Logique propositionnelle

Logique propositionnelle
Tero Tulenheimo

Table des mati`eres
1 Introduction 7
1.1 La logique en tant que partie de la philosophie . . . . . . . . . 7
1.2 Logique dans l’´education . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Quelques mots sur l’histoire de la logique . . . . . . . . . . . . 9
1.4 La logique et la naissance de la philosophie dite ‘analytique’ . 11
1.5 Des th`emes `a discuter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Exemples des raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Arguments : des exemples 15
2.1 L’usage de la langue vs. id´ees philosophiques . . . . . . . . . . 15
2.2 Argument, conclusion, pr´emisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Exemples ............................. 18
2.4 Raisonnements et la v´erit´e factuelle . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Tables de v´erit´e et v´erifonctionnalit´e 29
3.1 En quoi consiste la validit´e d’un argument ? Obs´ervations g´e-
n´erales............................... 29
3.2 Concepts de la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 V´erifonctionnalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Les connecteurs et ses tables de v´erit´e . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 Conjonction |et ...................... 34
3.4.2 N´egation |non ...................... 34
3.4.3 Disjonction |ou ...................... 34
3.4.4 Implication mat´erielle |si...alors ............. 36
3

4
4 Syntaxe : expressions bien form´ees 39
4.1 Syntaxe de la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Exemples des formules et des non-formules . . . . . . . . . . . 41
4.3 Arbresyntaxique ......................... 41
4.4 La forme d’une formule, connecteur principal . . . . . . . . . . 44
4.5 Sous-formule............................ 44
4.6 Une note sur la r`egle (iv) de la syntaxe . . . . . . . . . . . . . 45
4.7 Repr´esentation logique des ´enonc´es de la langue naturelle . . . 47
5 S´emantique 51
5.1 Situations ............................. 52
5.2 Signification d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 V´erit´e ............................... 56
5.4 Cons´equence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5 ´ Equivalencelogique........................ 59
5.6 Tautologies, contradictions, formules contingentes . . . . . . . 63
6 M´ethodes de d´ecision 65
6.1 Le probl`eme de tautologicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Le probl`eme de contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Le probl`eme de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Le probl`eme de cons´equence logique . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5 Le probl`eme de validit´e d’un argument . . . . . . . . . . . . . 71
7 Questions d’expressivit´e 77
7.1 Questions d’interd´efinissabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Conditions de v´erit´e : la d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Significations des formules, conditions de v´erit´e . . . . . . . . 81
7.4 La question de la compl´etude de l’expressivit´e . . . . . . . . . 82
8 D´eduction naturelle 87
8.1 Les deux faces de la d´eduction naturelle . . . . . . . . . . . . 88
8.2 R`egles d’introduction et r`egles d’´elimination . . . . . . . . . . 89

5
8.3 Le concept de «d´erivation »................... 91
8.4 La notation pour des inf´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.5 Les r`egles pour ∧......................... 94
8.6 Les r`egles pour →......................... 95
8.7 Les r`egles pour ∨......................... 99
8.8 N´egation dans la d´eduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . 101
8.9 Les r`egles classiques pour ¬...................102