TS. Contrôle 1 -Correction 1 ( 6 points ) Soit (un) la suite définie pour

TS. Contrôle 1 -Correction ♣
1( 6 points ) Soit (un)la suite définie pour tout entier naturel n non nul par 
u1=1
2
un+1=n+1
2nun
Pour tout entier naturel n non nul, unest strictement positif.
1. Calculer u2,u3et u4.
•u2=1+1
2×1u1=1 2•u3=2+1 2×2u2=3 4×1 2=3 8•u4=3+1 2×3u3=4 6×3 8=1 4
2. a. Démontrer que la suite (un)est décroissante.
Soit n∈∗, alors un+1
un
=n+1
2n=n+1 n+ndonc un+1 un
61. Comme un>0 on en déduit que un+16un
la suite (un)est décroissante.
b. Que peut-on en déduire pour la suite (un)? (sachant que pour n >1, unest strictement positif)
La suite (un)est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente vers une limite `>0.
3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn=un
n.
a. Démontrer que la suite (vn)est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v1.
Soit n∈∗, alors : vn+1=un+1
n+1=1 n+1×
n+1
2nun=1 2×1 nun=1 2vn.
La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 1
2et de premier terme v1=u1=1 2.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, un=n
2n.
pour tout n∈∗:vn=v1×µ1
2¶n−1
=1
2n, on en déduit, comme vn=un n, que un=n 2n
4. a. Démontrer que pour tout n >5, on a : 2n>n2.
Démonstration par récurrence :
— Initialisation : on a 25>52, soit 32 >25 donc la propriété est vraie pour n=5
— Hérédité : supposons qu’il existe n>5 tel que 2n>n2.je suppose la proposition vraie au rang n
Alors
2×2n>2×n2
2n+1>2n2
Comme n>5, 2n2>(n+1)2
en effet, 2n2>(n+1)2⇐⇒ n2−2n>1
⇐⇒ (n−1)2>2
⇐⇒ n>3 avec n∈
Finalement 2n+1>(n+1)2.alors la proposition est vraie au rang n +1
— Conclusion : la proposition est vraie pour n=5 , elle est héréditaire
donc par récurrence on a, quel que soit n>5, 2n>n2
b. En déduire la limite de la suite (un).
Pour n>5, 2n>n2⇐⇒ 2n
n>n⇐⇒ n 2n<1 n⇐⇒ un<1 n
•lim
n→+∞
1
n=0 et pour tout entier naturel 0 <un<1 n
donc par comparaison ("théorème des gendarmes") : lim
n→+∞ un=0
Remarque. On aurait pu déterminer la limite `de la suite (un) dès la question 2. b.
En effet la relation un+1=n+1
2nunentraîne que, lorsque ntend vers +∞,`=1 2`et donc que `=0.

2( 5 points ) Les questions 1et 2sont indépendantes
1. Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher.
On prélève au hasard une boule de l’urne.
Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on prélève au hasard une seconde boule.
Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l’urne sans remettre la boule tirée.
a. Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ?
•
R1
R2
N2
N1
R2
N2
2
3
2/3
1/3
1
3
4/5
1/5
p(R1∩R2)=p(R1)×pR1(R2)=2
3×2 3=4 9
b. Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.
p(N2)=p(R1)×pR1(N2)+p(N1)×pN1(N2)=2
3×1 3+1 3×1 5=2 9+1 15 =10+3 45 =13 45
Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.
pN2(R1)=p(R1∩N2)
p(N2)=
2
3×1 3
13
45
=2
9×45 13 =10 13
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Une urne contient quatre boules rouges et n boules noires indiscernables au toucher.
On prélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée après chaque
tirage. La variable aléatoire Xdonnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi
binomiale de paramètres 4et p.
a. Donner l’expression de p en fonction de n.
La probabilité de tirer une boule rouge, sachant qu’il y a 4 rouges et nnoires pour un total de n+4 boules
est égale à : p=4
n+4
b. Démontrer que la probabilité qnque l’une au moins des quatre boules tirées soit noire est telle que
qn=1−µ4
n+4¶4
.
La probabilité de tirer quatre boules rouges est égale à µ4
n+4¶4
,
l’évènement contraire, soit l’une au moins des boules est noire, a une probabilité de qn=1−µ4
n+4¶4
c. Quel est le plus petit entier naturel n pour lequel la probabilité qnest supérieure ou égale à 0,999 9 ?
qn>0,999 9 ⇐⇒ 1−µ4
n+4¶4
>0,999 9 ⇐⇒ 0,000 1 >µ4
n+4¶4
⇐⇒ 0,1 >4
n+4⇐⇒ 0,1(n+4) >4⇐⇒ 0,1n+0,4 >4⇐⇒ 0,1n>3,6 ⇐⇒ n>36.
On a donc q36 =0,999 9

