Atome d`hydrogène et états de Rydberg

UNIVERSITE PIERRE & MARIE CURIE
M1 de Physique et Applications
2009-2010
PHYSIQUE ATOMIQUE ET MOLECULAIRE
Atome d’hydrogène et états de Rydberg
I – Propriétés des fonctions d’onde hydrogénoïdes
1)
Quelles
sont
les
significations
physiques
respectives
des
fonctions
r
2
2 2
ρ ( r ) = ψ nlm ( r, θ , φ ) et r Rnl ( r ) ?
2) Représenter les fonctions Rnl (r ) pour les états n = 1, 2, 3. Commenter le comportement au
voisinage de l’origine, et le nombre de nœuds.
3) Représenter les fonctions r 2 Rnl2 (r ) pour les états n = 1, 2, 3. Commenter l’évolution avec n,
puis avec l , à l’intérieur d’un n donné. Comment peut se justifier la notion de « couche » ? Et
celle de sous couche ? Interpréter en terme de pénétrabilité des orbitales.
On s’intéresse plus particulièrement aux états où l et |m| prennent leur valeur maximale l * et
|m*|. Calculer, pour ces états :
- la valeur rm où la probabilité de présence de l'électron dans l'état n l * est maximale.
- les valeurs moyennes de r et r2.
- l'écart quadratique moyen ∆r et l’écart relatif
∆r
.
r
4) Représenter, en coordonnées polaires, Ylm pour l = 0 ,1,2. Commenter l’évolution avec
l
m, pour un l donné. Commenter l’évolution avec l de Y l .
5) Calculer la valeur moyenne de l'énergie potentielle de l'électron dans l'atome d'hydrogène
pour les états 1s et 2s.
2
6) Calculer les valeurs moyennes de pr et pr dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène.
En les comparant à celles de r et r2, montrer que la relation de Heisenberg (principe
d'incertitude) est vérifiée.
h  ∂ 1
On rappelle que pr =
+
i  ∂r r 
7) En déduire la valeur moyenne de l'énergie cinétique dans l’état 1s.
Comparer aux résultats du 5). Conclusions ? Ce résultat se généralise-t-il ?
2
8) Donner l’expression de la valeur moyenne de p r pour un état quelconque nlm.
Comparer l’énergie cinétique totale et l’énergie cinétique angulaire pour un état où l et |m|
prennent leur valeur maximale.
9) Comparer pour l'atome d'hydrogène et l'ion hydrogénoïde de l'argon : A r 17 + (A rX V III ) :
- les valeurs moyennes r 1s et r 2s en fonction de a 0
- les énergies de liaison E n pour n = 1 et n = 2
- les intervalles d'énergie entre E 1 et E 2
- les longueurs d'onde de la raie Lyman Alpha Lα (n = 2 → n = 1)
-1-
II- Etats de Rydberg circulaires
Les états de Rydberg sont des états atomiques de grande valeur du nombre quantique
principal n . Les atomes qui se trouvent dans ces états très excités possèdent des propriétés
physiques inhabituelles à cause de leur taille.
1) Comparer pour les états n = 1 et n = 50 les ordres de grandeur de r , de l’énergie de
liaison E n et de l’intervalle entre deux niveaux n et n + 1 consécutifs.
Dans le milieu interstellaire où la température est basse (~10-100 K), et les densités de
particules faibles ( ≤ 1012 cm −3 ), on peut détecter des émissions radio dues à des atomes de
Rydberg formés par recombinaison d’ions et d’électrons de faible énergie. Les transitions les
plus fortes détectées sont celles de la série alpha pour l’hydrogène, transition d’un état n+1
vers un état n.
2) calculer la longueur d’onde de la transition H166α. Commentaire ?
Cette recombinaison d’atomes d’hydrogène peut conduire à une inversion de population et un
effet maser (microwave amplified stimulated emission of radiation) dans les régions où la
densité d’HII est importante.
On s’intéresse maintenant aux états de Rydberg circulaires.
3) Ré-examiner, dans la limite n → ∞ , les propriétés des états de l et |m| maximum obtenues
en I-3, I-4, et I-8. Dire en quoi elles illustrent le principe de correspondance et elles justifient
l’appellation de « circulaires » pour de tels états.
4) La figure ci-dessous schématise la « fonction d’onde « électronique pour un tel état
correspondant à n=50. On voudrait justifier sa forme torique. Pour cela :
- évaluer l’extension δr au voisinage de r correspondant à une densité de probabilité
radiale égale à 50% de sa valeur maximale.
- évaluer l’extension δθ au voisinage de θ correspondant à une densité de
probabilité angulaire égale à 50% de sa valeur maximale.
- montrer alors que ces extensions conduisent à des « localisations » en ∆z et ∆u (dans
le plan perpendiculaire à z) équivalentes.
-2-
NOTES
ψ nlm (r ) = Rnl (r) Ylm (θ , φ )
Z
R10 (r ) = 2
 a0 
3/2
 Zr 
exp –
 a0 
3/2

 Zr 
Zr 
2–
exp –

 2a0 
a0 
 Z 
R20 (r) =
 2a0 
 Z  3/2 2 2  Zr  

1


  6 − Zr  exp  − Zr 
R31 (r) = U31 (r) = 
r
 3a0 
9  3a0  
a0 
 3a0 
 Z 
1

R32 (r) = U32 (r ) = 
r
 3 a0 
ψ n00 (0) =
Z3
δ l,0
πn 3a03
Rn,n–1 (r) =
 2Z 
1
(2n)!  na0 
2
r2 =
3/2
n+1/ 2
2
 Zr 
2 2  Zr 

exp −
3 5  3a0 
 3a0 
 Zr 
rn –1 exp –
 na0 
n2 a02
2
2 5n + 1– 3l(l + 1)
2Z
Yll (θ , φ )
[
(–1)l
= l
2 l!
]
(2l + 1)! l
sin (θ ) e ilφ
4π
n +1/2 – n
Formule de Stirling : n ! = 2 π n
nlm
e
quand n → ∞
1
1
2 nlm =
1
r
a02 n3  l + 

2
1/ 2
2 1  
18r 2r 2 
r
R30 (r ) =  3   27 −
+ 2  exp(−
)
81  3a0  
a0
a0 
3a0
a
nlm r nlm = 0 [3n 2 − l(l + 1)]
2Z
∫
∞
0
r k exp(− r ) dr = k!
nl m
1
Z 1
n lm =
r
a0 n 2
-3-