Fonction exponentielle - Histoire des mathématiques

Chap 5 : Fonction exponentielle
I Définition de la fonction exponentielle :
Lemme :
Si f est une fonction dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1,
alors pour tout réel x, f(x) f(-x) = 1 et f ne s’annule pas sur .
Démonstration :
 Soit g(x) = f(x) f(-x)
Comme f est dérivable sur , alors u(x) = f(-x) est également dérivable sur  et
u’(x) = -f’(-x) car la dérivée de f(ax + b) est f’(ax + b) = a f’(ax + b).
D’où : g’(x) = f’(x) f(-x) - f(x) f’(-x)
Or f’ = f, donc : g’(x) = f(x) f(-x) – f(x) f(-x) = 0 pour tout réel x.
La fonction g est donc constante.
Or f(0) = 1, donc g(0) = 1. Par suite, g(x) = 1, pour tout réel x.
 Si pour un réel x, on a f(x) = 0, alors par définition de g(x), on aurait aussi g(x) = 0,
ce qui est impossible, puisqu’on vient de démontrer que g(x) = 1 pour tout réel x.
La fonction f ne peut donc pas s’annuler.
Définition :
Il existe une unique fonction f dérivable sur , telle que f’ = f et f(0) = 1. Cette fonction
s’appelle la fonction exponentielle et est notée exp.
Démonstration : A SAVOIR
 Existence : admise
 Unicité : Soit h une autre fonction dérivable sur , telle que h’ = h et h(0) = 1
La fonction k = h
f est dérivable sur , comme quotient de deux fonctions dérivables sur ,
le dénominateur de f ne s’annulant pas.
k’(x) = 
   car f’ = f et h’ = h
Donc k est constante sur .
Or k(0) = h(0)
f(0) = 1 1 = 1 donc h(x) f(x) = 1 pour tout réel x
h = f
Il existe donc une unique fonction f telle que f’ = f et f(0) = 1.
Histoire : Jean Bernoulli introduisit les fonctions exponentielles dans une correspondance
avec Leibniz en 1694. Le mot « exponentiel » apparait pour la première fois dans la réponse
de Leibniz.

II Relation fonctionnelle :
Propriété 1 : relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels x et y, exp(x + y) = exp(x) exp(y)
Démonstration :
Soit y un nombre réel donné. Le nombre exp(y) est non nul.
On considère la fonction g définie sur  par g(x) = exp(x + y)
exp(y)
La fonction x  exp(x + y) est dérivable sur  et a pour dérivée x  1 exp’(x + y)
Car la dérivée de f(ax + b) est a f’(ax + b). Or exp’ = exp
Donc la fonction g est dérivable sur  et pour tout nombre x,
g’(x) = exp’(x + y)
exp(y) = exp(x + y) exp(y) = g(x)
De plus : g(0) = exp(0 + y)
exp(y) = exp(y) exp(y) = 1.
La fonction g est donc telle que g’ = g et g(0) = 1 : c’est la fonction exponentielle.
Ainsi pour tout réel x, exp(x) = exp(x + y)
exp(y) , d’où : exp(x + y) = exp(x)
exp(y).
Propriété 2 :
(1) Pour tout réel x, exp(-x) = 1
exp(x)
(2) Pour tous réels x et y, exp(x – y) = exp(x)
exp(y)
(3) Pour tout réel x et pour tout entier relatif n, exp(nx)= [exp(x)]n
Démonstrations :
 (1) C’est une conséquence du lemme de départ : exp(-x) exp(x) = 1
exp(-x) = 1
exp(x)
 (2) Pour tous réels x et y, exp(x – y) = exp(x + (-y)) = exp(x) exp(-y).
Or pour tout réel y, exp(-y) = 1
exp(y)
Il en résulte que exp(x – y) = exp(x) 1
exp(y) = exp(x) exp(y)
 (3) Démontrons cette égalité par récurrence, avec n entier naturel.
o Initialisation : pour n = 0, exp(0 x) = exp(0) = 1 = [exp(x)]0, car exp(x) 0.
La propriété est donc vraie au rang 0.
o Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang k, k 0,
c’est-à-dire exp(kx)= [exp(x)]k
exp[(k + 1)x] = exp(kx + x) = exp(kx) exp(x) d’après la relation fonctionnelle
exp[(k + 1)x] = [exp(x)]k exp(x) par hypothèse de récurrence
exp[(k + 1)x] = [exp(x)]k+1

