Théorie des probabilités continue[modifier]

Théorie des probabilités
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statistique.
Courbes de probabilité.
La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard
et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, les
processus stochastiques, et les événements: ils traduisent de manière abstraite des événements
non déterministes ou des quantités mesurées qui peuvent parfois évoluer dans le temps d'une
manière apparemment aléatoire. En tant que fondement mathématique des statistiques, la théorie
des probabilités est essentielle à la plupart des activités humaines qui nécessitent une analyse
quantitative d'un grand nombre de mesures. Les méthodes de la théorie des probabilités
s'appliquent également à la description de systèmes complexes dont on ne connait qu'en partie
l'état, comme en mécanique statistique. Une grande découverte de la physique du XXe siècle fut
la nature probabiliste de phénomènes physiques à une échelle microscopique, décrite par la
mécanique quantique.
Sommaire
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

1 Historique
o 1.1 Théorie des probabilités discrète
o 1.2 Théorie des probabilités continue
2 Principes fondamentaux





3 La théorie des probabilités aujourd'hui
4 Lois de probabilité
5 Convergence de variables aléatoires
6 Le calcul stochastique
o 6.1 Chaîne de Markov
o 6.2 Équations différentielles stochastiques
7 Voir aussi
o 7.1 Articles connexes
o 7.2 Liens externes
Historique[modifier]
La théorie mathématique des probabilités trouve ses origines dans l'analyse de jeux de hasard par
Gerolamo Cardano au XVIe siècle, et par Pierre de Fermat et Blaise Pascal au XVIIe. Bien qu'un
simple pile ou face ou un lancer de dés soit un événement aléatoire, en les répétant de
nombreuses fois on obtient une série de résultats qui va posséder certaines propriétés statistiques,
que l'on peut étudier et prévoir. Deux résultats mathématiques fondamentaux à ce propos sont la
loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale.
Initialement, la théorie des probabilités considérait surtout les événements discrets, et ses
méthodes étaient principalement combinatoires. Mais des considérations analytiques ont forcé
l'introduction de variables aléatoires continues dans la théorie. Cette idée prend tout son essor
dans la théorie moderne des probabilités, dont les fondations ont été posées par Andreï
Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov combina la notion d'univers, introduite par Richard von
Mises et la théorie de la mesure pour présenter son système d'axiomes pour la théorie des
probabilités en 1933. Très vite, son approche devint la base incontestée des probabilités
modernes.
Théorie des probabilités discrète[modifier]
La théorie discrète des probabilités s'occupe d'événements dans le cadre d'un univers fini ou
dénombrable.
Exemples: lancer de dés, expériences avec des paquets de cartes, et marche aléatoire.
Définition classique: Initialement, la probabilité d'un événement était définie comme le nombre
de cas favorables pour l'événement, divisé par le nombre total d'issues possibles à l'expérience
aléatoire.
Par exemple, si l'événement est obtenir un nombre pair en lançant le dé, sa probabilité est
donnée par
, puisque trois faces sur six ont un nombre pair.
Définition moderne : La définition moderne commence par un ensemble appelé univers, qui
correspond à l'ensemble des issues possibles à l'expérience dans la définition classique. Il est
noté
. Ensuite, on a besoin d'une fonction f définie sur Ω, qui va associer à
chaque élément de Ω sa probabilité, satisfaisant donc les propriétés suivantes :
1.
2.
On définit ensuite un événement comme un ensemble d'issues, c'est-à-dire un sous-ensemble de
Ω. La probabilité d'un évènement E est alors définie de manière naturelle par :
Ainsi, la probabilité de l'univers est 1, et la probabilité de l'événement impossible (l'ensemble
vide) est 0.
Pour revenir à l'exemple du lancer de dés, on peut modéliser cette expérience en se donnant un
univers Ω = {1;2;3;4;5;6} correspondant aux valeurs possibles du dé, et une fonction f qui à
chaque
associe
.
Théorie des probabilités continue[modifier]
La théorie des probabilités continue s'occupe des événements qui se produisent dans un
univers continu (par exemple la droite réelle).
Définition classique: La définition classique est mise en échec lorsqu'elle est confrontée au cas
continu (cf. paradoxe de Bertrand).
Définition moderne Si l'univers est la droite réelle
, alors on admet l'existence d'une fonction
appelée fonction de répartition , qui donne
pour une variable aléatoire
X. Autrement dit, F(x) retourne la probabilité que X soit inférieur ou égal à x.
La fonction de répartition doit satisfaire les propriétés suivantes :
1.
est une fonction croissante et continue à droite.
2.
3.
Si
est dérivable, alors on dit que la variable aléatoire X a une densité de probabilité
.
Pour un ensemble
comme :
, la probabilité que la variable aléatoire X soit dans
Si la densité de probabilité existe, on peut alors la réécrire :
est définie
Tandis que la densité de probabilité n'existe que pour les variables aléatoires continues, la
fonction de répartition existe pour toute variable aléatoire (y compris les variables discrètes) à
valeurs dans .
Ces concepts peuvent être généralisés dans les cas multidimensionnel sur
continus.
et d'autres univers
Principes fondamentaux[modifier]
La probabilité d'un événement donné A,
, est représentée par un nombre compris entre 0 et
1. L'événement impossible a une probabilité de 0 et l'événement certain a une probabilité de 1. Il
faut savoir que la réciproque n'est pas vraie. Un événement qui a une probabilité 0 peut très bien
se produire dans le cas où un nombre infini d'événements différents peut se produire. Ceci est
détaillé dans l'article Ensemble négligeable.
Quelques notions ou propriétés fondamentales
Évènement
Probabilité
probabilité de A
probabilité de ne pas
avoir A
probabilité d'avoir A ou
B
probabilité
conditionnelle de A,
sachant B
probabilité d'avoir A et
B
est la réunion de A et B.
est l'intersection de A et de B.
est appelé la
probabilité conditionnelle de A sachant B. C'est la probabilité d'avoir A quand on sait que l'on a
B. Par exemple, pour un dé à 6 faces la probabilité d'avoir un 2 (A) quand on sait que le résultat
est pair (B) est égal à
car la probabilité d'avoir à la fois un 2 et un nombre pair est
égal à 1/6 et la probabilité d'avoir un nombre pair est égal à 1/2. Ici on remarque que
car on a toujours un nombre pair quand on a 2.
La théorie des probabilités aujourd'hui[modifier]
Article détaillé : axiomes des probabilités.
Article détaillé : espace probabilisé.
Certaines distributions peuvent être un mélange de distributions discrètes et continues, et donc
n'avoir ni densité de probabilité ni fonction de masse. La distribution de Cantor constitue un tel
exemple. L'approche moderne des probabilités résout ces problèmes par l'utilisation de la théorie
de la mesure pour définir un espace probabilisé et aboutir aux axiomes des probabilités
développés par Kolmogorov
Un espace probabilisé comporte trois parties:


