L3 - S5 - Mise à niveau Mathématiques Magistère d`Économiste et

L3 - S5 - Mise à niveau Mathématiques
Magistère d’Économiste et Statisticien
Version du 25 Aout 2014
Toulouse School of Economics
Université Toulouse I Capitole

0

Table des matières
1 Compléments d’Algèbre - Réduction des endomorphismes réels 3
1.1 Motivations ....................................... 3
1.1.1 Suites récurrentes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Analyse en composantes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Applications et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Changementdebase.............................. 5
1.2.3 Valeurs propres d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Valeurs propres de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Exemplessimples................................ 7
1.2.6 Rappels sur le déterminant et la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Diagonalisabilité de matrice ou d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Somme directe des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Diagonalisabilité ................................ 12
1.3.3 Polynômes d’endomorphismes ou de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Critères de diagonalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Au delà de la diagonalisation des matrices réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Sortir du corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Trigonalisation ................................. 17
1.4.3 Quelques résultats complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Fiche technique sur les matrices réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Diagonaliser................................... 19
1.5.2 Trigonaliser................................... 20
1.6 Applications....................................... 21
1.6.1 Puissance de matrice - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Puissance de matrice - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.3 Suitesrécurrentes................................ 22
1.6.4 Système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Compléments d’Algèbre - Algèbre bilinéaire et formes quadratiques 23
2.1 Rappels élémentaires sur les formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Définitions ................................... 23
2.1.2 Changementdebase.............................. 24
2.1.3 Formes bilinéaires symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4 Réduction de Gauss des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.5 Inégalités .................................... 26
i

2.2 Orthogonalité...................................... 28
2.2.1 Définitions ................................... 28
2.2.2 Algorithme de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Diagonalisation des matrices symétriques réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Compléments d’analyse : espaces vectoriels normés 33
3.1 Espacesmétriques ................................... 33
3.1.1 Distance..................................... 33
3.1.2 Cas des espaces Lp............................... 33
3.1.3 Norme...................................... 35
3.1.4 Boules...................................... 36
3.1.5 Topologie .................................... 39
3.1.6 Convergences, ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Fonctions sur un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Continuité.................................... 42
3.2.2 Applications linéaires entre espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . 44
4 Compléments d’analyse : espaces complets, espaces de Hilbert 47
4.1 Espaces complets et de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 SuitesdeCauchy................................ 47
4.1.2 Espaces complets, Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.3 Applications contractantes et points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.4 Théorèmes de point fixe à paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Équivalence des normes et espaces vectoriels complets . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 EspacesdeHilbert ................................... 55
4.3.1 Définitions ................................... 55
4.3.2 Meilleure approximation et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.3 SériesdeFourier ................................ 58
ii

0