d'une grande utilité comme il
le sera expliqué plus loin.
Une des approximations de la méthode multipôles consiste en la troncation du
développement (IV.7) à un nombre limité de termes. Cette approximation est légitime en
raison du terme de puissance (IV.8) qui diminue fortement avec l'exposant n. Un critère
exprimé plus loin permet de s'assurer que le rapport des distances est toujours nettement
inférieur à l'unité, ce qui permet à son tour une convergence suffisante du développement.
Il faut maintenant exprimer les coordonnées sphériques en fonction des coordonnées
cylindriques afin de pouvoir intégrer les développements précédents dans le cadre de ce
travail. On peut écrire les relations suivantes :
⎧
⎪ρ ' =
⎨
⎪ρ =
⎩
3.3.
( z '− zc ) + ( r '− rc )
2
( z − zc ) + ( r − rc )
2
z '− zc
⎧
⎪cos θ ' = ρ '
⎪
⎨
⎪cos θ = z − zc
⎪⎩
ρ
2
2
(IV.9)
Moments multipôles
Après avoir réussi à séparer les variables de collocation et de l'anneau de source dans
le point précédent, la prochaine étape consiste en l'insertion du développement (IV.7) dans
l'équation intégrale (III.15). Comme il l'a déjà été annoncé par (IV.8), les expressions vont
dépendre des positions respectives de ces points par rapport aux centres multipôles.
• Intégrale ∫ E(z,r)
∂G φ (z', z,r',r)
∂n
Γ
rdΓ(z,r)
Dans cette intégrale, la dérivée de la fonction de Green intervient. Il faut donc avant
tout expliciter cette dérivée. La dérivée normale de la fonction de Green s'exprime en
fonction des dérivées directionnelles sur chaque élément de frontière :
∂Gφ ( z ', z , r ', r )
∂n
=
∂Gφ ( z ', z , r ', r )
∂z
nz +
∂Gφ ( z ', z , r ', r )
∂r
nr
(IV.10)
Il reste donc à exprimer les deux dérivées directionnelles suivant les coordonnées
radiale et longitudinale. Comme les coordonnées sphériques peuvent s'exprimer en
fonction des coordonnées cylindriques (IV.9), il est possible de relier les coordonnées
directionnelles avec les dérivées partielles par rapport à ρ et θ :
∂G ∂G ∂ρ ∂G ∂θ
=
+
∂r ∂ρ ∂r ∂θ ∂r
⎡ ∞ ∂g P1 (cos θ ') Pn1 (cos θ ) ⎤ (r − rc )
⎡∞
Pn1 (cos θ ') ∂Pn1 (cos θ ) ⎤ ( z − zc )
g
μ
= μ0 ⎢ ∑ n n
+
0 ⎢∑ n
⎥
⎥
2
2n(n + 1)
2n(n + 1)
∂θ
⎣ n =1 ∂ρ
⎦ ρ
⎣ n =1
⎦ ρ
Chapitre IV - Méthode multipôles
63
∂Pn1 (cos θ ) ( z − zc ) ⎤
Pn1 (cos θ ') ⎡ ∂g n 1
(r − rc )
= μ0 ∑
+ gn
Pn (cos θ )
⎢
∂θ
ρ
ρ 2 ⎥⎦
n =1 2n( n + 1) ⎣ ∂ρ
∞
(IV.11)
∂G ∂G ∂ρ ∂G ∂θ
=
+
∂z ∂ρ ∂z ∂θ ∂z
⎡ ∞ ∂g P1 (cos θ ') Pn1 (cos θ ) ⎤ ( z − zc )
⎡∞
Pn1 (cos θ ') ∂Pn1 (cos θ ) ⎤ (r − rc )
g
μ
= μ0 ⎢ ∑ n n
−
0 ⎢∑ n
⎥
⎥
2
2n(n + 1)
2n(n + 1)
∂θ
⎣ n =1 ∂ρ
⎦ ρ
⎣ n =1
⎦ ρ
∂Pn1 (cos θ ) (r − rc ) ⎤
Pn1 (cos θ ') ⎡ ∂g n 1
( z − zc )
−
P
(cos
θ
)
g
n
n
⎢
∂θ
2n(n + 1) ⎣ ∂ρ
ρ
ρ 2 ⎥⎦
∞
= μ0 ∑
n =1
(IV.12)
Dans (IV.11) et (IV.12), un terme de dérivée de la fonction associée de Legendre Pn1
apparaît. Il est possible d'exprimer cette dérivée à l'aide de la relation suivante, basée sur
les fonctions associées de Legendre du même degré ([BOS00]) :
2
∂Pnm (cos θ )
= (−1) m ( ( n + m )( n − m + 1) Pnm −1 (cos θ ) − Pnm +1 (cos θ ) )
∂θ
(IV.13)
La dérivée du développement de la fonction de Green est maintenant pleinement
connue. L'expansion multipôles de l'intégrale de contour est donnée par :
∫ E ( z, r )
∂Gφ ( z ', z , r ', r )
∂n
Γ
∞
rd Γ( z , r ) = ∫ E ( z , r )r μ0 ∑
n =1
Γ
+
∞
= μ0 ∑
n =1
Pn1 (cos θ ') ⎡ ∂g n Pn1 (cos θ )
( ( z − zc )nz + (r − rc )nr )
⎢
2n(n + 1) ⎣ ∂ρ
ρ
⎤
g n ∂Pn1 (cos θ )
( −(r − rc )nz + ( z − zc )nr ) ⎥ d Γ( z, r )
2
ρ
∂θ
⎦
⎡ ∂g n Pn1 (cos θ )
Pn1 (cos θ ')
E
(
z
,
r
)
r
( ( z − zc )nz + (r − rc )nr )
⎢
2n(n + 1) ∫Γ
ρ
⎣ ∂ρ
⎤
g n ∂Pn1 (cos θ )
+ 2
( −(r − rc )nz + ( z − zc )nr ) ⎥ d Γ( z, r )
∂θ
ρ
⎦
(IV.14)
Selon (IV.8), deux cas se présentent. Si ρ'<ρ, on obtient l'expansion multipôles
intérieure :
∫ E ( z, r )
∂Gφ ( z ', z , r ', r )
∂n
Γ
∞
rd Γ( z , r ) = μ0 ∑
n =1
Pn1 (cos θ ')
n
( ρ ') ⎡⎣ −nM n + N n ⎤⎦ (IV.15)
2n(n + 1)
en introduisant les moments multipôles intérieurs Mn et Nn définis par :
Mn = ∫
Γ
rE ( z , r )
ρ
n+2
Pn1 (cos θ ) ( ( z − zc )nz + (r − rc )nr ) d Γ( z , r )
rE ( z , r ) ∂Pn1 (cos θ )
N =∫
( −(r − rc )nz + ( z − zc )nr ) d Γ( z, r )
∂θ
ρ n+2
Γ
(IV.16)
n
Si ρ'>ρ, on obtient l'expansion multipôles extérieure suivante :
Chapitre IV - Méthode multipôles
64
∫ E ( z, r )
∂Gφ ( z ', z , r ', r )
∂n
Γ
∞
rd Γ( z , r ) = μ0 ∑
n =1
Pn1 (cos θ ') 1
⎡(n + 1) On + P n ⎤⎦
n +1 ⎣
2n(n + 1) ( ρ ')
(IV.17)
en introduisant les moments multipôles extérieurs On et Pn définis par :
On = ∫ E ( z , r )r ρ n −1 Pn1 (cos θ ) ( ( z − zc )nz + (r − rc )nr ) d Γ( z , r )
Γ
P = ∫ E ( z, r )r ρ
n
n −1
Γ
∂Pn1 (cos θ )
( −(r − rc )nz + ( z − zc )nr ) d Γ( z, r )
∂θ
• Intégrale ∫ Gφ (z', z,r',r)
Γ
(IV.18)
∂E(z,r)
rdΓ(z,r)
∂n
L'expansion multipôles de cette intégrale ne pose cette fois pas de problème
particulier. Son développement est donné par :
∫ Gφ ( z ', z, r ', r )
Γ
∞
P1 (cos θ ') Pn1 (cos θ )
∂E ( z , r )
∂E ( z , r )
rd Γ( z , r ) = ∫
r μ0 ∑ g n n
d Γ( z , r )
∂n
∂n
2n(n + 1)
n =1
Γ
∞
= μ0 ∑
n =1
Pn1 (cos θ ')
∂E ( z , r )
g n Pn1 (cos θ )
rd Γ( z , r )
∫
∂n
2n(n + 1) Γ
(IV.19)
Selon (IV.8), deux cas se présentent. Si ρ'<ρ, on obtient l'expansion multipôles
intérieure :
∫ Gφ ( z ', z, r ', r )
Γ
∞
P1 (cos θ ')
∂E ( z , r )
n
rd Γ( z , r ) = μ0 ∑ n
( ρ ' ) Qn
∂n
n =1 2n( n + 1)
(IV.20)
en introduisant le moment multipôles intérieur Qn défini par :
Pn1 (cos θ ) ∂E ( z , r )
Q =∫
rd Γ( z , r )
∂n
ρn
Γ
n
(IV.21)
Si ρ'>ρ, on obtient l'expansion multipôles extérieure suivante :
∫ Gφ ( z ', z, r ', r )
Γ
∞
P1 (cos θ ') R n
∂E ( z , r )
rd Γ( z , r ) = μ0 ∑ n
n +1
∂n
n =1 2n( n + 1) ( ρ ' )
(IV.22)
en introduisant le moment multipôles extérieur Rn défini par :
R n = ∫ ρ n +1 Pn1 (cos θ )
Γ
∂E ( z , r )
rd Γ( z , r )
∂n
(IV.23)
On peut observer que les moments multipôles intérieur et extérieur (IV.16), (IV.18),
(IV.21) et (IV.23) ne dépendent que de la position des centres multipôles et peuvent donc
être calculés une fois pour toute au début de la simulation. Ces moments doivent être
stockés pour chaque valeur de l'indice n issu de la somme tronquée (IV.7).
Chapitre IV - Méthode multipôles
65
A ce niveau-ci, tous les éléments mathématiques nécessaires à la mise en œuvre de la
méthode ont été introduits. Il est donc maintenant possible de s’orienter vers la mise en
pratique numérique, ce qui constitue le sujet des points suivants.
4. Développements numériques de la méthode multipôles
4.1.
Discrétisation des moments multipôles
Dans le point précédent, les différents moments multipôles intérieurs et extérieurs ont
été introduits. Il faut maintenant tenir compte de la nature discrétisée de la frontière Γ sur
laquelle les intégrations sont définies. Les mêmes discrétisations (III.21) que dans le cas de
la méthode des éléments de frontière sont reprises. On obtient alors les moments
multipôles discrétisés suivants :
r
k
⎪⎧ E ⎪⎫
Pn1 (cos θ ) ( ( z − zc )nz + (r − rc )nr ) d Γ k ⎨ 1k ⎬
⎪⎩ E2 ⎭⎪
M n = ∑ ∫ ( N1k
N 2k )
N = ∑ ∫ (N
⎧⎪ E1k ⎫⎪
r ∂Pn1 (cos θ )
N ) n+2
( −(r − rc )nz + ( z − zc )nr ) d Γ k ⎨ k ⎬
ρ
∂θ
⎩⎪ E2 ⎭⎪
(IV.25)
On = ∑ ∫ ( N1k
k
⎪⎧ E ⎪⎫
N 2k ) r ρ n −1 Pn1 (cos θ ) ( ( z − zc )nz + (r − rc )nr ) d Γ k ⎨ 1k ⎬
⎪⎩ E2 ⎭⎪
(IV.26)
k Γk
n
k
1
k Γk
k Γk
k
2
P = ∑ ∫ (N
N
Qn = ∑ ∫ ( N1k
N 2k )
n
k
1
k
2
k Γk
k Γk
R = ∑ ∫ (N
n
k
1
k Γk
ρ n+2
N
k
2
) rρ
n −1
⎧⎪ E1k ⎫⎪
∂Pn1 (cos θ )
( −(r − rc )nz + ( z − zc )nr ) d Γ k ⎨ k ⎬
∂θ
⎩⎪ E2 ⎭⎪
k
⎪⎧Φ1 ⎪⎫
1
Γ
(cos
θ
)
P
d
k ⎨ k⎬
ρn n
⎩⎪Φ 2 ⎭⎪
r
) rρ
n +1
⎧⎪Φ1k ⎫⎪
P (cos θ )d Γ k ⎨ k ⎬
⎩⎪Φ 2 ⎭⎪
1
n
(IV.24)
(IV.27)
(IV.28)
(IV.29)
Ces différents moments discrétisés ne peuvent pas être évalués de manière analytique.
