Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers PROPRIETES ELEMENTAIRES LIEES A LA NOTION DE NOMBRES PREMIERS 1 Nombres premiers 1.1 Définition On dit qu'un entier naturel p est premier si p ≥ 2 et si les seuls diviseurs de p dans sont 1 et p. Remarque : On dit qu'un entier relatif p est premier si l'entier naturel p l'est. 1.2 Proposition Soient p un nombre premier et a ∈ * . Alors p a ou p ∧ a = 1 . Démonstration Soient p un nombre premier et a ∈ * . p ∧ a p et p est premier donc p ∧ a = 1 ou p ∧ a = p (c'est-à-dire p a ). Conséquence : Si p et q sont deux nombres premiers distincts, alors p ∧ q = 1 . 1.3 Proposition Soient p un nombre premier, n ∈ * et x1 ,..., xn ∈ n * . on a : p ∏ xk ⇔ ∃k ∈ {1,..., n} , p xk . k =1 Démonstration Supposons qu'il existe k ∈ {1,..., n} tel que p xk . Alors il existe y ∈ tel que py = xk . ⎛ n ⎞ n Donc ∏ xi = ⎜ ∏ xi ⎟ py donc p ∏ xk . ⎜⎜ i =1 ⎟⎟ i =1 k =1 ⎝ i ≠k ⎠ n n Supposons maintenant que p ∏ xk . k =1 Si pour tout k ∈ {1,..., n} , p ne divise pas xk , alors d'après la proposition 1.2, on a : Pour tout k ∈ {1,..., n} , p ∧ xk = 1 . ⎛ n ⎞ Alors p ∧ ⎜ ∏ xk ⎟ = 1 . On en déduit alors que p = 1 , ce qui contredit le fait que p est premier. ⎝ k =1 ⎠ © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 1/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers Donc il existe k ∈ {1,..., n} tel que p xk . 1.4 Théorème L'ensemble P des nombres premiers et infini. Démonstration : Supposons le contraire, c'est-à-dire que P est fini. Alors il existe n ∈ * , il existe p1 ,..., pn nombres premiers tels que P = { p1 ,..., pn } . n Soit N = ∏ pk . k =1 N + 1 admet au moins un facteur premier, noté p. il existe alors i ∈ {1,..., n} tel que p = pi . p ( N + 1) et p n donc p ( ( N + 1) − N ) , c'est-à-dire p 1 , ce qui contredit le fait que p est premier. Donc P est infini. 2 Théorème fondamental et algorithme 2.1 Lemme Tout entier relatif différent de 1 et −1 admet un diviseur premier. Démonstration Soit n ∈ , n ≥ 2 . Soit D l'ensemble des D = {d ∈ , d > 1, d n} . diviseurs de n strictement supérieurs à 1, c'est-à-dire D est une partie non vide de (car n ∈ D ) et minorée (par 1) donc D admet un plus petit élément. Notons d ce plus petit élément. Montrons que d est un nombre premier. Soit c un diviseur positif de d. Alors c ≤ d . c divise d et d divise n donc c divise n. c ∈ D donc d ≤ c (par définition u plus petit élément). Donc c = d . Les seuls diviseurs dans de d sont 1 et d. d est donc un nombre premier. Si n ∈ , n ≤ −2 , alors − n ∈ et − n ≥ 2 . − n admet donc un diviseur premier et donc il en est de même pour n. 2.2 Théorème fondamental Pour tout n ∈ − {0, − 1, + 1} : Il existe ε ∈ {−1 , +1} , des nombres premiers naturels p1 ,..., pk distincts deux à deux et des entiers naturels non nuls α1 ,..., α k tels que n = ε p1α1 ... pkα k . Il y a unicité de cette décomposition à l'ordre des facteurs près (c'est-à-dire si n = ε p1α1 ... pkα k = ε ' q1β1 ...qlβl , alors ε = ε ' , k = l , { p1 ,..., pk } = {q1 ,...ql } et α i = β i pour tout i. © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 