la th´eorie de l`homotopie de grothendieck - IMJ-PRG

Georges Maltsiniotis
LA TH´ EORIE DE L’HOMOTOPIE DE
GROTHENDIECK

Georges Maltsiniotis
Institut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e Paris 7 Denis Diderot,
Case Postale 7012, 2, place Jussieu, F-75251 PARIS cedex 05, FRANCE.
E-mail : [email protected]
Url : http://www.math.jussieu.fr/ emaltsin/
Classification math´ematique par sujets (2000). — 14F20, 14F35, 18B25,
18F20, 18G10, 18G30, 18G50, 18G55, 55P10, 55P15, 55P60, 55Q05, 55U10, 55U35,
55U40.
Mots clefs. — Asph´erique, cat´egorie test, colimite homotopique, ensemble simpli-
cial, ´equivalence faible, extension de Kan homotopique, foncteur lisse, foncteur propre,
homotopie, localisation, mod´elisateur, pr´efaisceau.

LA TH´ EORIE DE L’HOMOTOPIE DE GROTHENDIECK
Georges Maltsiniotis
R´esum´e. — Le but de ce livre est d’exposer la tr`es belle th´eorie de l’homoto-
pie d´evelopp´ee par Grothendieck dans “` A la poursuite des champs”. Il s’agit de
caract´eriser les cat´egories de pr´efaisceaux qui permettent de mod´eliser les types d’ho-
motopie, g´en´eralisant ainsi la th´eorie des ensembles simpliciaux. Les crit`eres d´egag´es
par Grothendieck montrent que de telles cat´egories, appel´ees des mod´elisateurs
´el´ementaires, abondent. On expose une construction cat´egorique des extensions de
Kan homotopiques `a gauche, g´en´eralisant une construction des colimites homotopi-
ques par Thomason. On ´etudie deux classes remarquables de foncteurs, les foncteurs
propres et les foncteurs lisses, notions duales l’une de l’autre. Ces foncteurs sont ca-
ract´eris´es par des propri´et´es cohomologiques, inspir´ees des th´eor`emes de changement
de base propre ou lisse, en g´eom´etrie alg´ebrique.
Abstract (Grothendieck’s homotopy theory). — The aim of this book is to
explain the very beautiful homotopy theory developed by Grothendieck in “Pursuing
Stacks”. The question is to characterize categories of presheaves that modelize ho-
motopy types, thus generalizing the theory of simplicial sets. The criteria discovered
by Grothendieck show that there are pretty many such categories, called elementary
modelizers. We describe a categorical construction of left homotopy Kan extensions,
generalizing a construction of homotopy colimits by Thomason. We study two re-
markable classes of functors, proper and smooth functors, these two notions being
mutually dual. These functors are characterized by cohomological properties inspired
by the proper or smooth base change theorem in algebraic geometry.

TABLE DES MATI` ERES
Pr´eface......................................................................... 1
Introduction................................................................... 3
La cat´egorie homotopique Hot................................................ 3
La d´efinition simpliciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
La d´efinition cat´egorique...................................................... 5
La d´efinition toposique........................................................ 6
Les mod´elisateurs et les cat´egories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Les foncteurs test............................................................. 9
Les localisateurs fondamentaux............................................... 10
Les extensions de Kan homotopiques......................................... 13
La cat´egorie de mod`eles conjectur´ee par Grothendieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Foncteurs propres, foncteurs lisses............................................ 15
Le plan du livre............................................................... 16
Notations..................................................................... 18
1. La th´eorie des cat´egories test............................................ 21
1.1. Les localisateurs fondamentaux faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2. Les ´equivalences faibles dans une cat´egorie de pr´efaisceaux. . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3. Les cat´egories test faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4. Segments et homotopie dans une cat´egorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5. Les cat´egories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6. Les cat´egories test strictes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7. Les foncteurs test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.8. D´ecalages et exemples de cat´egories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2. Les localisateurs fondamentaux..........................................101
2.1. Les propri´et´es ´el´ementaires des localisateurs fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2. Foncteurs d’int´egration et de co¨ınt´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.3. Images directes et compos´es transfinis d’´equivalences faibles. . . . . . . . . . . . . . 115