Des intégrations numériques sont donc effectuées pour évaluer chacun des moments pour
chacun des degrés n (cf. Annexe C pour l'explicitation des interventions à effectuer).
4.2.
Regroupement des éléments de frontière
L'explication qui suit est fortement inspirée de [SIN08] en raison de la forte
similitude entre les situations et de la très bonne explicitation des opérations à suivre.
Après avoir défini les différents moments discrétisés extérieurs et intérieurs aux
centres multipôles (IV.24) à (IV.29), la prochaine étape logique consiste en le
regroupement des éléments de surface pour former des groupes d'anneaux de source. La
figure suivante montre le regroupement des éléments de surface ([SIN08]).
Chapitre IV - Méthode multipôles
66
Figure 45 : Regroupement des éléments de surface dans le plan méridien
[SIN08]
.
Le regroupement des éléments de surface s'effectue de la manière suivante : un
nombre total de groupes est choisi. La longueur totale de la frontière est ensuite divisée par
ce nombre de groupes pour fournir une longueur d'arc représentative de chaque groupe. Un
élément de surface est considéré être à l'intérieur d'un groupe si son centre se trouve à
l'intérieur de la longueur d'arc du groupe.
Une des hypothèses de départ consistait en le placement des centres multipôles O et
O' sur l'axe de symétrie afin de pouvoir exprimer la séparation des variables de l'anneau de
source et du point de collocation. La position de ces centres multipôles sur l'axe
longitudinal influence grandement le nombre d'opérations effectuées par la méthode
multipôles. Une étude sera faite plus loin concernant cette influence.
4.3.
Méthodologie de la méthode MM-BEM
La contribution d'un groupe d'éléments de surface sur un point de collocation peut se
faire de deux manières : soit par la méthode BEM classique tel qu'exprimé dans le chapitre
précédent, soit par la formulation multipôles par l'intermédiaire d'un centre multipôles
explicitée dans les points précédents de ce chapitre. Concernant la méthode multipôles, il a
également été annoncé que deux types de formulations sont possibles : selon un critère
basé sur les distances entre centre multipôles - point de collocation et centre multipôles centre du groupe en cours d'assemblage, la formulation intérieure ou extérieure est choisie.
Ce critère est explicité ci-dessous :
⎧⎪intérieure si ρ '<0.6ρ → moments multipôles M n , N n et Qn
Expansion multipôles ⎨
n
n
n
⎪⎩extérieure si ρ '>1.6ρ → moments multipôles O , P et R
BEM classique si
•
•
aucun des critères de l'expansion multipôles ne satisfait
le groupe de sources est voisin du groupe auquel
(IV.30)
appartient le point de collocation
Le critère sur le rapport des distances dans la méthode multipôles permet de s'assurer
que le développement (IV.7) converge pour un nombre limité de termes.
Afin de mieux comprendre le fonctionnement de ces divers critères, il est plus facile
de mettre en pratique ces considérations sur un exemple concret basé sur la figure 45
Chapitre IV - Méthode multipôles
67
([SIN08])
. Considérons que la contribution du groupe de sources C doive être évaluée pour
différents points de collocation appartenant respectivement aux groupes A, G et J. Ces
trois cas permettent en effet de parcourir l'ensemble des situations possibles.
• Dans le cas du point de collocation situé dans le groupe A : la contribution du
groupe C peut être évaluée par l'intermédiaire de l'expansion multipôles intérieure
calculée au centre multipôles O. L'équation finale se calcule par les sommes
(IV.15) et (IV.20) pour les nœuds appartenant au groupe C.
• Dans le cas du point de collocation situé dans le groupe G : la contribution du
groupe C est évaluée par l'intermédiaire de l'expansion multipôles extérieure
calculée au centre multipôles O. L'équation finale se calcule par les sommes
(IV.17) et (IV.22) pour les nœuds appartenant au groupe C.
• Dans le cas du point de collocation situé dans le groupe J : deux possibilités
s'offrent pour évaluer la contribution du groupe C. Ces deux possibilités sont :
premièrement, une expansion multipôles extérieure calculée au centre O et
deuxièmement, une expansion multipôles intérieure calculée au centre O'. Le
deuxième choix est préférable car le critère basé sur le rapport des distances est
mieux respecté que le premier choix. Ce choix permet donc une meilleure
convergence des développements (IV.15) et (IV.20).
La contribution d'un groupe d'anneaux de sources en un point de collocation ne fait
intervenir que les nœuds de frontière appartenant à ce groupe. La contribution des
méthodes BEM traditionnelle et MM-BEM sur la matrice [A’] est donnée sur la figure
suivante en guise d’exemple. La méthode BEM traditionnelle ne fait intervenir qu’un
nombre limité de nœuds. En effet, seuls les nœuds appartenant aux groupes directement
voisins du groupe contenant le point de collocation et les nœuds ne satisfaisant pas aux
critères sur les distances (IV.30) sont calculés par la méthode BEM traditionnelle. La
matrice obtenue après l’assemblage des deux contributions est pleine tout comme le cas de
la méthode BEM traditionnelle discutée dans le chapitre précédent.
Contribution de la
méthode BEM
Contribution de la
méthode multipôles
Matrice [A’]
complète
+
Figure 46 : Assemblage de la matrice [A’] par les méthodes BEM traditionnelle et multipôles.
L'ensemble des particularités de la méthode MM-BEM a maintenant été discuté. Afin
d'avoir une idée claire de la méthodologie suivie pour résoudre totalement le problème, les
points suivants expriment l'ordre des opérations à suivre.
• Regroupement des éléments de frontière comme discuté dans le point 4.2. Deux
matrices sont créées : chaque ligne représente un groupe et chaque colonne
l'élément de frontière ou le nœud de frontière contenu dans le groupe.
Chapitre IV - Méthode multipôles
68
• Evaluer les moments multipôles intérieurs et extérieurs discrétisés (IV.24) à
(IV.29) pour les deux centres multipôles en tenant compte de (IV.9) et pour chaque
valeur du degré n.
• Selon les critères (IV.30), ajouter les composantes des matrices [A'] et [B] de
l'équation intégrale par la méthode multipôles ou directement par la méthode BEM
classique. Le vecteur de forçage {F} est calculé directement par (III.28) puisque ce
terme ne présente pas l'inconvénient d'évaluer une intégrale de contour.
• Construire la matrice [K] correspondant à la méthode FEM (III.40) ainsi que celle
correspondant aux conditions faibles sur le flux (III.39). Imposition des conditions
aux limites sur l'axe de symétrie et inversion de la matrice globale. L'inversion de
la matrice se fait de manière directe sans avoir recours à un solveur itératif. En
effet, l'inconvénient majeur de la méthode itérative est la nécessité de la
construction d'une matrice de préconditionnement qui permette un gain de temps
suffisant. Il s'agit là d'une technique assez complexe en soi, nécessitant beaucoup
de temps avant d'aboutir sur la matrice adéquate.
Avant de passer à l'exploitation des résultats, il faut encore préciser quelques détails.
Dans les développements multipôles (IV.15), (IV.17), (IV.20) et (IV.22), la somme est
tronquée après 25 termes. Dans les expressions des moments multipôles (IV.24) à (IV.29),
les intégrations numériques se font pour un nombre fixe de points d'intégration (choisi égal
à 6 afin d'assurer une précision maximale quelle que soit la position de l'élément de
frontière par rapport au point de collocation).
5. Résultats numériques
Toutes les bases nécessaires à la compréhension et à l'implémentation de la méthode
MM-BEM ont été développées dans les points précédents. Il est maintenant possible de
passer à l'étape logique suivante qui est la validation numérique de la méthode ainsi que
l'exploitation des résultats.
Dans le prochain point, la validation du code implémentée est réalisée. Comme il le
sera montré, les résultats ne seront pas vraiment satisfaisants. Quelques tentatives
d'explications seront alors données. Par après, de manière indépendante de la qualité de la
solution, des études seront faites concernant l'influence de la position des centres
multipôles, le nombre de groupes sur la frontière et les performances temporelles par
rapport aux autres méthodes développées dans les chapitres II et III.
5.1.
Validation de la méthode de couplage MM-BEM/FEM
La première étape logique de l'exploitation des résultats consiste en la validation du
code sur une situation dont la solution est connue à l'avance. Cette situation est prise
identique par rapport aux chapitres précédents, c'est-à-dire une conductivité électrique
nulle dans tout l'espace, et ce même à l'intérieur de la torche. Le champ électrique total est
alors égal au champ électrique créé par les spires dont la forme analytique est donnée par
(I.11).
Chapitre IV - Méthode multipôles
69
Malheureusement, le résultat fourni présente d'assez mauvaises qualités (cf. figure
suivante). L'allure du champ électrique reste néanmoins assez semblable par rapport à la
solution théorique, ce qui permet de s'assurer que les développements précédents ne sont
pas totalement erronés. On remarque également une différence concernant l'amplitude de
la solution.
Figure 47 : Validation de la méthode de couplage MM-BEM/FEM - Norme du champ électrique total
[V/m]. Solution théorique (au-dessus) et la solution numérique MM-BEM/FEM (en dessous) avec 50
groupes d'éléments de frontière.
Le nombre de termes dans les expansions multipôles ne change en rien cette
constatation : en prenant 50 termes au lieu des 25 initialement choisis, la solution reste
identique par rapport à ce qui est montré ci-dessus. La même constatation est faite
concernant le nombre de points d'intégration lors de l'évaluation des moments multipôles
(en prenant 4 points d'intégration au lieu des 6 initialement choisis). Par contre, on peut
observer une nette dégénérescence de la qualité de la solution lorsqu'un nombre de groupes
d'éléments de frontière plus petit est choisi.
Par manque de temps, les investigations n'ont pas pu être poussées plus loin. Il n'est
donc pas possible à ce niveau-ci de savoir si l'erreur provient du niveau théorique ou d'une
mauvaise implémentation de la méthode.
Les études faites dans les points suivants peuvent s'effectuer de manière indépendante
par rapport à la qualité de la solution. Ces études fournissent des renseignements assez
intéressants par rapport aux performances que peut atteindre la méthode MM-BEM.
5.2.
Influence de la position des centres multipôles
Dans ce point, on étudie l'influence de la position des centres multipôles sur la
proportion d'opérations effectuées par la méthode multipôles lors de l’assemblage des
matrices [A’] et [B] correspondant à l’équation intégrale. Les deux centres multipôles
seront placés à la même distance des frontières gauche et droite afin de ne pas introduire
d'asymétrie dans la géométrie.
Sur le graphique suivant, on représente la proportion d'opérations effectuées par la
méthode multipôles lors de l'assemblage des matrices [A'] et [B] de l'équation intégrale en
Chapitre IV - Méthode multipôles
70
fonction de la position du centre multipôles se trouvant le plus à gauche de la torche. La
position de ce centre est limitée à la moitié de la longueur de la torche (z=0.05m) car
l'autre centre multipôles l'y rejoint. Un nombre important de groupes d'éléments de
frontière est choisi : on verra dans le point suivant qu'il y aura saturation de la proportion
pour un nombre important de groupes. Afin que le nombre de groupes n'influence pas
indirectement le résultat, ce nombre est choisi maximal (300 groupes vu qu'il y a 695
éléments de frontière et donc environ 2 éléments de frontière par groupe).
Figure 48 : Proportion [%] d’opérations effectuées par la méthode multipôles lors de l’assemblage des
matrices de l’équation intégrale en fonction de la position des centres multipôles sur l’axe longitudinal.
Plusieurs observations intéressantes peuvent être tirées du résultat suivant :
•
Lorsque les centres multipôles se trouvent en dehors de la torche (une position
négative donc), la proportion d'opérations effectuées par la méthode
multipôles augmente progressivement lorsque le centre se rapproche de la
paroi pour finalement atteindre un maximum en z=-0.0001m (~82.15%). Une
explication plausible serait qu'au plus le centre multipôle s'écarte de la torche,
au plus il devient difficile de satisfaire aux critères (IV.30), ce qui empêcherait
la bonne convergence du développement tronqué. La méthode BEM
traditionnelle est alors choisie par défaut.
