Mécanique des fluides Examen 2015 – 1`ere session

M´ecanique des fluides
Examen 2015 – 1`ere session
On s’int´eresse au mouvement d’une sph`ere de rayon Ret de masse volumique ρsdans
un fluide visqueux de masse volumique ρfet de viscosit´e cin´ematique ν. Le fluide est
initialement immobile. La sph`ere est soumise `a la pesanteur (d’acc´el´eration ~g =−g ~ezo`u
~ezest un vecteur unitaire vertical dirig´e vers le haut). On suppose que la sph`ere a une
vitesse de chute ~ U=−U ~ez(U > 0). On cherche `a exprimer la vitesse de chute en fonction
des param`etres du probl`eme, dans le cas d’un fluide tr`es visqueux.
On suppose que la vitesse ~ Uest constante, ind´ependante du temps.
Partie 1 : Analyse dimensionnelle
1. Combien de nombres sans dimensions doit-on faire intervenir dans ce probl`eme ?
2. Proposer une expression pour ces nombres sans dimension.
3. En d´eduire une expression g´en´erale de la vitesse en fonction des param`etres du
probl`eme sugg´er´ee par votre analyse dimensionnelle.
Pour calculer la vitesse de chute de la sph`ere, il faut calculer les forces dues au fluide,
qui ´equilibrent la gravit´e. Ceci est l’objectif des parties suivantes.
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Partie 2 : Etude de l’´ecoulement autour de la sph`ere
Dans cette partie et la partie 3, on se place dans le r´ef´erentiel dans lequel la sph`ere
est immobile. Ce rep`ere est donc en translation `a la vitesse constante ~ Upar rapport au
r´ef´erentiel initial et donc il est galil´een. Il n’y aura donc pas de forces d’inertie. On utilise
un rep`ere dont l’origine Oest le centre de la sph`ere.
On note ~u(~r) le champ de vitesse du fluide autour de la sph`ere dans ce rep`ere. Comme
~
Uest constante, il est raisonnable de supposer que l’´ecoulement du fluide autour de la
sph`ere est stationnaire.
Par ailleurs, on peut raisonnablement supposer que le champ de vitesse n’est pas
perturb´e par la pr´esence de la sph`ere lorsque l’on se place suffisamment loin de la paroi
(donc quand r→ ∞). Donc loin de la sph`ere, le fluide se d´eplace `a la vitesse ~ U∞=U~ez
(dans le nouveau r´ef´erentiel).
Dans cette partie et la partie 3 on ne prend pas en compte la gravit´e.
4. Ecrire l’expression des ´equations de Navier-Stokes pour ce probl`eme. On utilisera une
formulation g´en´erale sans projeter sur un syst`eme d’axe particulier et on simplifiera
l’expression selon les hypoth`eses d´ej`a effectu´ees.
5. Quelle est la condition g´en´erale d’incompressibilit´e ?
6. On suppose que le nombre de Reynolds est tr`es faible. Donner l’expression du nombre
de Reynolds et utiliser cette hypoth`ese pour simplifier l’´equation de Navier-Stokes.
7. Donner l’expression des conditions aux limites pour le champ de vitesse.
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On rappelle sur la figure suivante la d´efinition des coordonn´ees sph´eriques.
Le vecteur vitesse ~u se projette sous la forme ~u =ur~er+uφ~eφ+uθ~eθ
Le vecteur ~ U∞se d´ecompose donc sous la forme ~ U∞=U ~ez=Ucos θ~er−Usin θ~eθ
et donc U∞r=Ucos θ,U∞θ=−Usin θet U∞φ= 0.
8. Justifier (sans calculs) que la composante uφde la vitesse est nulle.
On peut montrer apr`es calculs (ne pas tenter de les faire ! ! !) que les solutions de
l’´equation de Navier-Stokes simplifi´ee s’´ecrivent en coordonn´ees sph´eriques sous la
forme :
p(~r) = CρfνU cos θ
r2
(il faut en r´ealit´e ajouter une constante que l’on oublie ici car elle ne joue pas de
rˆole sur la force) et :
ur(~r) = Ucos θC
r+2D r3+Eet uθ(~r) = −Usin θC 2r−D r3+E
o`u C,Det Esont des constantes.
9. En utilisant les conditions aux limites, trouver les valeurs des constantes C,Det E.
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Partie 3 : Calcul de la force de train´ee
Pour pouvoir relier la vitesse U`a l’acc´el´eration de la pesanteur get aux autres pa-
ram`etres du probl`eme, il est n´ecessaire de calculer la r´esultante des forces qui s’appliquent
`a la sph`ere, dues `a l’´ecoulement.
10. Quelle est la nature des diff´erentes forces de contact dues `a l’´ecoulement qui s’ap-
pliquent `a la surface de la sph`ere ?
La seule composante non nulle du tenseur des contraintes visqueuses est
τθr =ρfν1
r
∂ur
∂r +∂uθ ∂r −uθ r
(composante de la force selon ~eθdue `a des gradients selon r).
11. Montrer que la r´esultante des diff´erentes forces de contact qui s’appliquent `a un
´el´ement de surface dS de la sph`ere s’´ecrit de mani`ere tr`es simple sous la forme :
d~ F=3ρfν
2R
~
U∞dS
12. En d´eduire la r´esultante ~ Fdes forces hydrodynamiques qui s’appliquent sur la to-
talit´e de la sph`ere en fonction de ~ Uet des autres param`etres du probl`eme.
Partie 4 : Expression de la vitesse de la sph`ere
Dans cette partie, on suppose `a nouveau que la gravit´e est pr´esente.
13. En prenant en compte la gravit´e, r´e´ecrire l’´equation de Navier-Stokes simplifi´ee `a la
question 6.
14. Comment la pression va-t-elle ˆetre modifi´ee par rapport `a la solution de la partie 2 ?
15. Quelle nouvelle force hydrodynamique (bien connue) due `a la pr´esence de la gravit´e
va-t-elle apparaitre en suppl´ement de la force calcul´ee `a la question 12 ? En d´eduire
que la force totale due `a la pr´esence du fluide et s’appliquant sur la sph`ere s’´ecrit :
~
F=4πR3
3ρfg+ 6πRρfνU ~ez
16. Appliquer le th´eor`eme de la r´esultante dynamique `a la sph`ere et en d´eduire l’ex-
pression de Uen fonction des param`etres du probl`eme.
17. Ce r´esultat est-il en accord avec le r´esultat de l’analyse dimensionnelle obtenu `a la
question 3 ?
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