Quiz 2 - Page web de Nicolas Bouffard

MATH 1241: Éléments de mathématiques discrètes
Nicolas Bouffard
Automne 2016
Nom:
Quiz 2
19 septembre 2016
Question 1. (5 points chaque) Répondez aux questions suivantes :
a. Quel est la différence entre une proposition logique et un prédicat ?
b. Que signifie que deux propositions logiques sont équivalentes ?
c. Si p(x) est un prédicat, indiquer en mots dans quel cas la proposition logique ∀x, p(x) est fausse.
d. Si p(x) est un prédicat, indiquer en mots dans quel cas la proposition logique ∃x, p(x) est fausse.
e. Donner la définition d’une contradiction (dans le contexte de la logique mathématiques).
Question 2. (5 points chaque) Dans chaque cas, indiquer si l’équivalence est vrai ou fausse. Aucune justification nécessaire.
a. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
b. ¬p ∧ q ⇔ p ∧ ¬q
c. ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
d. p ↔ q ⇔ (p → q) ∨ (q → q)
e. p → q ⇔ ¬p ∨ q
1
Question 3. (25 points) Démontrer la règle d’inférence du syllogisme disjonctif, c’est à dire démontrer la
règle d’inférence suivante :
∴
p∨q
¬p
q
Question 4. (5+10+10 points) Écrivez un expression correspondant à chacune des tables de vérité suivante :
a.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
???
V
F
F
V
b.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
???
F
V
F
F
2
c.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
???
F
V
V
V
Solutions
Réponse 1
a. Une proposition logique est un énoncé qui est soit vrai ou faux, mais pas les deux en même temps.
Un prédicat est un énoncé pour lequel pour chaque valeur de la variable, on obtient une proposition
logique.
b. Des propositions logiques p et q sont équivalente si p ↔ q est une tautologie. En d’autre mots, p et q
ont la même table de vérité.
c. ∀x, p(x) est fausse si p(x) est faux pour au moins une valeur de x.
d. ∃x, p(x) est fausse si p(x) est faux pour toutes les valeurs de x.
e. Une contradiction est une proposition logique qui est toujours fausse.
Réponse 2
a. Vrai
b. Faux
c. Vrai
d. Faux
e. Vrai
Réponse 3 On veut démontrer que (p ∨ q) ∧ (¬p) → q est une tautologie.
Méthode 1 : Nous allons procédé en faisant une table de vérité :
p
V
V
F
F
p∨q
V
V
V
F
q
V
F
V
F
¬p
F
F
V
V
(p ∨ q) ∧ (¬p)
F
F
V
F
(p ∨ q) ∧ (¬p) → q
V
V
V
V
Comme il s’agit d’une tautologie, la règle d’inférence est correcte.
Méthode 2 : Nous allons utiliser les équivalences logiques :
(p ∨ q) ∧ (¬p) → q
⇔
((p ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬p)) → q
Distributivité
⇔ (F ∨ (q ∧ ¬p)) → q
⇔ (q ∧ ¬p) → q
Identité
⇔
Équivalence avec le connecteur d’implication
¬(q ∧ ¬p) ∨ q
⇔ (¬q ∨ ¬¬p) ∨ q
Loi de De Morgan
⇔ (¬q ∨ p) ∨ q
Double négation
⇔ (p ∨ ¬q) ∨ q
Commutativité
⇔ p ∨ (¬q ∨ q)
Associativité
⇔ p∨V
⇔ V
Domination
Comme il s’agit d’une tautologie, la règle d’inférence est correcte.
Réponse 4
a. p ↔ q
b. p ∧ ¬q
c. ¬(p ∧ q)
3