Le champ magnétostatique

Introduction :
En général, on a
),(),,(),,(),,( trBtrEtrItr 
Et on a donc des relations compliquées, puisque chacune de ces grandeurs interagit avec
toutes les autres.
Pour l’électrostatique,
On avait
0,0),(),(
 BjrEr
En magnétostatique, on a
)(),(),(),(rBrjrEr 
, mais on a des équations découplées entre
)(),(rEr 
et
)(),(rBrj 
.
Comme de plus
0
t
,on aura
0 j
.
I Loi de Biot et Savart (Postulat)
A) Expression
1) Répartition volumique de courant
PM
)(Pj
On note
PMr
.
La répartition de courant modifie l’espace et crée en un point M un champ
  vr
r
djB 3
0
4
Où
SI10.4 7
0
(par définition du système international)
Remarque : on verra plus tard que
1
2
00 c
.
0
s’appelle la perméabilité du vide.
2) Répartition surfacique et linéique
On aura alors :
  3
0
4r
r
SdjB s
ou
 3
0
4r
r
lIdB
Remarque :physiquement, les circuits filiformes sont fermés, et on peut donc
les orienter :
ld
+
Ainsi, I et
ld
indépendamment dépendent de l’orientation, mais pas
lId
.
B) Discussion
 Historiquement, la loi correspondait à celle pour un circuit filiforme (plus
simple à créer et à calculer)
 De façon plus générale, la loi de Biot et Savart est une conséquences d’autres
postulats en électromagnétisme (plus tard…)
 Pour un petit morceau de circuit, peut-on écrire que
3
0
4r
r
lIdBd 
?
En général non, mais on verra qu’on peut l’écrire parfois de façon approchée sous
certaines conditions.D’ailleurs, un « élément » de courant n’existe pas seul dans la
nature (il fait toujours partie d’un « tout »), donc on n’a aucun moyen de le vérifier.
B
est ici un pseudo-vecteur.
 Comme pour l’électrostatique, l’intégrale diverge pour une distribution
surfacique.
Le champ magnétostatique

Mais la présence du produit vectoriel change totalement la topographie du champ
(symétries…)
C) Champ créé par une charge en mouvement
1) Hypothèse
qP
v
M
A-t-on
3
0
4
)( r
r
vqMB 
?
2) Interprétation de Biot et Savart
Si on suppose une telle relation, on aura pour un petit tube de courant :
lId
On aura pour chaque particule :
3
0
4i
i
iii r
r
vqb 
Et donc
3
0
3
044
)( r
r
vq
r
r
vqMBd
lId
ii
i
i
ii
3) Discussion
- La formule ne peut pas être vraie, car elle impliquerait qu’un changement
de vitesse de la charge q aurait une conséquence immédiate sur le point
M, ce qui est impossible
La formule est quand même valable quand les vitesses en jeu sont très
inférieures à celle de la lumière.
- La loi de Biot et Savart est une loi de magnétostatique, donc en sommant
sur tout le circuit, tous les termes correctifs s’annulent (le courant ne
varie plus)
II Premier groupe de propriétés du champ magnétique
A) Divergence
PM
On a
0
1
)(
4
)(
4
))()((
4
))((
4
))((
4
0
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
d
r
Pjd
rr
Pj
d
r
r
PjPj
r
r
d
r
r
Pj
d
r
r
PjB
MMM
MM
M
MM
C'est-à-dire
0 B
M
Cette formule est valable aussi hors magnétostatique.
B) Flux
On a, d’après le théorème de Green et Ostrogradski :

0
 SdB 
pour toute surface fermée.
Ainsi, les lignes de champ
B
ne peuvent pas diverger à partir d’un point ; elle
n’ont « ni début ni fin ».
C) Potentiel vecteur
1) Existence
On a vu (admis) que :
ABAB 
  ,0
Ainsi, il existe
A
tel que
AB 
.
A
est appelé potentiel vecteur.
2) Condition de jauge
Si on prend
 AA'
où est quelconque, alors
'A
convient aussi.
La transformation
'AA 
s’appelle une transformation de jauge.
Si on impose une condition sur
A
, on dit qu’on a une condition de jauge.
Condition de jauge de Coulomb : c’est lorsque on impose
0 A
Cette condition semble restrictive, mais on verra qu’en fait ce n’est pas
toujours suffisant pour déterminer
A
de façon unique.
3) Expression de
A
.
On a
dPj
r
d
r
r
PjMB M
r
M
)(
1
4
)(
4
)( 0
1
3
0
Or,
0
)(
1)(
)(
1
 Pj
rrPj
Pj
rMMM
(Car de façon générale,
vfvfvf 
 .)(
)
Et donc
d
rPj
MB M)(
4
)( 0
On peut donc poser
d
rPj
A)(
40
4) Propriétés de
A
.
A
est un vecteur vrai
A
vérifie la condition de jauge de Coulomb :
On a en effet :
d
rPj
AMM )(
40
Or,
rPj rPj
Pj
r
Pj
r
Pj
rr Pj rPj
PPP
PM
M
M
)()(
)(
1
)(
1
)(
1)()(
permanent
régimeen 0
0

