Correction

Correction
I.
1.
Généralités.
Il s’agit d’un mouvement plan. Deux coordonnées, donc deux axes, suffisent à décrire la position de la
fourmi.
2.
L’échelle est 1/1 ; les mesures de longueur pourront être directement effectuées sur le document...
La durée s’écoulant entre deux positions successives est :  = 1,0 s.
3.
Phase 1 : mouvement rectiligne (la trajectoire est une droite) accéléré (la vitesse augmente puisque qu’en
des durées égales, la fourmi parcourt une distance de plus en plus grande (la distance entre les points
augmente)).
Phase 2 : mouvement rectiligne (la trajectoire est une droite) uniforme (la valeur de la vitesse est constante
puisque les points sont équidistants (la fourmi parcourt la même distance en des durées égales)).
Phase 3 : mouvement circulaire (la trajectoire est un arc de cercle) uniforme (les points sont équidistants).
II.
Le vecteur position.
1.
Voir le document.
2.
Composantes : OM29
3.
D’après le théorème de Pythagore : OM29 =
4.
On vérifie bien OM29 = 16,6 cm.
5.
La norme du vecteur position OM29 est égale à la distance séparant la position finale de la fourmi de

=

l’origine O du repère.

6.
OM
: la fourmi se trouve sur l’axe (Oy), 10 cm au dessus de l’origine.

OM
7.
: la fourmi se trouve sur l’axe (Ox), 6 cm à gauche de l’origine.
Le vecteur position n’est pas constant car la fourmi se déplace...
III.
Etude de la phase 1 du mouvement.
1.
2.
Position Mi
ti (s)
M0
Vecteur position OMi
x (cm)
y (cm)
0
0
0
M1
1,0
0,50
0,25
M2
2,0
1,50
0,75
M3
3,0
3,00
1,50
M4
4,0
5,00
2,50
M5
5,0
7,50
3,75
Graphes :
x (cm)
12
x = 0,25t2 + 0,25t
10
8
6
4
2
0
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
y (cm)
6
y = 0,125t2 + 0,125t
5
4
3
2
1
0
t (s)
0
1
2
3
4
3.
La modélisation du nuage de points par une courbe polynomiale de degré 2 permet de retrouver les équations
horaires (la courbe est une branche de parabole).

4.
OM6
On retrouve les composantes de ce vecteur position du le document...
Correction
I.
1.
Etude de la phase 1 du mouvement.
Calcul de la vitesse moyenne de la fourmi :
Pour le déplacement d’une fourmi, l’unité la plus adaptée est le cm/s.
La conversion en km/h s’effectue en multipliant la vitesse en m/s par 3,6 (sauriez vous démontrer pourquoi ?)
La vitesse moyenne donne une information limitée : on sait que si la fourmi avait une vitesse constante (ce qui
n’est pas le cas !), elle parcourrait 7,1 km en une heure. Seulement... elle accélère.
2.
On applique la relation donnée dans la définition :
Qui devient, pour la vitesse v3 au point M3 :
On remarque que cette relation permet de calculer la vitesse moyenne sur un trajet M 2M4.
De même, pour la vitesse v5 au point M5 :
On estime ainsi la valeur d’une vitesse instantanée (à un instant donné).
3.
La valeur de la vitesse augmente : il s’agit bien d’un mouvement accéléré.
4.
Voir document (échelle 1 cm pour 1cm/s)
5.
On mesure les composantes des vecteurs vitesses directement sur la figure :
et
6.
Position Mi
ti (s)
M0
Vecteur vitesse vi
vx (cm/s)
vy (cm/s)
vi (cm/s)
0
0,25
0,125
0,28
M1
1,0
0,75
0,375
0,84
M2
2,0
1,25
0,625
1,40
M3
3,0
1,75
0,875
2,0
M4
4,0
2,25
1,125
2,51
M5
5,0
2,75
1,375
3,1
Les valeurs des composantes vx et vy sont directement mesurées sur la figure (échelle 1 cm pour 1 cm/s)
7.
Graphes :
vx (cm/s)
3,5
vx = 0,5t + 0,25
3
2,5
2
1,5
1
0,5
t (s)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
vy (cm/s)
1,8
vy = 0,25t + 0,125
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
Sauriez-vous calculer la vitesse initiale de la fourmi en M0 ?
7
Graphe (non demandé) de v(t) :
4
v = 0,56t + 0,28
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
8.
1
2
3
4
5
6
7
La modélisation du nuage de point par une courbe de tendance proposée par Excel (application affine) donne
les équations indiquées sur les graphes.
9.
Donc :
10. Les équations horaires dérivant la phase 1 (mouvement rectiligne accéléré) sont :
 x(t) = 0,25.t2 + 0,25.t
(1)
 y(t) = 0,125.t2 + 0,125.t (2)
 vx(t) = 0,5.t + 0,25
(3)
 vy(t) = 0,25.t + 0,125
(4)
La dérivée de l’équation (1) donne l’équation (3)
La dérivée de l’équation (2) donne l’équation (4)
Car
II.
Etude de la phase 2 du mouvement.
1.
On rappelle que la phase 2 est un mouvement rectiligne uniforme.
2.
Détermination des normes des vitesses :
3.
Voir le document.
4.
Ces vecteurs sont tous égaux : v6 = v8 = v7 = v9
5.
Pour un mouvement rectiligne uniforme :