•
Lorsque le centre multipôles se trouve à l'intérieur de la torche, un deuxième
maximum est observé pour z=0.037m (~72.87%). La raison est plus
compliquée que dans le cas du centre situé à l'extérieur de la torche. Il s'agit
sans doute d'une combinaison plus optimale sur les rapports des distances
qu'en z=0.02m pour laquelle on observe un minimum de la proportion.
Lorsque les centres multipôles se rapprochent de plus en plus du milieu de la
torche, la proportion diminue dramatiquement. Cette dernière situation
ressemble au cas du centre situé à l'extérieur de la torche pour lequel les
critères de choix deviennent difficiles à respecter.
On retient donc de cette première étude qu'il est très intéressant de placer les deux
centres multipôles légèrement à l'extérieur de la torche afin de maximiser la proportion
d'opérations effectuées par la méthode multipôles et donc de diminuer au maximum la
durée d'assemblage des matrices [A'] et [B] de l'équation intégrale.
Chapitre IV - Méthode multipôles
71
5.3.
Influence du nombre de groupes d'éléments de surface
Dans ce point-ci, on se concentre sur l'étude de l'influence du nombre de groupes
d'éléments de surface sur la proportion d'opérations effectuées par la méthode multipôles
lors de l'assemblage des matrices [A'] et [B] de l'équation intégrale.
Dans le point précédent, on a mis en évidence la présence d'un maximum de la
proportion pour des centres multipôles situés à l'extérieur de la torche à une distance très
faible de la paroi. Dans ce point-ci, afin que la position des centres multipôles n'influence
pas indirectement les résultats, on place ces centres en z=-0.001m et z=1.001m, positions
pour lesquelles la proportion observée sur la figure 48 est maximale.
Le maillage comporte dans ce cas 695 éléments de frontière. Un maximum de 300
groupes est donc fixé afin d'avoir un minimum de 2 éléments de surface par groupe. Le
résultat est reporté sur la figure 49.
On remarque sur ce résultat la forte variation de la proportion pour de faibles nombres
de groupes. Pour la présence de 2 groupes, la proportion est nulle vu que ces deux groupes
sont alors voisins : le critère (IV.30) implique donc obligatoirement un assemblage des
matrices [A'] et [B] uniquement par la méthode BEM traditionnelle. Pour 10 groupes, la
proportion grimpe déjà jusque 73.8%, ce qui induit déjà une bonne accélération de
l'assemblage des matrices. Pour environ 100 groupes, le maximum de la proportion est
atteint (~82.15%). Cette augmentation est due à la diminution globale de la taille des
groupes et donc un meilleur ajustement du centre du groupe par rapport à tous les nœuds
compris dans le groupe.
Figure 49 : Proportion [%] d’opérations effectuées par la méthode multipôles lors de l’assemblage des
matrices de l’équation intégrale en fonction du nombre de groupes d’éléments de surface.
Chapitre IV - Méthode multipôles
72
5.4.
Performances temporelles
Dans les deux points précédents, on a pu retenir quelques conclusions à propos de
l'emplacement idéal des centres multipôles et du nombre de groupes d'éléments de surface
assurant une proportion maximale d'opérations pour la méthode multipôles. Afin de
minimiser la durée d'assemblage des matrices de l'équation intégrale, on décide de placer
les centres en z=-0.001m et z=1.001m et de prendre 100 groupes sur la frontière. La
proportion d'opérations de la méthode multipôles est donc à son maximum de 82.15%.
Tout comme dans les chapitres II et III, on étudiera tout d'abord la répartition de la
durée sur les différentes étapes clés du processus. La deuxième étude se concentrera, elle,
sur les performances temporelles globales en fonction du nombre de degrés de liberté à
l'intérieur de la torche. Les résultats précédents sur les méthodes FEM et FEM/BEM seront
également reportés pour une comparaison aisée.
Les différentes étapes clés du processus menant à la détermination finale du champ
électrique au sein de la torche sont les suivantes :
•
•
•
•
•
Lecture du maillage, des données, création des groupes d’éléments de
frontière et évaluation des moments multipôles (IV.24) à (IV.29)
Assemblage des matrices [A’] et [B] et du vecteur {F} de l'équation intégrale
par les méthodes multipôles ou BEM classique selon les critères (IV.30)
Assemblage des matrices élémentaires FEM et des conditions faibles sur le
flux ((III.39) et (III.40))
Imposition des conditions aux limites (I.3) sur l’axe de symétrie
Inversion de la matrice globale du système d’équations
Normalement, seules les deux premières étapes clés décrites ci-dessous changent par
rapport à la figure 40 de la méthode BEM traditionnelle. Les différentes durées
correspondant aux étapes clés ci-dessus sont données sur la figure suivante.
Figure 50 : Temps caractéristiques obtenus par la méthode MM-BEM / FEM avec un nombre fixe de
points d’intégration en fonction du nombre de degrés de liberté.
Chapitre IV - Méthode multipôles
73
On remarque sur ce dernier résultat que l’assemblage des matrices correspondant à
l’équation intégrale reste la principale contribution à la durée totale du processus. Afin de
quantifier le gain obtenu par rapport à la méthode FEM/BEM, on reporte dans le tableau 9
la proportion de temps demandée pour l’assemblage de ces matrices par rapport à la durée
totale, et ce pour les méthodes FEM/BEM et MM-BEM/FEM. Un certain gain est observé
pour de grands nombres de degrés de liberté dans la torche.
Concernant la durée demandée pour l’évaluation des moments multipôles, sa
proportion diminue avec le nombre de degrés de liberté (de ~24% à ~3.8%). Pour de
faibles nombres de degrés de liberté, il s’agit donc d’un handicap inévitable.
Nombre de degrés de
liberté intérieurs
1984
4884
9384
19904
39584
83384
121704
FEM/BEM
79,6632572
74,2317091
71,4968945
70,281652
67,5440632
72,3494145
75,9686268
MMBEM/FEM
69,8463827
68,5225842
67,9337129
70,1287584
65,9878731
61,8825389
61,2027451
Tableau 9 : Proportions de temps [%] demandées pour l’assemblage des matrices correspondant à
l’équation intégrale par rapport à la durée totale. Méthodes FEM/BEM et MM-BEM/FEM.
La deuxième étude se concentre sur l’étude des durées totales demandées par
l’ensemble des méthodes vues jusqu’à présent en fonction du nombre de degrés de liberté
intérieurs à la torche. Ces différentes performances sont reportées sur la figure suivante.
Figure 51 : Performances temporelles. σ = 1000 S/m - 27.6 MHz. Méthodes FEM (II.8) et (II.9),
FEM/BEM avec un nombre de points d'intégration fixe et variable, MM-BEM / FEM.
Chapitre IV - Méthode multipôles
74
Les différentes méthodes sont :
•
•
•
•
•
Méthode des éléments finis pour le système d’équations sur le champ
électrique total (II.9).
Méthode des éléments finis pour le système d’équations sur le champ
électrique induit (II.8).
Couplage entre les méthodes des éléments finis et des éléments de frontière
avec un nombre fixe de points d’intégration sur les éléments de frontière.
Couplage entre les méthodes des éléments finis et des éléments de frontière
avec un nombre variable de points d’intégration sur les éléments de frontière.
Couplage entre les méthodes des éléments finis et de la méthode MM-BEM.
La principale observation que l’on puisse faire sur ce dernier résultat est que la
méthode MM-BEM ne devient intéressante qu’à partir de l’utilisation d’un grand nombre
de degrés de libertés à l’intérieur de la torche. Cette constatation est quelque peu
déconcertante car il aurait semblé, à première vue, que la grande proportion d’opérations
effectuées par la méthode multipôles aurait justement permis une accélération de
l’assemblage des matrices. Une raison plausible serait la grande proportion de la durée
demandée pour l’évaluation des moments multipôles pour les faibles nombres de degrés de
liberté (cf. figure 50).
6. Conclusion
Dans ce chapitre, on s’est intéressé à l’utilisation de la méthode multipôles couplée
avec les méthodes des éléments finies (chapitre II) et des éléments de frontière (chapitre
III). Le but visé consistait en l’accélération de l’assemblage des matrices correspondant à
l’équation intégrale sur la frontière de la torche.
Par manque de temps, il n’a pas été possible d’approfondir la recherche de la cause du
résultat erroné. On ne peut que supposer la présence d’une erreur soit au niveau des
développements théoriques, soit au niveau de l’implémentation en elle-même. La forte
similarité de la solution avec le champ électrique théorique laisse toutefois espérer le bon
fonctionnement global de l’ensemble des opérations effectuées.
En faisant abstraction du résultat erroné, il est possible de tirer quelques conclusions
concernant les performances en elles-mêmes de la méthode MM-BEM.
Des expériences numériques ont été menées pour déterminer la position idéale des
centres multipôles sur l’axe de symétrie ainsi que le nombre de groupes d’éléments de
surface menant à une maximisation d’opérations effectuées par la méthode multipôles.
A partir des paramètres optimaux sur la maximisation de la contribution de la
méthode multipôles, il a donc été possible de réaliser des études de performances de la
méthode MM-BEM en fonction du nombre de degrés de liberté. Il a été constaté que cette
méthode ne devient avantageuse que pour un nombre très important de degrés de liberté,
comme on le rencontre assez souvent dans l’étude d’un écoulement. La raison serait la
proportion importante de l’évaluation des moments multipôles pour un faible nombre de
degrés de liberté. Pour un faible et moyen nombre de degrés de liberté, la méthode BEM
traditionnelle présente les meilleures performances temporelles.
Chapitre IV - Méthode multipôles
75
Conclusion - Perspectives
Tout le long de ce travail, une certaine méthodologie a été suivie pour l’amélioration
des performances temporelles lors de la détermination du champ électrique total au sein de
la mini-torche à plasma. Dans le chapitre II, la méthode des éléments finis a été étudiée. Il
s’agissait de la méthode dont on cherchait à améliorer les performances temporelles en
incorporant un couplage avec la méthode des éléments de frontière, ce qui a constitué le
sujet du chapitre III. Quelques caractéristiques de la méthode des éléments de frontière ont
ensuite mené à l’étude de la méthode multipôles, ce dont le chapitre IV a discuté. Les
principales observations sur chacune de ces méthodes sont reportées dans les conclusions
en fin de chaque chapitre.
Concernant la méthode des éléments finis, le principal désavantage présenté consistait
en la nécessité d’introduire le domaine extérieur à la torche afin de pouvoir imposer la
condition de rayonnement à une distance finie de la torche. L’ordre temporel O(N²) de la
méthode a été mesuré.
La méthode des éléments de frontière a présenté l’avantage de supprimer le domaine
extérieur. Le prix à payer fût des notions mathématiques plus complexes et l’introduction
de matrices pleines dans le système. Par rapport à la méthode des éléments finis, une
meilleure convergence pour l’erreur et de meilleures performances temporelles ont été
observées. L’ordre O(N²) de la méthode a également été mesuré. La présence de matrices
pleines pour les variables situées sur la frontière mène à une proportion importante du
temps nécessité pour l’écriture de l’équation intégrale sur ces nœuds.
La méthode multipôles a permis de diminuer cette proportion du temps mais ne
présente de meilleures performances temporelles par rapport à la méthode des éléments de
frontière classique que pour un nombre important de degrés de liberté. Par rapport à la
méthode multipôles rapide, l’accélération obtenue est loin d’être satisfaisante. De plus, par
manque de temps, il n’a pas été possible de déterminer l’origine du problème observé lors
de la validation de la méthode.
Dans un travail futur, il serait important dans un premier temps de résoudre le
problème observé lors de la validation de la méthode multipôles. Par rapport à la méthode
multipôles rapide, la base théorique développée reste identique. Pour cette méthode, il
suffit en effet d’introduire la notion de transfert des données entre centre local et point de
collocation à l’aide de l’expansion locale. Le nombre d’opérations totales devrait donc être
diminué de manière drastique par rapport à la méthode MM-BEM implémentée dans ce
travail. Dans un deuxième temps, sur base des modifications à apporter précédemment
introduites, il serait également intéressant d’étudier les performances offertes par la
méthode multipôles rapide.
