Dipôles linéaires, régime transitoire

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Dipôles linéaires, régime transitoire
I Dipôles R, L, C.
A) Dipôles linéaires
i
u
Un dipôle est dit linéaire lorsque u et i sont liés par une équation différentielle
linéaire à coefficients constants :
du
d nu
di
d ni
a0 u  a1
 ...  a n n  C  b0 i  b1  ...  bn n , avec les ai,bi constants.
dt
dt
dt
dt
B) Résistors
1) Dipôle linéaire
1
u  Gu
R
u  Ri ou i 
i
R
u
[ R]  [u]  [i]1  V.A 1   (Ohm)
[G]  [i]  [u]1  A.V 1  S (Siemens)
2) Association en série ou en parallèle
Les dipôles sont en série lorsque ils appartiennent à une même branche (il
n’y a pas de nœuds entre eux).
A
B
iAB
R1
R2
R3
R4
Rn
u1
u2
u3
u4
un
uAB
j  1; n , u j  R j i AB . On a :
n
On a Réq   R j 
j 1
n
u
j 1
n
j
 i AB  R j  u AB .
j 1
n
1
1

Géq j 1 G j
Les dipôles sont en parallèle lorsqu’ils sont liés à deux mêmes nœuds du
circuit.
B
uAB
iAB
R1
R2
R3
R4
Rn
i1
i2
i3
i4
in
A
j  1; n , i j  G j u AB .D’après la loi des noeuds : i AB   i j  u AB  G j
n
n
j 1
j 1
n
On a Géq   G j 
j 1
n
1
1

Réq j 1 R j
3) Diviseur de tension
i
u2  R2i
R1
u
R2 u2
u  ( R1  R2 )i
R2
donc u2 
u
R1  R2
4) Diviseur de courant
R1
i1
i
R2
i2
i2  G2u
i  (G1  G2 )u
G2
donc i2 
i
G1  G2
u
C) Bobines
Bobine idéale :
uL
di
.L est l’inductance de la bobine, positive.
dt
L  u t   Ω.s  H (Henry).
i
di
(i est continu)
dt
La bobine est donc un dipôle linéaire.
Bobine réelle :
u  ri  L
D) Condensateur
+q
i
Plaques conductrices de charges
opposées +q et -q
i
u
Conservation de la charge : Qv (t ou t  dt ) : charge dans v (armature de gauche) à t
ou t  dt .
q(t  dt )  q(t ) dq
Qv (t  dt )  Qv (t )  i  dt  q(t  dt )  q(t )  i  dt  i 

oùC
dt
dt
est une constante positive, la capacité du condensateur.
Relation entre u et i :
q
du 1 dq
du
u 

C
 i (doncu est continue)
C
dt C dt
dt
Le condensateur est donc un dipôle linéaire.
C   it   Ω 1s  F (Farad).
u 
E) Aspect énergétique
1) Effet Joule
i
R
u
P  u  i  ( Ri )  i  Ri 2
P  u  i  u  (Gu)  Gu 2
Interprétation microscopique : les porteurs de charge gagnent de l’énergie
cinétique sous la tension et cèdent cette énergie cinétique à cause des chocs avec
le conducteur. Transfert d’énergie = transfert thermique (chaleur).
Q  Ri 2 dt (Effet Joule)
2) Energie magnétique stockée par une bobine
di d ( 12 Li 2 )
di 2
di
.
(

