Aide-mémoire de trigonométrie 1. Valeurs particulières 2. Formules

Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 1
Aide-mémoire de trigonométrie
1. Valeurs particulières
x
0 (rad)
0°
π/6
(rad)
30°
π/4
(rad)
45°
π/3
(rad)
60°
π/2
(rad)
90°
sin
x
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
x
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
x
0
3
3
1
3
∃
cotan
x
∃
3
1
3
3
0
2. Formules des angles associés
Formules des angles égaux
cos(2 ) cos
sin(2 ) sin
tan(2 ) tan
cotan(2 ) cotan
k x x
k x x
k x x
k x x
ππππ + =
+ =
+ =
+ =
cos( 360 ) cos
sin( 360 ) sin
tan( 360 ) tan
cotan( 360 ) cotan
k x x
k x x
k x x
k x x
°+ =
°+ =
°+ =
°+ =
Formules des angles opposés
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cotan( ) cotan
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cotan( ) cotan
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
Formules des angles supplémentaires
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cotan( ) cotan
x x
x x
x x
x x
ππππ − = −
− =
− = −
− = −
cos(180 ) cos
sin(180 ) sin
tan(180 ) tan
cotan(180 ) cotan
x x
x x
x x
x x
°− = −
°− =
°− = −
°− = −

Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 2
Formules des angles anti-supplémentaires
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cotan( ) cotan
x x
x x
x x
x x
ππππ + = −
+ = −
+ =
+ =
cos(180 ) cos
sin(180 ) sin
tan(180 ) tan
cotan(180 ) cotan
x x
x x
x x
x x
°+ = −
°+ = −
°+ =
°+ =
Formules des angles complémentaires
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cotan
2
cotan( ) tan
2
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
− =
− =
− =
− =
cos(90 ) sin
x x
°− =
sin (90 ) cos
x x
°− =
tan(90 ) cotan
x x
°− =
cotan(90 ) tan
x x
°− =
Formules des angles anti-complémentaires
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cotan
2
cotan( ) tan
2
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
cos(90 ) sin
x x
°+ = −
sin (90 ) cos
x x
°+ =
tan(90 ) cotan
x x
°+ = −
cotan(90 ) tan
x x
°+ = −
3. Formules
2 2
cos sin 1
x x
+ =
(relation fondamentale)
( )
22
1
1 tan cos 2 x x k k
x
ππ
+ = ≠ + ∈
ℤ
sin
tan
cos
x
x
x
=
( )
π
tan si π
2
x x k k∃ ≠ + ∈
ℤ
( )
22
1
1 cotan sin x x k k
x
π + = ≠ ∈
ℤ
cos
cotan
sin
x
x
x
=
(
)
cotan si π x x k k∃ ≠ ∈
ℤ
1
séc
cos
x
x
=
1
tan
cotan
x
x
=
1
coséc
sin
x
x
=

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4. Formules d’addition
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
− = +
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
+ = −
sin ( ) sin cos cos sin
a b a b a b
+ = +
sin ( ) sin cos cos sin
a b a b a b
− = −
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ = − C.E. :
2
a b k
π
π
+ ≠ + ,
2
a k
π
π
≠ + ,
2
b k
π
π
≠ +
(
)
k∈
ℤ
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
−
− = + C.E. :
2
a b k
π
π
− ≠ + ,
2
a k
π
π
≠ + ,
2
b k
π
π
≠ +
(
)
k∈
ℤ
5. Formules de duplication
sin 2 2sin cos
a a a
=
2 2
cos2 cos -sin
a a a
=
2
2tan
tan2
1-tan
a
a
a
=
C.E. :
2
a k
π
π
≠ +
,
4 2
a k
π π
≠ +
(
)
k∈
ℤ
6. Formules de Carnot
2 2
1 cos2
cos 1 cos2 2cos
2
a
a a a
+
= ⇔ + =
2 2
1 cos2
sin 1 cos2 2sin
2
a
a a a
−
= ⇔ − =

Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 4
7. Formules en tan ௔
ଶ
2
2tan
2
sin
1 tan
2
a
a
a
=+ C.E. :
(
)
2a k k π π ≠ + ∈
ℤ
2
2
1 tan
2
cos 1 tan
2
a
a
a
−
=+ C.E. :
(
)
2a k k π π ≠ + ∈
ℤ
2
2tan
2
tan
1 tan
2
a
a
a
=− C.E. :
2
a k
π π
≠ +
et
2
a k
π
π
≠ +
(
)
k∈
ℤ
8. Formules de Simpson
Transformations de sommes en produits
sin sin 2sin cos
2 2
p q p q
p q
+ −
+ =
sin sin 2sin cos
2 2
p q p q
p q
− +
− =
cos cos 2cos cos
2 2
p q p q
p q
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
p q p q
p q
+ −
− = −
(
)
sin
tan tan
cos cos
p q
p q
p q
+
+ = C.E. :
2
p k
π
π
≠ + et
( )
2
q k k
π
π ≠ + ∈
ℤ
(
)
sin
tan tan
cos cos
p q
p q
p q
−
− = C.E. :
2
p k
π
π
≠ + et
( )
2
q k k
π
π ≠ + ∈
ℤ
Transformations de produits en sommes
( ) ( )
( )
1
sin cos sin sin
2
a b a b a b
= + + −
( ) ( )
( )
1
cos cos cos cos
2
a b a b a b
= + + −
( ) ( )
( )
1
sin sin cos cos
2
a b a b a b
= − + − −

Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 5
9. Equations trigonométriques
9.1. Equations élémentaires en sinus
Si
x
et
a
sont des mesures d’angles en radians, on a
(
)
sin sin 2 2x a x a k ou x a k k= ⇔ = + π = π− + π ∈
ℤ
Si
x
et
a
sont des mesures d’angles en degrés, on a
(
)
sin sin .360 180 .360x a x a k ou x a k k= ⇔ = + ° = °− + ° ∈
ℤ
9.2. Equations élémentaires en cosinus
Si
x
et
a
sont des mesures d’angles en radians, on a
(
)
cos cos 2 2x a x a k ou x a k k π π = ⇔ = + = − + ∈
ℤ
Si
x
et
a
sont des mesures d’angles en degrés, on a
(
)
cos cos .360 .360x a x a k ou x a k k= ⇔ = + ° = − + ° ∈
ℤ
9.3. Equations élémentaires en tangente
Si
x
et
a
sont des mesures d’angles en radians, on a
(
)
tan tan .
x a x a k k= ⇔ = + π ∈
ℤ
Si
x
et
a
sont des mesures d’angles en degrés, on a
(
)
tan tan .180 .
x a x a k k= ⇔ = + ° ∈
ℤ
9.4. Equations se ramenant à une équation élémentaire
La règle du produit nul, les formules des angles associés, les formules d’addition, les
formules de duplication, les formules de Carnot, les formules de Simpson, … permettent, dans
certains cas, de transformer une équation en une (des) équation(s) élémentaire(s).
Une équation du deuxième degré en
sin
x
,
cos
x
ou
tan
x
, se ramène à des équations
élémentaires après avoir posé respectivement
sin
y x
=
,
cos
y x
=
ou
tan
y x
=
et après avoir
résolu l’équation en
y
.