Conclusion - Perspectives
76
Bibliographie
[ALF42] ALFVEN H., Existence of Electromagnetic-Hydrodynamic Waves, Nature, 1942,
Vol. 150, p. 405.
[ANG07] ANG WT, A Beginner’s Course in Boundary Element Methods, Universal
Publishers, Boca Raton, USA, 2007.
[AUW99] AUWERTER-KURTZ M., Overview of IRS Plasma Wind Tunnel Facilities,
NATO RTO EN-8, pages 2A/1-20, von Kármán Institute for Fluid Dynamics,
1999.
[BEA97] R. Beatson, L. Greengard, A Short Course on Fast Multipole Methods, in :
Wavelets, Multilevel Methods and Elliptic PDEs, Oxford Science Publications,
Oxford, 1997.
[BOS00] BOSCH W., On the Computation af Derivatives of Legendre Functions, Phys.
Chem. Earth (A), Vol. 25, No. 9-1 I, pp. 655-659.2000.
[CHE06] CHEN Francis F., Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume
1 : Plasma Physics, Second Edition, New York and London : Plenum Press, 2006.
[CHE05] CHENG Alexander H.D., Cheng Daisy T., Heritage and Early History of the
Boundary Element Method, Engineering Analysis with Boundary Elements 29 :
268–302, 2005.
[CHU02] CHUNG T.J., Computational Fluid Dynamics, Cambridge; New York: Cambridge
University Press, 2002.
[DET04] DETANDT Yves, Extension of Spectral/Finite Element Code for Large Eddy
Simulations (SFELES) to Axisymmetric Bodies, PhD Thesis, von Kármán Institute
for Fluid Dynamics, 2004.
[DOL09] DOLEŽEL I., Karban P., Šolin P., Integral Methods in Low-Frequency
Electromagnetics, Hoboken : Wiley & Sons, 2009.
[FAR32] FARADAY M., Experimental Researches in Electricity, First Series, Philosophical
Transactions of the Royal Society, London, 1832.
[GEU09] GEUZAINE C., Remacle J-F. Gmsh: A Three-Dimensional Finite Element Mesh
Generator with Built-in Pre- and Post-Processing Facilities. International Journal
for Numerical Methods in Engineering, Volume 79, Issue 11 : 1309-1331, 2009.
[GOO01] GOOD R.H., Elliptic Integrals, the Forgotten Functions, Eur. J. Phys. 22 : 119–
126, 2001.
[GOR99] GORDEEV A.N., Overview of Characteristics and Experiments in IPM
Plasmatrons, NATO RTO EN-8, pages 1A/1-18, von Kármán Institute for Fluid
Dynamics, 1999.
[GRA03] GRAY L.J., Garzon Maria, Mantič Vladislav, Graciani Enrique, Galerkin
Boundary Integral Analysis for the Axisymmetric Laplace Equation, Int. J. Numer.
Meth. Engng; 66:2014–2034, 2006.
[GRE87] GREENGARD Leslie F., Rokhlin V., A Fast Algorithm for Particle Simulations,
J. Comput. Phys. 73, 325, 1987.
Bibliographie
77
[GRE88] GREENGARD Leslie F., Rokhlin V., Carrier J., A Fast Adaptive Multipole
Algorithm for Particle Simulations, SIAM J. Sci. Stat. Comput. 9, 669, 1988.
[HIR10]
HIROSE Akira, PHYS 812.3 - Electromagnetic Theory, Course Notes, University
of Saskatchewan, Department of Physics and Engineering Physics, site web sur
Internet, <http://physics.usask.ca/~hirose/p812/p812fp.htm>, dernière consultation
le 25-04-2010.
[HSI08]
HSIAO George C., Wendland Wolfgang L., Boundary Integral Equations,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.
[HUN03] HUNTER Peter, FEM/BEM Notes, Course Notes, Department of Engineering
Science, University of Auckland, 2003.
[KYT95] KYTHE Prem K., An Introduction to Boundary Element Methods, CRC Press :
Boca Raton, 1995.
[LAN84] LANDAU L.D., Lifshitz E.M., Electrodynamics of Continuous Media, Second
Edition, Oxford : Pergamon Press, 1984.
[MIL96] MILLER R.C. Miller, Ayen R.J., Temperature profiles and energy balances for an
inductively coupled plasma torch, Journal of Applied Physics, 40(13):5260–5273,
1996.
[PAR97] PARÍS Federico, Cañas José, Boundary Element Method : Fundamentals and
Applications, Oxford ; New York : Oxford University Press, 1997.
[POZ02] POZRIKIDIS C., A Practical Guide to Boundary Element Methods with the
Software Library BEMLIB, CRC Press: Boca Raton, 2002.
[REE61] REED T.B., Induction-Coupled Plasma Torch, Journal of Applied Physics,
32(5):821–824, 1961.
[ROK85] ROKHLIN V., Rapid Solution of Integral Equations of Classical Potential Theory,
J. Comp. Phys., 60:187-207, 1985.
[SIN04]
SINGH Guru Bhag, Hiziroğlu Hüseyin R., Electromagnetic Field Theory
Fundamentals, Second Edition, Cambridge University Press, 2004.
[SIN08]
SINGH Jitendra, Glière Alain, Achard Jean-Luc, A Multipole Expansion-Based
Boundary Element Method for Axisymmetric Potential Problem, Engineering
Analysis with Boundary Elements 33 : 654–660, 2008.
[VAN00] VANDEN ABEELE D.V., Efficient Computational Model for Inductive Plasma
Flows, PhD Thesis, Von Kármán Institute for Fluid Dynamics, 2000.
[WAR08] WARZEE Guy, Méthode des Eléments Finis (Structure), notes de cours, Presses de
l’Université Libre de Bruxelles, 2008.
[YOS01] YOSHIDA Ken-Ichi, mars 2001, "Applications of Fast Multipole Method to
Boundary Integral Equation Method", Dept. of Global Environment Eng.
Kyoto Univ., Japan, site web sur Internet, <http://gspsun1.gee.kyotou.ac.jp/yoshida/doctoral_thesis/>, dernière consultation le 25-04-2010.
[ZIE05]
ZIENKIEWICZ O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z., The Finite Element Method: its Basis
and Fundamentals. Sixth Edition, Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005.
Bibliographie
78
Annexe A - Détermination de l’équation
d’induction du champ électrique
L’équation d’induction du champ électrique se trouve aisément à partir de quelques
manipulations algébriques des équations de Maxwell. Ces dernières sont pour rappel :
JG
⎧ JG JG
∂B
⎪∇x E = −
∂t
⎪
JG
JG
⎪ JG JG
∂E
⎧ μ0 la perméabilité du vide
⎪∇x B = μ0 J + ε 0 μ0
(A.1)
∂t avec ⎨
⎨ JG JG
⎩ε 0 la permittivité du vide
⎪∇( B) = 0
⎪
ρ
⎪ JG JG
⎪∇( E ) = ε
0
⎩
Dans ce cas-ci, la charge électrique ρ est nulle car la fréquence d’excitation est de loin
inférieure à la fréquence fondamentale du plasma, ce qui mène à un état quasi-neutre du
plasma. De plus, le courant de déplacement peut également être enlevé du problème
([ABE00])
. En effet, si on décompose le champ électrique en une composante induite EI et
une composante due aux spires EC (les équations de Maxwell sont linéaires, ce qui permet
cette décomposition) :
JJG
∂ EI
ε 0 μ0
: éliminer ce terme revient à négliger les ondes électromagnétiques dans les
∂t
équations de Maxwell.
JJG
∂E
ε 0 μ0 C : éliminer ce terme revient à supprimer les oscillations électriques.
∂t
Les équations de Maxwell se simplifient donc en :
JG
⎧ JG JG
∂B
⎪∇x E = −
∂t
⎪ JG JG
⎪∇x B = μ JJG
0
⎨
JG JG
⎪∇
( B) = 0
⎪ JG JG
⎪⎩∇( E ) = 0
(A.2)
En prenant le rotationnel de la loi de Faraday et en utilisant la loi d’Ampère-Maxwell,
on aboutit à :
JG JG
JG
JG
∂ ∇x B
JG JG JG
JG ⎛ ∂ B ⎞
∂J
(A.3)
∇x ∇x E = −∇x ⎜
= − μ0
⎟=−
t
t
t
∂
∂
∂
⎝
⎠
(
)
(
)
nr
JJG
G JG JJG
JG
JG JJG
La densité totale de courant J = σ E + JV avec JV = − I C exp( jωt )∑ δ r − ri e θ
i =1
Annexe A - Détermination de l’équation d’induction du champ électrique
(
)
79
De plus, en manipulant l’expression du double rotationnel dans (A.3), on débouche sur :
JG JG JG JG JG
JG
∇x ∇xE = ∇ ∇E − Δ E
(
)
( )
JG JG
JG JG JG
JG
Par la loi de Gauss ∇( E ) = 0 , on aboutit donc à ∇x ∇xE = −Δ E .
(
)
On rassemble enfin les dernières opérations pour obtenir :
JG
∂ JG JJG
Δ E = μ0
σ E + JV
∂t
(
)
(A.4)
Finalement, comme l’excitation est purement oscillatoire, on peut recourir aux
phaseurs. Le champ électrique total est orienté suivant le vecteur azimutal, de sorte que si :
JG
JJG
E = E exp( jωt )eθ
(A.5)
on a alors :
nr
JJG
JJG
G JG JJG
Δ Ee θ − jωμ0σ Ee θ = − jωμ0 I C ∑ δ r − ri e θ
(
)
(
)
i =1
(
)
(A.6)
La dernière étape consiste en l’explicitation du Laplacien en coordonnées cylindriques.
JJG
La dérivée seconde selon la coordonnée azimutale du vecteur e θ est donnée par :
JJG
JJG
2
2
Ee
e
∂
∂
θ
θ
1
E
E JJG
(A.7)
= 2
= − 2 eθ
2
2
2
r
r ∂θ
r
∂θ
(
)
( )
De sorte que l’équation vectorielle devient scalaire vu que tous les termes de (A.6) sont
JJG
proportionnels à e θ .
1 ∂ ⎛ ∂EI
⎜r
r ∂r ⎝ ∂r
nr
2
G JG
⎞ ∂ E E
ωμ
σ
ωμ
δ
+
−
−
j
E
=
−
j
I
r
− ri
0
0 C∑
⎟
2
r2
⎠ ∂z
i =1
(
Annexe A - Détermination de l’équation d’induction du champ électrique
)
(A.8)
80
Annexe B - Formulation théorique des champs
électrique et magnétique créés par une
spire
On cherche ici à déterminer l’équation donnant le champ électrique créé par une spire
dans le vide et ce, pour tous les points dans le plan (z,r). On considère que la spire est un
cercle centré en (Z,0) et de rayon R.
Figure 52 : Topologie du problème du champ créé par une spire
En toute généralité, le champ électrique se décompose en deux contributions des
potentiels scalaire et vecteur. Dans ce cas particulier, on ne retient néanmoins que la
dernière contribution.
