CIRCULATION DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE POTENTIEL

CIRCULATION DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE
I. CIRCULATION, POTENTIEL
I.1Circulation du champ créé par une charge ponctuelle
G JJG
Soit un chemin orienté Γ AB allant de A à B. La circulation élémentaire est δ C = E ⋅ dl .
On utilise les coordonnées sphériques ayant pour origine la charge Q.
G
E (M )
M
G
ur
r = OM
G JJG
u r ⋅ dl =
Q
(
) 4πεQ r 2 dr
4πε 0 r
4πε 0 r 2
0
Dans ce cas particulier, la circulation élémentaire est l’opposé de la différentielle d’une fonction.
G JJG
On définit V le potentiel électrostatique en M créé par la charge q : dV = − E ⋅ dl . dV est la différentielle du
JJG
potentiel V. On peut l’interpréter comme la petite variation de V pour du déplacement dl .
Q
On a alors : V =
+ cte . On choisit toujours V ( ∞ ) = 0
4πε 0 r
G
δC =
Q
O
charge Q > 0
G
G
G
G
ur ⋅ drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ =
2
E
Le potentiel est défini à une constante additive près.
Q
Pour une charge ponctuelle : V =
4πε 0 r
Pour une distribution d’extension finie, on choisit toujours par convention : V ( ∞ ) = 0 .
G
B
La circulation de E le long du chemin Γ AB est : CΓ = − ∫ dV = − (VB − VA ) .
AB
A
La circulation du champ électrostatique ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement du point de
G
départ et du point d’arrivée : On dit que le champ E est à circulation conservative.
I.2 Circulation du champ créé par une distribution quelconque de charges
Les charges q1, q2…qN. sont situées aux points K1, K2…KN .
On généralise le résultat en utilisant le théorème de superposition :
N
G JJG
qi
et dV = − E ⋅ dl
V =∑
i =1 4πε 0 ri
Le champ électrostatique est à circulation conservative.
I.3 Comment calculer un potentiel électrostatique ?
On considère une distribution macroscopique (volumique, surfacique ou linéïque).
¾ Si la distribution de charges est finie, on choisit toujours le potentiel absolu tel que V ( ∞ ) = 0 .
¾ Par contre, dans le cas d’une distribution illimitée, ce choix n’est plus possible, V ne peut pas être pris
N
G JJG
qi
nul à l’infini. On ne peut plus utiliser la relation V = ∑
mais uniquement dV = − E ⋅ dl .
i =1 4πε 0 ri
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Deux méthodes pour calculer le champ électrostatique :
Méthode 1 toujours valable : Calculer le champ électrostatique. On en déduit le potentiel V en utilisant
G JJG
dV = − E ⋅ dl .
dq
Méthode 2 valable uniquement pour une distribution finie : On calcule dV ( M ) =
et on
4πε 0 KM
intègre.
¾ Distribution volumique : V ( M ) = ∫∫∫
D
dq
=
4πε 0 KM
ρ dτ
∫∫∫ 4πε KM
0
D
σ dS
¾ Distribution surfacique : V ( M ) = ∫∫
4πε 0 KM
D
λ dl
¾ Distribution linéïque : V ( M ) = ∫
πε
KM
4
0
D
G
Remarque : on a vu que les expressions E ( M ) = ∫∫∫
D
charges à l’infini alors V ( M ) = ∫∫∫
D
G
dq
uK →M étaient valables même avec des
2
4πε 0 KM
dq
diverge si on a des charges à l’infini !
4πε 0 KM
I.4 Propriétés du champ électrostatique et du potentiel électrostatique
On admet les résultats suivants :
a) Approximation volumique
Le champ électrostatique et le potentiel sont définis et continus en tout point de l’espace.
b) Approximation surfacique
Le champ électrostatique est défini en tout point de l’espace sauf
sur la distribution. Le champ électrostatique subit une discontinuité
à la traversée de la surface de distribution.
Le potentiel électrostatique est défini et continu en tout point de
l’espace.
Le champ électrostatique est discontinu à la traversée de la surface de distribution :
G
G σ G
E2 − E1 = n1→ 2
ε0
c) Approximation linéïque
Le champ et le potentiel ne sont pas définis en un point où il existe une distribution linéïque de
charges ou une charge ponctuelle.