 2i )
dt
dt
dt
dt
dE
1
On pose Em  Li 2 . Donc P  m  dEm  Pdt  W .
2
dt
E m est donc l’énergie magnétique stockée dans la bobine sous la forme d’un
champ magnétique. Quand P  0 , E m augmente, quand P  0 , E m diminue.
Bobine idéale : P  u  i  Li
3) Energie électrique stockée par un condensateur
du d ( 12 Cu 2 )
.
P  u i  u C

dt
dt
dE
1
On pose Eél  Cu 2 . Donc P  él  dEél  Pdt  W .
2
dt
Eél est donc l’énergie électrique stockée par le condensateur sous la forme
d’un champ électrique. Quand P  0 , Eél augmente, quand P  0 , Eél diminue.
II Générateurs linéaires
A) Sources de tension et de courant idéales
1) Source de tension idéale
C’est un dipôle aux bornes duquel u est constante, quel que soit i.
e
u
i
e
u
e : force électromotrice de la source de tension (fém).
i
2) Source de courant idéale
C’est un dipôle traversé par un courant constant d’intensité constante, quelle
que soit la tension.
j : courant électromoteur ou courant de court-circuit (ccc) de la source.
u
j
ou
i
j
j
B) Source réelle
u
Source
réelle
e
j
g
i
e
 j
r
u
i
Représentation de Thévenin :
e
r
i
u
Caractéristique : u  e  ri
e : fém de la source
r : résistance interne
Représentation de Norton :
j
i
u
r
e u
e
1
  j  gu avec j  et g 
r r
r
r
j : ccc de la source
g : conductance interne.
i
C) Dipôles linéaires en régime continu
En régime continu, u et i sont indépendants du temps :
du di

0
dt dt
Donc l’équation différentielle devient : a0 u  C  b0 i
Un dipôle linéaire est donc un générateur linéaire en courant continu.
D) Association en série et en parallèle de dipôles linéaires
i
1) En série
Dipôles représentés dans le modèle de Thévenin :
e1
e2
r1
r2
i
en
rn
u
n
u    k ek  rk i où  k  1 si ek et u sont dans le même sens, -1 sinon.
k 1
n
n
k 1
k 1
Donc u   ( k ek )  i  rk . Une association en série de dipôles linéaires est
donc un dipôle linéaire de fém la somme des fém des dipôles, et de résistance
interne la somme des résistances internes des dipôles.
2) En parallèle
Représentation dans le modèle de Norton :
i
j1
jn
u
r1 
1
g1
r2 
j2
rn 
1
g2
1
gn
Loi des nœuds :
n
n
k 1
k 1
i  j1  g1u  ( j 2 )  g 2 u  ...  j n  g n u   ( k j k )  u  g k .
Une association en parallèle de dipôles linéaires est donc un dipôle linéaire
de courant de court-circuit la somme des courants de court-circuit des dipôles, et
de conductance interne la somme des conductances internes des dipôles.
E) Echelon de tension et de courant
e(t) ou j(t)
E ou J
t
1) Echelon de tension
e(t )  0 si t  0
e(t )  E si t  0
Réalisation :
E
i
1
2
u
Pour t  0 , interrupteur en 2. u  0
Pour t  0 , interrupteur en 1. u  E
2) Echelon de courant
j (t )  0 si t  0
j (t )  J si t  0
Réalisation :
i
J
Pour t  0 , interrupteur ouvert. i  0
Pour t  0 , interrupteur fermé. i  J
3) Fonction de Heavyside
Y (t )  0 si t  0

