Physique quantique appliquée A Perturbation au 2nd ordre de l?état

Université Pierre et Marie Curie
M1 - MP051
Année 2009–2010
Physique quantique appliquée
TD n 8 : Théorie des perturbations stationnaires (e¤et Stark)
!
On considère un atome d’Hydrogène - supposé sans spin et au repos - placé dans un champ électrique E
!
constant dont l’orientation est suivant le vecteur !
ez ( E = E). On rappelle qu’en l’absence de champs
extérieurs, les niveaux d’énergie sont donnés par :
En =
EI
n2
n > 1 et EI = 13; 6 eV
avec
Ils sont dégénérés n2 fois et les états propres associés sont notés jnlmi. L’Hamiltonien de perturbation peut
alors s’écrire sous la forme :
!
W = e!
r : E = ezE
où z est l’opérateur position. Cet Hamiltonien induit une modi…cation des niveaux d’énergie En (e¤ et Stark )
que l’on se propose d’étudier.
*******
A - Perturbation au 2nd ordre de l’état fondamental n = 1
A.1 Donner l’expression de la perturbation au 1er ordre E1 du niveau n = 1.
A.2 Sachant que les états jnlmi ont une parité bien dé…nie (ils sont soit pairs soit impairs sous inversion
spatiale), montrer que E1 = 0. Conclusion.
A.3 Donner l’expression de la correction au 2nd ordre
2
le facteur (eE) =EI ). De quel signe est-elle ?
2
E1 du niveau fondamental (en faisant apparaître
A.4 On peut montrer que les éléments de matrice hnlmj W jn0 l0 m0 i sont nuls lorsque l + l0 est pair (pour
des questions de parité) ou lorsque m 6= m0 (car Lz commute avec W ). Donner les 3 premiers termes de
l’expression de 2 E1 .
A.5 La somme des di¤érents termes de l’expression de
2
E1 =
1
E2
2
2
E1 conduit au résultat suivant :
= 18 "0 a30 (polarisabilité)
avec :
où "0 = 8; 85:10 12 Kg 1 m 3 A2 s4 est la permittivité du vide et où a0 = 5; 3:10 11 m est le rayon de Bohr.
Quelle est la valeur de 2 E1 (en eV ) pour un champ électrique de 104 V =cm ? Comparer cette valeur à l’écart
entre les niveaux E1 et E2 . Conclusion.
1
B - Perturbation du niveau n = 2 et levée de dégénérescence
B.1 Quelle est la dégénérescence du niveau n = 2 ? Quels sont les états associés ?
B.2 Sachant que seuls les 2 éléments de matrice suivant sont non-nuls :
h200j W j210i = h210j W j200i = 3a0 eE
déterminer les corrections du 1er ordre à l’énergie E2 .
B.3 En combien de niveaux di¤érents se scinde le niveau n = 2 sous l’e¤et de W ?
B.4 Quels sont les nouveaux états propres ?
*******
CORRECTION
*******
!
On considère un atome d’Hydrogène - supposé sans spin et au repos - placé dans un champ électrique E
!
constant dont l’orientation est suivant le vecteur !
ez ( E = E). On rappelle qu’en l’absence de champs
extérieurs, les niveaux d’énergie sont donnés par :
En =
EI
n2
avec
n > 1 et EI = 13; 6 eV
Ils sont dégénérés n2 fois et les états propres associés sont notés jnlmi. L’Hamiltonien de perturbation peut
alors s’écrire sous la forme :
!
W = e!
r : E = ezE
où z est l’opérateur position. Cet Hamiltonien induit une modi…cation des niveaux d’énergie En (e¤ et Stark)
que l’on se propose d’étudier.
*******
A - Perturbation au 2nd ordre de l’état fondamental n = 1
A.1
Donner l’expression de la perturbation au 1er ordre E1 du niveau n = 1.
niveau n = 1 non-dégé
=) E1 = h100j W j100i
2
A.2 Sachant que les états jnlmi ont une parité bien dé…nie (ils sont soit pairs soit impairs sous inversion
spatiale), montrer que E1 = 0. Conclusion.
eE h100j zb j100i
E1 = h100j W j100i =
h100j z j100i =
Z
+1
100
(z) :z:
(z) :dz
100
1
avec 100 (z) la fonction d’onde associée au ket j100i.
D’où :
Z +1
h100j z j100i =
zj
2
100
(z)j dz
1
Avec le changement de variable z !
z, on obtient :
Z 1
h100j z j100i =
( z) j
+1
Z +1
=
zj
1
2
100
( z)j ( dz)
2
100
( z)j dz
Or 100 (z) est soit paire soit impaire ("parité dé…nie") sous inversion spatiale (c’est-à-dire, pour nous, quand
z devient z), donc :
ou
100 ( z) =
100 (z)
100 (z)
d’où :
j
100
( z)j = j
(z)j
100
dans les 2 cas
et …nalement :
Z
h100j z j100i =
+1
1
zj
2
100
(z)j dz
= h100j z j100i
=0
Il n’y a pas d’e¤et Stark du 1er ordre pour le niveau fondamental de l’atome d’hydrogène (sans spin).
