Espaces vectoriels normés - Licence de mathématiques Lyon 1

L2 - cursus pr´epa. Fiche de cours Espaces vectoriels norm´ es (26 sept-14 nov)
Dans ce qui suit, Eest un K-espace vectoriel avec K=Rou C. Une norme sur Eest une application
N:E→R+v´erifiant
i). axiome de s´eparation : ∀x∈E,N(x) = 0 ⇔x= 0E.
ii). homog´en´eit´e : ∀x∈E,∀λ∈K,N(λx) = |λ|N(x).
iii). in´egalit´e triangulaire :∀(x, y)∈E×E,N(x+y)≤N(x) + N(y).
L’in´egalit´e triangulaire implique que : ∀(x, y)∈E×E,|N(x)−N(y)| ≤ N(x+y).
Si Nest une norme sur Ealors l’application d: (x, y)∈E×E7→ d(x, y) := N(x−y) est une distance,
c’est-`a-dire qu’elle v´erifie
Xl’axiome de s´eparation : ∀x, y ∈E,d(x, y) = 0 ⇔x=y.
Xla propri´et´e de sym´etrie : ∀x, y ∈E,d(x, y) = d(y, x).
Xl’in´egalit´e triangulaire : ∀x, y, z ∈E,d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z).
Si Eest muni d’une norme N, on dit que c’est un espace vectoriel norm´e. Une partie Ade Eest
born´ee s’il existe M∈R+tel que N(a)≤Mpour tout a∈A. Le diam`etre d’une partie born´ee Aest
diam A:= sup{d(a, b) = N(b−a) ; (a, b)∈A×A}.
Si x∈Eet r∈R+∗, la boule ouverte, la boule ferm´ee et la sph`ere de centre xet de rayon rsont les
ensembles born´es de diam`etre 2rrespectivement d´efinis par
B(x;r) := {y∈E;d(y, x) = N(y−x)< r}, B(x;r) := {y∈E;d(y, x) = N(y−x)≤r},
S(x;r) := {y∈E;d(y, x) = N(y−x) = r}.
Noter que B(x;r) = B(x;r)∪S(x;r).
Deux normes N1et N2sur un mˆeme espace Esont ´equivalentes si
∃C > 0 ; ∀x∈E , 1
CN1(x)≤N2(x)≤CN1(x),
ce qui ´equivaut encore `a :
∃C1, C2>0 ; ∀x∈E , C1N1(x)≤N2(x)≤C2N1(x).
Si Eest de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes (admis pour l’instant). C’est faux en
dimension infinie.
Normes classiques sur Rn
•La valeur absolue d´efinit une norme sur R. Le module d´efinit une norme sur C.
•Pour x= (x1, . . . , xn)∈Rnon note
kxk1:=
n
X
j=1 |xj|,kxk2:= v
u
u
t
n
X
j=1
x2
j,kxk∞:= max{|xj|, j ∈ {1, . . . , n}}.
L’in´egalit´e triangulaire pour k·k2, appel´ee norme eucidienne,r´esulte de l’in´egalit´e de Cauchy–
Schwarz :∀(x, y)∈Rn×Rn,|(x·y)|≤kxk2kyk2,o`u (x·y) est le produit scalaire de xet y,
d´efini par (x·y) :=
n
X
j=1
xjyjsi x= (x1, . . . , xn) et y= (y1, . . . , yn).
∀x∈Rn,kxk∞≤ kxk1≤nkxk∞,kxk∞≤ kxk2≤√nkxk∞,kxk2≤ kxk1≤√nkxk2
Normes analogues sur CnPour z= (z1, . . . , zn)∈Rnon note
kzk1:=
n
X
j=1 |zj|,kzk2:= v
u
u
t
n
X
j=1 |zj|2,kzk∞:= max{|zj|, j ∈ {1, . . . , n}}.
NB: Il faut savoir d´efinir les notions en rouge et d´emontrer les ´enonc´es en bleu.

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Normes classiques en dimension infinie Sur l’espace vectoriel des suites num´eriques (un)n∈N∈
KNborn´ees, on d´efinit une norme par :
k(un)k∞:= sup
n∈N|un|.
Sur l’espace vectoriel des suites num´eriques (un)n∈N∈KNtelles que la s´erie Punest absolument
convergente, on d´efinit une norme par :
k(un)k1:=
+∞
X
n=0 |un|.
