Quiz 2 - Page web de Nicolas Bouffard

MATH 1241: ´ El´ements de math´ematiques discr`etes
Nicolas Bouffard
Automne 2016
Nom:
Quiz 2
19 septembre 2016
Question 1. (5 points chaque) R´epondez aux questions suivantes :
a. Quel est la diff´erence entre une proposition logique et un pr´edicat ?
b. Que signifie que deux propositions logiques sont ´equivalentes ?
c. Si p(x) est un pr´edicat, indiquer en mots dans quel cas la proposition logique ∀x, p(x) est fausse.
d. Si p(x) est un pr´edicat, indiquer en mots dans quel cas la proposition logique ∃x, p(x) est fausse.
e. Donner la d´efinition d’une contradiction (dans le contexte de la logique math´ematiques).
Question 2. (5 points chaque) Dans chaque cas, indiquer si l’´equivalence est vrai ou fausse. Aucune justi-
fication n´ecessaire.
a. p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
b. ¬p∧q⇔p∧ ¬q
c. ¬(p∨q)⇔ ¬p∧ ¬q
d. p↔q⇔(p→q)∨(q→q)
e. p→q⇔ ¬p∨q
1

Question 3. (25 points) D´emontrer la r`egle d’inf´erence du syllogisme disjonctif, c’est `a dire d´emontrer la
r`egle d’inf´erence suivante :
p∨q
¬p
∴q
Question 4. (5+10+10 points) ´ Ecrivez un expression correspondant `a chacune des tables de v´erit´e suivante :
a.
p q ? ? ?
V V V
V F F
F V F
F F V
b.
p q ? ? ?
V V F
V F V
F V F
F F F
c.
p q ? ? ?
V V F
V F V
F V V
F F V
2

Solutions
R´eponse 1
a. Une proposition logique est un ´enonc´e qui est soit vrai ou faux, mais pas les deux en mˆeme temps.
Un pr´edicat est un ´enonc´e pour lequel pour chaque valeur de la variable, on obtient une proposition
logique.
b. Des propositions logiques pet qsont ´equivalente si p↔qest une tautologie. En d’autre mots, pet q
ont la mˆeme table de v´erit´e.
c. ∀x, p(x) est fausse si p(x) est faux pour au moins une valeur de x.
d. ∃x, p(x) est fausse si p(x) est faux pour toutes les valeurs de x.
e. Une contradiction est une proposition logique qui est toujours fausse.
R´eponse 2
a. Vrai
b. Faux
c. Vrai
d. Faux
e. Vrai
R´eponse 3 On veut d´emontrer que (p∨q)∧(¬p)→qest une tautologie.
M´ethode 1 : Nous allons proc´ed´e en faisant une table de v´erit´e :
p q p ∨q¬p(p∨q)∧(¬p) (p∨q)∧(¬p)→q
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V
Comme il s’agit d’une tautologie, la r`egle d’inf´erence est correcte.
M´ethode 2 : Nous allons utiliser les ´equivalences logiques :
(p∨q)∧(¬p)→q⇔((p∧ ¬p)∨(q∧ ¬p)) →qDistributivit´e
⇔(F∨(q∧ ¬p)) →q
⇔(q∧ ¬p)→qIdentit´e
⇔ ¬(q∧ ¬p)∨q´ Equivalence avec le connecteur d’implication
⇔(¬q∨ ¬¬p)∨qLoi de De Morgan
⇔(¬q∨p)∨qDouble n´egation
⇔(p∨ ¬q)∨qCommutativit´e
⇔p∨(¬q∨q) Associativit´e
⇔p∨V
⇔VDomination
Comme il s’agit d’une tautologie, la r`egle d’inf´erence est correcte.
R´eponse 4
a. p↔q
b. p∧ ¬q
c. ¬(p∧q)
3