CIRCULATION DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE POTENTIEL

Q Champ et potentiel électrostatiques (35-504) Page 1 sur 5 JN Beury
E
G
O
M
charge > 0 Q
rOM
=
r
u
G
(
)
EM
G
CIRCULATION DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE
I. CIRCULATION, POTENTIEL
I.1Circulation du champ créé par une charge ponctuelle
Soit un chemin orienté
A
B
Γ
allant de A à B. La circulation élémentaire est dCEl δ
=
⋅
J
JG
G
.
On utilise les coordonnées sphériques ayant pour origine la charge Q.
()
22 2
00 0
dddsindd
44 4
rrr
QQ Q
Culurururu r
rr r
θϕ
δθθϕ
πε πε πε
=⋅=⋅++ =
JJG
GGGGG
Dans ce cas particulier, la circulation élémentaire est l’opposé de la différentielle d’une fonction.
On définit V le potentiel électrostatique en M créé par la charge q : ddVEl
=
−⋅
J
JG
G
. dV est la différentielle du
potentiel V. On peut l’interpréter comme la petite variation de V pour du déplacement dl
JJG.
On a alors :
0
4
Q
Vcte
r πε
=+. On choisit toujours
(
)
0V
∞
=
Le potentiel est défini à une constante additive près.
Pour une charge ponctuelle :
0
4
Q
Vr
π
ε
=
Pour une distribution d’extension finie, on choisit toujours par convention :
()
0V∞= .
La circulation de E
G le long du chemin
A
B
Γ est :
()
d
AB
B
B
A
A
CVVV
Γ=− =− −
∫.
La circulation du champ électrostatique ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement du point de
départ et du point d’arrivée : On dit que le champ E
G
est à circulation conservative.
I.2 Circulation du champ créé par une distribution quelconque de charges
Les charges q1, q2…qN. sont situées aux points K1, K2…KN .
On généralise le résultat en utilisant le théorème de superposition :
10
4
N
i
ii
q
Vr
π
ε
=
=∑ et ddVEl
=
−⋅
J
JG
G
Le champ électrostatique est à circulation conservative.
I.3 Comment calculer un potentiel électrostatique ?
On considère une distribution macroscopique (volumique, surfacique ou linéïque).
¾ Si la distribution de charges est finie, on choisit toujours le potentiel absolu tel que
()
0V∞= .
¾ Par contre, dans le cas d’une distribution illimitée, ce choix n’est plus possible, V ne peut pas être pris
nul à l’infini. On ne peut plus utiliser la relation
10
4
N
i
ii
q
Vr
π
ε
=
=∑ mais uniquement ddVEl=− ⋅JJG
G.

Q Champ et potentiel électrostatiques (35-504) Page 2 sur 5 JN Beury
K
M
r
K
M
z
r
u
G
u
θ
G
z
u
G
ψ
1
K
2
K
Deux méthodes pour calculer le champ électrostatique :
Méthode 1 toujours valable : Calculer le champ électrostatique. On en déduit le potentiel V en utilisant
ddVEl=− ⋅JJG
G.
Méthode 2 valable uniquement pour une distribution finie : On calcule
()
0
d
d4
q
VM
K
M πε
= et on
intègre.
¾ Distribution volumique :
()
00
dd
44
DD
q
VM
K
MKM
ρ
τ
πε πε
==
∫∫∫ ∫∫∫
¾ Distribution surfacique :
()
0
d
4
D
S
VM
K
M
σ
πε
=∫∫
¾ Distribution linéïque :
()
0
d
4
D
l
VM
K
M
λ
πε
=∫
Remarque : on a vu que les expressions
()
2
0
d
4
K
M
D
q
EM u
KM
πε
→
=∫∫∫
G
G
étaient valables même avec des
charges à l’infini alors
()
0
d
4
D
q
VM
K
M πε
=∫∫∫ diverge si on a des charges à l’infini !
I.4 Propriétés du champ électrostatique et du potentiel électrostatique
On admet les résultats suivants :
a) Approximation volumique
Le champ électrostatique et le potentiel sont définis et continus en tout point de l’espace.
b) Approximation surfacique
Le champ électrostatique est défini en tout point de l’espace sauf
sur la distribution. Le champ électrostatique subit une discontinuité
à la traversée de la surface de distribution.
Le potentiel électrostatique est défini et continu en tout point de
l’espace.
Le champ électrostatique est discontinu à la traversée de la surface de distribution :
21 12
0
EE n
σ
ε
→
−=
G
G
G
c) Approximation linéïque
Le champ et le potentiel ne sont pas définis en un point où il existe une distribution linéïque de
charges ou une charge ponctuelle.
I.5 Exemple du segment uniformément chargé
a) Segment de longueur finie
22
00
dd
d44
zz
VKM rz
λλ
πε πε
==
+
On fait un changement de variable : sh
d chd
zr
zr
ϕ
ϕϕ
=
=
On a alors : 222 2
00
ch d ch d
d4sh41sh
r
V
rr
λϕϕ λϕϕ
π
εϕπεϕ
==
++

