Cours - Playmaths

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Nombres complexes Partie 2
Ex 71-74-76 p.308
I. Formes trigonométriques d’un nombre complexe
non nul
1) Définitions
Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct
)v,u,O(
.
Définition argument :
Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan complexe d’affixe z.
On appelle argument de z une mesure en radians de l’angle
)OM,u(
. On le note arg(z).
Rque :
0 est le seul complexe sans argument.
z ≠ 0 admet une infinité d’arguments. Si est un argument de z alors tous les arguments de
z sont de la forme
 k2
, k  ℤ . On écrit arg(z) = [2]
2) Coordonnées
Dans un repère orthonormé direct
)v,u,O(
, on peut repérer un point M distinct de O par :
ses coordonnées cartésiennes (a ; b), donc par son affixe zM = a + ib
ses coordonnées polaires
),( 
, où est une mesure en radians de l’angle orienté
)OM,u(
et = OM =
²b²a 
Liens entre (a ; b) et
),( 
:
sinb
cosa
²b²a
.
3) Forme trigonométrique
z = x + iy
=
 sinicos
=
)sini(cos 
Définition forme trigonométrique
L’écriture z =
)sini(cos 
est appelée forme trigonométrique de z.
Avec
z
et arg(z) = [2].
On a aussi
)sini(coszz 
Exemples :
1) Déterminer les arguments des nombres complexes suivants : -3i ; 4 ; -5 ;
i3 
; -2 + 2i.
arg(
i3 
) =
6
[2 ; ] ; arg(-2 + 2i) =
4
3
[2].
2) Placer dans le plan complexe, le point M d’affixe z =
)
3
2
sini
3
2
(cos5 
puis déterminer
sa forme algébrique. (Rep : z =
2
15
i
2
5
)

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4) Propriétés de l’argument
(1) Tout réel strictement positif a un argument égal à 0 [2]
(2) Tout réel strictement négatif a un argument égal à  [2]
(3) Tout nombre imaginaire pur a un argument égal à
2
[].
Soit z un nombre complexe non nul.
(4) arg(-z) = arg(z) +  [2]
(5) arg(
z
) = - arg(z) [2]
dem : immédiate d’après la définition et propriétés des angles orientés.
5) Egalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des
arguments égaux à 2k près, c'est à dire :
z = z’ équivaut à
]2[)'zarg()zarg(
'zz
6) Arguments et opérations
Propriété fondamentale :
Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls, on a :
(1) arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2]
dem :
(1) soit
)sini(coszz 
et
)'sini'(cos'z'z 
alors zz’ =
)]'sincos'cos(sini)'sinsin'cos[(cos'zz 
donc zz’ =
)]'sin(i)'[cos('zz 
comme
0'zz 
alors cette écriture est une forme trigonométrique de zz’ et donc
arg(zz’) =
'
[2]
donc arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2]
Remarque : cela permet de donner une interprétation géométrique du produit de deux
complexes :
Application :
1) Déterminer une forme trigonométrique de z = 1 +i et z’ =
4
i3 
2) En déduire une forme trigonométrique de zz’.
( z =
)
4
sini
4
(cos2 
; z’ =
)
6
sini
6
(cos
2
1
; zz’ =
)
12
5
sini
12
5
(cos
2
2

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Propriétés ( conséquences)
(2) arg
z
1
= - arg(z) [2]
(3) arg
'z
z
= arg(z) - arg(z’) [2]
(4) arg
n
z
= n arg(z) [2]
dem :
(2) zz’ = 1 entraîne arg(z) + arg(z’) = 2k
d’où arg(z) = - arg(z’) + 2k
d’où arg
'z
1
= - arg(z’) + 2k
(3) dem immédiate de (1) et (2)
(4) dem par récurrence : n= 0
n  ℕ
n  ℤ : il existe mℕ tel que m = - n avec nℕ
arg
n
z
= arg
m
z
1
[2]
= -m arg(z)
= n arg(z)
Application :
1) Déterminer une forme trigonométrique de 1 + i puis en déduire une forme
trigonométrique de
i1
1
.
(
)
4
sini
4
(cos2i1 
et
)
4
sini
4
(cos
2
2
i1
1
2) Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de z =
)i1)(i3( 
.
En déduire les valeurs exactes de cos
12
7
et de sin
12
7
.
Rep : cos
4
62
12
7
et de sin
4
62
12
7
.
Ex 52 à 58 p.306

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II. Exponentielle d’un nombre complexe non nul
1) Définition Propriétés
Soit la fonction
 sinicos:f 
( nombre réel)
)'sin(i)'cos()'(f 
, ce nombre a pour module 1 et pour argument
'
.
)(f 
a pour module 1 et pour argument .
)'(f 
a pour module 1 et pour argument
'
.
)'(f)(f 
a donc pour module 1 et pour argument
'
, donc
)'(f)(f)'(f 
de plus f(0) = cos 0 + i sin 0 = 1
La fonction f définie précédemment vérifie les propriétés de la fonction exponentielle
étudiée en analyse, ce qui conduit à la notation suivante :
sinicosei
.
Définition :
Pour tout réel , on pose
sinicosei
Autrement dit,
i
e
est le nombre complexe de module 1 et d’argument .
Exemples :
Propriété :
Tout nombre complexe non nul de module r et d’argument peut s’écrire :
z =
i
er
ou z =
)sini(cosr 
et réciproquement, tout nombre complexe qui s’écrit : z =
i
er
ou z =
)sini(cosr 
avec r > 0 a pour module r et pour argument [2].
Cette notation qui utilise les propriétés des exponentielles permet de retrouver les
propriétés des modules et arguments :
Ex 45-46 p.305
2) Propriétés :
Pour tous réels r et r’ strictement positifs, et
'
réels quelconques :
(1)
)'(i'ii e'rre'rer  
(2)
i ie
r
1
er
1
r≠ 0
(3)
)'(i
'i
i
e
'r
r
e'r
er 
r≠ 0
(4)
 innni er)er(
Ex 43-44-47-48-49 p.305

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3) Formules d’Euler ???
Propriété
Pour tout nombre réel , on a :
sinicosei
d’où
 sinicose i
.
En particulier :
1ei
.
Exemples :
i
2
1
2
3
...e6
5
i
.
On en déduit par addition et soustraction membre à membre des égalités précédentes le
corollaire suivant
Corollaire :
2
ee
cos ii  
et
i2
ee
sin ii  
Applications :
1) En utilisant la formule de Moivre :
iannia e)e(,Ra 
, retrouver les formules de
duplication en trigonométrie :
acosasin2a2sin
a²sina²cosa2cos
Ra 
.
2) A l’aide des formules d’Euler, retrouver les formules de linéarisation en trigonométrie :
2
a2cos1
a²sin
2
a2cos1
a²cos
.
Linéariser
acos 6
et
asin3
où a est un réel.
3) z =
i e1
,
 2;;0
a) Démontrer que z =
2
i
e
2
cos2
b) Déterminer le module et l’argument de z selon la valeur de .
( si
2
)zarg(et
2
cos2z,;0 
, si
 2 )zarg(et
2
cos2z,2;
)
c) En déduire une forme trigonométrique , puis une forme exponentielle de z.
Racine n-ième de l’unité
Ex 50-51 p 305
Lieux géométriques : Ex 66-67-68-69 p.307
Pb bac p.309-310-311