Heures 22-27

MEC1210_Thermodynamique
(Heures 2222-27)
27)
Entropie
Smail Guenoun
(D’après les notes de cours de Pr.Huu Duc Vo)
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
Objectifs
Appliquer la deuxième loi de la thermodynamique aux
évolutions
Établir le principe d’accroissement de l’entropie
Étudier les évolutions isentropiques au sein de dispositifs et
des machines
Définir le rendement isentropique de dispositifs de des
machines
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
1
Inégalité de Clausius et Entropie
1) Inégalité de Clausius
δWc = δQR − dEc
réservoir TR
Cycle
réversible
(1ère loi pour système combiné) où:
δWc = δWrev + δWsys
δWc = TR δQ − dEc
Pour le cycle réversible:
δQR TR
δQ
=
→ δQR = TR
δQ T
T
T
T variable
Système interne
(rév. ou irrév.)
Laissons le système combiné faire un cycle complet du système interne
en même temps que plusieurs cycles entiers du cycle réversible:
Système combiné
∫ δ Wc = TR ∫
Équivalent à
RÉSERVOIR (TR)
⇒ Wc = TR ∫
QR
système combiné
(cycle)
Wc
Inégalité de Clausius
∫
δQ
δQ
T
δQ
T
−
∫ dEc
=0 ( pour un cycle )
δQ
T
≤ 0 (Pour ne pas violer l'énoncé de Kelvin-Planck )
 δQ 
≤0→ ∫
 =0
T
 T int
rev
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⇒ ∫ δ Wc = TR ∫
Car en l’absence d’irréversibilité interne,
le système combiné peut effectuer
l’évolution inverse avec un travail inversé,
mais comme le travail ne peut être positif,
il ne peut donc être que ZÉRO!
2
Inégalité de Clausius et Entropie
2)Entropie
Inégalité de Clausius donne pour un cycle réversible:
- Pour une propriété traversant un cycle:
 δQ 
∫  T int = 0
rev
∫ d ( propriété ) = 0
- Clausius a défini une propriété ‘entropie’ (S):
 δQ 
dS = 
 → ∫ dS = 0
 T int
rev
Note: similairement à l’énergie, c’est le changement d’entropie qui
importe le plus:
 δQ 
∆S = S 2 − S1 = ∫ 

int
T


1
rev
2
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(+ve): transfert de chaleur au système
température locale à la frontière
du système où la chaleur passe
durant une
évolution
intérieurement
réversible!
3
Inégalité de Clausius et Entropie
2)Entropie
Cas d’une évolution isotherme
Pour le cas d’une évolution isotherme, l’accroissement de l’entropie est
donnée par :
2
 δQ 
1
 δQ 
∆S = ∫ 
=
=

int ∫ 
T
T
rev 1  0 int T0
1
rev
2
2
∫ (δ Q )intrev =
1
Q
T0
( kJ / K )
T0 :Température constante du système
Q: La chaleur transmise durant l’évolution réversible intérieurement.
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4
Principe d’accroissement de l’entropie
En appliquant l’inégalité de Clausius:
2)Entropie
Considérons un système faisant un cycle fait d’une évolution réversible et d’une évolution réversible ou
irréversible
∫
Processus 1-2
réversible
ou irréversible
δQ
T
=∫
2
δQ
1
1 δ Q 
2 δQ
2 δQ
+∫ 
=
+
S
−
S
≤
0
⇒
S
−
S
≥
2
1

∫1 T 1 2
∫1 T
2
T
 T int
rev
S 2 − S1 = ∫
2
1
δQ
T
+ S gen
0:: évolution irréversible
> 0