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D’où
0
d
d4 V
λ
ϕ
π
ε
=. On intègre entre 1
ϕ
et 2
ϕ
, soit
() ()
21
0
4
VM
λ
ϕ
ϕ
πε
=−
b) Segment illimité
On ne peut pas utiliser le résultat précédent car la distribution est illimitée. Si on voulait utiliser la
formule précédente, on trouverait
()
VM
=
∞ !!!
Il faut donc calculer le champ électrostatique puis utiliser la relation ddVEl
=
−⋅
J
JG
G
.
On admet que le champ électrostatique vaut :
0
2r
Eu
r
λ
πε
=
G
G
(voir démonstration rapide dans le chapitre
sur le théorème de Gauss).
()
00
dd ddd d
22
rr z
V E l u ru r u zu r
rr
θ
λλ
θ
πε πε
=− ⋅ =− ⋅ + + =−
JJG
GGG GG . D’où
()
0
ln
2
VM r cte
λ
πε
=− + .
Comme la distribution est illimitée, on ne peut pas choisir
(
)
0V
∞
=. On choisit un potentiel arbitraire en
un point quelconque de l’espace si l’énoncé ne l’impose pas. Par exemple
(
)
00
Vr V=. On obtient alors :
()
0
00
ln
2
r
VM V r
λ
πε
−=−
Il ne faut pas être surpris d’avoir
(
)
V
∞
=∞ car on traite du modèle « fort ». En pratique, on n’a pas un
fil illimité. Par contre, le résultat que l’on trouve est valable à condition d’être loin des bords (voir
chapitre 35-501 – calcul de champ électrostatique).
II. RELATION ENTRE LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ET LE POTENTIEL
ÉLECTROSTATIQUE
Nous avons vu que : ddVEl=− ⋅JJG
G. La gradient de V est défini par : dgraddVVl
=
⋅
J
JJJG JJG.
On en déduit que
()
grad d 0VE l
+
⋅=
JJJJG JJG
G. Cette relation doit être vérifiée pour tout déplacement dl
JJG.
On en déduit deux relations équivalentes :
grad d dEVVEl=− ⇔ =− ⋅
JJJJG JJG
GG
. Le champ E
G
dérive du potentiel V.
Unités du champ : V.m-1
Remarque : En mécanique, une force dérive d’une énergie potentielle, si et seulement si d
p
WE
δ
=− , c’est à
dire dd grad
p
p
WFl E F E δ =⋅=− ⇔ =−
JJG JJJJG
GG
III. ÉNERGIE POTENTIELLE ET TRAVAIL DE LA FORCE ÉLECTROSTATIQUE
III.1 Énergie potentielle et travail
La force électrostatique qui s’exerce sur un point matériel M de charge q placé dans un champ électrostatique
créé par une distribution de charges est :
f
qE=
G
G
. Le travail élémentaire de la force est : dWFl δ =⋅
JJG
G.
On obtient : ddWqEl qV
δ =⋅=−
J
JG
G. En mécanique, nous avons trois cas : force de travail nul, force non
conservative, force conservative qui dérive d’une énergie potentielle.
Ici, nous pouvons définir l’énergie potentielle Ep telle que : d
p
WE
δ
=
−
L’énergie potentielle d’une charge q placée dans un potentiel V est : p EqV=
Le travail de la force électrostatique entre A et B le long du chemin
A
B
Γ
est :
(
)
(
)
(
)
AB p
WEqVBVA
→=−∆ =− −
La force électrostatique est une force conservative : le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais
uniquement du point de départ et du point d’arrivée.
On remarque que AB AB WqC
ΓΓ
=
.

