Racine carrée Racine carrée d`un nombre positif Définition Soit a un

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Racine carrée
1) Racine carrée d’un nombre positif
a) Définition
Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté √𝑎 ) est le nombre positif dont le
carré est a.
Pour tout nombre « a » positif, √𝑎 × √𝑎 = 𝑎.
Remarque :
 Le symbole √ est appelé radical.
 Si a est un nombre strictement négatif alors √𝑎 n’existe pas.
Exemple :
 Cas où √𝑎 est un nombre entier
On sait
que :
Donc
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
√0 = 0
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers).
 Cas où √𝑎 est un nombre rationnel non entier : √0.25 = 0.5
 Cas où √𝑎 est un nombre irrationnel : √2, √3 , …… On ne peut obtenir que des
valeurs approchées de ces nombres avec la calculatrice.
b) Propriétés
2
Pour tout nombre positif a, on a : (√𝑎) = 𝑎.
Démonstration : Par définition de la racine carrée.
2
2
Exemples : (√3) = 3, (√12,26) = 12,26…..
Pour tout nombre positif a, on a : √𝑎2 = 𝑎.
Démonstration : Par définition, √𝑎2 est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un
nombre positif et son carré vaut a², donc √𝑎2 = 𝑎.
Remarque : Si a est un nombre positif, alors √(−𝑎)2 existe et on a : √(−𝑎)2 = √𝑎2 = 𝑎.
Exemple : √152 = 15 ; √102,62 = 102,6 ; √(−3)² = √3² = 3 …..
2) Racines carrées et opérations
a) Multiplication et division
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur
produit.
Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a : √𝒂√𝒃 = √𝒂𝒃.
Démonstration :
(√𝑎√𝑏)² = (√𝑎)²(√𝑏)² = 𝑎𝑏. Or, par définition de la racine carrée, √𝑎𝑏 est le seul nombre
positif dont le carré est ab. On obtient donc : √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏.
Exemples : √3√8 = √3 × 8 = √24, √6 = √2 × 3 = √2√3

Ecrire un nombre 𝒂√𝒃 sous la forme √𝒄
Technique :
 On écrit a sous la forme √𝑎² (propriété liée à la définition)
 On utilise la formule √𝑐√𝑑 = √𝑐𝑑
 On conclut
Exemple : Ecrire 5√3 sous la forme √𝑐 avec c nombre entier positif.
5√3 = √5²√3 = √25√3 = √25 × 3 = √75

Ecrire un nombre √𝒄 sous la forme 𝒂√𝒃 avec b le plus petit possible
Technique :
 On cherche le plus grand carré parfait qui divise c
 On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé
 On utilise la formule √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏
 On conclut en utilisant la formule liée à la définition : √𝑎2 = 𝑎
Exemple : Ecrire √72 sous la forme a√𝑏 avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit
possible.
36 est le plus grand carré parfait qui divise 72. 72 = 36 × 2 = 6² × 2. On obtient alors :
√72 = √6² × 2 = √6²√2 = 6√2.
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de
leur quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b≠0 on a :
Exemple :

√18
√2
18
5
= √ 2 = √9, √9 =
√5
√9
=
√𝒂
√𝒃
𝒂
= √𝒃.
√5
3
Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier
Technique :
 On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule
ci-dessus)
 On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées
 On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au
dénominateur
2
 On conclut en utilisant les formules suivantes : √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 et (√𝑎) = 𝑎
Exemple : Soit l’expression 𝐵 =
√18
. Calculer B et donner le résultat sans radical au
√15
dénominateur.
𝐵=
√18
√15
18
6
= √15 = √5 =
√6
√5
=
√6×√5
√5×√5
=
√6×5
√5×5
=
√30
√25
=
√30
5
b) Addition et soustraction
Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction.
Exemple : √16 + 5 = √25 = 5 et √16 + √5 = 4 + 3 = 7 donc √16 + 5 ≠ √16 + √5
√225 − 144 = √81 = 9 et √225 − √144 = 25 − 12 = 13 donc √225 − 144 ≠ √225 −
√144
3) Equation et carré
Propriété : Si a est strictement positif alors l’équation x² = a admet deux solutions √𝑎 et √𝑎.
Remarque :
 Si a = 0, il n’existe qu’un seul nombre tel que x² = 0 : c’est 0.
 Si a est strictement négatif, alors l’équation x² = a n’admet aucune solution puisque x²
est forcement un nombre positif.

Résoudre des équations carrées simples
Technique :
 Se ramener à la forme x² = a
 Utiliser la propriété précédente
Exemples :Résoudre l’équation : x² = 121.
121 > 0 donc l’équation x² = 121 admet deux solutions : √121 = 11 et −√121 = −11.
Résoudre l’équation : 3𝑥² + 15 = 5𝑥² − 25
2𝑥² = 40 donc 𝑥² = 20. L’équation admet deux solutions : √20 = 2√5 et −√20 = −2√5.

Résoudre des équations de la forme (x-b)² = a où a et b sont deux réels
Technique :
o Si a est négatif : il n’y a pas de solutions
o Si a est égal à 0 : il existe une unique solution : x = b.
o Si a est positif :
 On utilise la propriété précédente (on obtient : x-b = √𝑎 ou −√𝑎)
 On ajoute b de part et d’autre de l’égalité
 On conclut
Exemple : Résoudre l’équation : (x-5)² = 121.
121 > 0 donc l’équation (x-5)² = 121 admet deux solutions : 𝑥 − 5 = √121 et 𝑥 − 5 =
−√121
𝑥 = 11 + 5 = 16 𝑜𝑢 𝑥 = −11 + 5 = −6.
L’équation (x-5)²=121 admet pour solutions : -6 et 16.
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