Espaces vectoriels normés - Licence de mathématiques Lyon 1

L2 - cursus prépa.
Fiche de cours Espaces vectoriels normés
(26 sept-14 nov)
Dans ce qui suit, E est un K-espace vectoriel avec K = R ou C. Une norme sur E est une application
N : E → R+ vérifiant
i). axiome de séparation : ∀x ∈ E, N (x) = 0 ⇔ x = 0E .
ii). homogénéité : ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N (λx) = |λ|N (x).
iii). inégalité triangulaire : ∀(x, y) ∈ E × E, N (x + y) ≤ N (x) + N (y).
L’inégalité triangulaire implique que : ∀(x, y) ∈ E × E, |N (x) − N (y)| ≤ N (x + y).
Si N est une norme sur E alors l’application d : (x, y) ∈ E × E 7→ d(x, y) := N (x − y) est une distance,
c’est-à-dire qu’elle vérifie
X l’axiome de séparation : ∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
X la propriété de symétrie : ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x).
X l’inégalité triangulaire : ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Si E est muni d’une norme N , on dit que c’est un espace vectoriel normé. Une partie A de E est
bornée s’il existe M ∈ R+ tel que N (a) ≤ M pour tout a ∈ A. Le diamètre d’une partie bornée A est
diam A := sup{d(a, b) = N (b − a) ; (a, b) ∈ A × A} .
Si x ∈ E et r ∈ R+∗ , la boule ouverte, la boule fermée et la sphère de centre x et de rayon r sont les
ensembles bornés de diamètre 2r respectivement définis par
B(x; r) := {y ∈ E ; d(y, x) = N (y − x) < r} ,
B(x; r) := {y ∈ E ; d(y, x) = N (y − x) ≤ r} ,
S(x; r) := {y ∈ E ; d(y, x) = N (y − x) = r} .
Noter que B(x; r) = B(x; r) ∪ S(x; r).
Deux normes N1 et N2 sur un même espace E sont équivalentes si
∃C > 0 ; ∀x ∈ E , C1 N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ CN1 (x) ,
ce qui équivaut encore à :
∃C1 , C2 > 0 ; ∀x ∈ E , C1 N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ C2 N1 (x) .
Si E est de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (admis pour l’instant). C’est faux en
dimension infinie.
Normes classiques sur Rn
• La valeur absolue définit une norme sur R. Le module définit une norme sur C.
• Pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn on note
v
uX
n
X
u n 2
kxk1 :=
|xj | , kxk2 := t
xj , kxk∞ := max{|xj | , j ∈ {1, . . . , n}} .
j=1
j=1
L’inégalité triangulaire pour k · k2 , appelée norme eucidienne, résulte de l’inégalité de Cauchy–
Schwarz : ∀(x, y) ∈ Rn × Rn , |(x · y)| ≤ kxk2 kyk2 , où (x · y) est le produit scalaire de x et y,
n
X
défini par (x · y) :=
xj yj si x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ).
j=1
∀x ∈
Rn ,
kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ , kxk∞ ≤ kxk2 ≤
Normes analogues sur Cn
kzk1 :=
n
X
j=1
|zj | ,
√
√
nkxk∞ , kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk2
Pour z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Rn on note
v
uX
u n
kzk2 := t
|zj |2 , kzk∞ := max{|zj | , j ∈ {1, . . . , n}} .
j=1
NB: Il faut savoir définir les notions en rouge et démontrer les énoncés en bleu.
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Fiche de cours Espaces vectoriels normés
(26 sept-14 nov)
Normes classiques en dimension infinie Sur l’espace vectoriel des suites numériques (un )n∈N ∈
KN bornées, on définit une norme par :
k(un )k∞ := sup |un | .
n∈N
P
Sur l’espace vectoriel des suites numériques (un )n∈N ∈ KN telles que la série
un est absolument
convergente, on définit une norme par :
+∞
X
k(un )k1 :=
|un | .
n=0
Sur l’espace vectoriel C ([a, b]; R) des fonctions f continues sur le segment [a, b] (avec a < b), on définit
les normes suivantes :
s
Z b
Z b
|f (t)|dt , kf k2 :=
kf k1 :=
f (t)2 dt , kf k∞ := max |f (t)| .