A.3 Donner l’expression de la correction au 2nd ordre
2
le facteur (eE) =EI ). De quel signe est-elle ?
2
E1 =
X X jh100j W jnlmij2
E1 En
n>1
En =
EI
2
2
E1 =
E1 du niveau fondamental (en faisant apparaître
: somme sur tous les états propres autres que j100i
l;m
E1
2
(eE)
EI
1
1
n2
< 0 =)
2
E1 < 0
1
!0
X X jh100j zb jnlmij2
@
A<0
1 n12
n6=1 l;m
A.4 On peut montrer que les éléments de matrice hnlmj W jn0 l0 m0 i sont nuls lorsque l + l0 est pair (pour
des questions de parité) ou lorsque m 6= m0 (car Lz commute avec W ). Donner les 3 premiers termes de
l’expression de 2 E1 .
Il faut donc que :
m = 0 et l impair
dans la somme précédente pour que les termes h100j zb jnlmi soient non nuls, d’où :
1
!0
2
X X jh100j zb jnl0ij2
(eE)
2
@
A
E1 =
EI
1 n12
n>1 l im pair
3
n = 2 =) l = 0 ou 1, mais seul l = 1 (impair) convient
2
jh100j zb j210ij
3=4
=) terme :
n = 3 =) l = 0; 1 ou 2, mais seul l = 1 (impair) convient
2
jh100j zb j310ij
8=9
=) terme :
n = 4 =) l = 0; 1; 2 ou 3, mais seuls l = 1 et l = 3 (impairs) conviennent
2
=) termes :
donc :
2
2
A.5
(eE)
EI
E1 =
+
2
jh100j zb j410ij + jh100j zb j430ij
15=16
!
4
9
2
2
jh100j zb j210ij + jh100j zb j310ij
3
8
16
2
2
jh100j zb j410ij + jh100j zb j430ij + :::
15
La somme des di¤ érents termes de l’expression de
2
E1 =
1
E2
2
2
E1 conduit au résultat suivant :
= 18 "0 a30 (polarisabilité)
avec :
où "0 = 8; 85:10 12 Kg 1 m 3 A2 s4 est la permittivité du vide et où a0 = 5; 3:10 11 m est le rayon de Bohr.
Quelle est la valeur de 2 E1 (en eV ) pour un champ électrique de 104 V =cm ? Comparer cette valeur à l’écart
entre les niveaux E1 et E2 . Conclusion.
2
E1 =
jE1
2
1
E 2 ' 3:10
2
E2 j = EI
1
4
1
29
J ' 2:10
=
10
eV
3
EI ' 10eV
4
E1 << jE1 E2 j
=) calcul de perturbation justi…é !
B - Perturbation du niveau n = 2 et levée de dégénérescence
B.1
Quelle est la dégénérescence du niveau n = 2 ? Quels sont les états associés ?
n = 2 =) n2 = 4 : E2 dégé 4 fois
n = 2 =) l = 0 (et donc m = 0) ou l = 1 (et donc m =
Etats associés :
j200i ; j210i ; j211i ; j21
4
1i
1; 0 ou 1)
B.2
Sachant que seuls les 2 éléments de matrice suivant sont non-nuls :
h200j W j210i = h210j W j200i = 3a0 eE
déterminer les corrections du 1er ordre à l’énergie E2 .
La matrice de W dans le sous-espace sous-tendu par fj200i ; j210i ; j211i ; j21
dans cet ordre) s’écrit :
0
1
0 1 0 0
B 1 0 0 0 C
C
W = 3a0 eE B
@ 0 0 0 0 A
0 0 0 0
1ig (vecteurs de base pris
* j211i et j21 1i sont donc VP de W pour la vp 0 (ie que W n’a aucun e¤et sur ces vecteurs).
* Il ne reste donc qu’à diagonaliser la sous-matrice :
0
1
3a0 eE
1
0
3a0 eE
=0
3a0 eE
ie :
=
3a0 eE
donc :
E2 = 0 ou
3a0 eE
B.3 En combien de niveaux di¤ érents se scinde le niveau n = 2 sous l’e¤ et de W ?
(0)
Le niveau E2 se scinde donc en 3 niveaux :
(0)
3a0 eE
(0)
E2
+ 3a0 eE
(E2 )1 = E2
(E2 )2 =
(0)
(E2 )3 = (E2 )4 = E2
(dégénérée 2 fois)
Il n’y a que levée partielle de dégénérescence.
B.4 Quels sont les nouveaux états propres ?
Les nouveaux états propres associés aux valeurs propres
3a0 eE
0
1
1
0
ie :
(j200i
3a0 eE sont solutions de :
=
3a0 eE
p
j210i) = 2
Les (nouveaux) états propres associés (base dite "adaptée") sont donc :
p
j'2 i1 = (j200i + j210i) = 2
p
j'2 i2 = (j200i j210i) = 2
j'2 i3 = j211i
j'2 i4 = j21 1i
5