JG JJG
JG JJG
JG JJG
JG JJG ∂ A( p )
∂ A( p0 )
0
E ( p0 , t ) = −∇V ( p0 ) −
=−
∂t
∂t
JG JG
JJG
(B.1)
J p
JG JJG
μ0
μ0 I C
dl
avec A( p0 ) =
JG JJG dV =
JG JJG
4π ∫D p − p0
4π v∫ p − p0
( )
JG
JJG
Le potentiel vecteur est tout naturellement orienté de manière azimutale A = A( z , r )eθ
JG JJG
Il reste donc à exprimer de manière plus explicite p − p0 . Pour cela, considérons le
repère cartésien (x,y,z). Il est à noter que le point p0 est pris dans le plan (x,z) par raison de
symétrie de la solution. Les coordonnées des points p0 et p sont donc données par :
JG
JG
JG
JG
p = R cos θ 1x + R sin θ 1y + Z 1z
(B.2)
JJG
JG
JG
p0 = r0 1x + z0 1z
Annexe B - Formulation théorique des champs électrique et magnétique créés par une spire
81
JG JJG
JG
JG
JG
p − p0 = ( R cos θ − r0 ) 1x + R sin θ 1y + ( Z − z0 ) 1z
JG JJG
p − p0 = ( R cos θ − r0 ) 2 + R 2 sin 2 θ + ( Z − z0 ) 2
(B.3)
= r0 2 + R 2 − 2r0 R cos θ + ( Z − z0 ) 2
On peut donc finalement rassembler les différents développements pour écrire :
μI
A( z0 , r0 ) = 0 C
4π
2π
R cos θ
∫
r0 + R − 2r0 R cos θ + ( Z − z0 ) 2
2
0
2
2π
dθ
μI
= 0 C
4π
R
2r0 R
μI
= 0 C
4π
π
2π
⎤
cos θ
cos θ
R ⎡
dθ + ∫
dθ ⎥
⎢∫
2r0 R ⎣ 0 b − cos θ
b − cos θ
π
⎦
r 2 + R 2 + ( Z − z0 ) 2
cos θ
dθ si on pose b = 0
2r0 R
b − cos θ
∫
0
(B.4)
Les expressions théoriques exprimées dans ([DOL09], [GOO01]) se basent sur des
bornes d’intégration allant de 0 à π. Il faut donc réaliser un changement de variables pour
la deuxième intégrale.
Posons θ ' = θ − π
2π
∫
π
π
π
cos θ
cos(θ '+ π )
cos θ '
dθ = ∫
dθ ' = − ∫
dθ '
b − cos θ
b − cos(θ '+ π )
b + cos θ '
0
0
(B.5)
Selon ([DOL09], [GOO01]), les deux intégrales se trouvant entre crochets fournissent
la même expression théorique :
π
π
cos θ
cos θ
4
⎛ 2−m⎞
dθ = ∫
dθ =
E ( m) − ⎜
⎟ 2m K ( m)
2m
b − cos θ
b + cos θ
⎝ m ⎠
0
0
4r0 R
2
=
si on pose m =
2
1 + b (r0 + R) + ( Z − z0 ) 2
−∫
(B.6)
Il est dès lors possible de continuer à expliciter le potentiel vecteur :
A( z0 , r0 ) = −
μ0 I C
2π
⎞
R ⎛ 4
⎛ 2−m⎞
E ( m) − ⎜
⎟ 2m K ( m) ⎟
⎜
2r0 ⎝ 2m
⎝ m ⎠
⎠
μI
⎞
R ⎛⎛ m ⎞
= 0 C
⎜ 1 − ⎟ K ( m) − E ( m) ⎟
⎜
π m r0 ⎝ ⎝ 2 ⎠
⎠
(B.7)
Dans cette dernière expression, K(m) et E(m) sont respectivement les intégrales
elliptiques complètes du premier et second ordre dont m est le module. Ces intégrales
elliptiques complètes sont définies par :
π /2
K ( m) =
∫
0
π /2
E ( m) =
∫
dθ
1 − m sin 2 θ
avec 0 < m < 1
(B.8)
1 − m sin θ dθ
2
0
Ce résultat a été déterminé de manière indépendante par rapport à [DOL09] tout en
aboutissant au même résultat que l’on peut réécrire sous la forme suivante :
Annexe B - Formulation théorique des champs électrique et magnétique créés par une spire
82
JG
JG JJG
∂ A( z0 , r0 )
μI
E ( p0 , t ) = −
= − jω 0 C
∂t
2π
(r0 + R) 2 + ( Z − z0 ) 2
r0
⎛⎛ m ⎞
⎞ JJG
⎜ ⎜1 − 2 ⎟ K (m) − E (m) ⎟ eθ
⎠
⎝⎝
⎠
(B.9)
Connaissant la forme théorique du champ électrique, il est désormais possible d’en
déterminer l’expression du gradient normal de ce champ en tout point de l’espace. Pour
cela, il est plus facile de repartir de l’expression originale du potentiel vecteur :
2π
⎞
∂A( z0 , r0 ) μ0 I C ∂ ⎛
R cos θ
⎜∫
=
dθ ⎟
⎟
4π ∂z0 ⎜ 0 r0 2 + R 2 − 2r0 R cos θ + ( Z − z0 ) 2
∂z0
⎝
⎠
μI
= 0 C
4π
=
2π
∫
0
∂ ⎛
R cos θ
⎜
2
2
∂z0 ⎜ r0 + R − 2r0 R cos θ + ( Z − z0 ) 2
⎝
⎞
⎟ dθ
⎟
⎠
μ 0 I C R ( Z − z 0 ) 2π
cos θ
dθ
∫
2
2
2 3/ 2
4π
0 ( r0 + R − 2 r0 R cos θ + ( Z − z0 ) )
μ 0 I C R ( Z − z 0 ) 2π
r0 2 + R 2 + ( Z − z0 ) 2
cos θ
=
d
θ
si
on
pose
b
=
3/2
∫0 ( b − cos θ )3/ 2
2r0 R
4π ( 2r0 R )
2π
⎤
μ 0 I C R ( Z − z0 ) ⎡ π
cos θ
cos θ
=
d
θ
+
d
θ
⎢
⎥
3/2
3/2
3/ 2
∫
∫
4π ( 2r0 R )
π ( b − cos θ )
⎣⎢ 0 ( b − cos θ )
⎦⎥
Les expressions théoriques exprimées dans ([DOL09], [GOO01]) se basent sur des
bornes d’intégration allant de 0 à π. Il faut donc réaliser un changement de variables pour
la deuxième intégrale :
Posons θ ' = θ − π
2π
π
cos θ
∫
π ( b − cos θ )
dθ = ∫
3/ 2
0
π
cos(θ '+ π )
( b − cos(θ '+ π ) )
3/2
dθ ' = − ∫
0
cos θ '
( b + cos θ ')
3/ 2
dθ '
Selon ([DOL09], [GOO01]), les deux intégrales se trouvant entre crochets fournissent
la même expression théorique :
π
−∫
0
π
cos θ
( b − cos θ )
3/2
si on pose m =
dθ = ∫
0
cos θ
( b + cos θ )
3/2
⎛ 2−m ⎞
dθ = ⎜
⎟ 2mE (m) + 2m K (m)
⎝ 2 − 2m ⎠
4r0 R
2
=
2
1 + b (r0 + R) + ( Z − z0 ) 2
(B.10)
Il est dès lors possible de continuer à expliciter la dérivée du potentiel vecteur :
∂A( z0 , r0 )
μ I R ( Z − z0 )
⎡⎛ 2 − m ⎞
⎤
=− 0 C
2 m ⎢⎜
⎟ E ( m) + K ( m) ⎥
3/2
∂z0
2π ( 2r0 R )
⎣⎝ 2 − 2 m ⎠
⎦
=
⎡ r0 2 + R 2 + ( Z − z0 ) 2
⎤
E ( m) + K ( m) ⎥
⎢
2
2
2π r (r0 + R) 2 + ( Z − z0 ) 2 ⎣ (r0 − R) + ( Z − z0 )
⎦
(B.11)
μ 0 I C ( z0 − Z )
et de même pour la dérivée suivant la coordonnée radiale :
Annexe B - Formulation théorique des champs électrique et magnétique créés par une spire
83
2π
⎞
∂A( z0 , r0 ) μ0 I C ∂ ⎛
R cos θ
⎜
⎟
θ
=
d
⎟
4π ∂r0 ⎜ ∫0 r0 2 + R 2 − 2r0 R cos θ + ( Z − z0 ) 2
∂r0
⎝
⎠
⎞
∂ ⎛
R cos θ
⎜
∫0 ∂r0 ⎜ r 2 + R 2 − 2r R cos θ + (Z − z )2 ⎟⎟ dθ
0
0
⎝ 0
⎠
2π
μI
( R cos θ − r0 ) R cos θ
= 0 C ∫
dθ
4π 0 ( r 2 + R 2 − 2r R cos θ + ( Z − z ) 2 )3/2
0
0
0
=
=
μ0 I C
4π
2π
μ0 I C
4π ( 2r0 R )
3/2
2π
⎡ 2 2π
⎤
r0 2 + R 2 + ( Z − z0 ) 2
cos 2 θ
cos θ
−
=
d
θ
Rr
d
θ
où
b
⎢R ∫
⎥
3/2
∫0 ( b − cos θ )3/ 2 ⎥
2r0 R
⎢⎣ 0 ( b − cos θ )
⎦
Il n’y a pas, dans la littérature, de développement pour la première intégrale. Il est
possible de réaliser un changement de variables afin de contourner le problème. Les
expressions obtenues ont été ensuite validées à l’aide d’une intégration numérique de
l’intégrale initiale.
⎡ −4 R 2
⎢
3/2
⎣ (b − 1)
μ0 I C R
μ0 I C
∂A( z0 , r0 )
=
3/2
∂r0
4π ( 2r0 R )
=
π ( 2r0 R )
3/2
4 Rr0
b −1
2b(b − 1) K − (2b 2 − 1) E ) +
(
b +1
(b − 1)3/ 2
⎤
b −1
( (b − 1) K − bE )⎥
b +1
⎦
⎡ − R ( 2b(b − 1) K − (2b 2 − 1) E ) + r0 ( (b − 1) K − bE ) ⎤ (B.12)
⎦
(b − 1) b + 1 ⎣
Dans l’annexe F, le champ magnétique correspondant à la forme théorique du potentiel
vecteur est montré. Les composantes de ce champ magnétique théorique peuvent être
déterminée grâce aux relations suivantes ([GOO01], [LAN84]) :
⎡
∂A( z0 , r0 ) μ0 I C
Z − z0
r0 2 + R 2 + ( Z − z0 ) 2 ⎤
=
Br ( z0 , r0 ) = −
E⎥
⎢−K +
∂z0
2π r (r0 + R) 2 + ( Z − z0 ) 2 ⎣
(r0 − R) 2 + ( Z − z0 ) 2 ⎦
(B.13)
⎡
R 2 − r0 2 − ( Z − z0 ) 2 ⎤
E⎥
⎢K +
(r0 − R) 2 + ( Z − z0 ) 2 ⎦
(r0 + R) 2 + ( Z − z0 ) 2 ⎣
1 ∂ (r0 A) μ0 I C
=
Bz ( z0 , r0 ) =
r0 ∂r0
2π
1
(B.14)
Sur l’axe de symétrie de la torche, ces composantes deviennent :
Br ( z0 , r0 = 0) = 0
Bz ( z0 , r0 = 0) =
(B.15)
μ0 I C
2
(R
R2
2
+ ( Z − z0 ) 2 )
3/2
Annexe B - Formulation théorique des champs électrique et magnétique créés par une spire
(B.16)
84
Annexe C - Intégration numérique
Intégration bidimensionnelle - tables de Hammer
Concernant la matrice élémentaire [KeIV] définie dans la méthode des éléments finis,
aucun développement analytique n’est possible. Il faut donc recourir à une intégration
numérique pour ce terme. La première étape consiste en un changement de variable afin de
faciliter l’écriture des fonctions de forme.
[ KeIV ] = − ∫
D
Ni ( z, r ) N j ( z, r )
r
1 1−ξ
drdz = − ∫
∫
0 0
N i (ξ ,η ) N j (ξ ,η )
r (ξ ,η )
J (ξ ,η ) dη dξ
(C.1)
La deuxième étape revient à exprimer l’intégrale surfacique sous forme d’une somme
pondérée de l’intégrant en certains points bien définis de l’élément. Comme les fonctions
de forme sont d’ordre unitaire, l’intégrant est d’ordre deux au maximum par rapport aux
grandeurs ξ et η. Afin d’intégrer correctement ce terme, trois points d’intégration sont
nécessaires.
1 1−ξ
[ KeIV ] = − ∫ ∫
0 0
N i (ξ ,η ) N j (ξ ,η )
r (ξ ,η )
3
N i (ξ k ,ηk ) N j (ξ k ,ηk )
k =1
r (ξ k ,η k )
J (ξ ,η ) dη d ξ = −∑
J (ξ k ,ηk ) ωk
(C.2)
Comme l’intégration se fait sur un triangle, il est plus simple d’utiliser les coordonnées
aréolaires de celui-ci afin de repérer les différents points d’intégration (tables de Hammer,
cf. [CHU02], [WAR08], [ZIE05]). Les coordonnées aréolaires se basent sur l’existence de
surfaces complémentaires définies par la position d’un point au sein d’un élément
triangulaire. La somme de ces surfaces complémentaires égale bien évidemment la surface
totale de l’élément. Ces surfaces complémentaires sont situées du côté opposé au nœud
portant le même numéro. L’avantage principal des tables de Hammer vis-à-vis des tables
de Gauss-Legendre est de respecter la symétrie par rapport aux trois coordonnées
aréolaires.