Avec : S gen = 0: évolution réversible
< 0: évolution impossible

Processus 2-1
réversible
intérieurement
- Pour une évolution adiabatique (δ Q = 0) : ∆S Syst ,int = S gén ≥ 0
L’entropie d’un système isolé augmente toujours, ou reste inchangée pour une évolution
réversible
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5
Principe d’accroissement de l’entropie
2)Entropie
Si on combine le système et l’environnement pour former un système combiné
isolé (sans interactions avec l’extérieur):
S gén = ∆S syst + ∆Senv ≥ 0
→ Donc l’entropie de l’univers (système +environnement) augmente
toujours, ou reste inchangée pour une évolution réversible
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Milieu
extérieur
Systèm
e
6
Principe d’accroissement de l’entropie
2)Entropie
Notes:
- l’entropie d’un système peut descendre durant une évolution, mais celui de l’univers doit
augmenter ou rester constant
- lien entre Sgen et les énoncés de Clausius et de Kelvin-Planck
Énoncé de Kelvin-Plank
RÉSERVOIR
CHAUD (TH)
S f − Si =
QH
= 0 (cycle)
Wout
Système
(cycle)
S gen =
QH
+ S gen
TH
−QH
<0
TH
( Impossible )
Énoncé de Clausius
RÉSERVOIR
CHAUD (TH)
QH=QL
Système
(cycle)
RÉSERVOIR
FROID (TL)
S f − Si = 0 =
= 0 (cycle)
QH = QL
et
QL
Win
QL
TH > TL
→
S gen < 0 (impossible)
QH QL
=
→ S
=0
gen
TH TL
réfrigérateur irréversible:Q > Q TH (car W > W
) → S gen > 0
H
L
in
in,rev
TL
réfrigérateur réversible:
QH
réf.
QL QH
Q Q
−
+ S gen ⇒ S gen = H − L
TL TH
TH TL
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7
Principe d’accroissement de l’entropie
2)Entropie
Notes:: - Pour un cycle opérant entre deux réservoirs: W=Qin-Qout
Notes
Wout,irrév<Wout,rév (moteur thermique)
la différence va à la génération d’entropie
Win,irrév >Win,rév (réfrigération)
Remarques sur l’entropie
L’entropie est une mesure du désordre moléculaire d’un système
Une évolution se produit dans le sens qui obeit au principe d’accroissement d’entropie
(S gén ≥ 0 ). Une évolution qui enfreint ce principe ne peut se maniferster.
À l’exception d’une évolution reversible, il n’existe pas de principe de conservation
d’entropie contrairement à l’énergie.
La production d’entropie est une mesure quantitative de la grandeur des irréversibilités qui
interviennent durant une évolution: plus il y en a, plus grand est Sgen
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8
Principe d’accroissement de l’entropie
2)Entropie
Énergie organisée (Wsh) se converti
en énergie organisée (∆
∆Epotentielle).
∆S=0
Énergie organisée (Wsh) se converti
en énergie désorganisée (∆
∆u).
∆S>0
Charge
Une énergie désorganisée ne peut créer un
effet utile
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Le « frottement » en milieu de
travail réduit la performance
9
Entropie d’un corps pur
Relations TdS
Bilan d’énergie:
évolution intérieurement
réversible
Système stationnaire
δQint, rev
=TdS
δWint, rev=PdV
Substance pure, simple
et compressible
dU = δ Qint,rev − δ Wint,rev


dU = TdS − PdV
du Pdv

+
⇒ ds =

TdS = dU + PdV
T
T

Tds = du + Pdv ( Équation de Gibbs ) 
h = u + Pv
dh = du + Pdv + vdP
dh = Tds + vdP


dh vdP

⇒
ds
=
−

T
T

Tds = dh − vdP ( Équation de Gibbs ) 
Notes::
Notes
- Bien que dérivés à partir d’une évolution intérieurement réversible, ces relations sont uniquement en
terme de propriétés, dont indépendantes de l’évolution
- L’équation de Gibbs permet de lier l’entropie aux autres propriétés, donc de le calculer.
du Pdv 
+
Pour intégrer et trouver ∆S, il faudrait connaître les
T
T  relations entre u, h et T ainsi que les relations d’état