III.


v = cste
Etude de la phase 3 du mouvement.
1.
On rappelle que la phase 3 est un mouvement circulaire uniforme.
2.
Détermination des normes :
3.
Voir le document. Attention à la construction de la tangente à un cercle !
Correction
I.
Etude de la phase 1 du mouvement.

1.


La construction de  v 4 = v 5 – v 3 se fait géométriquement. La norme peut être ensuite mesurée directement
sur le document (attention à l’échelle) ou algébriquement :
Soit : v4 =
2.
On applique la relation :
Qui donne ici :
=

3.

Le vecteur a4 a le même sens et la même direction que le vecteur  v 4 . Sa norme est égale à 0,56 cm/s2 (soit
1,12 cm sur le document !). On le trace en rouge.
4.
On mesure les composantes sur le schéma en tenant compte de l’échelle :

a4
5.
Position Mi
ti (s)
M0
Vecteur accélération ai
ax (cm/s2)
ay (cm/s2)
ai (cm/s2)
0
0,5
0,25
0,56
M1
1,0
0,5
0,25
0,56
M2
2,0
0,5
0,25
0,56
M3
3,0
0,5
0,25
0,56
M4
4,0
0,5
0,25
0,56
M5
5,0
0,5
0,25
0,56
6.
et
7. Les graphes ax(t) et ay(t) sont des droites parallèles à l’axe des abscisses. Leurs équations sont :
ax(t) = 0,5
ay(t) = 0,25
8.
Au cours de la phase 1, on remarque que la norme de l’accélération est constante. En termes clairs, cela
signifie que la vitesse augmente régulièrement de 0,56 cm/s à chaque seconde ! C’est un mouvement
rectiligne uniformément accéléré (a = cste).
9.
Equations horaires décrivant le mouvement de la phase 1 :
x(t) = 0,25.t2 + 0,25.t
(1)
y(t) = 0,125.t2 + 0,125.t (2)
vx(t) = 0,5.t + 0,25
(3)
vy(t) = 0,25.t + 0,125
(4)
ax(t) = 0,5
(5)
ay(t) = 0,25
(6)
10. On remarque que :
La dérivée de l’équation (3) donne l’équation (5)
La dérivée de l’équation (4) donne l’équation (6)
Mais aussi que la dérivée seconde de l’équation (1) donne directement l’équation (5)
Et que la dérivée seconde l’équation (2) donne directement l’équation (6)
VECTEUR ACCELERATION :
II.
1.
Etude de la phase 2 du mouvement.
Déterminons la norme a7 :





car :  v 7 = v 8 – v 6 = 0


( v 8 = v 6, puisque le mouvement est rectiligne uniforme...)
=

2.

Pour un mouvement rectiligne uniforme : a = 0
III.
Etude de la phase 3 du mouvement.
1.
Voir document.
2.
Par mesure (en tenant compte de l’échelle 2 cm pour 1 cm/s) :
v13 = 0,80 cm.s-1 (1,6 cm mesuré sur le document)
v15 = 0,80 cm.s-1
3.
Détermination des normes :
Première remarque : l’accélération est non nulle alors que le mouvement est uniforme !!!!!!
Deuxième remarque : l’accélération a une norme constante mais n’est pas constante vectoriellement !!!!!
4.
On mesure le rayon du cercle : R = 3,6 cm. En utilisant les valeurs précédentes (a = 0,48 et v = 1,2), on trouve
que la bonne relation est :

5.



Les vecteurs a13 et a15 ont même direction et même sens que les vecteurs  v 13 et  v 15. Les normes sont de
0,48 cm/s2 soit 0,96 cm sur le document.
6.
Lors d’un mouvement circulaire uniforme le vecteur accélération est radial (même direction que le rayon
du cercle) et dirigé vers le centre du cercle.