(Attention : contrairement au gradient, on n’a pas toujours
ff PM
)
Et donc l’égalité devient :
  Sd
rPj
d
rPj
APM
)(
4
)(
400
Or,
)(Pj
n’a pas de composante normale à la surface.
En effet, si
j
avait une composante dirigée vers l’intérieur, alors cela
signifierait qu’à
dtt
, des charges à l’extérieur sont rentrées.
Et si
j
avait une composante dirigée vers l’extérieur, cela signifierait qu’à
dtt
des charges sortiront.
Ou, plus précisément, il suffit d’étendre la répartition de courant à un
volume un peu plus grand, en définissant
0
j
en dehors du premier volume.
On aura alors sur la surface
0
j
, et donc
0 Sdj 
D’où
0 A
M
Cette égalité est vraie aussi pour d’autres répartitions à condition que
A
soit
défini.
Mais elle n’est plus valable hors magnétostatique (on a utilisé le fait qu’on
est en régime permanent)
 Equation de Poisson :
- Répartition volumique :
On a
d
rPj
Ax
x)(
40
Donc
)(
1
)(
4
)(
4
0
)(4
2
0
2
0
2
Mj
d
r
Pj
d
rPj
A
x
r
Mx
x
MxM
Soit
)(
0
2MjA
M
Ou
jA 
0
2
, formule valable dans tout système de coordonnées, mais
uniquement quand
A
vérifie la jauge de Coulomb.
(En fait, ce n’est pas Coulomb qui a donné cette condition – il était déjà mort
depuis longtemps – mais c’est parce que la relation trouvée ressemble beaucoup à
celle correspondante en électrostatique)
- Répartitions volumiques et surfaciques :
On a
0
2
 A
sauf sur la répartition où c’est infini.
5) Potentiel vecteur associé à un champ uniforme
 Expression :
- Intrinsèque :
Pour un champ
B
uniforme,
rBA 
 2
1
est un potentiel vecteur.
(Où
OMr
et O est un point arbitraire).
En effet : on suppose par exemple que B est dirigé selon z.
On a
0
2
1
0
0
2
1Bx
By
z
y
x
B
A

Donc
B
BB
Bx
By
A
z
y
x
2
1
2
1
0
0
0
2
1
- En cylindriques
),,( zrM
:
On a
urBuzuruBA zrz
..)( 2
1
2
1
(Divergeant à l’infini, à cause de
B
qui est supposé uniforme).
B
A
O
Remarque : O a été choisi arbitrairement, donc on avait encore des degrés de
libertés même avec la condition de jauge de Coulomb, que vérifie
A
, puisqu’on a
en effet :
0  y
A
x
A
Ay
x
(
BxAy
,
ByAx
)
III Deuxième groupe de propriétés
A) Rotationnel de
B
.
1) Répartition volumique
On a
)( AB 
Rappel :
On a
)()(
2AAA 
Donc
AAB 
2
Coulomb) de jauge de (condition 0
)( 
Soit
jB 
0
Remarque :
La démonstration utilise la jauge de Coulomb, mais le résultat n’en dépend
visiblement pas.
Cette relation n’est pas valable hors magnétostatique.
2) Répartitions surfaciques, linéiques
On a
0
  B
partout sauf sur la répartition, où
B
diverge.
B) Théorème d’Ampère
1) Enoncé, démonstration
On considère un contour , et une surface qui s’appuie sur et qui est
orientée compatiblement.
Alors, d’après le théorème de Stockes,
  SdjSdBldB 
0
2) Intensité embrassée
 Définition :
On pose
 SdjIe