dh vdP  liant P,v,T
ds =
−
T
T 
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ds =
10
Entropie d’un corps pur
Changement d’entropie d’une substance, pure, simple et compressible (tables
tables))
T
Diagramme TT -s
Point
critique
Note: aire sous le courbe
T-s pour une évolution
intérieurement réversible
représente transfert de
chaleur q au système.
Ligne de
liquide
saturé
Ligne de
vapeur
saturé
S
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11
Entropie d’un corps pur
L’entropie (s) se trouve dans les tables au côté de v,u, et h pour le liquide
comprimé, liquide et vapeur saturée et vapeur surchauffée.
∆S = m∆s
Mélange saturé:
s = s f + xs fg
Liquide comprimé (en l’absence de tables):
s ≅ s f (T )
Changement d’entropie pour un gaz parfait
du Pdv 
+
T
T 

dh vdP 
ds =
−
T
T 
ds =
 du = cv dT

Et comme:  dh = c p dT

 Pv = RT
(gaz parfaits)
2
dT
dv
dT
v
ds = cv
+ R → s2 − s1 = ∫ cv (T )
+ R ln 2
1
T
v
T
v1
2
dT
dP
dT
P
ds = c p
−R
→ s2 − s1 = ∫ c p (T )
− R ln 2
1
T
P
T
P1
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12
Entropie d’un corps pur
Analyse approximative:
approximative:
cv (T ) ≅ cv ,moy = const.
c p (T ) ≅ c p ,moy = const.
T2
v
+ R ln 2
T1
v1
s2 − s1 ≅ cv ,moy ln
s2 − s1 ≅ c p ,moy ln
T2
P
− R ln 2
T1
P1
cv ,moy , c p ,moy :Chaleur massique moyenne de
la substance à volume et pression constante
respectivement.
cP,réel
[kJ/kg.K]
cP,moy
cP,moy
s2 − s1 ≅ cv , moy ln
s2 − s1 ≅ c p ,moy ln
T2
v
+ Ru ln 2
T1
v1
T2
P
− Ru ln 2
T1
P1
[kJ/kmol.K]
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Tmoy
13
Entropie d’un corps pur
Analyse exacte:
exacte:
Contrairement à u ou h pour un gaz parfait, s=f(T et v ou P) et non f(T uniquement). Les
tables sont en terme de T uniquement et donnent:
s ≡∫
o
T
0
2
dT
dT
c p (T )
→ ∫ c p (T )
= s2o − s1o
1
T
T
P2

o
o
s
−
s
=
s
−
s
−
R
ln
 2 1 2 1
P1


 s − s = s o − s o − R ln P2
1
u
 2 1 2
P1
[ kJ / kg.K ]
[ kJ / kmol.K ]
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14
Entropie d’un corps pur
Exemple 7.9
Un écoulement d’air est comprimé de 100kPa et de 17⁰C à 600kPa et 57⁰C.
Déterminez la variation d’entropie de l’air au cours de la compression:
1) En utilisant la table thermodynamique pour l’air
2) En utilisant une valeur moyenne de la chaleur massique
3) Comparer les résultats obtenus.
Solution (En classe)
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15
Entropie d’un corps pur
d) Changement d’entropie pour une substance incompressible (liquide, solide)
dv = 0

Substance incompressible : du = c(T )dT
.
c(T ) ≅ c = const
moy

dT
s2 − s1 = ∫ c(T )
1
T
T2
s2 − s1 ≅ cmoy ln
T1
2
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16
Évolution isentropique
Une évolution isentropique est une évolution qui est intérieurement réversible (sgen=0)
et adiabatique (q=0):
s2 − s1 = ∫
2
1
δq
T
+ s gen = 0 →∆s = 0 → s1 = s2
Utilité:: - Modéliser un procédé réel et sert de référence pour définir le rendement d’un procédé réel
Utilité
Évolution isentropique d’une substance incompressible
T2
s2 − s1 ≅ cmoy ln = 0 → T1 = T2
T1
Substance incompressible: isentropique=isothermique
Évolution isentropique pour un gaz parfait
1) Forme approximative:
s2 − s1 ≅ cv ,moy ln
T2
v
+ R ln 2 = 0 → cv , moy = cv
T1
v1
T
R v
⇒ ln 2 = − ln 2
T1
cv v1
v 
T
⇒ ln 2 = ln  1 
T1
 v2 
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R
cv
R = c p − cv
k≡
cp
cv
17
Évolution isentropique
Donc :
−
R
cv
− ( k −1)
v 
T2  v2 
éqn. (1)
=   =  2 
T1  v1 
v
 1
T2
P2