La propriété est héréditaire à partir du rang n 0.
o Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir de n 0, elle
est donc vraie pour tout n 0.
Démontrons maintenant l’égalité pour le cas où n est un entier négatif.
Soit n un entier négatif. Posons m = -n. m est un entier naturel.
Pour tout réel x, exp(nx) = exp(-mx) = 1
exp(mx) = 1 [exp(x)] m = [exp(x)]-m = [exp(x)]n
La 2ème égalité étant la conséquence de (1) et la 3ème égalité étant la conséquence de la
démonstration de exp(mx)= [exp(x)]m pour m entier naturel.
Conclusion : on a prouvé l’égalité exp(nx)= [exp(x)]n, pour n entier relatif.
Ex 2 et 3 p 125
III Notation puissance :
Définition :
L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c’est-à-dire exp(1) = e.
Remarque : la calculatrice indique que e 2,718
(Pour cela on entre ex 1 , la touche ex se trouvant sous la touche ln )
La propriété (3) démontrée précédemment permet d’écrire :
exp(n) = exp(n 1)= [exp(1)]n = en, pour n entier relatif.
Par extension :
Notation :
On note ex l’image de x par la fonction exponentielle : exp(x) = ex.
Les propriétés, déjà démontrées s’écrivent alors, avec cette nouvelle notation :
Propriétés :
(1) La fonction x  ex est dérivable et donc continue sur  et (ex)’ = ex.
(2) e0 = 1.
(3) Pour tous réels x et y, ex+y = ex ey.
(4) Pour tout réel x, e-x = 
(5) Pour tous réels x et y,  
(6) Pour tout réel x et pour tout entier relatif n, enx = (ex)n.
(7) Pour tout réel x, ex > 0.
Histoire : en 1728, Euler utilisa pour la première fois la notation e.

Ex 22, 23, 24, 26, 27 p 136
IV Etude de la fonction exponentielle :
1) Sens de variation de la fonction exponentielle :
Propriété :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur 
Démonstration :
La fonction exponentielle est dérivable sur  et (ex)’ = ex .
Or, pour tout réel x, ex > 0, donc (ex)’ > 0,
On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Tableau de variation et représentation graphique
x
- +
(ex)’
+
Variations
de
ex
+
0
Remarque :
La tangente au point d’abscisse 0 a pour
équation :
y =(e0)’ (x – 0) + e0
y = e0x + e0
y = x + 1
Ex 30, 31 p 136
Ex 32 p 137
Ex 68, 69 p 141
2) Fonction eu :
Propriété : admise
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de fonction dérivée u’.
La fonction x  eu(x) est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction x  u’(x) eu(x)

Exemple :
Si f est la fonction définie par f(x) = e-2x+1, alors cette fonction est de la forme f(x) = eu(x),
avec u(x) = -2x + 1. La fonction u est dérivable sur , et u’(x) = -2. On a donc : f’(x) = -2e-2x+1.
Conséquence :
Les fonctions u et eu ont le même sens de variations sur I.
Démonstration :
eu(x) > 0, alors [eu(x)]’ et u’(x) sont de même signe.
Ex 43, 44, 46 et 47 p 138
V Equations et inéquations avec exponentielle :
Propriétés :
(1) Pour tous réels x et y, ex < ey x < y
(2) Pour tous réels x et y ex = ey x = y
Démonstration :
C’est une application directe de la croissance de la fonction exponentielle.
Propriété et définition : admise
Pour tout réel a > 0, l’équation ex = a admet une unique solution. On la note ln(a).
Ex 49, 50, 51 p 139
Ex 63, 65 p 140
71, 72 p 141
Ex 76 p 142
Bac : Ex 85, 86, 88 p 144
Ex 89, 90, 94 p 145