SUITES Rappel : . Différents modes de génération d’une suite * Un= f(n) : suite définie par son terme général (on donne la fonction f) * Un+1 = f(Un) : suite définie par récurrence (on donne la fonction f et le premier terme, U0 le plus souvent) * dans les exercicres, on aura aussi parfois Un = f(Vn) : suite définie à partir d’une autre (on donne la fonction f et la suite Vn) I. VOCABULAIRE 1. monotonie (sens de variation) Une suite est croissante lorsque pour tout entier n, Un Un+1 Une suite est strictement décroissante lorsque, pour tout entier , Un > Un+1 Une suite est monotone lorsqu' elle est croissante, ou décroissante 2. suite minorée, suite majorée, suite bornée Une suite est majorée par M lorsque tous ses termes sont majorés par M cad si, pour tout entier n, Un M Une suite est majorée lorsqu'’il existe un réel M par lequel elle est majorée Une suite est minorée lorsque ... Une suite est bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe m et M tels que, pour tout n, m Un M Une suite est positive lorsque tous ses termes sont positifs cad si elle est minorée par 0 Une suite est négative lorsque … 3. Suite convergente, suite divergente Une suite est convergente (CV) lorsque elle a une limite finie : il existe un réel tel que lim Un = Une suite est divergente (DV) si elle n’est pas CV : * ou bien parce qu’elle a une limite infinie : lim Un + ou lim Un= - , * ou bien parce qu’elle n’a pas de limite (exemple : Un = (-1)n) pb : comment prouver qu'une suite est CV ? ; comment prouver la limite d'une suite ? 4. Suites particulières : SA, SG SA de raison r SG de raison q Def par récurrence Un+1 = Un + r Un+1 = Un × q Expression terme général Un = U0 + n*r NB : Un est une fct affine de n exemple : Un=2n+5 est une SA de premier terme U0 = 5 et de raison 2 Un = U0 * qn monotonie Étudier signe de Un+1 -Un = r Utiliser l'expression du terme général et étudier signe de Un+1 -Un =. .. = U0 * qn *(q-1) limite Utiliser l'expression du terme général Utiliser l'expression du terme général : SUITES * si -1 < q < 1 alors lim qn = 0 * si q > 1 alors lim qn = +∞ II. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE objectif : on veut démontrer qu'une propriété (P) est vraie pour tout n exemples de propriétés à prouver : * « pour tout n, Un <2 » (pour démontrer que (Un) est majorée) ; * « pour tout n, Un < Un+1 » (pour demontrer que (Un) est croissante) * « pour tout n, Un = n 4 » (pour démontrer l'expression du terme général) étape 1 : initialisation : on démontre que « (P) est vraie pour n=0 » (ou n=1) étape 2 : hérédité : on démontre que « si (P) est vraie pour n=p alors (P) est vraie pour n=p+1 » : hyp : on suppose (HR = hypothèse de récurrence) : (P) est vraie pour n=p concl : (P) est vraie pour n=p+1 étape 3 : la propriété (P) est initialisée en n=0 et héréditaire, donc [c'est le principe de récurrence] vraie III. LIMITE D’UNE SUITE (QUAND N TEND VERS + ) Pb : comment prouver qu'une suite est CV ? ; comment prouver la limite d'une suite ? 1. Théorème des gendarmes th (dem 1S) si an ≤ Un ≤ bn pour tout n et si lim an = lim bn = alors lim Un = th (dém 1S) si Un ≥ an et si lim an = +∞ (dem manuel p16, à adapter pour les suites) alors lim Un = +∞ 2. théorème de CV pour les suites monotones a) énoncé th1 ( = th de convergence monotone) (th admis) si (Un) est croissante et majorée alors (Un) CV rq : ceci dit que la limite sera finie : lim Un = mais ne donne pas la valeur de cette limite ; on saura seulement que, si M est un majorant de (Un), alors pour tout n, Un vérifie M M, donc (admis) sa limite th1bis si (Un) est décroissante et minorée (par m) alors (Un) CV (et sa limite vérifie m) b) exemple de référence étape1 Un de l'ex 5 est croissante et majorée par 2, donc d'après le Th CV M , elle CV : lim Un = avec Calculons sa limite étape2 on a par définition Un+1 = V(Un+2) d'une part lim Un+1 = lim Un = d'autre part : lim V(Un+2) = lim V(x+2) qdx → = V( +2) car f est continue donc on a nécessairement = V( +2) 2. SUITES étape3 résolvons cette équation : l² = l+2 ⇔ l²-l-2 = 0 → delta → l=2 ou l=-1 Un est une suite positive, sa limite ne peut pas être -1, sa limite est donc 2 → conclusion c) interprétation