Y (t )  1 si t  0
Donc e e(t )  E  Y (t ) , j (t )  J  Y (t )
III Equations différentielles linéaires à coefficients constants du 1er et 2nd ordre
A) Equation différentielle du 1er ordre
1) Homogène (sans 2nd membre)
Y 'aY  0 , où a  R *
f est solution de l’équation différentielle sur R si, et seulement si, ( x  R ,
f ' ( x)  a  f ( x)  0)  k  R , x  R , f ( x)  ke ax (l’ensemble des solutions
est un espace vectoriel de dimension 1)
2) Avec 2nd membre
Y ' aY  Y0 , où a  R * , et Y0  C 0 ( I , R ) .
f est solution de l’équation différentielle sur I si, et seulement si, x  I ,
f ' ( x)  a  f ( x)  Y0 ( x) . On suppose que l’on en connaît une solution particulière
f 0 . Alors f est solution de l’équation différentielle sur I si et seulement si x  I ,
f ' ( x)  f 0 ' ( x)  a  f ( x)  a  f 0 ( x)  Y0 ( x)  Y0 ( x)  0 soit, pour tout x de I,
( f ' f 0 ' )( x)  a  ( f  f 0 )( x)  0)  k  R , x  R , f ( x)  f 0 ( x)  ke ax
(car f  f 0 est alors solution de Y 'aY  0 )
3) Second membre continu par morceau
Cas particulier : Y0 constante par morceaux ("en escalier").
b
Sur x0 , x1 , Y0 ( x)  b1 et f ( x)  1  k1e ax .
a
b
Sur x1 , x2 , Y0 ( x)  b2 et f ( x)  2  k 2 e ax , etc.
a
On admet que si f est solution sur R de l’équation différentielle, alors f est
continue sur R. Continuité en x1 :
b
f ( x1 )  lim  f ( x)  1  k1e ax1
x   x1
a
b
f ( x1 )  lim  f ( x)  2  k 2 e ax1
x   x1
a
b
b
Continuité en x  x1  f ( x1 )  f ( x1 )  1  k1e ax1  2  k 2 e ax1
a
a
On peut alors trouver k2 en fonction de k1 .
B) Equations différentielles du 2nd ordre homogène
aY ' 'bY 'cY  0 , où (a, b, c)  R * R  R .
On admet que les solutions forment un ensemble vectoriel de dimension 2. f est
solution de l’équation différentielle si, et seulement si, il existe 1 ,  2 tels que
f  1 f1   2 f 2 (où f1, f2 sont deux solutions particulières non proportionnelles)
Une solution de la forme F ( x)  e rx donne :
F est solution de l’équation si, et seulement si x  R,ar 2 e rx  bre rx  ce rx  0
 ar 2  br  c  0 . Donc r est solution de l’équation du 2nd degré.
1) Cas   0 .
b 
.
2a
Donc f1 : x  er1 x et f 2 : x  e r2 x sont solutions de l’équation différentielle.
(non proportionnelles).
Donc f est solution de l’équation différentielle sur R si, et seulement si :
rx
rx
1 ,  2  R , x  R , f ( x)  1 f1 ( x)   2 f 2 ( x)  1e 1   2 e 2 .
2 racines réelles r1, 2 
2) Cas   0 .
b
.
2a
Donc f1 : x  e rx est solution de l’équation différentielle. De plus,
f 2 : x  xerx est aussi solution de l’équation différentielle. (Vérification…) Ces
deux solutions ne sont pas proportionnelles. Donc f est solution de l’équation
différentielle sur R si, et seulement si : 1 , 2  R , f  1 f1   2 f 2 , soit aussi :
1 racine double r 
b
x
1 ,  2  R , x  R , f ( x)  ( 1   2 x)e 2 a .
3) Cas   0 .
2 racines complexes r1, 2 
b
x
2a
i 
x
2a
bi 
2a
b
x
2a
i  
x
2a
Donc f1 : x  e  e
et f 2 : x  e  e
sont solutions complexes
non proportionnelles de l’équation différentielle. Donc f est solution de l’équation
différentielle sur C si, et seulement si : 1 ,  2  C, f  1 f1   2 f 2 , soit aussi :
1 ,  2  C, x  R , f ( x)  ( 1e
i 
x
2a
  2e
i  
x
2a
b
x
)e 2 a D’où x  R :
b


   2a x
f ( x)   ( 1   2 ) cos(
x)  i ( 1   2 ) sin(
x) e . Pour que f soit une
2a
2a


solution réelle, il suffit donc que  2   1 . On ne considère que les solutions
réelles. On a ainsi :
b


