fonctions-derivees - Maths-pour-un

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Le saut de Marc est-il réussi ?
activité :
Saut à ski
Pour réussir son saut à ski,
Marc doit atteindre au moins
une hauteur de 3,5 m.
La trajectoire du centre de
gravité de Marc, lors de son
saut, est une parabole dont
l’équation est parmi les 3 cidessous :
𝑎) 𝑦 = 𝑥 2 − 0,2𝑥 − 1,2
b) 𝑦 = −0,1𝑥 2 + 1,2𝑥
c) 𝑦 = 0,1𝑥² + 1,6𝑥
Problématique :
Le saut de Marc est-il réussi ?
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Thème n°4 : Les fonctions dérivées
Activité :
Saut à ski
Pour réussir son saut à ski,
Marc doit atteindre au moins
une hauteur de 3,5 m.
La trajectoire du centre de
gravité de Marc, lors de son
saut, est une parabole dont
l’équation est parmi les 3 cidessous :
𝑎) 𝑦 = 𝑥 2 − 0,2𝑥 − 1,2
b) 𝑦 = −0,1𝑥 2 + 1,2𝑥
c) 𝑦 = 0,1𝑥² + 1,6𝑥
Problématique :
Le saut de Marc est-il réussi ?
1. Choisir l’équation de la parabole correspond au saut de Marc.
2. Trouver pour quelle valeur de 𝑥, la parabole atteint son maximum.
3. Calculer la valeur de ce maximum.
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Cours : Les fonctions dérivées
Liste des capacités, connaissances, et attitudes évaluées :
Capacités


Connaissances


attitudes

I)
Utiliser les formules et les règles de dérivation
pour déterminer la dérivée d’une fonction.
Etudier sur un intervalle donné, les variations
d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du
signe de sa dérivée.
Dresser son tableau de variation.
Fonction dérive des fonctions de référence et
dérivée de la somme de fonctions.
Sens de l’observation, goût de chercher et de
raisonner, rigueur et précision, esprit critique.
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est dérivable sur I lorsque f admet en tout x de I un nombre dérivée, f’(x).
La dérivée de f sur I est alors la fonction, notée f’, qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé
f’(x).
II)
Coefficient directeur de la tangente et variation de la fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I = [ -3 ; 14 ] par :
f(x) = - 0.1 x² + 1.2 x – 3.5
On a construit sa représentation graphique C dans le repère orthogonal.
Tracer dans le repère ci-dessous les droites dont on donne les équations:
D1 : y = 1.5 x – 3.25 ;
D2 : y = 1.2x – 3.5 ;
D3 : y = 0.2x -1 ;
D4 : y = 1.2x + 17.9 :
Ces droites sont les tangentes à la courbe respectivement aux points d’abscisses :
x1 = -1.5 ; x2 = 0 ; x3 = 5 ; x4 = 12
On observe que la fonction est …………………….. sur l’intervalle [-3 ; 6 ]
et …………………. sur l’intervalle [ 6 ; 14].
Compléter le tableau ci-dessous :
Valeur de x
Coefficient
directeur de la
tangente
Signe du
coefficient
directeur
Domaine où la fonction est croissante
- 1.5
0
5
…..
…...
+
Domaine où la fonction est décroissante
12
14
….
+
+
-
-
Lorsque le signe du coefficient directeur de la tangente est …………………la fonction est
………..…..
Lorsque le signe du coefficient directeur de la tangente est ……………….. la fonction est
……………
On considère une nouvelle fonction f’ définie sur I = [ - 1.5 ; 14 ] par f’ (x) = -0.2x + 1.2
Compléter le tableau ci-dessous ;
Valeurs de x
Coefficient
directeur de la
tangente
Valeur de
f’(x) en ce
point
-1.5
….
….
0
5
12
14
….
….
….
….
….
….
….
….
Que peut-on observer lorsqu’on compare les valeurs des coefficients directeurs et de f’(x) en
chaque point
……………………………………………………………………………………………….
On dit que la fonction f’ est la fonction dérivée de la fonction f.
III) Lien entre les variations de f et le signe de la dérivée f’
On va rassembler dans un même tableau les deux résultats précédents : variations de f et
signe de f’.
x
f’(x)
-1.5
6
14
f(x)
Page 4
On constate que
Sur l’intervalle [ -1.5 ; 6 ], la dérivée est …………………et la fonction est …………
Sur l’intervalle [6 ; 14], la dérivée est ………………… et la fonction est ……………
IV)
Dérivées des fonctions usuelles
f définie sur :
R
R-0
[0;+[
V)
f’(x) =
a
2x
3𝑥 2
f(x) =
ax + b
𝒙𝟐
𝒙𝟑
1
x
√𝒙
1
x2
1
; où x  0.
2 𝑥
−
√
Opérations
u et v sont des fonctions définies et dérivables sur l’intervalle I.
Fonction
Somme
Différence
Produit par un réel k
Dérivée
u+v
u–v
ku
u’ + v’
u’ – v’
k u’
VI)
Application
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [ -5 ; 5 ] par : g(x) = 𝑥 3 – 12x + 20
On va établir les variations de la fonction à partir de sa représentation graphique donnée
ci-dessous :
Page 5
Etablissons le tableau de variation :
x
-5
-2
2
5
f(x)
Calculons la dérivée : g’(x) =
On cherche à résoudre g’(x) = 0
soit :
…………= 0
il y a deux solutions x1 =………. ou x2 = ………..
on établit le tableau des signes :
Valeurs de x
Signe de g’(x)
-5
-2
2
5
En résumé, on va rassembler les variations de g et le signe de g’ dans le tableau de variation :
x
Signe de g’(x)
-5
-2
2
5
Variation de g(x)
On constate que :
La fonction est …………… sur un intervalle lorsque la dérivée est …………… sur cet
intervalle.
La fonction est ……………. Sur un intervalle lorsque la dérivée est ………….. sur cet
intervalle.
Page 6
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