un univers Ω: L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'évenement
aléatoire. Par exemple pour un dé a 6 faces l'univers est Ω ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
un ensemble d'événements : C'est une tribu sur les événements Ω. Cet ensemble
contient tous les résultats possibles de l'événement au sens large. Par exemple pour un dé
à 6 faces il contient la possibilité d'avoir un 1 ou un 2: {1, 2}, la possibilité de ne rien
sortir comme résultat: l'ensemble vide , la possibilité de sortir n'importe quel face du dé
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. En général en probabilité on se contente de prendre la tribu borélienne.
À titre d'exemple la tribu borélienne pour le résultat d'un dé à 4 faces est donné (celle
pour le dé à 6 faces est encore plus grande mais suit le même principe):
{ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},
{2,3,4}, {1,2,3,4}}. On remarque que cette tribu contient l'ensemble vide ø et
Ω={1,2,3,4}. Ceci est le cas pour toutes les tribus.

une mesure : Cette mesure ou probabilité est la probabilité de réaliser l'un des éléments
de . Cette probabilité est comprise entre 0 et 1 pour tous les éléments de , c'est le
premier axiome des probabilités. Par exemple pour un dé a 6 faces: la probabilité d'avoir
{1} est 1/6, la probabilité de Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, tirer n'importe laquelle des 6 faces, est
1 (ceci est aussi toujours le cas, c'est le deuxième axiome des probabilités), la probabilité
de l'ensemble vide ø est 0. Ceci est toujours le cas, c'est également une conséquence des
axiomes des probabilités.
Dans cette optique, pour des événements deux à deux disjoints (c'est-à-dire, d'intersection deux à
deux vide) A1, A2, A3…, la probabilité de leur union apparaît comme la somme de leurs
probabilités, ou, avec les notations mathématiques,
C'est le troisième et dernier axiome des probabilités. Par exemple, et toujours pour un dé à 6
faces, la probabilité de tirer un 1 ou un 2
En plus de permettre une meilleure compréhension et une unification des théories discrètes et
continues des probabilités, l'approche de la théorie de la mesure nous permet aussi de parler de
probabilités en dehors de
, notamment dans la théorie des processus stochastiques. Par
exemple pour l'étude du mouvement brownien, la probabilité est définie sur un espace de
fonctions.
Lois de probabilité[modifier]
Article détaillé : Loi de probabilité.
Certaines variables aléatoires sont fréquemment rencontrées en théorie des probabilités car on les
retrouve dans de nombreux processus naturels ; leur loi a donc une importance particulière. Les
lois discrètes les plus fréquentes sont la loi uniforme discrète, la loi de Bernoulli, ainsi que les
lois binomiale, de Poisson et géométrique. Les lois uniforme continue, normale, exponentielle et
gamma sont parmi les plus importantes lois continues.
Convergence de variables aléatoires[modifier]
Article détaillé : convergence de variables aléatoires.
En théorie des probabilités, il y a plusieurs notions de convergence pour les variables aléatoires.
En voici une liste:
Convergence en loi: une suite de variables aléatoires
converge en loi vers la
variable aléatoire
si et seulement si la suite des mesures images
converge étroitement vers la mesure image (en) μX. En particulier dans le cas réel, il
faut et il suffit que les fonctions de répartition convergent simplement vers la fonction de
répartition de X en tout point de continuité de cette dernière.
Convergence en probabilité:
converge en probabilité vers
ssi
,
. Cette convergence implique la convergence en loi.
Convergence presque sûre:
converge presque sûrement vers
ssi
. Elle implique la convergence en probabilité,
donc la convergence en loi.
Convergence dans
:
converge dans
vers
ssi
. Elle implique aussi la convergence en probabilité.
Le calcul stochastique[modifier]
Article détaillé : calcul stochastique.
Un processus stochastique est un processus aléatoire qui dépend du temps. Un processus
stochastique est donc une fonction de deux variables : le temps et la réalisation ω d'une certaine
expérience aléatoire. Quelques exemples d'utilisation des processus stochastiques incluent le