s
s
c
R
−
≅
ln
−
ln
= 0 → c p ,moy = c p
p , moy
 2 1
T1
P1

Similairement: 
R
k −1
 T2 
 P2  c p  P2  k
 T2 R P2
=  = 
ln T = c ln P ⇒  T 
p
1
 1 S=constante  P1 
 P1 
 1
éqn. (2)
éqn. (1)=éqn. (2):
k −1
− ( k −1)
k

k








P
v
P
v
 2
= 2 
→ 2 
=  1  → Pv k = const.


 P1 
 v1 
 P1  S = Cste  v2 

R
−
− ( k −1)

c
 T2   v2  v  v2 
Tv k −1 = const
→
  =   =  
 v1 
 T1   v1 
R
k −1

c
 T2  P2  p  P2  k
k −1 k
TP ( ) = const
 =  =  →
 P1 
 T1  P1 

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Formes approximatives
d’évolution isentropique
pour gaz parfait. k (fonction de T)
est evaluée à une T moyenne
18
Évolution isentropique
Forme exacte:
Pour estimer très précisément une évolution isentropique, on utiliser la pression relative et le
volume massique relatif .
s2 − s1 = s2o − s1o − R ln
P2
=e
P1
s2o − s1o
R
Pr ≡ e
=
e
e
so
R
s2o
R
s1o
R
≡
P2
P
= 0 → s2o = s1o + R ln 2
P1
P1
P 
Pr 2
P
→ 2 
≡ r2
Pr1
 P1  S =const . Pr1
éqn. (3)
= f (T )
‘pression relative’ (sans dimension et
seulement définie pour l’évolution isentropique
d’un gaz parfait et donné dans les tables
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19
Évolution isentropique
Alternativement: équation d’état d’un gaz parfait donne
Pv
P2 v2 éqn. (4)

1 1
Pv
=
RT
→
=

T1
T2


v
 v2 = T2  P1  = T2  Pr1  = T2 Pr 2 ≡ vr 2 →  v2 
= r2
éqn. (3) dans (4):