   2a x
x)  B sin(
x) e .
A, B  R, x  R, f ( x)   A cos(
2a
2a





A

B
 
A cos(
x)  B sin(
x)  A²  B ² 
cos(
x) 
sin(
x) 
2a
2a
2a
2a
A²  B ²
 A²  B ²

A
B
On pose 1 
et  2 
. Donc 1 ²   2 ²  1
A²  B ²
A²  B ²




 
A cos(
x)  B sin(
x)  A²  B ²  cos  cos(
x)  sin  sin(
x) 
2a
2a
2
a
2
a


Avec   0;2 , tel que cos   1 et sin    2 .



x)  B sin(
x)  A²  B ² cos(
x  ) .
2a
2a
2a
Ainsi, f est solution de l’équation différentielle sur R si, et seulement si :
b
x

x  ) .
(C,  )  R   0;2  , x  R, f ( x)  Ce 2 a cos(
2a
A cos(
C) Equation différentielle du 2nd ordre avec 2nd membre
Même chose que pour l’équation différentielle de 1er ordre : trouver une solution
particulière f 0 , et la solution générale de l’équation est la "somme" de cette fonction
particulière f 0 et de la solution générale de l’équation différentielle homogène associée.
F solution générale de l’équation différentielle avec 2nd membre = Solution
particulière f 0 + Solution générale homogène ( F  f 0 ) .
IV Circuit R,L
A) Equation électrique du circuit R,L
uR
i(t)
e(t)
R
uL
D’après la loi des mailles :
e(t )  u R  u L  0
di
Donc e(t )  Ri  L . Equation différentielle du 1er ordre avec 2nd membre.
dt
B) Réponse à un échelon de tension
 0 si t  0
e(t )  E  y (t )  
E si t  0
Résolution sur R * :
R
Ri  L
 t
di
di R
0
 i  0. Donc i (t )  k  e L , k  R
dt
dt L
Si k  0, lim k  e
R
 t
L

  , ce qui est impossible physiquement.
Donc k  0 . Donc i (t )  0
Résolution sur R * :
R
 t
di
di R
E
E

 i  . Donc i (t )   k  e L , k  R
dt
dt L
L
R
Le courant qui traverse la bobine est une fonction continue du temps.
E
E
Donc i (0  )  i (0  )  k   0  k  
R
R
E  Ri  L
0 si t  0

R
E 
 t 
Donc i (t )   1  e L  si t  0

 R 


0 si t  0

R
 
 t 
u R  R  i   E 1  e L  si t  0

 


uL  L
0 si t  0
di 
   Rt
dt  Ee L si t  0
i(t)
E
R

di
dt

t 0 
 
t
L
R
E
L
L
: temps de relaxation ou constante de temps du circuit R,L.
R
On distingue trois zones :
t  0 , régime permanent i  0
t   , régime permanent i 
0  t  3 , régime transitoire
Pour t   , i ( ) 
E
R
E
1
E
(1  )  63% 
R
e
R
E
R
 est la durée caractéristique du régime transitoire.
Pour t  3 , i (3 )  95% 
C) Régime libre du circuit R,L
E si t  0
Ici, e(t )  E  y (t )  
 0 si t  0
Résolution sur R * :
R
 t
di
di R
E
E
E  Ri  L 
 i  . Donc i (t )   k  e L , k  R
dt
dt L
L
R
E
De même ici, k  0 . Donc i (t ) 
R
Résolution sur R * :
R
 t
di
di R
Ri  L  0 
 i  0. Donc i (t )  k  e L , k  R
dt
dt L
E
i ( 0  )  i (0  )   k
R
E

si t  0

R
Donc i(t )  
E
 e t /  si t  0
R
E si t  0

u R  R  i   t / 
si t  0
Ee
0 si t  0
di 
uL  L  
t / 
si t  0
dt  Ee
Aspect énergétique :
Pour t  0 :
uR
i
R
uL
E 2  2t / 
e
R
Entre t  0 et t   , énergie dissipée par effet Joule :