Figure 53 : Définition des coordonnées aréolaires et positions des points d’intégration dans le repère
local
Il est également facile de repérer la position de chacun de ses point d’intégration par
rapport au triangle défini dans les coordonnées (ξ,η). Dans le tableau ci-dessous, les
Annexe C - Intégration numérique
85
différentes coordonnées des points d’intégration dans les deux systèmes de repère sont
données ainsi que les fonctions de poids. Ces trois points sont reportés sur la figure
précédente, dans les axes (ξ,η).
Coordonnées aréolaires
L1
L2
L3
1/2
1/2
0
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
Coordonnées locales
ξ
η
1/2
0
1/2
1/2
0
1/2
Fonction poids
ωk
1/6
1/6
1/6
Tableau 10 : Points d’intégrations sur un élément triangulaire - Table de Hammer.
Intégration unidimensionnelle - tables de Gauss-Legendre
Concernant les intégrations numériques décrites dans le point 5 du chapitre III, le
domaine d’intégration est cette fois-ci unidimensionnel. Comme les intégrants (III.26) et
(III.27) présentent une singularité, il est préférable de placer les points d’intégration au
sein des éléments de frontière sans aucune coïncidence avec les nœuds extrêmes de ces
éléments. La table de Gauss-Legendre convient parfaitement pour ce genre de situation.
Les intégrales de contour se ramènent donc à une somme pondérée de l’intégrant aux
différents points ξi. Dans (C.3), Lk est la longueur de l’élément de frontière.
∫
1
f ( y )d Γ( y ) =
Γk
∫
−1
NG
f (ξ ) J (ξ ) dξ = ∑ f (ξi )
i =1
Lk
ωi
2
(C.3)
Ces points et leurs poids d’intégration sont donnés dans la table suivante ([WAR08]).
Nombre de points
d’intégration NG
2
4
6
ξi
ωi
±0.5773502692
±0.8611363116
±0.3399810436
±0.9324695142
±0.6612093864
±0.2386191862
1
0.3478548451
0.6521451548
0.1713244924
0.3607615730
0.4679139346
Tableau 11 : Points d’intégrations sur un élément unidimensionnel - Table de Gauss-Legendre([WAR08])
Annexe C - Intégration numérique
86
Annexe D - Fonction de Green de l'équation
scalaire de Laplace en coordonnées
cylindriques
Dans cette annexe, l’expression de la fonction de Green, pour l’équation scalaire de
Laplace axisymétrique, est démontrée. L’équation scalaire de Laplace pour le champ
électrique diffère de l’équation vectorielle par l’absence du terme correspondant à la
dérivée seconde suivant la direction azimutale (cf. (I.9)). L’équation de Laplace que doit
résoudre la méthode BEM est donc :
∂ 2 EI 1 ∂EI ∂ 2 EI
+
+ 2 = jωμ0σ EC
∂r 2 r ∂r
∂z
(D.1)
Pour rappel, l’équation scalaire tridimensionnelle de Laplace est donnée par :
∂ 2 EI ∂ 2 EI ∂ 2 EI
+
+ 2 = jωμ0σ EC
∂x 2
∂y 2
∂z
(D.2)
La recherche d’une solution particulière G3D(x0,x) au problème (D.2) se base sur le
respect de l’équation suivante, dans laquelle le terme de forçage est remplacé par un pic de
Dirac ([DOL09], [HUN03], [PAR97]). Cela revient à résoudre l’équation de Laplace avec une
discontinuité en x=x0.
G JJG
G JJG
G JJG
∂ 2G 3 D x, xo
∂ 2G 3 D x, xo
∂ 2G 3 D x, xo
G JJG
+
+
=
−
δ
x, xo
(D.3)
∂x 2
∂y 2
∂z 2
(
)
(
)
(
)
(
)
Il peut être montré que la solution particulière prend la forme suivante :
G JJG
1
G 3 D x, xo =
G JJG
4π x − xo
(
)
(D.4)
Concernant la solution particulière à l’équation scalaire de Laplace axisymétrique, il
s’agit d’une fonction plus délicate à exprimer que celle du problème tridimensionnel. En
effet, dans un cas général tridimensionnel, le point source et le point où l’on désire
déterminer la fonction de Green sont tous deux bien définis. Par contre, lors d’un problème
axisymétrique, la source se dégénère en un anneau de source. La fonction de Green
axisymétrique doit donc tenir compte de la rotation de la source autour de l’axe
longitudinal z. Comme annoncé dans la partie correspondante (Chapitre III - 4.2.2), le
point de départ de la démonstration repose sur la définition de cette fonction. Si on note
x0=(z0, r0) le point où on cherche à déterminer la fonction et x=(z, r) un point source
circulant autour de l’axe z :
G
AX
G JJG 2π 3 D G JJG
1
( x, xo ) = ∫ G ( x, xo )dθ =
4π
0
2π
∫
0
1
G JJG dθ
x − xo
(D.5)
Annexe D - Fonction de Green de l'équation scalaire de Laplace en coordonnées cylindriques
87
Figure 54 : Définition du repère cylindrique par rapport au repère cartésien.
On exprime maintenant les deux points dans les coordonnées cylindriques :
JJG
JG
JG
JG
⎧⎪ xo = r0 cos θ 01x + r0 sin θ 01y + z01z
JG
JG JG
⎨G
⎪⎩ x = r cos θ 1x + r sin θ 1y + z1z
G JJG
JG
JG
JG
x − xo = (r cos θ − r0 cos θ 0 )1x + (r sin θ − r0 sin θ 0 )1y + ( z − z0 )1z
G JJG
x − xo = r 2 + r02 + ( z − z0 ) 2 − 2rr0 (cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 )
(D.6)
= r 2 + r02 + ( z − z0 ) 2 − 2rr0 cos(θ − θ 0 )
Il est possible de ne pas tenir compte de la position angulaire θ0 en positionnant le
point x0 dans le plan (x,z). Finalement, grâce à l’explicitation de l’intégrant, il est devenu
possible d’exprimer la fonction de Green axisymétrique :
G
AX
G JJG
1
( x, xo ) =
4π
=
2π
1
∫
r + r + ( z − z0 ) 2 − 2rr0 cos θ
2
0
1
4π 2rr0
2
0
2π
∫
0
1
dθ
b − cos θ
dθ
en posant b =
r 2 + r02 + ( z − z0 ) 2
2rr0
2π
⎡π
⎤
1
1
1
dθ + ∫
dθ ⎥
=
⎢∫
4π 2rr0 ⎣ 0 b − cos θ
b − cos θ
π
⎦
(D.7)
Les expressions théoriques exprimées dans ([DOL09], [GOO01]) se basent sur des
bornes d’intégration allant de 0 à π. Il faut donc réaliser un changement de variables pour
la deuxième intégrale.
Posons θ ' = θ − π
2π
∫
π
π
π
1
1
1
dθ = ∫
dθ ' = ∫
dθ '
b − cos θ
b − cos(θ '+ π )
b + cos θ '
0
0
Selon ([DOL09], [GOO01]), les deux intégrales se trouvant entre crochets fournissent
la même expression théorique :
π
∫
0
π
1
1
2
dθ = ∫
dθ = 2mK (m) si on pose m =
1+ b
b + cos θ
b − cos θ
0
(D.8)
Annexe D - Fonction de Green de l'équation scalaire de Laplace en coordonnées cylindriques
88
Il est dès lors possible de continuer à exprimer la fonction de Green en formulation
axisymétrique :
G JJG
4rr0
1
2
=
G AX ( x, xo ) =
2m .K (m) avec m =
2
1 + b (r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
2π 2rr0
=
=
1
2π 2rr0
8rr0
.K (m)
(r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
2
K ( m)
(D.9)
π (r + r0 ) 2 + ( z − z0 )2
La formulation BEM fait également apparaître la dérivée normale de cette dernière
fonction. Le plan, dans lequel le développement de ci-dessous est poursuivi, est celui
correspondant au plan (z,r). Il est donc considéré que la normale n est celle du contour
définissant le cylindre de la torche à plasma. La composante azimutale de cette normale est
donc nulle en travaillant dans le plan (z,r).
G JJG
ψ AX ( x, xo ) =
1
4π
=
1
4π
=
1
4π
∂ ⎛
1
∫0 ∂n ⎜⎜ r 2 + r 2 + ( z − z )2 − 2rr cos θ
0
0
0
⎝
2π
∂ ⎛
1
⎜∫
2
2
⎜
∂n 0 r + r0 + ( z − z0 ) 2 − 2rr0 cos θ
⎝
∂G AX ( xo , x)
∂n
2π
⎞
⎟ dθ
⎟
⎠
⎞
dθ ⎟
⎟
⎠
∂G AX ( xo , x) ⎞
1 ⎛ ∂G AX ( xo , x)
nz +
nr ⎟
=
⎜
4π ⎝
∂z
∂r
⎠
(D.10)
Une relation utile pour la suite est celle fournissant une expression pour la dérivée de
l’intégrale elliptique complète du premier ordre par rapport à son module et dans laquelle
E est l’intégrale elliptique complète du deuxième ordre :
∂K (m) E (m) − (1 − m) K (m)
=
∂m
2m(1 − m)
(D.11)
A partir de (D.9), il est possible de déduire les expressions des deux dérivées. Il faut
remarquer que la fonction de Green est dérivée en fonction des paramètres caractérisant le
point courant sur le contour et non pas en fonction des paramètres du point de collocation.
G JJG
∂G ( x, xo ) K ∂ ⎛
1
⎜
=
2
π ∂z ⎜ (r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
∂z
⎝
AX
=
− K ( z − z0 )
π ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
3/2
∂K ∂m
⎞
∂m ∂z
⎟+
⎟ π (r + r ) 2 + ( z − z ) 2
0
0
⎠
⎛
⎞
⎛ E − (1 − m) K ⎞ ⎜
−8rr0 ( z − z0 )
⎟
⎜ 2m(1 − m) ⎟ ⎜
2
2 2 ⎟
⎝
⎠ ( (r + r0 ) + ( z − z0 ) )
⎝
⎠
+
2
2
π (r + r0 ) + ( z − z0 )
Annexe D - Fonction de Green de l'équation scalaire de Laplace en coordonnées cylindriques
89
−8rr0 ( z − z0 )
( (r + r )
=
2
+ ( z − z0 ) 2 )
2
8rr0 ( z − z0 ) K
( z − z0 ) K
E
+
−
5/2
3/2
π (r + r0 ) + ( z − z0 ) 2m(1 − m) 2π m ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
π ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
=0
0
=
=
2
2
E ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
−8rr0 ( z − z0 )
π ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
5/2
2
8rr0 ( (r − r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
( z0 − z ) E
π (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ( (r − r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
(D.12)
La dérivée selon la coordonnée radiale r est déterminée de la même manière.