Sur l’espace vectoriel C([a, b]; R) des fonctions fcontinues sur le segment [a, b] (avec a<b), on d´efinit
les normes suivantes :
kfk1:= Zb
a|f(t)|dt , kfk2:= sZb a
f(t)2dt , kfk∞:= max
t∈[a,b]|f(t)|.
Espaces produits Si (E1, . . . , Ed) est une famille d’espaces vectoriels norm´es munis respectivement
de normes N1, ..., Nd, on d´efinit sur le produit cart´esien E1×···×Edles normes ´equivalentes suivantes :
pour x= (x1,...,xd)∈E,
kxk1:=
n
X
j=1
Nj(xj),kxk2:= v
u
u
t
n
X
j=1
Nj(xj),kxk∞:= max{Nj(xj), j ∈ {1, . . . , n}}.
Suites et s´eries dans les espaces vectoriels norm´es Si Eest un espace vectoriel muni d’une
norme k·k, une suite (xn)n∈N∈ENd’´el´ements de E(c’est-`a-dire une application de Ndans E) est :
•born´ee si la suite num´erique (kxnk)n∈N∈KNest major´ee, ou de fa¸con ´equivalente s’il existe une
boule contenant tous les termes xn;
•convergente s’il existe `∈Etel que : ∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N , kxn−`k ≤ ε.
Dans ce cas, `est appel´e limite de (xn)n∈Net on a
`= lim(xn)⇔0E= lim(xn−`)⇔0 = lim(kxn−`k) .
Une suite born´ee pour k·kl’est aussi pour toute norme ´equivalente `a la norme k·k.
Une suite convergente pour k·kl’est aussi pour toute norme ´equivalente `a la norme k·k.
La limite d’une suite convergente est unique, et ne change pas si l’on change k · k pour une norme
´equivalente. Toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse.
L’ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel de EK, et si on le note EK
cv, l’application
suivante est lin´eaire :EK
cv →E
(xn)n∈N7→ lim(xn).
Une s´erie Pxnest convergente si, en posant Sn=
n
X
k=0
xnpour tout n, la suite (Sn)n∈Nest convergente.
Crit`ere de Cauchy Toute suite (xn)n∈N∈ENconvergente est de Cauchy, c’est-`a-dire que :
∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N , ∀p∈N,kxn−xn+pk ≤ ε.
Dans un espace vectoriel de dimension finie, une suite est convergente si et seulement si elle de Cauchy.
En particulier, une s´erie Pxnest convergente si et seulement si :
∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N , ∀p∈N,
n+p
X
k=n
xk
≤ε. C’est faux en dimension infinie en g´en´eral.
NB: Il faut savoir d´efinir les notions en rouge et d´emontrer les ´enonc´es en bleu.

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Th´eor`eme de Bolzano–Weierstrass Dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie, toute
suite born´ee admet une sous-suite convergente. (C’est faux en dimension infinie.)
Notions topologiques
•Voisinages •Une partie Vd’un espace vectoriel norm´e Eest un voisinage d’un ´el´ement xde Esi
et seulement si : ∃r > 0, B(x;r)⊂V.
Une boule ouverte B(x;ρ) ou ferm´ee B(x;ρ) de rayon ρ > 0 est un voisinage de son centre x.
Une suite (xn)n∈N∈ENconverge vers `∈Esi et seulement si :
∀Vvoisinage de ` , ∃N∈N,∀n≥N , xn∈V.
•Ouverts •Une partie Ude Eest un ouvert si et seulement si : ∀x∈U , ∃r > 0, B(x;r)⊂U.
L’ensemble vide ∅, l’espace entier E, et toutes les boules ouvertes sont des ouverts. Les boules ferm´ees
ne sont pas des ouverts. Toute r´eunion d’ouverts est un ouvert. L’intersection d’un nombre fini d’ou-
verts est un ouvert.
•Ferm´ es •Une partie Fde Eest un ferm´e si et seulement si son compl´ementaire E\Fest ouvert.
L’ensemble vide ∅, l’espace entier E, tous les singletons et toutes les boules ferm´ees sont des ferm´es.
Toute intersection de ferm´es est un ferm´e. La r´eunion d’un nombre fini de ferm´es est un ferm´e.
Une partie Ade Eest un ferm´e si et seulement si, pour toute suite (an)n∈N∈ANd’´el´ements de A
convergente, on a lim(an)∈A.
