radiofréquence sur des niveaux excités dans un faisceau

LE JOURNAL DE
TOME
PHYSIQUE
36, DÉCEMBRE 1975,
1221
Classification
Physics Abstracts
5.250
-
5.286
UTILISATION D’UNE EXPÉRIENCE DE RÉSONANCE ÉLECTRIQUE.
RADIOFRÉQUENCE SUR DES NIVEAUX EXCITÉS DANS UN FAISCEAU
D’IONS ACCÉLÉRÉS A LA DÉTERMINATION DES SECTIONS EFFICACES
6 DE 4He+
D’EXCITATION. APPLICATION AU NIVEAU n
=
A.
ZGAINSKI, S. CHURASSY
Laboratoire de Spectrométrie Ionique et Moléculaire (associé au C.N.R.S.),
Université de Lyon I, Campus de la Doua, 69621 Villeurbanne, France
M. LOMBARDI
Laboratoire de Spectrométrie, Physique (associé au C.N.R.S.),
Domaine Universitaire, 38041 Grenoble Cedex, France
(Reçu le 7 avril 1975, révisé le 15 juillet 1975, accepté le 25 août 1975)
La méthode de détection optique d’une résonance électrique entre niveaux hydrofaisceau d’ions excités par cible solide mince peut être utilisée pour déterminer des
sections efficaces d’excitation. Nous étudions, en nous référant à une expérience faite dans le niveau
n
6 de 4He+, les possibilités de la méthode. Nous en concluons que, compte tenu des corrélations
entre signaux des sous-niveaux ML, on ne peut atteindre que certaines combinaisons linéaires des
sections efficaces d’excitation.
Résumé.
génoïdes
-
sur un
=
The optical détection of an electric resonance between hydrogenoid levels on beamAbstract.
foil excited ions, can be applied to the determination of excitation cross-sections. We study the
possibilities of this method by referring to an experience on the n = 6 4He+ level. Since the signals
from various ML sub-levels are correlated the method allows only the determination of a few linear
combinations of excitation cross-sections.
2014
1. Introduction.
-
La résonance
électrique
radio-
fréquence est une méthode possible de détermination
des structures fines ou hyperfines des atomes hydrogénoïdes légers car les séparations entre niveaux sont
faibles pour être du domaine des hyperfréquences. Fabjan et Pipkin [1] ont ainsi étudié
l’hydrogène en utilisant un faisceau d’ions accélérés.
Nous avons appliqué cette technique à quelques
états excités de l’hélium ionisé, 4He+ ; des résultats
préliminaires [2] ont été obtenus pour les niveaux
n
5, 6, 7 : il s’agissait essentiellement de mesures
de structure. Nous examinons ici les possibilités
d’obtention des sections efficaces d’excitation à partir
du signal optique de résonance électrique RF et nous
les illustrons sur des résultats plus précis concernant
n
6, dans la transition n 6 à n 4 située vers
6 561 A.
Le principe de l’expérience est de soumettre un
faisceau d’ions 4He+ excités par cible solide mince à
l’action d’un champ électrique oscillant. Lorsque la
fréquence du champ correspond à une séparation de
structure fine telle que AL
± 1, il y a couplage
alors
assez
=
=
=
=
=
entre les deux états atomiques concernés, donc
transferts de population, qui sous certaines conditions
(voir § 2.3) entraînent une variation de l’intensité
lumineuse due au déclin radiatif, permettant de détecter optiquement la résonance.
En pratique, le faisceau d’ions, après excitation par
une cible de carbone, traverse une région de champ
électrique RF, rectilignement polarisée dans une
direction perpendiculaire au faisceau. La détection
a lieu après cette région, parallèlement au champ
électrique (Fig. 1).