G JJG
∂G AX ( x, xo ) K ∂ ⎛
1
⎜
=
2
π ∂r ⎜ (r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
∂r
⎝
=−
K
(r + r0 )
π ( (r + r0 ) + ( z − z0 ) 2 )3/2
2
∂K ∂m
⎞
∂m ∂r
⎟+
⎟ π (r + r )2 + ( z − z )2
0
0
⎠
⎛
⎞
⎛ E − (1 − m) K ⎞ ⎜ 4r0 (r02 − r 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟
⎜ 2m(1 − m) ⎟ ⎜
2
⎝
⎠ ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟
⎝
⎠
+
2
2
π (r + r0 ) + ( z − z0 )
⎛
⎞
4r0 (r02 − r 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟
⎜
=
2
2m(1 − m)π (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎜ ( (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟
⎝
⎠
E
⎛
⎞
(r + r0 )
4r0 (r02 − r 2 + ( z − z0 ) 2 )
⎟K
−⎜
+
3/2
2
2
2
2
2
2
2
⎜ ( (r + r ) + ( z − z ) )
2m (r + r0 ) + ( z − z0 ) ( (r + r0 ) + ( z − z0 ) ) ⎟⎠ π
0
0
⎝
⎛
⎞
r02 − r 2 + ( z − z0 ) 2
⎟E
=⎜
⎜ 2π r (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ( (r − r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
(r + r0 )
(r02 − r 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟ K
−⎜
+
⎜ ( (r + r ) 2 + ( z − z ) 2 )3/ 2 2r ( (r + r ) 2 + ( z − z ) 2 )3/ 2 ⎟ π
0
0
0
0
⎝
⎠
2
2
2
⎛ r0 − r + ( z − z0 )
⎞
1
E−K⎟
=
⎜
2
2
2π r (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎝ (r − r0 ) + ( z − z0 )
⎠
(D.13)
Annexe D - Fonction de Green de l'équation scalaire de Laplace en coordonnées cylindriques
90
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire
de Laplace à partir du cas
tridimensionnel
Dans cette annexe, l’équation utilisée par la méthode des éléments de frontière pour
représenter la solution à l’équation scalaire de Laplace est démontrée de manière
rigoureuse. Tout le long de la démonstration, le caractère tridimensionnel est conservé afin
de conserver le caractère général du problème. Ce n’est qu’au moment où toutes les
intégrales seront complètement définies que le caractère axisymétrique sera introduit afin
de particulariser au problème étudié dans ce travail.
Le point de départ de la démonstration repose sur le deuxième théorème de Green
(E.1) pour des grandeurs vectorielles.
JG
JG
⎧A( x0 ) et G( x, x0 ) deux grandeurs vectorielles
⎪
Soient ⎨ x0 un point fixe dans l'espace
⎪ x un point quelconque de l'espace
⎩
JG
JG JG JG
JG
JG JG JG
∇
∇
−
∇
G(
x
,
x
)
x
xA(
x
)
dV
A(
x
)
0
0
∫
∫ 0 x ∇xG( x, x0 ) dV =
V
( (
))
( (
V
))
JG
JG JG
JG
JG
JG JG
JG
x
∇
x
x
d
S
−
x
x
∇
x
d
S
A(
)x
xG(
,
)
G(
,
)x
xA(
)
0
0
0
∫ 0
∫
(
)
(
S
)
S
(E.1)
JG
Avec ∇x
JG
∇x
(
(
JG JG
JG
∇xA( x0 ) = μ0 J ( x0 )
JG JG
JG
∇xG( x, x0 ) = δ ( x, x0 )
)
(E.2)
)
JG
JG
Les deux propriétés précédentes sur les fonctions A( x0 ) et G( x, x0 ) peuvent être
directement injectées dans les intégrales de volume. Dans l’expression suivante, le
coefficient C(x0) tient compte de la position du point de collocation et de la forme locale
de la surface englobant le volume.
JG
JG
JG
JG JG
JG
JG
JG JG
JG
G(
x
,
x
)
μ
J
(
x
)
dV
−
C
(
x
)A(
x
)
=
A(
x
)x
∇
xG(
x
,
x
)
d
S
−
G(
x
,
x
)x
∇
xA(
x
)
d
S
0
0
0
0
0
0
0
0
0
∫
∫
∫
(
V
S
)
(
)
S
(E.3)
Il reste donc à développer les deux intégrales de surface englobant le volume, ce qui
est fait dans ce qui suit. Il faut encore noter que les deux fonctions sont orientées suivant le
vecteur azimutal :
JG
JG
JG
JG
JG
JG
A( x0 ) = Aθ ( x0 )1θ = −Aθ sin θ 1x + Aθ cos θ 1y = A x 1x + A y 1y
JG
JG
JG
JG
JG
JG
(E.4)
− sin θ 1x + cos θ 1y
1θ
G( x, x0 ) =
=
= G x1x + G y 1y
4π x − x0 4π ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire de Laplace à partir du cas tridimensionnel
91
JG
JG JJG
G
Intégrale ∫ A(x0 )x ( ∇xG(x, x0 ) ) dS
S
Développons premièrement le produit vectoriel de la fonction de Green.
JG JG
JG
JG
JG
JG
JG
JG
∇xG( x, x0 ) = −∂ z G y 1x + ∂ z Gx 1y + (∂ xG y − ∂ y Gx )1z = Bx 1x + By 1y + Bz 1z
⎧
( z − z0 ) cos θ
⎪B =
⎪ x 4π ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + ( z − z ) 2 3/ 2
( 0
)
0
0
⎪
⎪⎪
( z − z0 ) sin θ
Avec ⎨ By =
3/2
4π ( ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
⎪
⎪
∂ x (cos θ ) + ∂ y (sin θ )
− ( ( x − x0 ) cos θ + ( y − y0 ) sin θ )
⎪
+
B
=
z
3/2
⎪
4π ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2
4π ( ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
⎩⎪
Il est maintenant possible d’expliciter le deuxième produit vectoriel :
JG
JG JG
JG
JG
JG
A( x0 )x ∇xG( x, x0 ) = Ay Bz 1x − Ax Bz 1y + ( Ax By − Ay Bx )1z
JG
JG
JG
= Bz Aθ cos θ 1x + sin θ 1y + Aθ (− By sin θ − Bx cos θ )1z
(
)
(
)
JG
JG
= Bz Aθ cos θ 1x + sin θ 1y −
(
)
Aθ ( z − z0 )
4π ( ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 )
JG
1
3/2 z
(E.5)
L’intégrant étant complètement défini, le système de coordonnées cylindriques peut
être introduit. Quelques termes particuliers apparaissant dans les expressions précédentes
sont également explicités ci-dessous.
JG
JG
JG
⎧1x = cos θ 1r − sin θ 1θ
⎧ x0 = r0 cos θ 0
⎧ x = r cos θ
⎪⎪ JG
JG
JG
y
⎪
⎪
⎨1y = sin θ 1r + cos1θ
⎨ y = r sin θ
⎨ y0 = r0 sin θ 0 (E.6)
r
JG JG
⎪
⎪
⎪z = z
θ
⎩z = z
0
⎩ 0
⎪⎩1z = 1z
θ
x
( x − x0 ) cos θ + ( y − y0 ) sin θ = (r cos θ − r0 cos θ 0 ) cos θ + (r sin θ − r0 sin θ 0 ) sin θ = r − r0 cos (θ − θ 0 )
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = r 2 + r0 2 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) 2
JG
JG
JG
JG
JG
JG JG
cos θ 1x + sin θ 1y = cos θ cos θ 1r − sin θ 1θ + sin θ sin θ 1r + cos1θ = 1r
(
JJG
JG JG
)
(
)
(E.7)
G
Intégrale ∫ G(x, x0 )x ( ∇xA(x0 ) ) dS
S
Développons premièrement le produit vectoriel de la fonction potentiel vecteur.
JG JG
JG
JG
JG
∇xA( x0 ) = −∂ z Ay 1x + ∂ z Ax 1y + (∂ x Ay − ∂ y Ax )1z
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire de Laplace à partir du cas tridimensionnel
92
JG
JG
JG
= − cos θ ∂ z Aθ 1x − sin θ ∂ z Aθ 1y + ( ∂ x ( Aθ cos θ ) + ∂ y ( Aθ sin θ ) )1z
JG
JG
JG
= Cx1x + C y 1y + C z 1z
Il est maintenant possible d’expliciter le deuxième produit vectoriel :
JG
JG JG
JG
JG
JG
G( x, x0 )x ∇xA( x0 ) = G y Cz 1x − Gx Cz 1y + (GxC y − G y C x )1z
(
)
JG
JG
⎡( ∂ x ( Aθ cos θ ) + ∂ y ( Aθ sin θ ) ) cos θ 1x + sin θ 1y
4π ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎣
JG
+∂ z Aθ 1z ⎤⎦
1
⎡( cos θ ∂ x Aθ + sin θ ∂ y Aθ + Aθ ∂ x ( cos θ ) + Aθ ∂ y ( sin θ ) )
=
⎣
4π ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2
JG
JG
JG
cos θ 1x + sin θ 1y +∂ z Aθ 1z ⎤
⎦
(E.8)
=
(
1
(
)
)
L’intégrant étant complètement défini, le système de coordonnées cylindriques (E.6)
présenté dans le point précédent peut être introduit. Les termes de dérivées suivant les axes
x et y sont explicités en coordonnées cylindriques ci-dessous.
∂ x Aθ =
∂Aθ ∂r ∂Aθ ∂θ ∂Aθ ∂r
+
=
∂r ∂x ∂θ ∂x
∂r ∂x
⎧r = x 2 + y 2
⎪
⎨
⎛ y⎞
⎪θ = arctg ⎜ ⎟
⎝x⎠
⎩
⎧ ∂r
⎪ ∂x =
⎪
⇔⎨
⎪ ∂r =
⎪ y
⎩∂
et ∂ y Aθ =
x
x2 + y 2
y
x +y
2
2
∂Aθ ∂r ∂Aθ ∂θ ∂Aθ ∂r
+
=
∂r ∂y ∂θ ∂y
∂r ∂y
=
x
= cos θ
r
=
y
= sin θ
r
∂Aθ
⎧
⎪⎪∂ x Aθ = cos θ ∂r
⇒⎨
⎪∂ A = sin θ ∂Aθ
⎪⎩ y θ
∂r
Le terme cos θ ∂ x Aθ + sin θ ∂ y Aθ devient égal à
∂Aθ
∂r
(E.9)
Equation BEM complète
Les différents développements réalisés dans les points précédents sont rassemblés afin
d’obtenir l’expression complète de l’équation BEM dans le système de coordonnées
cylindriques. Le terme de gauche de (E.3) étant déjà exprimé de manière globale, il suffit
d’expliciter le membre de droite grâce à (E.5), (E.7), (E.8) et (E.9).
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire de Laplace à partir du cas tridimensionnel
93
JG
JG JG
JG
JG
JG JG
JG
A(
x
)x
∇
xG(
x
,
x
)
d
S
−
G(
x
,
x
)x
∇
xA(
x
)
d
S
0
0
0
∫ 0
∫
(
)
(
S
)
S
⎡⎛
− ( r − r0 cos (θ − θ 0 ) )
∂ x (cos θ ) + ∂ y (sin θ )
= ∫ Aθ ⎢⎜
+
3/
2
⎢⎜ 4π r 2 + r 2 − 2rr cos θ − θ + ( z − z ) 2
S
(
) 4π r 2 + r02 − 2rr0 cos (θ − θ0 ) + ( z − z0 )2
0
0
0)
0
⎣⎢⎝ (
⎞ JG
⎟1
⎟ r
⎠
JG ⎤ JG
⎥dS
1
3/2 z
⎥
4π ( r 2 + r0 2 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) 2 )
⎦
JG
JG JG
1
⎡ ∂ A + A ∂ ( cos θ ) + A ∂ ( sin θ ) 1 +∂ A 1 ⎤ d S
−∫
θ x
θ y
r
z θ z⎦
2
2
2 ⎢
⎣ r θ
S 4π r + r − 2rr cos (θ − θ ) + ( z − z )
Aθ ( z − z0 )
−
(
0
0
0
)
0
JG
JG
JG
JG
⎡
⎤
G
r
r
cos
1
(
z
z
)1
θ
θ
−
−
−
−
−
⎡
⎤G
(
)
(
)
A
1
+
A
1
∂
∂
r
z
0
0
0
⎥ ndS −
r θ r
z θ z
= ∫ Aθ ⎢⎢
3/2 ⎥
∫S ⎢ 4π r 2 + r0 2 − 2rr0 cos (θ − θ0 ) + ( z − z0 )2 ⎥ ndS
2
2
2
S
⎣
⎦
⎢⎣ 4π r + r0 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z )
⎥⎦
⎡
⎤
( −r + r0 cos (θ − θ0 ) ) nr − ( z − z0 )nz ⎤⎥ dS − ⎡⎢
∂ n Aθ
⎥ dS
= ∫ Aθ ⎢
∫
2
2
2
2
2 3/ 2 ⎥
2
⎢
⎢
⎥
r
r
rr
z
z
4
2
cos
(
)
π
θ
θ
+
−
−
+
−
rr
z
z
2
cos
(
)
θ
θ
−
−
+
−
π
4
r
r
+
(
S
(
) ⎦ S⎣
0
0
0)
0
0
0)
0
0
⎦
⎣ (
(
)
= ∫ Aθ [ψ r nr + ψ z nz ] dS − ∫ ∂ n Aθ GdS
S
(E.10)
S
En posant, pour un souci de clarté :
⎧
−r + r0 cos (θ − θ 0 )
⎪ψ r =
3/ 2
2
2
⎪
4π ( r + r0 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) 2 )
⎪
− ( z − z0 )
⎪
⎨ψ z =
3/2
4π ( r 2 + r0 2 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) 2 )
⎪
⎪
1
⎪G =
⎪
4π r 2 + r0 2 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) 2
⎩
(E.11)
L’équation BEM se réécrit donc sous sa forme complète :
C ( x0 )Aθ ( x0 ) + ∫ Aθ [ψ r nr +ψ z nz ] dS − ∫ ∂ n Aθ GdS = ∫ Gμ0 JdV
S
S
(E.12)
V
La dernière étape consiste à introduire le caractère axisymétrique dans les intégrales de
surface et de volume, ce qui est fait dans le point suivant.