2

E 2     2t /  
E2
L
1 E
  P(t )dt 
e
  R ( 2 R )  (0  1)  2 L R 
R  2
0
 
0
PJoule  Ri 2 
2
1 E
1
2
 L   L  (
0)  E m (0)  E m ()
2 
R
2
i (  )
i (0)
L’énergie magnétique stockée à t  0 dans la bobine est dissipée par effet Joule
dans la résistance.
D) Visualisation à l’oscilloscope
A t0 :
u   Ee t / 
Echelon de tension  L
t / 
u R  Ee
u L  Ee t / 
Régime libre 
t / 
u R  E 1  e
e(t) : fonction créneau de période T   et de valeur maximale E.


e(t)
uR
E
uL
O
-E
T
E) Application
(1)
E
(0)
iR
R (lampe)
L
iL
r
La lampe s’allume quand iR  iseuil
E
E
 iseuil 
R
r
Pour t  0 , l’interrupteur est en (0), la lampe ne s’allume pas.
E

(Loi des mailles )
E  Ri R  0 i R  R

di
E
E  L L  r  iL iL 
(Régime libre pour t  0)
dt
r

On suppose que
Pour t  0 , l’interrupteur est en (1). Alors i R  i L (le courant parcourant la
branche du générateur est nul).
D’après la loi des mailles,
di
R  iR  r  iR  L R  0
dt
di
(R  r)
 R 
 iR  0
dt
L

Rr
t
 iR  k  e L , k  R
Le courant dans la bobine est continu.
E
E
Donc i L (0  )  i L (0  )   i R (0  ) . Donc k  
R
R
|iR|
E/r
iseuil
E/R
t
i > iseuil
Flash de lumière
V Circuit R,C
A) Equation électrique du circuit R,C
i(t)
e(t)
R
C
+q u
C
-q
e(t )  u R  u C  R  i 
q
C
et i 
dq
dt
dq q

dt C
dq
q
e(t )


dt RC
R
Donc e(t )  R
B) Réponse à un échelon de tension
Ici, on a e(t )  E  y (t )
Solution pour t  0 :
dq
q

 0  q(t )  k  e t / RC  k  e t /  , k  R
dt RC
De même ici, on aura k  0, donc q(t )  0
Le condensateur correspond à un interrupteur ouvert en régime permanent : c’est
un coupe-circuit.
Solution pour t  0 :
dq
q
E

  q(t )  EC  k  e t /  , k  R
dt RC R
Pour que q soit continu, il faut que EC  k  0 , soit k  CE
q(t )  0 si t  0
Donc 
t / 
q(t )  CE(1  e ) si t  0
q 0 si t  0
uC   
C E (1  e t /  ) si t  0
dq 0 si t  0
uR  R

dt Ee t /  si t  0
 est la constante de temps ou temps de relaxation du système.
C) Régime libre
e(t )  Y  Y (t )
Pour t  0 :
dq q E
   q(t )  EC  k  e t /  , k  R
dt  R
Donc q(t )  CE
Pour t  0 :
dq q
  0  q(t )  k  e t /   CE  e t / 
dt 
q(t )  CE si t  0
Donc 
t / 
si t  0
q(t )  CEe
 E si t  0
u C   t / 
si t  0
 Ee
0 si t  0
uR  
t / 
si t  0
 Ee
Aspect énergétique :
Pour t  0 , on a ( i  0 ) :
q dq
d  q2 
2

u R  uC  0  u R i  uC i  0  Ri 
 0  Ri   
C dt
dt  2C 
On a donc :
2



 q2   1 q2 
1 q(0) 2


Ri
dt


d



0
0  2C   2 C  2 C
0
L’énergie stockée dans le condensateur à t  0 est redistribuée au circuit sous
forme d’effet Joule, dissipée dans la résistance.
2
D) Visualisation à l’oscilloscope
A t0 :
u C  E (1  e t /  )
Echelon de tension 
t / 
u R  Ee
u  Ee t / 
Régime libre  C
t / 
u R   Ee
E
e(t)
uC
uR
O
-E
VI Circuit R,L,C
A) Régime propre du circuit R,L,C série
t
uC
uL
R
q
uR
i
On note q(0)  q0 ; i(0)  i0
D’après la loi des mailles, on a :
u R  u L  uC  0
di q
 0
dt C
dq
On a i 
dt
 Ri  L
dq
d 2q q
d 2 q R dq q
 L 2   0 , soit 2 