•Int´ erieur •L’int´erieur d’une partie Ade Eest l’ensemble ˚ A={x∈E;∃r > 0, B(x;r)⊂A}.
C’est le plus grand ouvert inclus dans A.
L’int´erieur d’une boule ferm´ee B(x;ρ) est la boule ouverte B(x;ρ). L’int´erieur d’une sph`ere est vide,
de mˆeme que celui d’un sous-espace vectoriel F6=E.
•Adh´ erence •L’adh´erence de Aest l’ensemble ¯ A={x∈E;∀r > 0, B(x;r)∩A6=∅}. C’est le
plus petit ferm´e contenant A, ou encore ¯ A={x∈E;∃(an)n∈N∈AN,lim(an) = x}.
L’adh´erence d’une boule ouverte B(x;ρ) est la boule ferm´ee B(x;ρ).
•Compacts •Une partie Ad’un espace vectoriel norm´e Eest un compact si et seulement si toute
suite de Aadmet une sous-suite convergente dont la limite appartient `a A.
Tout compact est ferm´e et born´e. En particulier, un sous-espace vectoriel non r´eduit `a {0}n’est pas
compact.
Dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie, tout ensemble ferm´e et born´e est compact. En
particulier, tout segment [a, b] (avec a < b) de Rest compact, les compacts de Rdsont les ferm´es
born´es.
Fonctions entre espaces vectoriels Une fonction f:A→F, o`u A⊂E,Eet F´etant des espaces
vectoriel norm´es, a pour limite `∈Fen x0∈Asi et seulement si l’une quelconque des propri´et´es
suivantes est satisfaite :
• ∀ε > 0,∃η > 0,∀x∈E , kx−x0kE≤η=⇒ kf(x)−`kF≤ε.
• ∀Vvoisinage de ` , ∃Wvoisinage de x0,∀x∈A , x ∈W=⇒f(x)∈V.
• ∀(an)n∈N∈ANconvergeant vers x0,(f(an))n∈Nconverge vers `.
La fonction fest continue en a∈Asi elle a pour limite f(a) en a. Elle est continue sur Asi elle l’est
en tout ´el´ement de A.
Toute fonction Lipschitzienne (c’est-`a-dire telle que : ∃k > 0,∀x, y ∈A , kf(x)−f(y)kF≤kkx−ykE)
est continue. En particulier, la norme N:x∈E7→ kxk ∈ Rest continue.
La compos´ee,g◦f:A→G, de deux fonctions continues, f:A→Fet g:B→Gavec f(A)⊂B, est
continue.
La fonction r´eciproque d’une fonction continue bijective n’est pas n´ecessairement continue.
NB: Il faut savoir d´efinir les notions en rouge et d´emontrer les ´enonc´es en bleu.

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La somme de deux fonctions continues est continue. Le produit d’une fonction scalaire continue avec
une fonction (vectorielle) continue est continu. L’ensemble des fonctions continues de Adans Eforme
un espace vectoriel.
La continuit´e d’une application lin´eaire u=E→Fest caract´eris´ee par l’une quelconque des propri´et´es
suivantes (qui sont donc toutes ´equivalentes) :
•il existe k > 0 tel que pour tout x∈E,ku(x)kF≤kkxkE,
•l’application uest Lipschitzienne,
•l’application uest continue en 0E,
•l’application uest born´ee sur la boule ferm´ee unit´e B(0; 1).
Sur l’espace vectoriel Lc(E;F) des applications lin´eaires continues de Edans F, on d´efinit la norme
subordonn´ee `a celles de Eet Fpar
Lc(E;F)→R+
u7→ 9u9= sup{ku(x)kF;kxkE≤1}
Si Eest un espace vectoriel de dimension finie, toutes les applications lin´eaires E→Fsont continues.
C’est faux si En’est pas de dimension finie.
Si Gest aussi un espace vectoriel norm´e, une application bilin´eaire φ:E×F→G, c’est-`a-dire telle
que les applications x∈E7→ φ(x, y0)∈Get y∈F7→ φ(x0, y)∈Gsont lin´eaires quels que soient
x0∈Eet y0∈F, est continue si et seulement si :
∃k > 0,∀(x, y)∈E×F , kφ(x, y)kG≤kkxkE× kykF.
L’image f(K) d’un compact Kpar une fonction continue fest un compact.
NB: Il faut savoir d´efinir les notions en rouge et d´emontrer les ´enonc´es en bleu.