mouvement brownien, les fluctuations du marché boursier, ou la reconnaissance vocale. En
temps discret, ces processus sont aussi connus sous le nom de Séries temporelles et servent entre
autres en économétrie.
Parmi les processus stochastiques, les chaînes de Markov constituent l'exemple le plus simple et
sans doute celui qui a le plus d'applications pratiques.
Chaîne de Markov[modifier]
Article détaillé : chaîne de Markov.
Une chaîne de Markov est un processus stochastique possédant la propriété markovienne. Dans
un tel processus, la prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du
passé. Il suffit alors de connaître l'état de la chaîne à un instant t pour savoir comment elle
évoluera au temps t+1, il n'est pas nécessaire de connaître tout le passé entre 0 et t pour prévoir
l'évolution de la chaîne.
Une chaîne en temps discret est une séquence X1, X2, X3, ... de variables aléatoires. La valeur Xn
étant l'état du processus au moment n. Si la distribution de probabilité conditionnelle de Xn+1 sur
les états passés est une fonction de Xn seulement, alors de façon mathématique:
où x est un état quelconque du processus,
est la probabilité d'avoir A quand on sait que
l'on a B par exemple ici la probabilité d'avoir une certaine valeur pour Xn + 1 quand on connaît la
valeur de Xn. L'identité ci-dessus est la propriété de Markov pour le cas particulier d'une chaîne
en temps discret. La probabilité P(Xn + 1 = x | Xn = y) est appelée la probabilité de transition
de x à y ; c'est la probabilité d'aller de x à y au temps n et a une importance particulière pour
l'étude de ces chaînes. Nous considérons ici uniquement des chaînes de Markov en temps discret
mais il faut savoir qu'il existe une généralisation en temps continu.
Cette propriété de Markov s'oppose à la notion d'hystérésis où l'état actuel dépend de l'histoire et
non seulement de l'état actuel. Ces chaînes de Markov ou des modèles de Markov cachés
interviennent dans l'étude de la marche aléatoire et ont de nombreux champs d'application: filtre
anti-spam, mouvement brownien, hypothèse ergodique, théorie de l'information, reconnaissance
des formes, algorithme de Viterbi utilisé en téléphonie mobile, etc...
Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau
Article détaillé : marche aléatoire.
; 10 000 pas.
Citons entre autres comme cas particuliers de chaînes de Markov la marche aléatoire qui sert en
particulier à l'étude de la diffusion ou du jeu de pile ou face. Une marche aléatoire est une chaîne
de Markov où la probabilité de transition ne dépend que de x-y. Autrement dit une chaîne de
Markov où l'on a: P(Xn + 1 = x | Xn = y) = f(x − y).
Un jeu de pile ou face où l'on jouerait 1 à chaque lancer est un exemple de marche aléatoire. Si
on a y après n lancers, P(Xn + 1 = x | Xn = y) = 1 / 2 si (x-y)=+1 ou -1 et 0 sinon. (on a une
chance sur deux de gagner 1 et une chance sur deux de perdre 1)
Équations différentielles stochastiques[modifier]
Article détaillé : Équation différentielle stochastique.
Les équations différentielles stochastiques sont une forme d'équation différentielle incluant un
terme de bruit blanc. Ces équations différentielles stochastiques remplacent les équations
différentielles ordinaires lorsque l'aléatoire entre en jeu. Au premier ordre par exemple:
Pour faire une analogie avec la physique, μ(X(t)) est la vitesse moyenne au point X(t) et σ est
lié au coefficient de diffusion (voir à ce propos l'exemple donné dans lemme d'Itô). Le lemme
d'Itô et l'intégrale d'Itô permettent alors de passer de ces équations stochastiques à des équations
aux dérivées partielles classiques ou à des équations intégrales. Par exemple en utilisant le
lemme d'Itô on obtient pour la probabilité de se trouver à l'instant t au point x:
Ce lemme est particulièrement important car il permet de faire le lien entre l'étude d'équations
stochastiques et les équations aux dérivées partielles qui relèvent de l'analyse. Ce lemme permet
entre autres d'obtenir les équation de Fokker-Planck en physique et de traiter le mouvement
brownien par des équations aux dérivées partielles classiques ou de modéliser les cours de la
bourse en Mathématiques financières.