THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE ET INTRODUCTION

Faculté des Sciences Appliquées
Département PROMETHE
Laboratoire de Thermodynamique
Professeur Jean Lebrun
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE ET INTRODUCTION
AUX MACHINES THERMIQUES 2004-2005
Modélisation d’une tuyère convergente/divergente
Vincent LEMORT
1
Descriptif de la tuyère étudiée
On se propose d’étudier une tuyère convergente /divergente alimentée en air
par un réservoir. La pression et la température de l’air dans le réservoir sont
respectivement de 500 kPa et de 500 K. L’aire du col de la tuyère est égale à 40 cm2 et
l’aire de la section de sortie est égale à 80 cm2. On demande de décrire l’écoulement
au sein de la tuyère (partie convergente, partie divergente et col) en fonction de la
pression en sortie de la tuyère (« ambiance » sur le schéma ci-dessous, en anglais :
« back pressure »). L’écoulement est supposé isentropique tout au long de la tuyère.
Réservoir
Sortie
Psu = 500 kPa
Tsu = 500 K
Col
Csu ~ 0 m/s
Ambiance
Athr =40 cm2
Aex =80 cm2
Figure 1.1 Tuyère convergente/divergente alimentée par un réservoir
1
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Conditions d’entrée dans la tuyère
Puisque l’air est au repos dans le réservoir, la vitesse de l’air à l’entrée de la
tuyère est nulle.
P_su=500E3 "[Pa]"
T_su=500-273 "[°C]"
C_su=0 "[m/s]"
s_su=entropy(air,T=T_su,P=P_su)
h_su=enthalpy(air,T=T_su)
h_0_su=h_su+0.5*C_su^2
Tableau 2-1 Conditions d'entrée dans la tuyère
3
3.1
Analyse des différents écoulements en fonction de la pression de sortie
Ecoulement subsonique tout au long de la tuyère
Imaginons que nous abaissons progressivement la pression en dehors de la
tuyère, en partant d’une pression égale à la pression dans le réservoir. Dès que la
pression en sortie de la tuyère est inférieure à la pression dans le réservoir, de l’air
commence à parcourir la tuyère du réservoir vers la sortie. Dans la partie convergente,
la vitesse de vitesse de l’air augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche du col.
Simultanément, la pression diminue. Au contraire, dans la partie divergente, la vitesse
de l’air diminue et la pression augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche de la
section de sortie.
M<1
M<1
Accélération
M<1
Décélération
M<1
Figure 3.1 Ecoulement subsonique tout au long de la tuyère (a)
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3.2
Ecoulement tout juste choqué
Plus on abaisse la pression à la sortie de la tuyère, plus on augmente la vitesse
au col et le débit d’air. Il existe cependant une valeur maximale de la vitesse au col qui
correspond à un nombre de Mach égal à 1 (vitesse du son au col). L’écoulement est dit
« choqué ».
L’écoulement au travers de la tuyère conserve l’enthalpie totale (conduit
adiabatique, immobile, indéformable). De plus, nous avons fait l’hypothèse d’un
écoulement isentropique. Dès lors nous pouvons calculer la pression et la température
de l’air au col.
C_crit=sqrt(gamma*r*(T_thr+273))
Mach_thr=1
Mach_thr=C_thr/C_crit
r=8314/MM_air
MM_air=molarmass(air)
gamma=1.4
Tableau 3-1 Vitesse au col égale à la vitesse du son
s_thr=s_su
h_0_thr=h_0_su
h_0_thr=h_thr+0.5*C_thr^2
h_thr=enthalpy(air,P=P_thr,s=s_thr)
T_thr=temperature(air,P=P_thr,s=s_thr)
Tableau 3-2 L'écoulement est isentropique et conserve l'enthalpie totale
Nous pouvons montrer que la pression Pthr au col calculée par les deux
derniers blocs d’équation est égale à la pression critique définie par (écoulement
supposé isentropique) :
γ
Pcrit  2  γ −1

=
P0, su  γ + 1 
Nous obtenons une pression Pthr égale à 264.014 kPa et une température Tthr
égale à 144.7°C. Nous pouvons dès lors calculer le volume massique de l’air au col, et
enfin déterminer le débit massique qui parcourt la tuyère.