I.5 Exemple du segment uniformément chargé
K2
a) Segment de longueur finie
λ dz
λ dz
=
dV =
4πε 0 KM 4πε 0 r 2 + z 2
K
 z = r shϕ
On fait un changement de variable : 
dz = r chϕ dϕ
On a alors : dV =
λ r chϕ dϕ
4πε 0 r 2 + r 2 sh 2ϕ
=
z
ψ
r
λ chϕ dϕ
4πε 0 1 + sh 2ϕ
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KM
G
uz
G
uθ
M
K1
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G
ur
D’où dV =
λ dϕ
λ
. On intègre entre ϕ1 et ϕ2 , soit V ( M ) =
(ϕ2 − ϕ1 )
4πε 0
4πε 0
b) Segment illimité
On ne peut pas utiliser le résultat précédent car la distribution est illimitée. Si on voulait utiliser la
formule précédente, on trouverait V ( M ) = ∞ !!!
G JJG
Il faut donc calculer le champ électrostatique puis utiliser la relation dV = − E ⋅ dl .
G
λ G
ur (voir démonstration rapide dans le chapitre
On admet que le champ électrostatique vaut : E =
2πε 0 r
sur le théorème de Gauss).
G JJG
G
G
G
λ G
λ
λ
dV = − E ⋅ dl = −
ur ⋅ ( drur + rdθ uθ + dzu z ) = −
dr . D’où V ( M ) = −
ln r + cte .
2πε 0 r
2πε 0 r
2πε 0
Comme la distribution est illimitée, on ne peut pas choisir V ( ∞ ) = 0 . On choisit un potentiel arbitraire en
un point quelconque de l’espace si l’énoncé ne l’impose pas. Par exemple V ( r0 ) = V0 . On obtient alors :
V ( M ) − V0 = −
λ
2πε 0
ln
r
r0
Il ne faut pas être surpris d’avoir V ( ∞ ) = ∞ car on traite du modèle « fort ». En pratique, on n’a pas un
fil illimité. Par contre, le résultat que l’on trouve est valable à condition d’être loin des bords (voir
chapitre 35-501 – calcul de champ électrostatique).
II. RELATION ENTRE LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ET LE POTENTIEL
ÉLECTROSTATIQUE
JJJJG JJG
G JJG
Nous avons vu que : dV = − E ⋅ dl . La gradient de V est défini par : dV = grad V ⋅ dl .
JJJJG
JJG
G JJG
On en déduit que grad V + E ⋅ dl = 0 . Cette relation doit être vérifiée pour tout déplacement dl .
(
)
On en déduit deux relations équivalentes :
JJJJG
G
G JJG
G
E = −grad V ⇔ dV = − E ⋅ dl . Le champ E dérive du potentiel V.
Unités du champ : V.m-1
Remarque : En mécanique, une force dérive d’une énergie potentielle, si et seulement si δ W = −dE p , c’est à
JJJJG
G JJG
G
dire δ W = F ⋅ dl = −dE p ⇔ F = −grad E p
III. ÉNERGIE POTENTIELLE ET TRAVAIL DE LA FORCE ÉLECTROSTATIQUE
III.1 Énergie potentielle et travail
La force électrostatique qui s’exerce sur un point matériel M de charge q placé dans un champ électrostatique
G
G JJG
G
créé par une distribution de charges est : f = qE . Le travail élémentaire de la force est : δ W = F ⋅ dl .
G JJG
On obtient : δ W = qE ⋅ dl = −qdV . En mécanique, nous avons trois cas : force de travail nul, force non
conservative, force conservative qui dérive d’une énergie potentielle.
Ici, nous pouvons définir l’énergie potentielle Ep telle que : δ W = −dE p
L’énergie potentielle d’une charge q placée dans un potentiel V est : E p = qV
Le travail de la force électrostatique entre A et B le long du chemin Γ AB est :
WA→B = −∆E p = − q (V ( B ) − V ( A ) )
La force électrostatique est une force conservative : le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais
uniquement du point de départ et du point d’arrivée.
On remarque que WΓ = qCΓ .
AB
AB
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III.2 Deuxième méthode pour calculer l’énergie potentielle
L’énergie potentielle E p ( M ) est par définition égale au travail Wop que devrait fournir un "opérateur" pour
amener la charge de façon quasistatique depuis l’infini jusqu’à sa position effective.
¾
¾
¾
Système = {charge q qui se déplace depuis l’infini jusqu’à sa position effective M}
Référentiel galiléen
Bilan des forces :
G
Force électrique : qE
G
Force exercée par l’opérateur : Fop
G G
G
¾ PFD : ma = qE + Fop . Le déplacement se fait de façon quasistatique donc à vitesse quasi nulle et
G G
G G
accélération quasi nulle. On a donc : ma ≈ 0 = qE + Fop .
