mathématiques bts-dut statistiques et probabilités

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MATHÉMATIQUES BTS-DUT
STATISTIQUES ET
PROBABILITÉS
Edisciences, Coll. Sciences Sup
G. CHAUVAT, A. CHOLLET, Y. BOUTEILLER
Ch.4 : VARIABLES ALÉATOIRES(Compléments)
EE 4.4 (D’après Banque d’épreuves BTS-DUT 2002, Q9)
Une usine de composants électroniques fabrique des résistances. En mesu-
rant un grand échantillon de ces composants on constate que la résistance
nominale en Ohms de chaque composant tiré au hasard est une variable
aléatoire qui suit la loi normale (ou encore loi de Gauss) d’espérance
et d’écart type . On rappelle que si la variable aléatoire suit
la loi normale centrée-réduite :
la probabilité que est de 95%,
la probabilité que est de 90%,
la probabilité que est de 84%.
(Les valeurs de ces seuils sont arrondies à 10 près.)
(A)La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et
est supérieure à 95%
(B) La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et
est supérieure à 90%
(C) La probabilité que la résistance du composant tiré soit supérieure à
est supérieure à 97%
(D)La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et
est de 84%
(E) La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et
est de 92,5%
Solution
suit donc suit loi normale centrée réduite.
Sans calculatrice, ni table, il faut se ramener, pour les calculs demandés, aux probabilités
rappelées dans le texte en utilisant, entre autres, la propriété de stricte croissance de la
fonction de répartition et la parité de la densité de probabilités de la loi normale centrée
réduite.

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La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et est donnée
par :
Donc (A) est vraie.
La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et est donnée
par :
Donc (B) est fausse.
La probabilité que la résistance du composant tiré soit supérieure à est donnée
par :
Sans table, on trouve grâce au rappel En
effet :
Donc . On sait donc que
Donc (C) est fausse.
La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et est donnée
par :
Donc (D) est fausse.

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La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre et est
donnée par :
Donc (E) est vraie.
Sans la table de la loi normale centrée réduite, on peut retrouver grâce
au rappel par un calcul identique à celui fait pour (C). On
obtient : donc .
Résumé : A B C D E
V F F F V