A_thr=40E-4 "[m^2]"
v_thr=volume(air,T=T_thr,P=P_thr) "[m^3/kg]"
M_dot=C_thr*A_thr/v_thr "[kg/s]"
Tableau 3-3 Calcul du débit dans la tuyère
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Le débit M& qui parcourt la tuyère est égal à 3.607 kg/s.
L’écoulement dans la partie divergente de la tuyère est également supposé
isentropique et conserve également l’enthalpie totale. La même méthode de calcul
que celle exposée ci-dessous nous permet de calculer la pression en sortie de tuyère
qui correspond à un écoulement tout juste choqué ainsi que la vitesse de l’air à la
sortie de la tuyère.
M_dot=C_ex*A_ex/v_ex "conservation du débit"
v_ex=volume(air,P=P_ex,s=s_ex)
A_ex=80E-4 "[m^2]"
s_ex=s_thr
{P_ex=500E3} "pour updater les guesses (avec
l'équation suivante)"
h_0_ex=h_0_thr
h_0_ex=h_ex+0.5*C_ex^2
h_ex=enthalpy(air,s=s_ex,P=P_ex)
T_ex=temperature(air,P=P_ex,s=s_ex)
Mach_ex=C_ex/C_crit_ex
C_crit_ex=sqrt(gamma*r*(T_ex+273))
Tableau 3-4 Calcul de la pression et de la vitesse de sortie dans le cas d'une
tuyère tout juste choquée
Nous obtenons les conditions d’écoulement suivante à la sortie de la tuyère :
température Tex égale à 218°C, pression Pex égale à 468.696 kPa, vitesse Cex égale à
135.6 m/s et nombre de Mach Machex égal à 0.3053
M<1
M<1
Accélération
M<1
Décélération
M=1
Figure 3.2 Ecoulement tout juste choqué (b)
Ainsi, dans le cas d’une tuyère tout juste choquée, la vitesse de l’air augmente
progressivement dans la partie convergente (avec un nombre de Mach inférieur à 1), la
vitesse de l’air est égale à la vitesse du son au col (nombre de Mach=1) et la vitesse de
l’air décroît progressivement dans la partie divergente (nombre de Mach inférieur à 1).
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3.3
Ecoulement choqué dans la partie divergente
Si nous continuons à abaisser la pression en sortie de la tuyère, l’écoulement
va continuer à accélérer à la sortie du col. Le nombre de Mach au col reste égal à 1,
mais il devient supérieur à 1 dans une portion de la partie divergente. En un endroit de
la partie divergente (fonction de la pression de sortie), un onde de choc apparaît. Audelà de ce choc l’écoulement se met à décélérer et le nombre de Mach est inférieur à
1. L’évolution du nombre de Mach dans la tuyère est donc la suivante : inférieur à 1
dans la partie convergente, égal à 1 au col, supérieur à 1 dans la partie divergente
avant le choc et inférieure à 1 au-delà du choc et en dehors de la tuyère.
M<1
M<1
M>1
Accélération
Acc.
M<1
Décélération
M=1
Figure 3.3 Ecoulement choqué dans la partie divergente (c)
3.4
Ecoulement choqué à la sortie de la tuyère
Pour une pression de sortie suffisamment basse, cette onde de choc apparaît
dans la section de sortie de la tuyère. Dans ce cas, l’écoulement accélère tout au long
de la tuyère et cesse d’accélérer directement après la sortie de la tuyère. Le nombre de
Mach est inférieur à 1 dans la partie convergente, égal à 1 au col, supérieur à 1 dans
toute la partie convergente et inférieur à 1 en dehors de l tuyère.
M<1
M>1
Accélération
M<1
Accélération
M=1
Figure 3.4 3.4 Ecoulement choqué à la sortie de la tuyère (d)
3.5
Ecoulement sur-détendu
Si nous continuons à abaisser la pression en dehors de la tuyère, l’onde de
choc a lieu en dehors de la tuyère. Des ondes de choc et des réflexions ont
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simultanément lieu dans le jet en sortie. L’écoulement résultant consiste en un
mélange d’écoulements supersoniques et subsoniques (ou uniquement supersoniques
si la pression de sortie est suffisamment basse). Remarquons qu’à la sortie de la
tuyère, l’onde de choc n’est plus perpendiculaire à la paroi. Elle dévie ver l’intérieur
du jet, ce qui produit une contraction initiale du jet. Le jet présente ensuite des
oscillations de vitesse et de pression.