G JJG
G JJG
Le travail élémentaire fourni par l’opérateur vaut : δ Wop = Fop ⋅ dl = −qE ⋅ dl = qdV
(
)
On intègre entre l’infini et le point M : Wop = q V ( M ) − V ( ∞ ) = qV ( M ) .
Remarque : On pourra refaire la même démonstration avec la force de pesanteur. On envisage alors un
déplacement de l’altitude 0 jusqu’à l’altitude Z. L’opérateur doit bien fournir un travail pour élever la
masse m si Z > 0…
III.3 Définition de l’électronvolt
L’électron volt est l’énergie cinétique acquise par un électron soumis à une différence de potentiel de
1 V.
Il suffit d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre le point A et le point B avec VB − VA = 1 V .
Attention au signe de la différence de potentiel.
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : ∆Ec = WA→B = −∆E p = − q (VB − VA ) = e (VB − VA ) .
Application numérique : 1 eV = 1, 6 × 10−19 J .
IV. ÉQUILIBRE D’UNE CHARGE PONCTUELLE
G
Nous considérons une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique E et un potentiel électrostatique
V. Nous avons deux méthodes en mécanique pour étudier un équilibre.
IV.1 Étude de l’équilibre à partir de la force résultante
Un système au repos est à l’équilibre si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces
G
G G
G G
est nulle, c'est-à-dire ici F = qE = 0 ⇔ E = 0 .
L’équilibre est stable si en l’écartant légèrement de sa position d’équilibre, la résultante des actions
mécaniques a tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en l’écartant légèrement de sa position d’équilibre, la résultante des actions
mécaniques a tendance à l’écarter de sa position d’équilibre.
IV.2 Étude de l’équilibre à partir de l’énergie potentielle
∂V
=0
∂x
JJJJG
JJJJG
G
G G
G G
G
∂V
=0
Nous avons vu que E = −grad V . F = qE = 0 ⇔ E = 0 = −grad V ⇔
∂y
∂V
=0
∂z
Étudions le cas particulier d’un mouvement à une dimension suivant l’axe Ox.
dV
= 0 , c'est-à-dire V passe par un extremum.
Le point M au repos est à l’équilibre si et seulement si
dx
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle passe par un minimum.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle passe par un maximum.
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La position x = xeq est une position d’équilibre.
Si on écarte légèrement le point matériel de sa position d’équilibre avec x >
G
JJJJG
dE p G
xeq. La force qui s’exerce sur le point M est f = −grad E p = −
u x . On a
dx
alors f x < 0 . La force a tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est donc stable.
Ep
xeq
x
V. ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP
V.1 Surface équipotentielle
Une surface équipotentielle est une surface (Σ) pour laquelle le potentiel V est le même en chaque point.
M’
M
(Σ )
surface équipotentielle
V = cte
Soit M un point appartenant à une surface équipotentielle ( Σ ) . Soit un point M’ voisin de M appartenant à la
JJG JJJJJG
même
équipotentielle.
En
se
déplaçant
de
M
vers
M’
dl = MM '
et
JJJJG JJG
G JJG
V ( M ' ) − V ( M ) = 0 = dV = grad V ⋅ dl = − E ⋅ dl . Cette relation est vérifiée pour tout point M’ voisin de M
appartenant à l’équipotentielle. Un produit scalaire est nul si et seulement si le premier vecteur est nul ou le
G JJG
deuxième vecteur est nul ou les deux vecteurs sont orthogonaux. On en déduit que E ⊥ dl . Cette relation
doit être vérifiée pour tout point M’ voisin de M et appartenant à ( Σ ) .
Le champ électrostatique en un point est orthogonal à la surface équipotentielle passant par ce point.
V.2 Ligne de champ et surface équipotentielle
M2
Σ2
Σ1
G
n
M1
Soient deux équipotentielles proches ( Σ1 ) et ( Σ 2 ) de potentiel V1 et V2. Soit M1 un point appartenant à
l’équipotentielle ( Σ1 ) . M2 est l’intersection de la normale passant par M1 et l’équipotentielle ( Σ 2 ) . On
JJG JJJJJJG
G JJG
G
applique la relation dV = − E ⋅ dl avec dl = M 1 M 2 . On pose n le vecteur unitaire normal à (Σ1) et dirigé de
G
G
G
G
M1 vers M2 ; E = E n . On a donc dV = V2 − V1 = − E n ⋅ M 1 M 2 n , d’où V1 − V2 = M 1 M 2 E . Si V2 > V1,
alors E < 0 et si V2 < V1, alors E > 0 .
Le champ électrostatique en un point est orthogonal à la surface équipotentielle passant par ce point
et dirigé dans le sens des potentiels décroissants.
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