2/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers Démonstration On peut supposer n ∈ , n ≥ 2, ε = 1 Existence : par récurrence. Notons P(n) la propriété : "Il existe des nombres premiers naturels p1 ,..., pk distincts deux à deux et des entiers naturels α1 ,..., α k non nuls tels que n = p1α1 ... pkα k . Pour n = 2 : 2 = 21 et 2 est un nombre premier naturel donc P(2) est vraie. Soit n ∈ , n ≥ 2 . Supposons P(n) vraie. L'après le lemme 2.1, n admet un diviseur premier p (et on peut même supposer p > 0 ). Il existe donc q ∈ tel que n = pq . Alors q < n . D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des nombres premiers naturels p1 ,..., pk distincts deux à deux et des entiers naturels non nuls α1 ,..., α k tels que q = p1α1 ... pkα k . Alors k n = p × ∏ pkα k (si il existe i =1 i0 ∈ {1,..., k } tel que p = pi0 , alors k n = pi0 i0 +1 × ∏ pkα k . Donc P(n+1) est vraie α i =1 i ≠ i0 P(n) est donc vraie pour tout n ≥ 2 , d'où l'existence. Unicité : Notons P(n) la propriété : " n = p1α1 ... pkα k = q1β1 ...qlβl ⇒ k = l , Pour n = 2 : 2 = p1α1 ... pkα k . { p1 ,..., pk } = {q1 ,...ql } , α i = βi pour tout i". Cela signifie que pour tout i ∈ {1,..., k } , pi 2 . pi étant un nombre premier, cela signifie que pi = 2 . Les pi étant deux à deux distincts, il en résulte que k = 1 . Donc 2 = 2α1 et donc α1 = 1 . P(2) est donc vraie. Soit n ∈ , n ≥ 2 . Supposons P(n) vraie. Considérons n + 1 = p1α1 ... pkα k = q1β1 ...qlβl , où p1 ,..., pk sont des nombres premiers naturels deux à deux distincts, de même pour q1 ,...ql , et α1 ,..., α k , β1 ,..., βl sont des entiers naturels non nuls. pk divise q1β1 ...qlβl donc pk divise un des qi (car pk est premier et d'après la proposition 1.3). Quitte à renuméroter les qi , on peut supposer que pk divise ql . Comme ql est un nombre premier, n +1 = p1α1 ... pkα−k1−1 pkα k −1 = q1β1 ...qlβ−l1−1 qlβl −1 . on en déduit que pk = ql . Alors pk Si α k = 1 , alors β l = 1 sinon ql diviserait un des pi , avec i ≠ k et donc il existerait i0 ∈ {1,..., k } tel que ql = pi0 . on aurait alors pi0 = pk avec i0 ≠ k , ce qui contredit le fait que les pi sont deux à deux distincts. Dans ce cas, p1α1 ... pkα−k1−1 = q1β1 ...qlβ−l1−1 . L'hypothèse de récurrence impose k − 1 = l − 1 (c'est-à-dire k = l , α i = β i pour tout i ∈ {1,..., k − 1} (donc α i = β i pour tout i ∈ {1,..., k } car α k = β k = 1 ) et { p1 ,..., pk −1} = {q1 ,..., qk −1} (donc { p1 ,... pk } = {q1 ,..., qk } car pk = qk ). Si α k ≠ 1 , alors β k > 1 sinon pk diviserait l'un des qi , avec i ≠ k et donc il existerait i0 ∈ {1,..., l} tel que pk = qi0 , i0 ≠ k . On aurait alors qi0 = ql , avec i0 ≠ l , ce qui contredit le fait que les qi sont { p1 ,..., pk } = {q1 ,..., ql } et α i = βi β k = α k (et donc α i = βi pour tout i ∈ {1,..., k} ). deux à deux distincts. L'hypothèse de récurrence impose k = l , pour tout i ∈ {1,..., k − 1} et α k − 1 = β k − 1 donc Donc P(n+1) est vraie et donc P(n) est vraie pour tout n ≥ 2 . D'où l'unicité. © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 3/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers 