I- LE RADIAN

COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
→ Activité d’introduction : enroulement de la droite numérique sur le cercle trigo.
I-
LE RADIAN
Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de
mesure d’angles.
Sur un cercle de centre O, l’angle au centre
a pour
mesure 1 radian si la longueur de l’arc AB est égale au
rayon du cercle.
Et sur un autre cercle concentrique de rayon R, si l’angle
mesure 1 radian, alors l’arc A’B’ a pour longueur R.
Définition : soit A et M deux points d’un cercle de centre O et
de rayon r. Soit l un réel désignant la longueur de l’arc AM.
La mesure en radians de l’angle
est le réel
.
Il y a évidemment proportionnalité entre les mesures en radians et
les mesures en degrés. Le tableau de proportionnalité ci-dessous
permet de convertir un angle de x degrés en un angle de
radians (ou inversement).
Exemple :
Maths – 1ère Tableau de conversion :
1 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Applications éventuelles : fiches Euler 986 & 987.
II-
ANGLES ORIENTÉS
1) Définitions
Définition 1 : sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique
le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Définition 2 : la donnée de deux vecteurs non nuls détermine un angle orienté.
Si
et
sont deux vecteurs non nuls, ils déterminent un angle orienté noté
,
.
Remarque : il faut bien faire attention à l’ordre dans lequel on cite les vecteurs. En
effet,
,
.
,
2) Mesures des angles orientés de vecteurs unitaires
Etant donné un angle orienté de vecteurs unitaires
,
: on place les
points A et B sur le cercle de centre O et de rayon 1.
On appelle mesure de
,
tout nombre réel ayant :
o
Pour valeur absolue, la longueur de fil enroulée sur le cercle de A à B.
o
Pour signe, le signe « + » quand l’enroulement s’est fait dans le sens
sens.
Maths – 1ère direct et le signe « - » quand cet enroulement s’est fait dans l’autre
2 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Théorème (admis) : si
est une mesure en radians d’un angle orienté
autres mesures sont de la forme
Exemple : soit un angle
de la forme
2 avec
tel que
,
2 (avec
, toutes ses
,
.
. Toutes les mesures de cet angle sont
,
). Par exemple, si k = 1,
2
3) Mesure principale d’un angle orienté
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté
,
, une et une seule appartient à l’intervalle
. C’est cette mesure que l’on appelle la mesure principale de l’angle
,
,
. (Celle qui
correspond à l’enroulement le plus court du fil sur le cercle.)
Exemple :
III- CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Définition 1 : on dit que
est un
; ,
repère orthonormal direct si :
,
1 et
.
Définition 2 : dans le plan muni d’un repère
orthonormal
; ,
et orienté dans le sens
direct, le cercle trigonométrique est le cercle
de centre O et de rayon 1.
IV-
COSINUS ET SINUS
1) Définition
; , . Soit C le cercle trigonométrique de centre O et M le
point de C tel que
,
.
L’abscisse de M est le cosinus de x, noté cos x.
L’ordonnée de M est le sinus de x, noté sin x.
Maths – 1ère Définition : le plan est muni d’un repère orthonormal direct
3 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Remarques :
o
On peut ainsi écrire :
2 ,
o
4 ,
6 ,
cos ; sin
.
2 ,…,
2 sont aussi des mesures en
radian de l’angle x.
Exemples : fiches Euler 991, 992
2) Signes
Soit
un repère orthonormal direct et C le cercle trigonométrique de centre O.
; ,
Exemples : fiches Euler 993, 994
3) Propriétés
Propriétés (admises) : pour tout
o
o
o
1
1
cos
nous avons,
cos
1
sin
1
sin
1
6
,
cos
6
sin
6
1
Maths – 1ère Exemple :
4 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
4) Valeurs remarquables
A concevoir avec les élèves (voir astuce Anne), rajouter ligne tangente.
A positionner sur le cercle en application. 5) Propriétés de symétrie
Soit
; ,
un repère orthonormal direct et C le cercle
trigonométrique de centre O.
Propriétés (admises) : pour tout réel x, on a :
Exemples :
4
cos
cos
3
3
sin
sin
4
6
cos
3
4
6
√3
2
cos
sin
1
2
3
4
√2
2
Maths – 1ère cos
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V-
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Fonction cosinus
On appelle fonction cosinus la fonction f définie sur
par
Périodicité :
cos .
2π est la + petite valeur > 0 tq… sinon pas période ! Parité :
Pour tout x de
, cos
cos
et
(intervalle de définition) centré sur 0, donc la fonction
cosinus est paire (sa courbe représentative dans un repère orthonormal direct est donc
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).
Dérivée :
La fonction f définie sur
par
cos
est dérivable sur
et sa dérivée est :
sin .
Sens de variation sur l’intervalle ]-π ; +π[ :
Tableau de variation :
cos x
0
Maths – 1ère x
6 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Représentation graphique :
Ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal
fonction f définie sur
par
; , , la courbe représentative de la
cos .
2) Fonction sinus
On appelle fonction sinus la fonction f définie sur
par
sin .
Périodicité :
Parité :
Pour tout x de
, sin
sin , donc la fonction sinus est impaire (sa courbe représentative
dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l’origine).
Dérivée :
La fonction f définie sur
par
sin
est dérivable sur
et sa dérivée est :
cos .
Maths – 1ère Sens de variation sur l’intervalle ]-π ; +π[ :
7 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Tableau de variation :
Représentation graphique :
Ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal
fonction f définie sur
VI-
par
; , , la courbe représentative de la
sin .
EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Equations du type cos x =
, où
est un réel.
Maths – 1ère Soit l’équation cos
8 COURS N°6 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Exemple : résoudre sur
On sait que cos
l’équation : cos
2 ; 2
, donc les solutions de l’équation sont de la forme :
C’est-à-dire : ; ; 3
; … ou
2 ; ; 3
; …
2 5
5
; ; ; 3
3 3 3
Remarque : attention à l’intervalle dans lequel in cherche les solutions !
2) Equations du type sin x =
, où
est un réel.
Exemple : résoudre sur 0 ; 2
On sait que sin
C’est-à-dire : ; l’équation : sin
, donc les solutions de l’équation sont de la forme :
; 6
; … ou
2 ; 5
6
2 ; ; …
6
; 5
6
Applications : exercices 45 à 50 p. 77 et 78
Maths – 1ère Soit l’équation sin
9