0
dt
C
dt
L dt LC
dt
On a donc une équation différentielle homogène linéaire du 2nd ordre.
On pose :
R
 2 ( est le coefficien t d' amortissem ent)
L
1
0 
(Pulsation propre)
LC
L’équation différentielle devient alors :
0
d 2q
dq
2
 2 (Q est le facteur de qualité) :
ou,
en
posant

2



q

0
0
Q
dt
dt 2
Donc l’équation devient R
d 2 q 0 dq

 02 q  0
2
Q dt
dt
1
   s ; 0   s 1 ; Q  1
Résolution de l’équation électrique :
L’équation caractéristique de l’équation différentielle est X 2  2X   02  0
  42  4 02  4(2   02 )
1
1er cas :   0 (soit    0 ou Q  )
2
 2  
   2   02  0
2
La solution générale de l’équation différentielle s’écrit donc :
On a alors deux solutions réelles X 1, 2 
(    2  2 ) t
(    2  2 ) t
0
0
q(t )  Ae X1t  Be X 2t  Ae
 Be
On a donc un régime apériodique.
Détermination de A et B : en prenant par exemple q0  0 ; i0  0
dq
i (t ) 
 AX 1e X 1t  BX 2 e X 2t
dt
Comme le courant traversant la bobine est continu, i (0  )  i0  AX 1  BX 2  0
Comme la charge du condensateur est continue, q(0  )  q0  A  B  q0

 A 
Donc 
B 

q0 X 2
X 2  X1
 q0 X 1
X 2  X1
Allure des courbes :
q(t)
q0
i(t)
t
t
X 1 , X 2  
Le temps caractéristique est donc 1/ 
1
2ème cas :   0 (soit    0 ou Q  )
2
 2
    0
On a une racine double X 
2
La solution générale est donc :
q(t )  ( At  B)e t , solution du régime critique.
Détermination de A et B pour q0  0 ; i0  0 :
dq
i (t ) 
 Ae  t  ( At  B)e  t  (At  A  B)e  t
dt
Ainsi, A  B  0 et B  q0 , soit A  q0  et B  q0
Donc q(t )  q 0 (t  1)e   t . Et i (t )  q 0 2 t  e   t
La représentation est analogue au cas où   0 .
Le temps caractéristique vaut 1/  (durée du régime libre).
1
3ème cas :   0 (soit    0 ou Q  )
2
2
2
2
2
2
2
2
  4  4 0  4(   0 )  0 . On pose    0   (pseudo - pulsation)
Donc   4 2 . Ainsi, X 1, 2      i
Solution générale (réelle):
q(t )  e X 1t  e X 2t  e   t (e it  e it )
 e  t ( A cos .t  B sin .t )
 Ce  t cos(.t   ) (Avec C 
A2  B 2 )
On a alors :
i(t )  e t ( A cos .t  B sin .t )  ( A sin .t  B cos .t )e t
 e t cos .t  (A  B )  sin .t  ( B  A ) 
On a un régime pseudopériodique.
Détermination de A et B pour q0  0 ; i0  0 :
 A  q0
 A  B  0

q
Donc 

B 0
A  q0




Donc
q(t )  q0 e t (cos .t 

sin .t )



cos  

2
 

  2

q 0 e  t cos(.t   ) où 




 sin  
2
F (t )