2.3 Lemme Un nombre n ∈ , n ≥ 2 est premier si et seulement si il n'admet pas de diviseurs premiers p tel que p2 ≤ n . Démonstration Soit n ∈ , n ≥ 2 . Si n admet un diviseur premier tel que p 2 ≤ n , alors p est un diviseur de n différent de 1 et de n donc n n'est pas premier. Si n n'est pas premier, alors il existe deux entiers naturels a et b tels que n = ab (avec 1 < a ≤ b ). Soit p un diviseur premier de a. Alors p 2 = a 2 ≤ ab = n . Ce lemme justifie l'agorithme suivant 2.4 Algorithme "test si un nombre est premier" On fixe n ∈ , n ≥ 2 . d ←1 r ←1 Tant que d 2 ≤ n et r ≠ 0 d ← d +1 r ← reste de la division euclidienne de n par d fin tant que Si r = 0 , alors n n'est pas premier et admet pour diviseur d sinon n est premier. 2.5 Crible d'Eratosthène Dans la description qui suit, on note pk le k ème nombre premier. Etape 1 : 2 est le premier nombre premier donc p1 = 2 . Etape 2 : On raye les multiples de p1 , p1 exclu. Le premier nombre suivant non barré est premier et est p2 . Le premier multiple de p2 non barré est p2 2 . …………... Etape k + 1 ( k ∈ * ) : On suppose p1 ,... pk connus. On raye les multiples de pk , pk exclu. Le premier nombre suivant non barré est premier et vaut pk +1 . Le premier multiple de pk +1 non barré est pk2+1 Test d'arrêt : on s'arrête dès que pk2 > n . Tous les nombres non rayés sont premiers (parmi les entiers inférieurs ou égaux à n). Le lemme suivant justifie les étapes précédentes : © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 4/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers 2.6 Lemme ⎛ ⎛ k ⎞ ⎞ ⎪⎫ ⎪⎧ pk +1 = min ⎨ − ⎜ {0,1} ∪ ⎜ ∪ pi ⎟ ⎟ ⎬ et le premier multiple de pk +1 non barré est pk2+1 . ⎝ i =1 ⎠ ⎠ ⎪⎭ ⎝ ⎩⎪ Démonstration ⎛ ⎛ k Soit Ak = − ⎜ {0,1} ∪ ⎜ ∪ pi ⎝ i =1 ⎝ Ak ≠ ○ car pk +1 ∈ Ak . Ak est ⎞⎞ ⎟⎟ . ⎠⎠ donc une partie non vide de petit élément que l'on appellera a. On a : 2 ≤ a ≤ pk +1 . Par conséquent, Ak admet un plus (car pk +1 ∈ Ak ). k a admet un diviseur premier p. p ∉ ∪ pi sinon, a étant un multiple de p, a serait un multiple de i =1 l'un des pi , i ∈ {1,..., k } , et a ne serait pas élément de Ak , ce qui est exclu. Donc p ≥ pk +1 donc a ≥ p ≥ pk +1 . a ≥ pk +1 et a ≤ pk +1 donc a = pk +1 = min Ak . Supposons qu'il existe un multiple m de pk +1 non barré et strictement inférieur à pk2+1 . Il existe q ∈ {2,... pk +1 − 1} tel que m = qpk +1 . q admet un diviseur premier p. Donc p ∈ {2,... pk +1 − 1} donc il existe j ∈ {1,...k } tel que p = p j . Il existe donc α ∈ * , m = α p j pk +1 . m est rayé comme multiple de p j , contradiction. Il n'existe donc pas de multiple pk +1 non barré et strictement inférieur à pk2+1 . Par ailleurs, pk2+1 n'est pas rayé, sinon, il existerait j ∈ {1,...k } tel que p j pk2+1 . Alors p j pk +1 et p j = pk +1 car p j et pk +1 sont des nombres premiers, ce qui est exclu car j ≠ k + 1 . Donc pk2+1 est bien un multiple de pk +1 non barré. Soit k0 le premier entier vérifiant pk20 > n . L'étape k0 est donc la dernière étape. Soit E l'ensemble de tous les entiers non barrés inférieurs ou égaux à n. on sait que p1 , p2 ,..., pk0 sont premiers. Soit m ∈ E , m > pk0 . Si m n'est pas premier, m admet un diviseur premier p vérifiant p ≤ m ≤ n < pk . Alors m est rayé en tant que multiple de éléments de E sont des nombres premiers. Le crible d'Eratosthène pour n = 100 : 0 1 2 3 4 5 6 7 0 X X p1 p2 X p3 X p4 1 X p5 X p6 X X X p7 X X X X X p9 X X X X X p14 X X X X X X X p16 X p15 X X X X X X p21 X p23 X 2 X X X 3 X p11 4 X 5 p13 X X 6 X p18 7 X 8 p20 X X 9 X X X p12 p. Contradiction. Donc m est premier. Donc tous les 8 9 X X X X p10 X X X X X p17 X X X X p19 X X X X X X X X X X X © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st p25 p8 p22 p24 X X 5/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers 3 Nombres premiers et congruences 3.1 Théorème Soit p ∈ * . /p est un corps si et seulement si p est un nombre premier. Démonstration Soit p ∈ * . ( ∀k ∈ , 1 ≤ k ≤ p − 1, k ∧ p = 1) ⇔ p premier . Supposons que /p est un corps. Soit x ∈ {1,..., p − 1} . x est inversible dans /p donc il existe y ∈ / p tel que x. y = 1 , c'est-à- tel que xy = 1 + kp , c'est-à-dire xy − kp = 1 . d'après le dire xy ≡ 1 ( p) . Il existe donc k ∈ théorème de Bézout, on en déduit que x ∧ p = 1 . Ceci étant vrai pour tout entier x ∈ {1,..., p − 1} , il est résulte que p est premier. Supposons maintenant que p est premier. Soit x ∈ {1,..., p − 1} . Comme x ne divise pas p, on en déduit que x ∧ p = 1 . D'après le théorème de Bézout, il existe (u ; v) ∈ 2 tel que xu + pv = 1 . Donc xu ≡ 1 ( p ) et donc x est inversible dans / p . Tout élément non nul de / p est inversible donc / p est un corps. 3.2 Théorème de Wilson Un entier p ≥ 2 est premier si et seulement si ( p − 1)! ≡ −1 ( p ) . Démonstration Soit p ∈ , p ≥ 2 . Supposons p premier. p −1 ( p − 1)! = ∏ k . k =1 /p Tous les entiers intervenant dans ce produit sont inversibles dans car p est premier. car /p est un corps p −1 Dans le produit ∏ k , on peut regrouper les termes deux à deux (chaque terme avec son inverse), k =1 puis les termes qui sont leur propre inverse. p −1 Le produit ∏k est alors égal au produit des termes qui sont leur propre inverse. k =1 x∈ / p 2 ( )( ) est son propre inverse si x = 1 , c'est-à-dire x − 1 x + 1 = 0 . il y a deux termes : 1 et −1 = p − 1 . p −1 Donc ∏ k = 1× −1 = −1 et donc ( p − 1)! ≡ −1 ( p) . k =1 © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 6/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers Supposons ( p − 1)! ≡ −1 ( p) . Soit d un diviseur de p, différent de 1. Soit q = ( p − 1)! ≡ −1 ( p) donc d ( p − 1)! ≡ −d ( p) . p . d p −1 d ( p − 1)! = dq × ∏ k ≡ 0 ( p ) car dq = p ≡ 0 ( p) . k =1 k ≠q d est alors un multiple de p. d est à la fois un multiple de p et un diviseur de p différent de 1 donc d = p . p n'a donc que deux diviseurs : 1 et p. p est donc un nombre premier. 3.3 Proposition Soit p un nombre premier. alors pour tout k ∈ {1,..., p − 1} , p C pk . Démonstration Soit p un nombre premier et k ∈ {1,..., p − 1} . p! donc p ! = ( p − k )!k !C pk et donc p ( p − k )!k !C pk . ( p − k )!k ! Pour tout k ∈ {1,..., p − 1} , p ne divise pas k et p ne divise pas ( p − k ) donc p ∧ k = 1 et C pk = p ∧ ( p − k ) = 1 d'après la proposition 1.2. Donc p ∧ ( ( p − k )!k !C pk ) et p ∧ ( ( p − k )!k !) = 1 donc p C pk (d'après le théorème de Gauss). 