I- LE RADIAN

COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Maths–1ère
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Activité d’introduction : enroulement de la droite numérique sur le cercle trigo.
I- LE RADIAN
Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de
mesure d’angles.
Sur un cercle de centre O, l’angle au centre 
 a pour
mesure 1 radian si la longueur de l’arc AB est égale au
rayon du cercle.
Et sur un autre cercle concentrique de rayon R, si l’angle
 mesure 1 radian, alors l’arc A’B’ a pour longueur R.
Définition : soit A et M deux points d’un cercle de centre O et
de rayon r. Soit l un réel désignant la longueur de l’arc AM.
La mesure en radians de l’angle 
 est le réel 
.
Il y a évidemment proportionnalité entre les mesures en radians et
les mesures en degrés. Le tableau de proportionnalité ci-dessous
permet de convertir un angle de x degrés en un angle de  radians (ou inversement).
Exemple :
Tableau de conversion :

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Applications éventuelles : fiches Euler 986 & 987.
II- ANGLES ORIENTÉS
1) Définitions
Définition 1 : sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique
le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Définition 2 : la donnée de deux vecteurs non nuls détermine un angle orienté.
Si 
et  sont deux vecteurs non nuls, ils déterminent un angle orienté noté  ,.
Remarque : il faut bien faire attention à l’ordre dans lequel on cite les vecteurs. En
effet, 
,, .
2) Mesures des angles orientés de vecteurs unitaires
Etant donné un angle orienté de vecteurs unitaires 
, : on place les
points A et B sur le cercle de centre O et de rayon 1.
On appelle mesure de 
, tout nombre réel ayant :
o Pour valeur absolue, la longueur de fil enroulée sur le cercle de A à B.
o Pour signe, le signe « + » quand l’enroulement s’est fait dans le sens
direct et le signe « - » quand cet enroulement s’est fait dans l’autre
sens.

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Théorème (admis) : si  est une mesure en radians d’un angle orienté  ,, toutes ses
autres mesures sont de la forme 2 avec .
Exemple : soit un angle  , tel que  ,
. Toutes les mesures de cet angle sont
de la forme 
2 (avec ). Par exemple, si k = 1,  2
3) Mesure principale d’un angle orienté
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté 
,, une et une seule appartient à l’intervalle
,. C’est cette mesure que l’on appelle la mesure principale de l’angle 
,. (Celle qui
correspond à l’enroulement le plus court du fil sur le cercle.)
Exemple :
III- CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Définition 1 : on dit que ;, est un
repère orthonormal direct si : 1 et
,
.
Définition 2 : dans le plan muni d’un repère
orthonormal ;, et orienté dans le sens
direct, le cercle trigonométrique est le cercle
de centre O et de rayon 1.
IV- COSINUS ET SINUS
1) Définition
Définition : le plan est muni d’un repère orthonormal direct
;,. Soit C le cercle trigonométrique de centre O et M le
point de C tel que 
, .
L’abscisse de M est le cosinus de x, noté cos x.
L’ordonnée de M est le sinus de x, noté sin x.

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Remarques :
o On peut ainsi écrire : cos;sin.
o 2,4,6,2,…,2 sont aussi des mesures en
radian de l’angle x.
Exemples : fiches Euler 991, 992
2) Signes
Soit ;, un repère orthonormal direct et C le cercle trigonométrique de centre O.
Exemples : fiches Euler 993, 994
3) Propriétés
Propriétés (admises) : pour tout  nous avons,
o 1  cos  1
o 1  sin  1
o cossin
1
Exemple :
6,cos
6sin 61

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4) Valeurs remarquables
A concevoir avec les élèves (voir astuce Anne), rajouter ligne tangente.
5) Propriétés de symétrie
Soit ;, un repère orthonormal direct et C le cercle
trigonométrique de centre O.
Propriétés (admises) : pour tout réel x, on a :
Exemples :
cos
6cos
6√3
2
cos4
3cos
3cos
31
2
sin3
4sin
4sin
4√2
2
Apositionnersurle
cercleen
application.