(évol. Isentropique) 
 v1  s =const . vr1
 v1 T1  P2  T1  Pr 2  T1 Pr1 vr1
vr ≡
T
= f (T )
Pr
‘volume spécifique relatif ’ donné
dans tables (seulement défini pour
l’évolution isentropique d’un gaz parfait)
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20
Évolution isentropique
Exemple 7.10
Un écoulement d’air est comprimé de façon réversible et adiabatique au sein d’un
moteur. L’air se trouve au départ à 95kPa et à 22⁰C.
⁰ le taux de compression est de
V1/V2 =8.
Déterminez la température finale de l’air.
Solution (En classe)
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21
Rendement isentropique
1) Turbines
C’est un outil utiliser pour comparer la performance dispositifs quasi-adiabatique avec
écoulement permanent (turbines, compresseurs, tuyères, …) versus une référence idéale
(réversible, adiabatique, donc isentropique)
travail _ actuel
Wa wa
ηT ≡
=
=
travail _ isentropique Ws ws
Si on néglige le changement d’énergie cinétique et
potentielle entre l’entrée et la sortie:
pour mêmes conditions d’entrée
même pression à la sortie
entrée
actuel
isentropique
h1 − h2 a
ηT ≅
h1 − h2 s
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
22
Rendement isentropique
1) Turbines
Exercice 7.112
Un écoulement de vapeur d’eau pénètre dans une turbine adiabatique à 7MPa, à
600 ⁰C et à 80 m/s pour en ressortir à 50kPa, à 150 ⁰C et à 140m/s. La puissance
produite par la turbine est de 6MW.
Déterminez:
1) Le débit massique de vapeur dans la turbine
2) Le rendement isentropique de la turbine.
Solution (En classe)
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
23
Rendement isentropique
2) Compresseurs et pompes
ηC ≡
travail _ isentropique Ws ws
=
=
travail _ actuel
Wa wa
(Pour mêmes conditions d’entrée même pression à la sortie.
Si on néglige le changement d’énergie cinétique
et potentielle entre l’entrée et la sortie:
actuel
h2 s − h1
ηC ≅
h2 a − h1
isentropique
entrée
Rendement de la pompes :
(incompressible, négligeant changement d’énergie cinétique et potentielle):
ws v1 ( P2 − P1 )
ηP =
=
wa
h2 a − h1
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
2
wrev = − ∫ vdP
1
24
Rendement isentropique
2) Compresseurs et pompes
Exercice 7 .117
Un écoulement d’air pénètre dans un compresseur adiabatique à 95kPa et 27 ⁰C
pour en ressortir à 600kPa et à 277 ⁰C . Les chaleurs massiques sont variables, mais
la variation des énergies cinétique et potentielle est négligeable.
Déterminez:
1) Le rendement isentropique du compresseur
2) La température de l’air à la sortie du compresseur si l’évolution est réversible.
Solution (En classe)
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25
Rendement isentropique
3) tuyères
V2 a 2
Energie cinétique _ sortie _ actuel
ηT ≡
= 2
Energie cinétique _ sortie _ isentropique V2 s
Si on néglige le changement d’énergie
potentielle entre l’entrée et la sortie ainsi
que la vitesse à l’entrée:
ηtuyère
h1 − h2 a
≅
h1 − h2 s
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
entrée
actuel
isentropique
26
Rendement isentropique
3) tuyères
Exemple 7.16
Un écoulement d’air pénètre dans une tuyère à 200kPa et à 950K et en ressort à
80kPa. Le rendement isentropique de la tuyère est de 92%.
Déterminez:
1) La vitesse maximale de l’écoulement à la sortie de la tuyère
2) la température de l’air à la sortie de la tuyère
3) la vitesse réelle de l’air à la sortie de la tuyère.
Supposez que les chaleurs massiques de l’air demeurent constantes et que la vitesse
de l’écoulement à l’entrée de la tuyère est petite.
Solution (En classe)
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27
Bilan d’entropie
 Entropie   Entropie   Entropie   Variation de 

 
 
 

 totale
 -  totale
 +  totale
 =  l'entropie totale 
 entrante   sortante   produite   du système


 
 
 