3( 5 points ) Les deux parties peuvent être traitées indépendamment. Donner les résultats sous la forme de fractions.
On dispose d’une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher.
Partie A
On considère l’expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l’urne U, en remettant à chaque
fois la boule dans l’urne. On appelle Xle nombre de fois où on a obtenu une boule rouge.
1. Justifier que Xsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
B1B2B3
R1R2
À la répétition 3 fois, de façon indépendante, d’une épreuve à deux issues,
je peux associer la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès ;
ici, il y a succès si la boule tirée est rouge avec p=2
5.
X suit une loi binomiale X,→Bµ3 ; 2
5¶
2. Calculer la probabilité d’avoir obtenu exactement une fois une boule rouge.
La probabilité de tirer k(0 6k63) boule(s) rouge(s) est égale à
p(X =k)=Ã3
k!µ2 5¶kµ1−2 5¶3−k
(?). En particulier : p(X =1) =Ã3
1!µ2 5¶1µ3 5¶3−1
=3×2
5×32 52=54 125
3. Déterminer l’espérance mathématique de Xet interpréter ce résultat.
On sait que E(X) =n×p=3×2
5=6 5=1,2
Sur un grand nombre de tirages on tirera un peu plus d’une boule rouge en moyenne par tirage.
Partie B
On procède maintenant à une nouvelle expérience :
¯¯¯¯
on tire une boule de l’urne U. Si elle est rouge on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une boule à nouveau ;
si cette deuxième boule est rouge, on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une boule pour la troisième fois.
1. Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.
•
R
B
R
BR
B
2
5
3
5
2
5
3
5
2
5
3
5
2. On appelle Yle nombre de boules rouges obtenues lors d’une expérience.
La variable aléatoire Yprend donc la valeur 1si la dernière boule est rouge et 0sinon.
Calculer P(Y =1) puis en déduire son espérance mathématique.
p(Y =1) =1−p(Y =0) =1−27
125 =98 125 avec p(Y =0) =3 5×3 5×3 5=27 125
Y=yi0 1
p¡Y=yi¢27
125 98 125
E(Y) =1×98
125 +0×27 125 =98 125
3. On appelle Nle nombre de tirages effectués lors d’une expérience.
Calculer P(N =1),P(N =2) et P(N =3) puis en déduire l’espérance mathématique de N.
p(N =1) =2
5;p(N =2) =3 5×2 5=6 25 et p(N =3) =3 5×3 5=9 25
N=ni123
p(N=ni)2
56 25 9 25
E(N) =1×2
5+2×6 25 +3×9 25 =2 5+12 25 +27 25 =10+12 +27 125 =49 25
4. On appelle proportion moyenne de boules rouges le rapport de l’espérance du nombre de boules rouges obtenues sur
l’espérance du nombre de tirages. Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l’expérience est la même
que la proportion de boules rouges dans l’urne.
La proportion moyenne de boules rouges dans l’expérience est : E(Y)
E(N) =98 125 ×25 49 =2 5
elle correspond effectivement à la proportion de boules rouges dans l’urne.

4( 4 points ) Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies.
Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
—la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,99 ;
—la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,001.
1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’es-
timer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1%.
On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
On note Ml’évènement « la personne choisie est malade » et Tl’évènement « le test est positif ».
a. Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.
b. Démontrer que la probabilité p(T) de l’évènement Test égale à 1,989 ×10−3.
•
M
T
T
M
T
T
0,001
0,99
0,01
0,999 0,001
0,999
p(T) =p(T ∩M)+p(T ∩M)
=pM(T)×p(M) +pM(T) ×p(M)
=0,99×0,001+0,001×0,999
p(T) =0,001989 =1,989 ×10−3
c. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
Affirmation : « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade ».
Affirmation VRAIE : « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade » :
pT(M) =p(M∩T)
p(T) =0,99×0,001 1,989×10−3'0,4977 <0,5
2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit
malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par x la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie
dans la population.
À partir de quelle valeur de x le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
•pT(M) >0,95 :
.
M
T
T
M
T
T
x
0,99
0,01
1−x0,001
0,999
p(T) =p(T ∩M)+p(T ∩M)
=pM(T)×p(M) +pM(T) ×p(M)
=0,99×x+0,001×(1 −x)
pT(M) >0,95 ⇐⇒ p(M∩T)
p(T) =0,99x 0,99x+0,001(1−x)>0,95
⇐⇒ 0,99x
0,989x+0,001 >095
⇐⇒ 0,99x>0,95(0,989x+0,001)
⇐⇒ (0,99−0,93955)x>0,00095
pT(M) >0,95 ⇐⇒ x>0,00095
0,05045 '0,018831 soit 1,88%