② TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE : TFD et

ENSI Caen - Informatique 1A
M.FRIKEL - G.BINET 2008 –2009
TRANSFORMEE
DE FOURIER DISCRETE : TFD
et
PRINCIPE des
ANALYSEURS DE SPECTRE
"numériques".

ENSI Caen - Informatique 1A
M.FRIKEL - G.BINET 2008 –2009
I TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE. ................................................................................1
DEFINITION MATHEMATIQUE: .....................................................................................................1
Transformation directe:....................................................................................................................1
Transformation inverse:....................................................................................................................1
Réalisation pratique:.........................................................................................................................1
II. ESTIMATION DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX................................2
II.1 P RINCIPE : ........................................................................................................................................2
II.2 C AS GENERAL :................................................................................................................................3
III SIGNAUX PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER.....................................................3
III.1 S IGNAUX PERIODIQUES , SIGNAUX DISCRETS : ................................................................................3
Signaux périodiques:.........................................................................................................................3
Signaux discrets:...............................................................................................................................4
III.2 S IGNAUX ECHANTILLONNES ET PERIODIQUES : ..............................................................................4
Transformation de Fourier directe :.................................................................................................4
Transformation de Fourier inverse : ................................................................................................5
Conclusion :......................................................................................................................................5
III.3 LIEN AVEC LA SERIE DE F OURIER : ..................................................................................................5
Application pratique:........................................................................................................................6
IV QUELQUES APPLICATIONS DE LA TFD..................................................................................6
IV.1 A MELIORATION DE LA PRECISION FREQUENTIELLE :.......................................................................7
Problème:..........................................................................................................................................7
Interpolation fréquentielle ("zero padding"):...................................................................................7
IV 2 I NTERPOLATION TEMPORELLE :.......................................................................................................7
Problème:..........................................................................................................................................7
Propriétés de base: ...........................................................................................................................7
exemple: ............................................................................................................................................8
Interpolation temporelle:..................................................................................................................9
Réalisation pratique:.......................................................................................................................10
Applications:...................................................................................................................................10
V ANALYSEUR DE SPECTE - FENETRES DE PONDERATION...............................................11
V.1 A NALYSEUR DE SPECTRE " NUMERIQUE " ( PRINCIPE ):.....................................................................11
V.2 E LARGISSEMENT DES RAIES : .........................................................................................................11
Cas des sinusoïdes:.........................................................................................................................11
Explication:.....................................................................................................................................12
Cas général :...................................................................................................................................13
V.3 L IMITE DE RESOLUTION :...............................................................................................................13
V.4 U TILISATION D ’ UNE FENETRE :......................................................................................................14
Fenêtre rectangulaire :...................................................................................................................14
Fenêtre de Hanning :......................................................................................................................15
Fenêtre de Hamming : ....................................................................................................................15
Autres fenêtres : ..............................................................................................................................16

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M.FRIKEL - G.BINET SigTFD
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TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD).
APPLICATION aux
ANALYSEURS DE SPECTRE.
La transformée de Fourier discrète est la transformée de Fourier « exacte » d’un signal périodique et
discret. Elle est très simple à calculer à partir de séries mathématiques limitées et ce calcul s’implante
facilement sur calculateur ou circuit spécialisé (DSP) avec un algorithme FFT(Fast Fourier Transform)
permettant d’en accélérer le temps de calcul de plusieurs centaines de fois. Moyennant quelques précautions
d’emploi, elle permet d’approximer en un temps record la transformée de Fourier d’un signal continu à partir de
sa version échantillonnée d’où le grand intérêt de cette transformation pour les ingénieurs, scientifiques et
traiteurs de signaux.
I TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE.
DEFINITION MATHEMATIQUE:
Mathématiquement, la transformée de Fourier discrète est une transformation qui fait correspondre deux séries
de données de N points chacune:
{xk} ↔
↔↔
↔ {Xn} avec k,n entiers ≥0 ∉ [0 ; N-1]
Transformation directe:
=
−
=
π−
1N
0k
N
kn
2j
kn
exX
Transformation inverse:
=
−
=
π
1N
0n
N
kn
2j
nk
eX
N
1
x
Réalisation pratique:
Pour calculer ces séries il existe un algorithme de transformée de Fourier rapide ou FFT (Fast Fourier
Transform) qui dans le cas où N = 2M est particulièrement performant (en utilisant cet algorithme pour N= 1024,
le temps de calcul est divisé par un facteur environ 1000 par rapport à l'utilisation directe de la définition.
Implanté sur des ordinateurs ou réalisations à base de processeurs actuels, il dure moins d'une µs). Cet
algorithme très célèbre est largement étudié dans les cours d'informatique et d'algorithmique.

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II. ESTIMATION DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX
II.1 Principe:
Echantillonnons à la période Ts un signal continu xc(t) pendant un temps d'acquisition Ta. Ce temps
d'acquisition dure N échantillons d'où la relation : Ta = N.Ts
Le signal échantillonné est :
0)NTt(x )kT(x x )kTt( x )kTt()t(x )t(x
scsck
1N
0k sk ksc
≈≥=−δ=−δ=
−
=
+∞
−∞=

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En prenant la transformée de Fourier des deux membres :
[ ]
−
=
π−
+∞
−∞=
+∞
−∞=
=−=−δ⊗=
1N
0k
fkT2j
ksc
ks kssc
s
e x )kff(X.f )kff(f )f(X )t(xTF
Cette relation rappelle le fait que le spectre est continu et périodique. Si nous calculons N points de ce spectre
pour les fréquences f = n.fs/N avec n ∈ [0 ; N-1] en absence de repliement nous obtenons N points du spectre
fréquentiel tels que:
n
1N
0k
N
kn2
j
k
s
cs
X e x )
N
nf
(X f ==
−
=
π
−
en remarquant que fs/N = 1/Ta, nous obtenons donc, si l’effet du repliement est négligeable une bonne
approximation de la transformée de Fourier du signal :
Xn ≈
≈≈
≈ fs.Xc(n/Ta)
• 1/Ta est l'intervalle entre deux points fréquentiels ou pas fréquentiel.
• 1/Ts est la largeur de la bande [ 0 ; 1 ] sur laquelle est effectuée l'estimation
• Nous mesurons N points en temporel et estimons ainsi N points en fréquentiel.
II.2 Cas général :
repliement de terme
aa
c
0k s
"principal" terme
a
csnn
1N
0k
N
kn2
j
k
aa
cs
k
)
T
n
kN
T
n
(X f)
T
n
(X fX X e x )
T
n
kN
T
n
(X f −+===−
≠
−
=
π
−
+∞
−∞=
Il faut donc soigneusement éviter le repliement
III SIGNAUX PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER
III.1 Signaux périodiques, signaux discrets :
Signaux périodiques:
Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes:
[ ]
∞+
−∞=
∞+
−∞=
π
π−
+∞
−∞=
π
−δ==
==
n0n n
tnf2j
n
)T(
tnf2j
0
n
n
tnf2j
n
)nff(CeTFC)]t(x[TF
dte)t(x
T
1
CaveceC)t(x
0
0
00
 la transformée de Fourier d'un signal périodique est discrète: Signal périodique   TF discrète