Termes::
Termes
∆S sys = Sin − Sout + S gen

Ou encore :  Sɺsys = Sɺin − Sɺout + Sɺ gen

∆ssys = sin − sout + sgen
1) Changement d’entropie du système(∆Ssys):
∆S sys = S final − Sinitial = S 2 − S1
Notes: - l’entropie est une propriété donc ∆Ssys =0 pour les cycles et Sɺsys = 0 pour les
dispositifs à écoulement permanent
- l’entropie est une propriété extensive donc:
S sys = ∫ sdm = ∑ S composante
m
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28
Bilan d’entropie
Milieu
extérieur
2) Mécanismes de transfert d’entropie (Sin et Sout) :
Milieu
extérieure
L’entropie peut transmis à travers les frontières d’un
système de deux façons différentes:
Systè
me
a) - Transfert de chaleur:
2
Schaleur = ∫
1
δQ
T
→ Si T = cste, alors : Schaleur =
Q
T
+: entrant
-: sortant
Note: le travail n’implique aucun transfert d’entropie:
Note
Stravail = 0
L’entropie est
produite par
le frottement
L’entropie
n’est pas
transmise
avec le travail
b)-Écoulement:
S masse = δmin sin − δmout sout
Sɺmasse = mɺ in sin − mɺ out sout =
∫ sρV dA
n
A frontière
MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)
29
Bilan d’entropie
Génération d’entropie (Sgén):
L’entropie est produite au sein d’un système par les effets d’irreversibilités comme le
frottement, le mélange de substances, la transmission de chaleur, etc…
= 0 : reversible,entropie conservée
S gen ≥ 0 : 
> 0 : irreversible,entropie non conservée
Bilan d’énergie dans les systèmes fermés:
Aucun écoulement ne traverse les frontières d’un système fermé, donc:
2
∆S système = S2 − S1 = ∫
δQ
1
T
+ S gen
Pour un système fermé et adiabatique (Q=0):
2
S2 − S1 = ∫
1
δQ
T
+ S gen = S gen
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Bilan d’entropie
Bilan d’entropie d’un système ouvert
Sɺsys =
∫
A frontière
δ Qɺ
T
+ ∑ mɺ in sin − ∑ mɺ out sout + Sɺgen
Notes::
Notes
Pour un système ouvert à écoulement permanent ( Sɺ sys = 0 ):
Qɺ
ɺ
S gen = ∑ mɺ out sout − ∑ mɺ in sin − ∫
T
A frontière
Pour un système ouvert à écoulement permanent avec une entrée/sortie:
Qɺ
Sɺ gen = mɺ ( sout − sin ) − ∫
T
A frontière
Pour un système ouvert adiabatique à écoulement permanent avec une entrée/sortie :
Sɺ gen = mɺ ( sout − sin )
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Travail en écoulement permanent
1) Travail réversible pour écoulement permanent
Bilan d’énergie:
dEsys =δQrev −δWrev +δmθ −δm(θ +dθ) =0
δqrev −δwrev =dθ =dh+dec +dep
δwrev =δqrev −dh−dec −dep
Tds = dh − vdP
Car: 
δ qrev ≡ Tds
⇒ δ wrev = TdS − (TdS + vdP) − dec − dep
2
wrev = −∫ vdP − ∆ec1,2 − ∆ep1,2
1
Travail réversible (maximum) par système
en écoulement permanent
Travail d’un dispositif en écoulement permanent augmente avec le volume
spécifique (v), donc:
Pour un compresseur, on devrait minimiser v pour minimiser le travail requis
Pour une turbine, on devrait maximiser v pour maximiser le travail sortant
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Travail en écoulement permanent
Travail isothermique et polytropique pour les gaz (négligeant Dec et Dep):
2
w rev = − ∫ vdP
1
Isothermique (gaz parfait):
( Pv = RT = const pour T const.)
Pv
1 1
P
2
dP
P1
wrev = −Pv
Pv
ln
=
−
1 1∫
1 1
P
P2
1
Pv = const = Pv
1 1 →v =
wrev = − Pv
1 1 ln
P1
P2
wrev = − RT ln
P1
P2
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(Pour le cas des gaz parfait)
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Travail en écoulement permanent
Polytropique::
Polytropique
1
n
Pv = const = C = P1v1 = P2 v2 → v = C P
n
wrev
n
n
−
1
n
1
 − 1 +1

− +1
 P2 n − P1 n 
= − C ∫ P dP = − C 

1
1


− +1
n


wrev =
1 2
n
−
1
n
Pour un gaz Parfait:
1
n
1
1
1
1
− +1
− +1 
−1 
n n
n n
n
n
P
v
P
−
P
v
P
(
(


2 2 )
2
1 1 )
1
1


− +1
n
wrev = −
wrev
Pv = RT

− nR
− nRT1  P2

=
(T2 − T1 ) =
n −1
n − 1  P1




n −1
n

− 1


n
( P2 v2 − Pv
1 1)
n −1
Minimisation du travail de compression:
2
wrev = − ∫ vdP
Minimum Wrev en minimisant v
1
Exemple: minmiser l’augmentation
de la température
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Travail en écoulement permanent
b) Travail réversible versus travail irréversible:
On veut prouver que le travail d’un système réversible en écoulement permanent est toujours
plus grand que celui d’un système irréversible pour les mêmes conditions d’entrée et de sortie.
δqrev −δwrev = dh+ dec + dep = δqirrev −δwirrev
Tds−δwrev = δqirrev −δwirrev
δwrev − δwirrev
T
δwrev > δwirrev
= ds −
δqirrev
T
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ds >
δqirrev
T
Principe d’accroissement
de l’entropie
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Lecture suggérée
Sections 7.1 à 7.13 du livre, «Thermodynamique, une approche
pragmatique», Y.A. Çengel, M.A. Boles et M. Lacroix, ChenelièreMcGraw-Hill, 2008.
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