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III.2 Deuxième méthode pour calculer l’énergie potentielle
L’énergie potentielle
()
p
EM est par définition égale au travail Wop que devrait fournir un "opérateur" pour
amener la charge de façon quasistatique depuis l’infini jusqu’à sa position effective.
¾ Système = {charge q qui se déplace depuis l’infini jusqu’à sa position effective M}
¾ Référentiel galiléen
¾ Bilan des forces :
Force électrique : qE
G
Force exercée par l’opérateur : op
F
G
¾ PFD : op ma qE F=+
GG
G. Le déplacement se fait de façon quasistatique donc à vitesse quasi nulle et
accélération quasi nulle. On a donc : 0op
ma qE F≈= +
G
G
G
G
.
Le travail élémentaire fourni par l’opérateur vaut : ddd
op op
WFlqElqV δ =⋅=−⋅=
J
JGJJG
G
G
On intègre entre l’infini et le point M :
() ()
op
WqVMV=−∞
(
)
()
qV M=.
Remarque : On pourra refaire la même démonstration avec la force de pesanteur. On envisage alors un
déplacement de l’altitude 0 jusqu’à l’altitude Z. L’opérateur doit bien fournir un travail pour élever la
masse m si Z > 0…
III.3 Définition de l’électronvolt
L’électron volt est l’énergie cinétique acquise par un électron soumis à une différence de potentiel de
1 V.
Il suffit d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre le point A et le point B avec 1 V
BA
VV−= .
Attention au signe de la différence de potentiel.
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit :
(
)
(
)
c AB p BA BA
EW E qVV eVV
→
∆= =−∆=− − = − .
Application numérique : 19
1 eV 1, 6 10 J
−
=× .
IV. ÉQUILIBRE D’UNE CHARGE PONCTUELLE
Nous considérons une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique E
G
et un potentiel électrostatique
V. Nous avons deux méthodes en mécanique pour étudier un équilibre.
IV.1 Étude de l’équilibre à partir de la force résultante
Un système au repos est à l’équilibre si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces
est nulle, c'est-à-dire ici 00FqE E==⇔=
GG
GG G.
L’équilibre est stable si en l’écartant légèrement de sa position d’équilibre, la résultante des actions
mécaniques a tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en l’écartant légèrement de sa position d’équilibre, la résultante des actions
mécaniques a tendance à l’écarter de sa position d’équilibre.
IV.2 Étude de l’équilibre à partir de l’énergie potentielle
Nous avons vu que gradEV=−
JJJJG
G.
0
00grad 0
0
V
x
V
FqE E V y
V
z
∂
=
∂
∂
==⇔==− ⇔ =
∂
∂
=
∂
JJJJG
GG
GG G
Étudions le cas particulier d’un mouvement à une dimension suivant l’axe Ox.
Le point M au repos est à l’équilibre si et seulement si d0
d
V
x
=
, c'est-à-dire V passe par un extremum.
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle passe par un minimum.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle passe par un maximum.

Q Champ et potentiel électrostatiques (35-504) Page 5 sur 5 JN Beury
MM’
V = cte
surface équipotentielle
()
Σ
Σ
2
Σ
1
M
1
M
2
n
G
E
p
x
x
eq
La position x = xeq est une position d’équilibre.
Si on écarte légèrement le point matériel de sa position d’équilibre avec x >
xeq. La force qui s’exerce sur le point M est d
grad d
p
p
x
E
f
Eu
x
=− =−
G
J
JJJG
G
. On a
alors 0
x
f<. La force a tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est donc stable.
V. ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP
V.1 Surface équipotentielle
Une surface équipotentielle est une surface (Σ) pour laquelle le potentiel V est le même en chaque point.
Soit M un point appartenant à une surface équipotentielle
(
)
Σ
. Soit un point M’ voisin de M appartenant à la
même équipotentielle. En se déplaçant de M vers M’ d'lMM=
JJG JJJJJG et
() ()
'0dgradddVM VM V V l E l−===⋅=−⋅
JJJJG JJGJJG
G
. Cette relation est vérifiée pour tout point M’ voisin de M
appartenant à l’équipotentielle. Un produit scalaire est nul si et seulement si le premier vecteur est nul ou le
deuxième vecteur est nul ou les deux vecteurs sont orthogonaux. On en déduit que dEl⊥JJG
G. Cette relation
doit être vérifiée pour tout point M’ voisin de M et appartenant à
(
)
Σ
.
Le champ électrostatique en un point est orthogonal à la surface équipotentielle passant par ce point.
V.2 Ligne de champ et surface équipotentielle
Soient deux équipotentielles proches
()
1
Σ
et
(
)
2
Σ
de potentiel V1 et V2. Soit M1 un point appartenant à
l’équipotentielle
()
1
Σ. M2 est l’intersection de la normale passant par M1 et l’équipotentielle
()
2
Σ. On
applique la relation ddVEl=− ⋅JJG
G avec 12
dlMM=
J
JG JJJJJJG . On pose n
G
le vecteur unitaire normal à (Σ1) et dirigé de
M1 vers M2 ; EEn=
GG. On a donc 21 12
dVVV EnMMn=−=− ⋅
G
G, d’où 12 12
VV MME−= . Si V2 > V1,
alors 0E< et si V2 < V1, alors 0E>.
Le champ électrostatique en un point est orthogonal à la surface équipotentielle passant par ce point
et dirigé dans le sens des potentiels décroissants.