  2
2
2
2
i(t )  q0 e t (   ) sin .t

F1 ( t )
Représentation graphique :
q(t)
q0 F(t)
1/ 
-F(t)
t
T
q(t )  F (t )  cos(.t   )  1  .t    0 2   t 



2


n, n  Z
T
i(t)
F1(t)
1/ 
-F1(t)
q (t  T )  q 0 1 
i (t  T )  q 0 (
t
T
2
 e  (t T ) cos( (t  T )   )  q (t )e  T
2

2
  )  e  ( t T ) sin(  (t  T )   )  i (t )e  T

On pose     T , décrément logarithmi que (sans dimension)
T
pseudopéri ode
   T 

1 /  temps de relaxation
Ainsi,
 petit  temps d' amortissem ent grand par rapport à la pseudopéri ode
 l' amortissem ent est faible
 grand  temps d' amortissem ent petit par rapport à la pseudopéri ode
 l' amortissem ent est important
Relation entre l’amortissement et Q :

On suppose Q  1 on a alors :   0   0 . Donc  2   02  2   02
2Q
2
2 0 2 



  1
Ainsi,     T  

0 2Q 0 Q
On a donc un régime d’amortissement faible.
B) Réponse à un échelon de tension
R
i
e(t)
L
C
q
di q
dq
d 2q q
 R
L 2 
dt C
dt
C
dt
2
d q R dq
q
e(t )
 2 


L dt LC
L
dt
2
d q
dq
e(t )
 2
  02 q 
2
dt
L
dt
e(t )  Ri  L
Résolution sur R * : e(t )  0
d 2q
dq
 2
  02 q  0  q(t )  0, i(t )  0 (régime permanent)
2
dt
dt
Résolution sur R * : e(t )  E
d 2q
dq
E
 2
  02 q 
2
dt
L
dt
q(t )  SP  SGH
q(t )  CE " dépend de  et  0 "
En régime pseudopériodique :
q(t )  CE  e  .t ( A cos .t  B sin .t ) avec   02  2
Comme q(t) est continu (présence du condensateur), q(0  )  0
A  CE

Donc CE  A  0, A  CE et B 
(en dérivant)





Donc q(t )  CE1  e  .t (cos .t  sin .t ) 



lim q(t )  CE
t  
q(t)
CE
1/ 
T
t
Régime permanent
Régime transitoire ~ 1 / 
C) Aspect énergétique
di q

dt C
di q dq
Donc i  e(t )  Ri 2  Li 
dt C dt
Equation électrique e(t )  Ri  L
...régime permanent t  1 / 
Soit Pfournie  PJoule  PBobine  PCondensateur
En régime libre, e(t )  0
di q dq
Ri 2  Li 
0
dt C dt
d  1 2 1 q2 
   Ri 2  0
  Li 
dt  2
2 C

Energie électromagnétique
dans L et C ,  Eém
Donc Eém (t ) diminue et tend vers 0 avec une constante de temps 1/ 
Perte d’énergie au cours d’une pseudo période :
q(t  T )  e   .T q(t )
i (t  T )  e  .T i (t )
1
1 q(t  T ) 
2
L  i (t  T )  
 E ém (t )e  2 .T
2
2
C
2
Donc E ém (t  T ) 
Perte relative d’énergie au cours d’une pseudo période :
E (t )  Eém (t  T )
p  ém
 1  e 2 .T
Eém (t )
Pour un amortissement faible ( Q  1 ) :

   1
Q
Développement limité de x  e x au voisinage de x  1 :
ex  1 x
2
Donc e 2  .T  1  2.T . Donc p  2.T 
Q
Donc p est d’autant plus petit que Q est élevé.
Ainsi, pour Q  1 , les pertes électromagnétiques sont faibles
Pour Q  1 , les pertes sont fortes (Attention, la relation p 
elle n’est valable que pour Q  1 )
2
n’est plus vraie :
Q
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