vitesse point -et -moyenne

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CHAPITRE : MECANIQUE 1 Cinématique
I. Vecteurs positions
à une dimension :

|| i || = 1

OD  2i
OD (2)

OM 1 ( x1)  x1.xi
à deux dimensions :
M1 (x1,y1)


 x1 
OM 1   = x1.xi  y1. j
 y1 
à trois dimensions :
x
 
Au cours du mouvement les coordonnées  y  du mobil varient, ce sont des fonctions du temps.
z 
 
notation :
 x(t ) 





 y(t ) OM (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k
 z (t ) 


Tracer quelques points de la trajectoire du mouvement du M dont le vecteur position
 x(t )  5t 

OM 
 y (t )  8 
II. Vecteur vitesse (instantanée)
Cas général :
MM '  MO  OM '  OM 'OM
 OM 'OM
v
t
 OM (t  t )  OM (t )
v
t


v m  lim v
t 0
 d OM
v
dt

 d  
v  ( xi  yj  zk )
dt



 d ( xi ) d ( yj ) d ( zk )
v


dt
dt
dt


 dx
di dy
dz 
v  i x 
j k
dt
dt dt
dt
 dx
 dt  x  vx

  dy
v    y  vy
 dt
 dz
 dt  z  vz

 dx  dy  dz 
v i
j k
dt
dt
dt
exemple :
Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse instantanée de l’exemple du I.
 x(t )  5t 

OM  
 y (t )  8 
1
 vx  5m.s
v 
vy  0m.s 1
On donne le vecteur vitesse d’un point M dans le repère
 
(O; i , j )
 vx  5m.s 1
v 
vy  10t
Déterminer les coordonnées du vecteur position. Le point M se trouve à l’origine du repère à t = 0
 x(t )  k


OM 
 y (t )  5t ²  k ' 
àt=0
x ( 0)  0  k
y ( 0)  0  k '
III. Vecteur accélération



v (t ' )  v (t )
amoyenne 
t


a  lim .amoyenne
t  0

 dv
a
dt


 dv 
a (t )   (t )
 dt 
 

a  0  v  cst

dv 
donc :
0
dt
Si le mouvement est rectiligne uniforme alors le vecteur accélération est nul
Nature d’un mouvement :
- mouvement rectiligne uniforme
- mouvement rectiligne accéléré
- mouvement rectiligne décéléré / ralenti
- mouvement circulaire uniforme
- mouvement circulaire accéléré
- mouvement circulaire ralenti
- mouvement parabolique :
droite
droite
droite
cercle
cercle
cercle
/
vitesse constante
vitesse augmente
vitesse diminue
vitesse constante
vitesse augmente
vitesse diminue
/
Exercice
1.Calculer les coordonnées de

a de l’exemple I.
2.Déterminer les coordonnées du vecteur position du point M dont
 x(t )  5t 

OM  
 y (t )  8 
1.
1
 vx  5m.s
v 
vy  0m.s 1
  ax  0 

a  

a

0
y



 dv d  d OM  d ²OM
remarque : a 


dt dt  dt 
dt ²
2.

 vx  5

v 

 v y  5t  k ' 
 vx  0 

v 

 v y  5t 
 0 

v 
  5t 
 x  k



v
5

 y   t ²  k ' 
2


x  0



v
5 
 y   t²
2 

 0 

a est donné par a  
  5
v 

 ax  x 
dt 

vy 
 
a   ay  
dt 


vz 
 a z  dt 


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