SERIE STATISTIQUE A UNE VARIABLE

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Cahier de statistique
Ce document sera complété par des exemples, des exercices d’application, des expériences et des simulations à l’aide de la calculatrice et
un tableur. Cette production pourrait être continuée en première et en terminale. Garder soigneusement ce document et ces annexes.
SERIE STATISTIQUE A UNE VARIABLE
1. Vocabulaire.
Une statistique désigne d'une part un recueil de données concernant une population
et d'autre part les méthodes de traitement et d’interprétation de ces données.
1.1 La population est l'ensemble des individus sur lesquels vont porter les observations
( ensembles d’objets, de personnes, d’entreprises, de machines, d’animaux...).
Chaque élément de cette population est appelé individu.
Le nombre total d’individus de la population s’appelle effectif total de la population
1.2 L'échantillon est un sous ensemble de la population.
1.3 Le caractère statistique ou la variable statistique est la propriété étudiée.
Un caractère peut être qualitatif : une marque de produit, le sport pratiqué, le groupe sanguin
ou quantitatif : la taille, le salaire, le nombre d'enfants d'une famille...
Un caractère est discret s'il ne prend que des valeurs isolées : le nombre d'enfants d'une famille.
Un caractère est continu s'il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné partagé en classes.
2. Série statistique quantitative
Une série statistique quantitative se présente sous forme de tableau dans lequel figure les valeurs du caractère et les
effectifs correspondants.
Exemple 1
Nombre d’enfants par famille
0
1
2
3
4
5
6
Effectif
7
10
13
9
6
4
1
Lorsque le caractère est continu, la série sera présentée par classes de valeurs.
Une classe est un intervalle pour lequel un sous ensemble de la population correspond à une valeur ou à des valeurs
voisines prises par le caractère. ( les intervalles n’ont pas forcément la même amplitude).
Exemple 2
Superficie en ha
Nombre d’exploitations
[0 ; 5[
29
[5 ; 10[
35
[10 ; 30[
60
[30 ; 40[
31
[40 ; 60[
45
Présentation générale d’une série statistique :
Valeurs du caractère ou
centres des classes xi
x1
x2
…
…
xp
effectifs : ni
n1
n2
…
…
np
Le centre de la classe [ a ; b [ est a + b
2 par exemple le centre de la classe [30 ; 40 [ est
L'effectif total de la série est la somme des effectifs de toutes les valeurs possibles de xi,
N = nI + n2 + n3 +…. + np

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3. Fréquences
 La fréquence d'une valeur (ou d’une modalité) est égale au quotient de l'effectif de la valeur par l’effectif total
de la population.
La fréquence d’une valeur xi est fi = ni
N
La fréquence s’exprime sous forme fractionnaire, décimale ou sous forme de pourcentage.
Dans l'exemple 1 la fréquence de la valeur 4 est 6
50 = 0,12 soit 12%.
 Propriétés de la fréquence :
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme de toutes les fréquences est égale à 1, on note 
i = 1
i = p
f i et on lit : « somme de i égal 1 à p des fi »
 Fréquences cumulées croissantes et fréquences cumulées décroissantes
Les fréquences cumulées croissantes s’obtiennent en ajoutant au fur et à mesure les fréquences.
Les fréquences cumulées décroissantes s’obtiennent en partant de 1 et en retranchant au fur et à mesure les
fréquences successives.
Exemple 3
Compléter le tableau ci-dessous :
Superficie en ha
Nombre
d’exploitations ni
Fréquence fi
Fréquences cumulées
croissantes
Fréquences cumulées
décroissantes
3
7
0,14
0,14
1
5
10
0,20
0,34
0,86
9
13
0,26
0,6
0,66
12
9
0,18
0,78
0,4
15
1
0,02
0,8
0,22
20
7
0,14
0,94
0,2
25
3
0,06
1
0,06
TOTAL
50
1
Quel est le pourcentage d’exploitations ayant moins de 15 ha de superficie (strictement) ?
0,78 100 = 78. 78% des exploitations ont une superficie de strictement moins de 15ha.
Quel est le pourcentage d’exploitations ayant plus de 9 ha de superficie ?
0,66 100 = 66. 66% des exploitations ont une superficie de plus de 9ha.
4. Exemples de série statistique qualitative
Pour une série statistique qualitative le caractère n’est pas mesurable. On parle dans ce cas d’une modalité.
Exemple 4
Activités sportives
Tennis
Natation
Equitation
Rugby
Marche
Effectifs
120
152
66
180
250

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5. Représentations graphiques
Il existe différentes sortes de représentations :
 Diagrammes en secteurs ( ou « camembert »), qui sont des disques partagés en secteurs dont l’angle au centre
est proportionnel à l’effectif de chaque classe.
 Diagrammes en bâtons (ou en barres), formés de barres dont l’abscisse est xi et de hauteur proportionnelle à ni
ou à fi.
 Histogrammes, lorsque les valeurs sont regroupées en classes.
On construit des rectangles ayant pour bases chacune des classes et une aire proportionnelle à l’effectif.
 Polygones des effectifs. Polygones des effectifs cumulés.
 Polygones des fréquences. Polygones des fréquences cumulées…
5.1 Cas d’un caractère discret
Les variables discrètes sont représentées par des diagrammes en bâtons.
Exemple 5
Notes du devoir
5
8
10
12
15
Nombre d’élèves
4
7
9
8
2
Construire le diagramme en bâtons.

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5.2 Cas d’un caractère continu
Les variables continues sont représentées par des histogrammes (ou diagrammes en surface) :
l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif ( ou à la fréquence).
On peut également tracer les polygones des effectifs (ou des fréquences) croissants et décroissants.
Exemple 7:
Superficie
en ha
Largeur de la
classe
Nombre
d’exploitations
ni
Hauteur du
rectangle
Effectifs
cumulés
croissants
Effectifs
cumulés
décroissants
[0 ; 5[
5
29
29
29
200
[5 ; 10[
5
35
35
64
171
[10 ; 30[
20
60
15
124
136
[30 ; 40[
10
31
15,5
155
76
[40 ; 60[
20
45
11,25
200
45
TOTAL
200
1) Tracer l'histogramme représentant cette série.

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2) Compléter le tableau puis tracer les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants
6. Caractéristiques de dispersion
6. 1 L'étendue de la série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.
Exemples : Dans l’exemple 1, l’étendue est 6 – 0 = 6 , dans l’exemple 2, l’étendue est 60 – 0 = 60
7. Caractéristiques de tendance centrale.
7.1 Le mode Le mode est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif.
Pour le cas continu, c'est le centre de la classe modale.
Exemples : Dans l’exemple 1, le mode est : 2 car l'effectif le plus élevé est 13.
Dans l’exemple 2, la classe modale est : [ 5 ; 10 [ car le rectangle correspondant sur
l'histogramme est le plus haut ( donc l'effectif relativement à la largeur de la classe
est le plus grand )
7.2 La moyenne
Valeurs du caractère ou
centres des classes x
x1
x2
…
…
xp
effectifs : ni
n1
n2
…
…
np
La moyenne arithmétique de la série ou de l'échantillon sera notée x
x = n1 x1 + n2 x2 + … + np xp
N =
i = 1
i =p
ni xi
N
Cette formule est équivalente à : x = f1 x1 + f2 x2 + … + fp xp = 
i = 1
i =p
fi xi où fi est la fréquence de xi .