graphique : soit (Un) une suite récurrente convergente : Un+1 = f(Un) avec lim (Un) =l, alors l vérifie l'égalité l=f(l), ce qui signifie que l est solution de l'équation x=f(x) , donc est l'abscisse du point d'intersection de la droite y=x avec la RG de f. 3. Théorème de DV pour les suites monotone th si une suite (Un) est croissante et non majorée alors elle diverge vers + dem rappel définitions * (Un) croissante : « pour tout n , Un+1 Un »; csq : « pour tout n N, Un UN » * (Un) non majorée : « Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que Un0 > M ». * Un diverge vers + signifie lim Un = +∞, ce qui se caractérise par : * tout intervalle J du type ] A ; + [ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand. * quel que soit A, Un > A dès que n est assez grand. * quel que soit A, il existe n0 tel que pour tout n n0 on a Un > A. dém Soit A un réel quelconque. (Un) non majorée : donc A ne majore pas Un : il existe un terme Un0 tel que Un0 > A cad il existe un entier n0 tel que Un0 > A (Un) croissante donc pour tout entier n, Un+1 Un donc pour tout n n0, Un Un0 On a donc : il existe un entier n0 tel que pour tout n n0, Un Un0 > A * conclusion : On a montré que quel que soit le réel A choisi, il existe toujours un rang n0 à partir duquel tous les termes Un sont >A, ce qui est la définition de : lim Un = + inf th2bis si (Un) est décroissante et non minorée alors lim Un = - dem : si (Un) est décroissante non minorée alors Vn = - Un est croissante non majorée donc lim Vn = +inf et lim Un = - inf compléments sur le calcul de limite : 2. Calcul de la limite * pour une suite Un = f(n) : - si lim f(x) = L alors lim Un = L (L fini ou infini) x n - limite d’un SG (voir manuel) SUITES lim qn = n + ∞ si q>1 1 si q = 1 0 si –1 < q < 1 pas de limite si q ≤ -1 * composée suite / fonction : th si lim Un = a (a fini ou infini) n alors nlim f(Un) = b et si lim x a f(x) = b (b fini ou infini) complément : définition dans le cas où la limite est finie : L = R * Un tend vers quand n tend vers + * tout intervalle J du type ] -h ; +h[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand. * quel que soit h>0, -h < Un < +h dès que n est assez grand. * quel que soit h>0, il existe n0 tel que pour tout n n0 on a -h < Un < +h. Complément : suite majorée, suite non majorée * Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée » Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a u n < M». * La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se traduit-elle ?... Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties (1) « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que » (2) « pour tout élément f de l'ensemble F, » (3) « on a la propriété (A) » . Cherchons la négation des différentes étapes. 1°/ (A) : « Un < M » donne (non A) : « Un> M » 2° / (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est appelée proposition « universelle ». Ici, ( B ) : « pour tout n de N, on a u,< M». Exemple : «pour tout être humain n, son âge u,vérifie u R <_ 150 ans ». Négation « il existe un être humain no dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par « contre-exemple » . D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel n o tel que > M ». Plus généralement, (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » , donne non B) : « il existe un élément f de l'ensemble F, tel que (non A) » 3°/ (P) : « Il existe un élément e de l'ensemble E tel que (B) ». Ce type de proposition est appelée proposition « existentielle ». (non P) serait la traduction du fait que « l'on n'a pas trouvé d'élément de E vérifiant (B); pourquoi ? Parce que, chaque fois que l'on a considéré un élément de E, il vérifiait (non B)... Exemple: « il existe un entier naturel dont le carré se termine par 3 ». Négation : « quel que soit l'entier naturel n, son carré ne se termine pas par 3 » Plus généralement, (P) : « il existe un élément e de E tel que (B) » donne (non P) : « pour tout élément e de E, on a (non B) » Conclusion : la négation de « la suite est majorée », soit : « la suite n'est pas majorée » se traduit par la propriété (non P) : « Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que uti0.> M ». SUITES