Equation BEM complète - Caractère axisymétrique
L’élément de surface et l’élément de volume intervenant dans les intégrales
deviennent, en coordonnées cylindriques dS = rdθdz et dV = rdθdrdz.
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire de Laplace à partir du cas tridimensionnel
94
⎡ 2π
⎤
⎡ 2π
⎤
⎡ 2π
⎤
C ( x0 )Aθ ( x0 ) + ∫ ⎢ ∫ rAθ [ψ r nr + ψ z nz ] dθ ⎥ d Γ − ∫ ⎢ ∫ ∂ n Aθ rGdθ ⎥ d Γ = ∫ ⎢ ∫ Gμ0 Jdθ ⎥ rdrdz
Sax ⎣ 0
Γ⎣ 0
Γ⎣ 0
⎦
⎦
⎦
(E.13)
Concernant les intégrations suivant la coordonnée azimutale, seuls ψr, ψz et G
dépendent de la coordonnée azimutale θ. On a donc :
C ( x0 )Aθ ( x0 ) + ∫ Aθ ⎡⎣ψ rax nr + ψ zax nz ⎤⎦ rd Γ − ∫ ∂ n Aθ G ax rd Γ =
Γ
Γ
∫G
ax
μ0 Jrdrdz
(E.14)
Sax
En posant, pour un souci de clarté :
2π
2π
⎧
− r + r0 cos (θ − θ 0 )
⎪ψ rax = ∫ ψ r dθ = ∫
dθ
2
2
2 3/2
⎪
0
0 4π ( r + r0 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) )
⎪
2π
⎪⎪ ax 2π
−( z − z0 )
dθ
⎨ψ z = ∫ ψ z dθ = ∫
2
2
2 3/2
0
0 4π ( r + r0 − 2 rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 ) )
⎪
⎪
2π
2π
1
⎪ ax
dθ
⎪G = ∫ Gdθ = ∫
2
2
2
0
0 4π r + r0 − 2rr0 cos (θ − θ 0 ) + ( z − z0 )
⎪⎩
(E.15)
La coordonnée azimutale θ0 du point de collocation peut être choisie égale à zéro : la
solution est symétrique par rapport à l’axe de symétrie et donc un plan particulier (z,r) peut
être choisi, ce qui simplifie grandement le problème.
Ces trois intégrales peuvent être développées à l’aide de [DOL09] et [GOO01].
Concernant Gax, on y reconnaît (D.7) dont l’expression finale est (D.9). Pour ψ rax et ψ zax ,
les relations suivantes sont utiles, dans lesquelles K et E sont les intégrales elliptiques
complètes du premier et second ordre introduites en (B.7) :
π
⎧π
2
dφ
dφ
m 2m
=
=
E (m) en posant m =
⎪∫
3/2
3/2
∫
2 − 2m
1+ b
0 ( b − cos φ )
⎪ 0 ( b + cos φ )
⎨π
π
cos φ dφ
2−m
− cos φ dφ
⎪
2
(
)
2mE (m)
mK
m
=
=
−
3/2
3/2
∫
∫
⎪ ( b + cos φ )
2
2
m
−
φ
cos
b
−
(
)
0
⎩0
(E.16)
On développe donc ψ rax et ψ zax à l’aide de (E.16) :
m=
4rr0
2
=
2
1 + b (r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
ψ rax =
1
2π (2rr0 )3/ 2
=
1
2π (2rr0 )3/2
=
r0 2m
2π (2rr0 )3/2
⎡ m 2m
2−m
⎛
⎞⎤
E (m) − r0 ⎜ 2mK (m) −
2mE (m) ⎟ ⎥
⎢ −r
2 − 2m
⎝
⎠⎦
⎣ 2 − 2m
⎡
⎤
2m
E (m) − r0 2mK (m) ⎥
⎢( − rm + r0 (2 − m) )
2 − 2m
⎣
⎦
⎡
⎤
1 E ( m)
− K ( m) ⎥
⎢( − rm + r0 (2 − m) )
2 − 2m r0
⎣
⎦
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire de Laplace à partir du cas tridimensionnel
95
r 2m
= 0
2π (2rr0 )3/2
⎡⎛ 2r0 ( r0 2 − r 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎞ ⎛ (r + r ) 2 + ( z − z ) 2 ⎞ E (m)
⎤
0
0
⎢⎜
⎥
⎟
⎜
⎟
K
(
m
)
−
2
2
⎢⎜⎝ (r + r0 ) + ( z − z0 ) ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ( (r − r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎟⎠ r0
⎥
⎣
⎦
⎡ ( r0 2 − r 2 + ( z − z0 ) 2 )
⎤
⎢
E ( m) − K ( m) ⎥
=
2
2
⎥⎦
2π r (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎢⎣ (r − r0 ) + ( z − z0 )
1
ψ zax = −
( z − z0 ) m 2 m
E ( m)
2π (2rr0 )3/2 2 − 2m
( z0 − z )
=
=
(E.17)
4rr0
(r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
2
8rr0
(r + r0 ) + ( z − z0 ) 2
2
⎛ 2 ( (r − r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ) ⎞
⎟
2π (2rr0 )3/2 ⎜
⎜ (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ⎟
⎝
⎠
E ( m)
( z 0 − z ) E ( m)
(E.18)
π ( (r − r0 ) + ( z − z0 ) 2 ) (r + r0 ) 2 + ( z − z0 ) 2
2
Ces expressions sont égales aux dérivées de la fonction de Green suivant les
coordonnées radiale r et longitudinale z comme démontré en (D.12) et (D.13).
On peut donc réécrire E.14 sous une forme encore plus compacte :
C ( x0 )Aθ ( x0 ) + ∫ ( Aθ ∂ n G ax − ∂ n Aθ G ax ) rd Γ =
Γ
∫G
ax
μ0 Jrdrdz
(E.19)
Sax
En suivant un cheminement rigoureux, il a été possible de déterminer l’équation
intégrale (E.19) dans le cas de l’équation scalaire de Laplace axisymétrique. Il est existe
une forte similarité de cette équation avec le cas de l’équation vectorielle de Laplace
(III.15). La seule différence réside dans la définition de la fonction de Green.
Annexe E - Equation BEM de l’équation scalaire de Laplace à partir du cas tridimensionnel
96
Annexe F - Post-traitement - Champ magnétique
Retrouver le champ magnétique à partir de la connaissance du champ électrique est
assez facile en soi. En effet, grâce à la loi de Faraday et en exprimant le rotationnel en
coordonnées cylindriques, on peut écrire que :
JG
JG JG
JG
∂B
∇x E = −
= − jω B
(F.1)
∂t
∂Eθ
⎧
j
B
ω
−
=
−
r
⎪
∂z
⎪
⎨− jω Bθ = 0
⎪
1 ∂ (rEθ )
⎪− jω Bz =
r ∂r
⎩
(F.2)
La méthode des éléments finis introduit la notion de représentation fonctionnelle
(II.1) :
Eθ = ∑ N i Eθ i = ∑ N i ( EθRi + jEθIi )
i
(F.3)
i
Les expressions de (F.2) peuvent donc être explicitées en fonctions des inconnues
nodales :
∂N
j ∂Eθ
j
= − ∑ i ( EθRi + jEθIi )
Br = −
ω ∂z
ω i ∂z
(F.4)
∂N i I
1
R
= ∑
( E − jEθ i )
ω i ∂z θ i
∂ ( rN i ) ( Eθ i + jEθ i )
j 1 ∂ (rEθ ) j
Bz =
= ∑
ω r ∂r
ω i
∂r
r
R
I
N
j ⎡ ∂N i R
⎤
Eθ i + jEθIi ) + ∑ i ( EθRi + jEθIi ) ⎥
(
∑
⎢
ω ⎣ i ∂r
r
i
⎦
⎡ ⎛ ∂N N ⎞
1
⎛ ∂N N ⎞ ⎤
= ∑ ⎢ − ⎜ i + i ⎟ EθIi + j ⎜ i + i ⎟ EθRi ⎥
ω i ⎣ ⎝ ∂r
r ⎠
r ⎠ ⎦
⎝ ∂r
=
(F.5)
Les fonctions de forme Ni sont définies localement sur chaque élément du maillage.
Pour un nœud du maillage considéré, la dérivée d’une fonction de forme est différente
pour chaque élément contenant ce noeud. On a donc une discontinuité de la dérivée du
champ électrique au niveau des frontières des éléments en raison de l’ordre d’interpolation
linéaire choisi. La dérivée du champ électrique en un nœud est donc prise égale à une
moyenne pondérée par les surfaces des dérivées du champ au sein des éléments voisins au
nœud. Tout comme le champ électrique, le champ magnétique est un nombre complexe en
tout point de l’espace. Le champ magnétique physique correspond donc à la partie réelle
du phaseur complexe. Il n’est pas possible de définir la norme globale du champ
magnétique en raison de la phase de chacune des composantes. Il est par contre possible de
définir la norme de chacune des composantes Br et Bz. Ces normes des composantes du
champ magnétique sont définies par (F.6).
Annexe F - Post-traitement - Champ magnétique
97
Br =
Bz =
(B ) + (B )
R 2
r
I
r
(B ) + (B )
R 2
z
I
z
2
2
2
1 ⎛ ∂N i R ⎞ ⎛ ∂N i I ⎞
=
∑ E + ∑ E
ω ⎜⎝ i ∂z θ i ⎟⎠ ⎜⎝ i ∂z θ i ⎟⎠
=
1 ⎛ ⎛ ∂N i N i
+
∑
r
ω ⎜⎝ i ⎜⎝ ∂r
2
2
⎞ R ⎞ ⎛ ⎛ ∂N i N i
+
⎟ Eθ i ⎟ + ⎜ ∑ ⎜
r
⎠ ⎠ ⎝ i ⎝ ∂r
⎞ I⎞
⎟ Eθ i ⎟
⎠ ⎠
2
(F.6)
Afin de valider le code servant à déterminer le champ magnétique à partir du champ
électrique, le champ magnétique théorique (B.13) et (B.14) a été comparé avec le champ
magnétique issu du code de post-traitement sur base du champ électrique calculé par la
méthode des éléments finis. Après vérification de la similarité des deux champs
magnétiques, on représente la norme de ce champ magnétique sur la figure ci-dessous.
Dans ce cas-ci, il est possible de représenter la norme globale du champ magnétique
vu qu’il n’y a qu’une composante réelle pour chacune des composantes Br et Bz. La norme
globale du champ magnétique créé par les spires est donc donnée par la relation suivante :
JG
B =
(B ) + (B )
R 2
z
R 2
r
2
1 ⎛ ∂N i I ⎞ ⎛
⎛ ∂N N ⎞ ⎞
=
Eθ i ⎟ + ⎜ −∑ ⎜ i + i ⎟ EθIi ⎟
∑
⎜
ω ⎝ i ∂z
r ⎠ ⎠
⎠ ⎝ i ⎝ ∂r
2
(F.7)
Figure 55 : Norme du champ magnétique théorique [T] créé par les spires dans le vide.
Annexe F - Post-traitement - Champ magnétique
98