a
a
t∈[a,b]
Espaces produits Si (E1 , . . . , Ed ) est une famille d’espaces vectoriels normés munis respectivement
de normes N1 , ..., Nd , on définit sur le produit cartésien E1 ×· · ·×Ed les normes équivalentes suivantes :
pour x = (x1 , . . . , xd ) ∈ E,
v
uX
n
X
u n
kxk1 :=
Nj (xj ) , kxk2 := t
Nj (xj ) , kxk∞ := max{Nj (xj ) , j ∈ {1, . . . , n}} .
j=1
j=1
Suites et séries dans les espaces vectoriels normés Si E est un espace vectoriel muni d’une
norme k · k, une suite (xn )n∈N ∈ E N d’éléments de E (c’est-à-dire une application de N dans E) est :
• bornée si la suite numérique (kxn k)n∈N ∈ KN est majorée, ou de façon équivalente s’il existe une
boule contenant tous les termes xn ;
• convergente s’il existe ` ∈ E tel que : ∀ε > 0 , ∃N ∈ N , ∀n ≥ N , kxn − `k ≤ ε .
Dans ce cas, ` est appelé limite de (xn )n∈N et on a
` = lim(xn ) ⇔ 0E = lim(xn − `) ⇔ 0 = lim(kxn − `k) .
Une suite bornée pour k · k l’est aussi pour toute norme équivalente à la norme k · k.
Une suite convergente pour k · k l’est aussi pour toute norme équivalente à la norme k · k.
La limite d’une suite convergente est unique, et ne change pas si l’on change k · k pour une norme
équivalente. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.
K , l’application
L’ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel de E K , et si on le note Ecv
K
suivante est linéaire : Ecv
→ E
(xn )n∈N 7→ lim(xn ) .
n
X
P
Une série xn est convergente si, en posant Sn =
xn pour tout n, la suite (Sn )n∈N est convergente.
k=0
Critère de Cauchy Toute suite (xn )n∈N ∈ E N convergente est de Cauchy, c’est-à-dire que :
∀ε > 0 , ∃N ∈ N , ∀n ≥ N , ∀p ∈ N , kxn − xn+p k ≤ ε .
Dans un espace vectoriel de
P dimension finie, une suite est convergente si et seulement si elle de Cauchy.
En particulier, une série
xn est convergente si et seulement si :
n+p X ∀ε > 0 , ∃N ∈ N , ∀n ≥ N , ∀p ∈ N , xk ≤ ε . C’est faux en dimension infinie en général.
k=n
NB: Il faut savoir définir les notions en rouge et démontrer les énoncés en bleu.
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Fiche de cours Espaces vectoriels normés
(26 sept-14 nov)
Théorème de Bolzano–Weierstrass Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toute
suite bornée admet une sous-suite convergente. (C’est faux en dimension infinie.)
Notions topologiques
• Voisinages • Une partie V d’un espace vectoriel normé E est un voisinage d’un élément x de E si
et seulement si : ∃r > 0 , B(x; r) ⊂ V .
Une boule ouverte B(x; ρ) ou fermée B(x; ρ) de rayon ρ > 0 est un voisinage de son centre x.
Une suite (xn )n∈N ∈ E N converge vers ` ∈ E si et seulement si :
∀V voisinage de ` , ∃N ∈ N , ∀n ≥ N , xn ∈ V .
• Ouverts • Une partie U de E est un ouvert si et seulement si : ∀x ∈ U , ∃r > 0 , B(x; r) ⊂ U .
L’ensemble vide ∅, l’espace entier E, et toutes les boules ouvertes sont des ouverts. Les boules fermées
ne sont pas des ouverts. Toute réunion d’ouverts est un ouvert. L’intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert.
• Fermés • Une partie F de E est un fermé si et seulement si son complémentaire E\F est ouvert.
L’ensemble vide ∅, l’espace entier E, tous les singletons et toutes les boules fermées sont des fermés.
Toute intersection de fermés est un fermé. La réunion d’un nombre fini de fermés est un fermé.
Une partie A de E est un fermé si et seulement si, pour toute suite (an )n∈N ∈ AN d’éléments de A
convergente, on a lim(an ) ∈ A.
• Intérieur • L’intérieur d’une partie A de E est l’ensemble Å = {x ∈ E ; ∃r > 0 , B(x; r) ⊂ A}.