3.4 Petit théorème de Fermat Soit p un nombre premier. Alors : ∀n ∈ , n p ≡ n ( p ) ∀n ∈ − p , n p −1 ≡ 1 ( p ) Démonstration Par récurrence sur n. notons P(n) la propriété : n p ≡ n ( p) . 0 p ≡ 0 ( p) donc P(0) est vraie. Soit n ∈ . Supposons P(n) vraie. p −1 p (n + 1) p = ∑ C pk n k = n p + ∑ C pk n k + 1 . k =0 k =1 ∀k ∈ {1,..., p − 1} , p C donc C pk ≡ 0 ( p ) k p Donc (n + 1) p ≡ n p + 1 ( p) . Or, n p ≡ n ( p) (hypothèse de récurrence) donc (n + 1) p ≡ n + 1 ( p) donc P(n+1) est vraie. Par conséquent, P(n) est vraie pour tout entier naturel n. © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 7/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers Soit n ∈ , n < 0 . Si p est impair, (−n) p = (−1) p n p = − n p et (−n) p ≡ − n ( p) d'après ce qui précède. Donc −n p ≡ −n ( p ) et donc n p ≡ n ( p) . Si p est pair, alors p = 2 car p est premier. (−n) 2 ≡ −n (2) d'après ce qui précède. or, (−n) 2 = n 2 donc n 2 ≡ − n (2) . Comme −n ≡ n (2) (car − n = n − 2n ), on en déduit que n 2 ≡ n (2) . Donc P(n) est également vraie pour n ∈ , n < 0 . Si n ∈ − p , alors n ∈ ( / p ) * donc n est inversible dans / p . Notons n ' sont inverse. n ≡ n ( p) n p −1nn ' ≡ nn ' ( p) n p −1 ≡ 1 ( p) p 4 Autres applications 4.1 Nombres de Fermat Soit k ∈ * . Si 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2 (les nombres Fn = 22 + 1 sont appelés nombres de Fermat, ils ne sont pas tous premiers). n Démonstration Soit k ∈ * . Il existe n, q ∈ tels que k = 2n (2q + 1) . 2k + 1 = 22 n (2 q+1) +1 ( ) +1 = ( 2 + 1) × ∑ ( −2 ) = 2 2n 2 q+1 2q 2n 2n i i= 0 Comme 2 + 1∈ 2n * , si 2 + 1 est premier, alors k ∑ ( −2 2q i= 0 2n ) =1. i On a alors 2 + 1 = 2 + 1 , c'est-à-dire k = 2 . 2n k n 4.2 Proposition Soient n, m ∈ * , n ≥ 2, m ≥ 2, n = p1α1 ... prα r et m = p1β1 ... prβr , où p1 ,..., pr sont des nombres premiers naturels deux à deux distincts, α1 ,..., α r , β1 ,..., β r sont des entiers naturels. Alors r r k =1 k =1 PGCD (n ; m) = ∏ pkmin (α k , βk ) et PPCM (n ; m) = ∏ pkmax (α k , βk ) . © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st 8/9 Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers Démonstration r r k =1 k =1 Soient d = ∏ pkmin (α k , βk ) et δ = PGCD (n ; m) . Notons δ = ∏ pkγ k . Pour tout k ∈ {1,..., r} , min (α k , β k ) ≤ α k et min (α k , β k ) ≤ β k donc d n et d m . Par définition du PGCD, on en déduit que d divise δ . δ n donc pour tout k ∈ {1,..., r} , γ k ≤ α k . De même, δ m donc pour tout k ∈ {1,..., r} , γ k ≤ β k . par conséquent, pour tout k ∈ {1,..., r} , γ k ≤ min (α k , β k ) et donc δ d . r d δ et δ d donc δ = d , c'est-à-dire PGCD (n ; m) = ∏ pkmin (α k , βk ) . k =1 Comme PGCD (n ; m) × PPCM (n ; m) = nm , il en résulte que : r PPCM (n ; m) = ∏ pk k α + β k − min (α k , β k ) k =1 © S. DUCHET – www.epsilon2000.fr.st r = ∏ pkmax (α k , βk ) car α k + β k − min(α k , β k ) = max(α k , β k ) . k =1 9/9