SUITES
qn = + ∞ si q>1
1 si q = 1
0 si –1 < q < 1
pas de limite si q ≤ -1
* composée suite / fonction :
th si
Un = a (a fini ou infini) alors
f(Un) = b
et si
f(x) = b (b fini ou infini)
complément : définition dans le cas où la limite est finie : L =
R
* Un tend vers
quand n tend vers +
* tout intervalle J du type ]
-h ;
+h[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0,
-h < Un <
+h dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0, il existe n0 tel que pour tout n
n0 on a
-h < Un <
+h.
Complément : suite majorée, suite non majorée
* Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée »
Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M» .
* La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se
traduit-elle ?...
Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties
(1) « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que »
(2) « pour tout élément f de l'ensemble F, »
(3) « on a la propriété (A) » .
Cherchons la négation des différentes étapes.
1°/ (A) : « Un < M » donne (non A) : « Un> M »
2° / (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est appelée
proposition « universelle ».
Ici, ( B ) : « pour tout n de N, on a u,< M».
Exemple : «pour tout être humain n, son âge u,vérifie u R <_ 150 ans ». Négation « il existe un être humain no
dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par « contre-exemple » .
D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel no tel que > M ».
Plus généralement, (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » , donne
non B) : « il existe un élément f de l'ensemble F, tel que (non A) »
3°/ (P) : « Il existe un élément e de l'ensemble E tel que (B) ».
Ce type de proposition est appelée proposition « existentielle ».
(non P) serait la traduction du fait que « l'on n'a pas trouvé d'élément de E vérifiant (B);
pourquoi ? Parce que, chaque fois que l'on a considéré un élément de E, il vérifiait (non B)...
Exemple: « il existe un entier naturel dont le carré se termine par 3 ».
Négation : « quel que soit l'entier naturel n, son carré ne se termine pas par 3 »
Plus généralement, (P) : « il existe un élément e de E tel que (B) »
donne (non P) : « pour tout élément e de E, on a (non B) »
Conclusion : la négation de « la suite est majorée », soit : « la suite n'est pas majorée » se traduit par la
propriété (non P) : « Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que uti0.> M ».