C’est le plus grand ouvert inclus dans A.
L’intérieur d’une boule fermée B(x; ρ) est la boule ouverte B(x; ρ). L’intérieur d’une sphère est vide,
de même que celui d’un sous-espace vectoriel F 6= E.
• Adhérence • L’adhérence de A est l’ensemble Ā = {x ∈ E ; ∀r > 0 , B(x; r) ∩ A 6= ∅}. C’est le
plus petit fermé contenant A, ou encore Ā = {x ∈ E ; ∃(an )n∈N ∈ AN , lim(an ) = x}.
L’adhérence d’une boule ouverte B(x; ρ) est la boule fermée B(x; ρ).
• Compacts • Une partie A d’un espace vectoriel normé E est un compact si et seulement si toute
suite de A admet une sous-suite convergente dont la limite appartient à A.
Tout compact est fermé et borné. En particulier, un sous-espace vectoriel non réduit à {0} n’est pas
compact.
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, tout ensemble fermé et borné est compact. En
particulier, tout segment [a, b] (avec a < b) de R est compact, les compacts de Rd sont les fermés
bornés.
Fonctions entre espaces vectoriels Une fonction f : A → F , où A ⊂ E, E et F étant des espaces
vectoriel normés, a pour limite ` ∈ F en x0 ∈ A si et seulement si l’une quelconque des propriétés
suivantes est satisfaite :
• ∀ε > 0 , ∃η > 0 , ∀x ∈ E , kx − x0 kE ≤ η =⇒ kf (x) − `kF ≤ ε .
• ∀V voisinage de ` , ∃W voisinage de x0 , ∀x ∈ A , x ∈ W =⇒ f (x) ∈ V .
• ∀(an )n∈N ∈ AN convergeant vers x0 , (f (an ))n∈N converge vers ` .
La fonction f est continue en a ∈ A si elle a pour limite f (a) en a. Elle est continue sur A si elle l’est
en tout élément de A.
Toute fonction Lipschitzienne (c’est-à-dire telle que : ∃k > 0 , ∀x, y ∈ A , kf (x)−f (y)kF ≤ kkx−ykE )
est continue. En particulier, la norme N : x ∈ E 7→ kxk ∈ R est continue.
La composée, g ◦ f : A → G, de deux fonctions continues, f : A → F et g : B → G avec f (A) ⊂ B, est
continue.
La fonction réciproque d’une fonction continue bijective n’est pas nécessairement continue.
NB: Il faut savoir définir les notions en rouge et démontrer les énoncés en bleu.
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Fiche de cours Espaces vectoriels normés
(26 sept-14 nov)
La somme de deux fonctions continues est continue. Le produit d’une fonction scalaire continue avec
une fonction (vectorielle) continue est continu. L’ensemble des fonctions continues de A dans E forme
un espace vectoriel.
La continuité d’une application linéaire u = E → F est caractérisée par l’une quelconque des propriétés
suivantes (qui sont donc toutes équivalentes) :
• il existe k > 0 tel que pour tout x ∈ E, ku(x)kF ≤ kkxkE ,
• l’application u est Lipschitzienne,
• l’application u est continue en 0E ,
• l’application u est bornée sur la boule fermée unité B(0; 1).
Sur l’espace vectoriel Lc (E; F ) des applications linéaires continues de E dans F , on définit la norme
subordonnée à celles de E et F par
Lc (E; F ) → R+
u
7→ 9u9 = sup{ku(x)kF ; kxkE ≤ 1}
Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les applications linéaires E → F sont continues.
C’est faux si E n’est pas de dimension finie.
Si G est aussi un espace vectoriel normé, une application bilinéaire φ : E × F → G, c’est-à-dire telle
que les applications x ∈ E 7→ φ(x, y0 ) ∈ G et y ∈ F 7→ φ(x0 , y) ∈ G sont linéaires quels que soient
x0 ∈ E et y0 ∈ F , est continue si et seulement si :
∃k > 0 , ∀(x, y) ∈ E × F , kφ(x, y)kG ≤ kkxkE × kykF .
L’image f (K) d’un compact K par une fonction continue f est un compact.
NB: Il faut savoir définir les notions en rouge et démontrer les énoncés en bleu.