serie statistique a une variable

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Nom de l’élève : Cahier de statistique
Classe :
Ce document sera complété par des exemples, des exercices d’application, des expériences et des simulations à l’aide de la calculatrice et un
tableur. Cette production pourrait être continuée en première et en terminale.Garder soigneusement ce document et ces annexes.
SERIE STATISTIQUE A UNE VARIABLE
1. Vocabulaire.
Une statistique désigne d'une part un recueil de données concernant une population et d'autre part les méthodes de
traitement et d’interprétation de ces données.
1.1 La population est l'ensemble des individus sur lesquels vont porter les observations ( ensembles d’objets, de
personnes, d’entreprises, de machines, d’animaux...). Chaque élément de cette population est appelé individu. Le
nombre total d’individus de la population s’appelle effectif total de la population
1.2 L'échantillon est un sous ensemble de la population.
1.3 Le caractère statistique ou la variable statistique est la propriété étudiée.
Un caractère peut être qualitatif une marque de produit, le sport pratiqué, le groupe sanguin
il peut être quantitatif : la taille, le salaire, le nombre d'enfants d'une famille...
Un caractère est discret s'il ne prend que des valeurs isolées : le nombre d'enfants d'une famille.
Un caractère est continu s'il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné partagé en classes.
2. Série statistique quantitative
Une série statistique quantitative se présente sous forme de tableau dans lequel figure les valeurs du caractère et les
effectifs correspondants.
Exemple 1
Nombre d’enfants par famille
0
1
2
3
4
5
6
Effectif
7
10
13
9
6
4
1
Lorsque le caractère est continu, la série sera présentée par classes de valeurs. Une classe est un intervalle pour lequel
un sous ensemble de la population correspond à une valeur ou à des valeurs voisines prises par le caractère. ( les
intervalles n’ont pas forcément la même amplitude).
Exemple 2
Superficie en ha
Nombre d’exploitations
[0 ; 5[
29
[5 ; 10[
35
[10 ; 30[
60
[30 ; 40[
31
[40 ; 60[
45
Présentation générale d’une série statistique :
Valeurs du caractère ou
centres des classes xi
x1
x2
…
…
xp
effectifs : ni
n1
n2
…
…
np
le centre de la classe [ a ; b [ est
2
ab
par exemple le centre de la classe [30 ; 40[ est 35
L'effectif total de la série est la somme des effectifs de toutes les valeurs possibles de xi,
N = nI +n2+n3+…. np
3. Fréquences
 La fréquence d'une valeur (ou d’une modalité) est égale au quotient de la valeur par l’effectif total de la
population.
La fréquence d’une valeur xi est
i
in
fN
La fréquence s’exprime sous forme fractionnaire, décimale ou sous forme de pourcentage.

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 Propriétés de la fréquence :
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme de toutes les fréquences est égale à 1, on note
11
ip
i
if
et on lit : « somme de i égal 1 à p des fi »
 Fréquences cumulées croissantes et fréquences cumulées décroissantes
Les fréquences cumulées croissantes s’obtiennent en ajoutant au fur et à mesure les fréquences.
Les fréquences cumulées décroissantes s’obtiennent en partant de 1 et en retranchant au fur et à mesure les fréquences
successives.
Exemple 3
Compléter le tableau ci-dessous :
Superficie en ha
Nombre
d’exploitations ni
Fréquence fi
Fréquences cumulées
croissantes
Fréquences cumulées
décroissantes
3
7
0,14
0,14
1
5
10
0,20
0,34
0,86
9
13
0,26
12
9
15
1
20
7
25
3
1
0,06
TOTAL
50
1
Quel est le pourcentage d’exploitations ayant moins de 15 ha de superficie (strictement) ?
Quel est le pourcentage d’exploitations ayant plus de 9 ha de superficie ?
4. Exemples de série statistique qualitative
Pour une série statistique qualitative le caractère n’est pas mesurable. On parle dans ce cas d’une modalité.
Exemple 4
5. Représentations graphiques
Il existe différentes sortes de représentations :
Diagrammes en secteurs ( ou « camembert »), qui sont des disques partagés en secteurs dont l’angle au centre
est proportionnel à l’effectif de chaque classe.
Diagrammes en bâtons (ou en barres), formés de barres dont l’abscisse est xi et de hauteur proportionnelle à ni ou
à fi.
Histogrammes, lorsque les valeurs sont regroupées en classes. On construit des rectangles ayant pour bases
chacune des classes et une aire proportionnelle à l’effectif.
Polygones des effectifs. Polygones des effectifs cumulés.
Polygones des fréquences. Polygones des fréquences cumulées…
5.1 Cas d’un caractère discret
Les variables discrètes sont représentées par des diagrammes en bâtons
Exemple 5
Notes du devoir
5
8
10
12
15
Nombre d’élèves
4
7
9
8
2
Construire sur une feuille annexe le diagramme en bâtons.
Activités sportives
Tennis
Natation
Equitation
Rugby
Marche
Effectifs
120
152
66
180
250

