TD CAPES meca flu n3 04

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Université de Rennes I préparation CAPES 2004-2005
U.F.R. S.P.M. Mécanique des fluides 3
Fluide incompressible
I. On veut alimenter en eau pendant la marche le réservoir d'une locomotive à vapeur au moyen d'un
tuyau de diamètre intérieur 20 cm. Le tuyau, dont l'ouverture inférieure dirigée face au sens de la
marche plonge dans une rigole située le long des rails, débouche à l'air libre, à une hauteur h = 3 m
au-dessus du niveau de l'eau dans la rigole.
1) à partir de quelle vitesse V0 du train l'eau coule-t-elle dans le réservoir ?
2) Calculer le débit d'eau pour une vitesse du train de 72 km/h.
3) Déduire la puissance d'une pompe remplaçant le dispositif étudié.
II. On considère un réservoir conique ayant une section circulaire de rayon r1 à la cote z1 et r2 à la
cote z2 qui constitue le fond du réservoir. Ce réservoir est percé d'un trou de rayon R très petit devant
r2.
A l'instant initial t = 0, le réservoir est rempli d'un liquide incompressible jusqu'à la cote z1. A partir
de cet instant le réservoir se vide par le trou de rayon R.
1) Calculer en négligeant la vitesse à la surface libre, le débit volumique à l'instant t où le niveau du
liquide dans le réservoir est z.
2) Ecrire l'équation différentielle liant dz à dt.
3) Donner la loi t(z) et calculer l'instant où le réservoir sera complètement vidé.
A.N.: r1 = 2 m, z1 = 2 m ; r2 = 1 m, z2 = 1m ; R = 2,5 cm.
Fluide compressible
III. Un avion vole à Mach 2 dans de l'air à la température de -50°C et à la pression de 0,30 atm.
Calculer la température et la pression au point d'arrêt de l'écoulement autour de l'avion.
On assimilera l'air à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g, pour lequel le rapport  des chaleurs
spécifiques à pression constante et à volume constant est  = 1,4, la constante molaire des gaz parfaits
étant R = 8,32 J.K-1.mole-1.
IV. On se propose d'étudier l'écoulement isentropique d'un gaz parfait non visqueux, dans une tuyère
supersonique alimentée par un réservoir de capacité infinie. Dans le réservoir où la vitesse peut être
considéré comme nulle, la température est Ti, la pression Pi, la masse volumique
i. Nous désignons
par T la température, P la pression, la masse volumique et V la vitesse dans l'écoulement.
On rappelle qu'en un point d'un écoulement où la température est T, la vitesse locale du son a est
donnée par la relation
rTa
, r étant la constante des gaz parfaits relative à l'unité de masse et  le
rapport des chaleurs massiques à pression constante cP et à volume constant cV.
1) Ecrire l'équation de conservation de l'énergie (équation de Saint-Venant) en négligeant les termes
de pesanteur.
2) Déterminer en fonction, de , des rapports
i
TT
,
i
PP
et
i
au col de la tuyère, où la vitesse est
égale à la vitesse locale du son.
3) Calculer T et P dans la tuyère où l'on suppose que le nombre de Mach est M = 2.
4) Calculer les valeurs numériques dans le cas d'un écoulement d'air pour lequel  = 1,40.
On prendra Ti = 27°C , Pi = 1 atm.