MATH 1241: ´
El´ements de math´ematiques discr`etes
Nicolas Bouffard
Automne 2016
Nom:
Quiz 2
19 septembre 2016
Question 1. (5 points chaque) R´epondez aux questions suivantes :
a. Quel est la diff´erence entre une proposition logique et un pr´edicat ?
b. Que signifie que deux propositions logiques sont ´equivalentes ?
c. Si p(x) est un pr´edicat, indiquer en mots dans quel cas la proposition logique x, p(x) est fausse.
d. Si p(x) est un pr´edicat, indiquer en mots dans quel cas la proposition logique x, p(x) est fausse.
e. Donner la d´efinition d’une contradiction (dans le contexte de la logique math´ematiques).
Question 2. (5 points chaque) Dans chaque cas, indiquer si l’´equivalence est vrai ou fausse. Aucune justi-
fication n´ecessaire.
a. p(qr)(pq)(pr)
b. ¬pqp∧ ¬q
c. ¬(pq)⇔ ¬p∧ ¬q
d. pq(pq)(qq)
e. pq⇔ ¬pq
1
Question 3. (25 points) D´emontrer la r`egle d’inf´erence du syllogisme disjonctif, c’est `a dire d´emontrer la
r`egle d’inf´erence suivante :
pq
¬p
q
Question 4. (5+10+10 points) ´
Ecrivez un expression correspondant `a chacune des tables de v´erit´e suivante :
a.
p q ? ? ?
V V V
V F F
F V F
F F V
b.
p q ? ? ?
V V F
V F V
F V F
F F F
c.
p q ? ? ?
V V F
V F V
F V V
F F V
2
Solutions
eponse 1
a. Une proposition logique est un ´enonc´e qui est soit vrai ou faux, mais pas les deux en mˆeme temps.
Un pr´edicat est un ´enonc´e pour lequel pour chaque valeur de la variable, on obtient une proposition
logique.
b. Des propositions logiques pet qsont ´equivalente si pqest une tautologie. En d’autre mots, pet q
ont la mˆeme table de v´erit´e.
c. x, p(x) est fausse si p(x) est faux pour au moins une valeur de x.
d. x, p(x) est fausse si p(x) est faux pour toutes les valeurs de x.
e. Une contradiction est une proposition logique qui est toujours fausse.
eponse 2
a. Vrai
b. Faux
c. Vrai
d. Faux
e. Vrai
eponse 3 On veut d´emontrer que (pq)(¬p)qest une tautologie.
ethode 1 : Nous allons proc´ed´e en faisant une table de v´erit´e :
p q p q¬p(pq)(¬p) (pq)(¬p)q
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V
Comme il s’agit d’une tautologie, la r`egle d’inf´erence est correcte.
ethode 2 : Nous allons utiliser les ´equivalences logiques :
(pq)(¬p)q((p∧ ¬p)(q∧ ¬p)) qDistributivit´e
(F(q∧ ¬p)) q
(q∧ ¬p)qIdentit´e
⇔ ¬(q∧ ¬p)q´
Equivalence avec le connecteur d’implication
(¬q∨ ¬¬p)qLoi de De Morgan
(¬qp)qDouble n´egation
(p∨ ¬q)qCommutativit´e
p(¬qq) Associativit´e
pV
VDomination
Comme il s’agit d’une tautologie, la r`egle d’inf´erence est correcte.
eponse 4
a. pq
b. p∧ ¬q
c. ¬(pq)
3
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