Mécanique des fluides Examen 2015 – 1`ere session

Mécanique des fluides
Examen 2015 – 1ère session
On s’intéresse au mouvement d’une sphère de rayon R et de masse volumique ρs dans
un fluide visqueux de masse volumique ρf et de viscosité cinématique ν. Le fluide est
initialement immobile. La sphère est soumise à la pesanteur (d’accélération ~g = −g e~z où
e~z est un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut). On suppose que la sphère a une
~ = −U e~z (U > 0). On cherche à exprimer la vitesse de chute en fonction
vitesse de chute U
des paramètres du problème, dans le cas d’un fluide très visqueux.
~ est constante, indépendante du temps.
On suppose que la vitesse U
Partie 1 : Analyse dimensionnelle
1. Combien de nombres sans dimensions doit-on faire intervenir dans ce problème ?
2. Proposer une expression pour ces nombres sans dimension.
3. En déduire une expression générale de la vitesse en fonction des paramètres du
problème suggérée par votre analyse dimensionnelle.
Pour calculer la vitesse de chute de la sphère, il faut calculer les forces dues au fluide,
qui équilibrent la gravité. Ceci est l’objectif des parties suivantes.
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Partie 2 : Etude de l’écoulement autour de la sphère
Dans cette partie et la partie 3, on se place dans le référentiel dans lequel la sphère
~ par rapport au
est immobile. Ce repère est donc en translation à la vitesse constante U
référentiel initial et donc il est galiléen. Il n’y aura donc pas de forces d’inertie. On utilise
un repère dont l’origine O est le centre de la sphère.
On note ~u(~r) le champ de vitesse du fluide autour de la sphère dans ce repère. Comme
~
U est constante, il est raisonnable de supposer que l’écoulement du fluide autour de la
sphère est stationnaire.
Par ailleurs, on peut raisonnablement supposer que le champ de vitesse n’est pas
perturbé par la présence de la sphère lorsque l’on se place suffisamment loin de la paroi
(donc quand r → ∞). Donc loin de la sphère, le fluide se déplace à la vitesse U~∞ = U~ez
(dans le nouveau référentiel).
Dans cette partie et la partie 3 on ne prend pas en compte la gravité.
4. Ecrire l’expression des équations de Navier-Stokes pour ce problème. On utilisera une
formulation générale sans projeter sur un système d’axe particulier et on simplifiera
l’expression selon les hypothèses déjà effectuées.
5. Quelle est la condition générale d’incompressibilité ?
6. On suppose que le nombre de Reynolds est très faible. Donner l’expression du nombre
de Reynolds et utiliser cette hypothèse pour simplifier l’équation de Navier-Stokes.
7. Donner l’expression des conditions aux limites pour le champ de vitesse.
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On rappelle sur la figure suivante la définition des coordonnées sphériques.
Le vecteur vitesse ~u se projette sous la forme ~u = ur e~r + uφ e~φ + uθ e~θ
~ ∞ se décompose donc sous la forme U
~ ∞ = U e~z = U cos θ~er − U sin θ~eθ
Le vecteur U
et donc U∞r = U cos θ, U∞θ = −U sin θ et U∞φ = 0.
8. Justifier (sans calculs) que la composante uφ de la vitesse est nulle.
On peut montrer après calculs (ne pas tenter de les faire ! ! !) que les solutions de
l’équation de Navier-Stokes simplifiée s’écrivent en coordonnées sphériques sous la
forme :
Cρf νU cos θ
r2
(il faut en réalité ajouter une constante que l’on oublie ici car elle ne joue pas de
rôle sur la force) et :
C 2D
C
D
et uθ (~r) = −U sin θ
+E
ur (~r) = U cos θ
+ 3 +E
−
r
r
2r r3
où C, D et E sont des constantes.
p(~r) =
9. En utilisant les conditions aux limites, trouver les valeurs des constantes C, D et E.
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Partie 3 : Calcul de la force de trainée
Pour pouvoir relier la vitesse U à l’accélération de la pesanteur g et aux autres paramètres du problème, il est nécessaire de calculer la résultante des forces qui s’appliquent
à la sphère, dues à l’écoulement.
10. Quelle est la nature des différentes forces de contact dues à l’écoulement qui s’appliquent à la surface de la sphère ?
La seule composante non nulle du tenseur des contraintes visqueuses est
1 ∂ur ∂uθ uθ
+
−
τθr = ρf ν
r ∂r
∂r
r
(composante de la force selon ~eθ due à des gradients selon r).
11. Montrer que la résultante des différentes forces de contact qui s’appliquent à un
élément de surface dS de la sphère s’écrit de manière très simple sous la forme :
dF~ =
3ρf ν ~
U∞ dS
2R
12. En déduire la résultante F~ des forces hydrodynamiques qui s’appliquent sur la to~ et des autres paramètres du problème.
talité de la sphère en fonction de U
Partie 4 : Expression de la vitesse de la sphère
Dans cette partie, on suppose à nouveau que la gravité est présente.
13. En prenant en compte la gravité, réécrire l’équation de Navier-Stokes simplifiée à la
question 6.
14. Comment la pression va-t-elle être modifiée par rapport à la solution de la partie 2 ?
15. Quelle nouvelle force hydrodynamique (bien connue) due à la présence de la gravité
va-t-elle apparaitre en supplément de la force calculée à la question 12 ? En déduire
que la force totale due à la présence du fluide et s’appliquant sur la sphère s’écrit :
F~ =
4πR3
ρf g + 6πRρf νU
3
e~z
16. Appliquer le théorème de la résultante dynamique à la sphère et en déduire l’expression de U en fonction des paramètres du problème.
17. Ce résultat est-il en accord avec le résultat de l’analyse dimensionnelle obtenu à la
question 3 ?
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