Supersonique ou mélange
sub/supersonique avec
oscillations
Figure 3.5 Ecoulement sur-détendu (e)
3.6
Conditions de design de la tuyère convergente/divergente
Idéalement, il faudrait réduire la pression en dehors de la tuyère de manière à
ce qu’elle soit égale à la pression de sortie de la tuyère. Dans ce cas, l’écoulement est
uniformément supersonique et aucune oscillation n’a lieu dans le jet en sortie.
L’évolution du nombre de Mach dans la tuyère est donc la suivante : inférieur à 1 dans
la partie convergente, égal à 1 au col, supérieur à 1 dans toute la partie divergente
ainsi qu’à la sortie de la tuyère.
M_dot=C_ex_sup*A_ex/v_ex_sup "conservation du débit"
v_ex_sup=volume(air,P=P_ex_sup,s=s_ex_sup)
s_ex_sup=s_thr
{P_ex_sup=50E3} "pour updater les guesses (avec
l'équation suivante)"
h_0_ex_sup=h_0_thr
h_0_ex_sup=h_ex_sup+0.5*C_ex_sup^2
h_ex_sup=enthalpy(air,s=s_ex_sup,P=P_ex_sup)
T_ex_sup=temperature(air,P=P_ex_sup,s=s_ex_sup)
Mach_ex_sup=C_ex_sup/C_crit_ex_sup
C_crit_ex_sup=sqrt(gamma*r*(T_ex_sup+273))
Tableau 3-5 Calcul de la pression et de la vitesse de sortie dans le cas d'une
tuyère dont la partie divergente est supersonique
Nous obtenons les conditions d’écoulement suivante à la sortie de la tuyère :
température Tex,sup égale à -17.45°C, pression Pex,sup égale à 47.039 kPa, vitesse Cex,sup
égale à 703.5 m/s et nombre de Mach Machex,sup égal à 2.195.
Ces conditions de sortie (température, pression et vitesse) sont les mêmes dans
le cas d’un écoulement choqué à la sortie de la tuyère, sur et sous détendu.
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Remarquons également que ces équations sont les mêmes que celle qui nous
ont permis de calculer la pression à la sortie de la tuyère dans le cas d’un régime
choqué au col. En réalité, l’écoulement isentropique (caractérisé par un nombre de
Mach égal à 1 au col et sans onde de choc dans le divergent) présente deux solutions :
une subsonique et une supersonique.
M>1
M<1
Accélération
Accélération
M>1
pas d'oscillations
M=1
Figure 3.6 Conditions de design de la tuyère convergente/divergente (f)
Il est également important de retenir que le débit dans la tuyère atteint sa
valeur maximale dès que la vitesse au col est égale à la vitesse du son (Mach 1). A ce
moment, continuer à abaisser la pression de sortie n’augmente pas le débit mais
modifie l’allure de l’écoulement.
3.7
Ecoulement sous-détendu
Enfin, si la pression en dehors de la tuyère est diminuée d’avantage un
nouveau déséquilibre a lieu puisque la pression à la sortie de la tuyère est cette fois
supérieure à la pression en dehors de la tuyère. Le jet dévie juste à la sortie de la
tuyère. L’écoulement résultant en dehors de la tuyère présente des oscillations de
vitesse et de pression.
M>1
avec oscillations
Figure 3.7 Ecoulement sous-détendu (g)
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Récapitulatif
4.1
Evolution de la pression le long de la tuyère
Réservoir (su)
Sortie (ex)
Col
Ambiance
Psu = 500000 [Pa]
Pex = 468696 [Pa]
Pcrit = 264014 [Pa]
Pex,sup = 47039 [Pa]
Distance le long de la tuyère
Figure 4.1 Récapitulatif des différentes configurations d'écoulement en fonction
de la pression en dehors de la tuyère
4.2
Evolution du débit au travers de la tuyère
Configuration
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Débit [kg/s]
< 3.607
3.607
3.607
3.607
3.607
3.607
3.607
3.607
Tableau 4-1 Débit dans la tuyère selon la configuration d'écoulement
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