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Exemple 6
Les graphiques ci-dessous sont réalisés à l’aide d’un tableur Excel. Vous pouvez les reproduire à l’aide de ce tableur ou
un autre logiciel de votre choix.
La recette journalière, en euros, d'un marchand de glaces pendant une période de
trois mois donnent les résultats suivants:
Effectifs
0
10
20
30
Xi
50
60
70
80
90
100
110
120
Effectifs
Titre du graphique
0
5
10
15
20
25
30
50 60 70 80 90 100 110 120
Effectifs
5.2 Cas d’un caractère continu
Les variables continues sont représentées par des histogrammes (ou diagrammes en surface) :
l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif ( ou à la fréquence).
Recettes
Effectifs
Fréquences
Fréquences
xi
ni
fi en %
cum. croissantes
50
3
3,33
3,33
60
10
11,11
14,44
70
15
16,67
31,11
80
18
20,00
51,11
90
24
26,67
77,78
100
15
16,67
94,45
110
3
3,33
97,78
120
2
2,22
100,00
TOTAL
90
100,00
Effectifs
50
60
70
80
90
100
110
120
50
60
70
80
90
100
110
120
Polygone des
effectifs

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Exemple 7
Superficie
en ha
Nombre
d’exploitations
ni
[0 ; 5[
29
[5 ; 10[
35
[10 ; 30[
60
[30 ; 40[
31
[40 ; 60[
45
TOTAL
200
Histogramme
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6. Caractéristiques de tendance centrale.
6.1 Le mode est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif.
Pour le cas continu, c'est le centre de la classe modale.
Exemples : Dans l’exemple 1, le mode est :
Dans l’exemple 2, la classe modale est :
6.2 La moyenne
Valeurs du caractère ou
centres des classes x
x1
x2
…
…
xp
effectifs : ni
n1
n2
…
…
np
La moyenne arithmétique de la série ou de l'échantillon sera notée
x
1 1 2 2 1
...
ip
ii
pp inx
n x n x n x
xNN
Cette formule est équivalente à :
1 1 2 2 3 3
1.............
p
i i p p
i
x f x f x f x f x f x
où fi est la fréquence de xi .
0
5
10
20
30
40
50
60
0
5
10
20
30
40
50
60
29
35
60
31
45

N.M. page 5 Cahier de statistique
Exemple 8 : Reprendre l’exemple 3, compléter le tableau suivant puis calculer la superficie moyenne.
Superficie en ha
xi
Nombre
d’exploitations ni
Fréquence fi
fi xi
ni xi
3
7
0,14
5
10
0,20
9
13
0,26
12
9
15
1
20
7
25
3
TOTAL
50
1
la superficie moyenne est :………………………………………………………………………….
Exemple 9 : Compléter le tableau puis calculer la moyenne de la série statistique
Superficie
en ha
Nombre
d’exploitations
ni
Centre de la
classe
xi
Produit
nixi
[0 ; 5[
29
[5 ; 10[
35
[10 ; 30[
60
[30 ; 40[
31
[40 ; 60[
45
TOTAL
x
Utilisation de la calculatrice
 Utiliser la calculatrice pour retrouver les moyennes dans les exemples 6 et 7 .
Voir livre modulo seconde, pages 176 et 177, pour les fonctions statistiques d’une calculatrice.
Linéarité de la moyenne :
1. Lorsqu’on ajoute ( ou en retranche ) un même nombre k à chacune des valeurs du caractère, sans changer les
effectifs, la moyenne augmente ( ou diminue) de k.
2. Lorsqu’on multiplie chacune des valeurs du caractère par un même nombre k, sans changer les effectifs, la
moyenne est multipliée par k.
Exemple 10 :
Dans une boutique la moyenne des prix est de 12 €. Si le commerçant décide d’augmenter tous les prix de 1 € alors le
prix moyen dans cette boutique sera de 13 €.
Si maintenant le commerçant décide d’augmenter tous les articles de 10%, alors le prix moyen sera multiplié par 1,1
car : 13 + 13 10% 13 (1 + 0,1) 13 1,1. Donc le prix moyen sera égal à 14,30€.
Moyenne à partir des moyennes de sous- groupes.
On considère une série statistique constituée de deux sous groupes disjoints.
Le premier groupe a pour effectif n et pour moyenne
x
.
Le second groupe a pour effectif p et pour moyenne
y
.
La moyenne de la série statistique est donnée par la formule :
nx py
mnp
Exemple 11 :
Dans une classe de terminale S, la moyenne générale de 14 élèves ayant choisi la spécialité Maths est de 11,4 et la
moyenne générale des 20 élèves ayant choisi la spécialité SVT est de 10,2.
Quelle est la moyenne générale de la classe ?