Dans une première partie, consacrée au calcul du
signal optique de résonance électrique RF, nous
serons
amenés à étudier :
le choix d’une représentation basée sur l’étude
symétries du problème ;
l’expression des opérateurs : Qo densité d’excitation, U(t) d’évolution, D de détection, dans cette
-
des
-
représentation ;
le signal analytique dû à chacune des populations
LO’ML (dans l’axe du faisceau pris comme axe de
-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197500360120122100
1222
l’expression analytique de chaque composignal est donc nécessaire à la détermination
populations initiales.
de
sance
sante du
de
ces
2.1 SYMÉTRIE DU PROBLÈME ET CHOIX D’UNE REPRÉOn peut distinguer trois phases dans
une expérience de détection optique de résonance
radiofréquence électrique sur un faisceau d’ions
accélérés :
SENTATION.
a)
La
-
préparation
du
système décrite
par
l’opé-
rateur densité d’excitation Qo.
b) L’évolution du système due à son hamiltonien
X(t) et qui s’exprime par l’opérateur d’évolution U(t),
tel que :
FIG. 1.
Dispositif expérimental. 1. Cible de carbone. 2. Plaques
RF. 3. Diode. 4. Mesure puissance RF. 5. Coupleur directif.
6. Fréquencemètre. 7. Générateur RF modulé 1 000 Hz. 8. Lentille
et filtre. 9. Photomultiplicateur. 10. Amplificateur-discriminateur.
11. Détection synchrone. Les bobines de compensation du champ
terrestre n’ont pas été représentées. La compensation de l’effet
Doppler est obtenue en inversant les bornes a et b.
-
des sous-niveaux de structure fine
tenu de deux approximations :
indépendants à 2 niveaux et champ tournant.
quantification)
concernés, compte
systèmes
On montrera qu’on ne peut atteindre les cohérences
d’excitation LL’ U ML dans cette expérience.
c) La détection dont rend compte
détection :
l’opérateur
de
où D est l’opérateur dipolaire électrique, e03BB le vecteur unitaire associé à la polarisation détectée, Pi
le
projecteur sur
optique détectée.
les états inférieurs de la transition
L’intensité lumineuse détectée
a
pour
expression :
La simulation d’un signal expérimental correspondant à diverses répartitions de populations en L
-
et ML.
La seconde partie sera consacrée à la détermination
des sections efficaces d’excitation LU ML dans les
niveaux s, p, f, g, h de n
6 de 4He+.
=
La méthode des moindres carrés mettra en
évidence les corrélations entre les populations LQ’ML,
indépendamment du signal expérimental.
On recherchera alors, par un changement de
base, les combinaisons linéaires non corrélées des
LQML, et on évaluera leur précision, compte tenu
des données expérimentales. Les plus significatives
permettront de reconstituer le signal.
Un développement de Jo sur une base d’opérateurs tensoriels irréductibles conduira à exprimer
les contributions des populations (tenseur d’ordre 0)
et alignements (tenseurs d’ordre 2, 4, etc.) au signal.
-
Les symétries des opérateurs Qo, U(t), D vont nous
guider dans le choix d’une représentation.
Les propriétés de l’excitation d’un faisceau d’ions
par une cible solide mince (nature purement électrostatique de l’interaction, symétrie cylindrique)
s’expriment simplement dans la base découplée
.
-
-
On montrera enfin que les variances des combinaisons linéaires non corrélées des LU ML dépendent
étroitement des contributions relatives des populations et alignements au signal, ce qui fixe les possibilités et les limites de la méthode.
2. Signal optique de résonance électrique RF.
Pour des niveaux n élevés, les écarts des fréquences
de résonance deviennent comparables aux largeurs
de raies, si bien que la forme du signal observé dépendra sensiblement des populations initiales. La connais-
-
correspondant à
quantification.
l’axe
z
du faisceau
pris
pour
axe
de
Par contre, le hamiltonien du problème étant
invariant par rotation autour de l’axe oZ, colinéaire
champ RF, aura une structure diagonale en MJ
représentations1 JM} >z où OZ est l’axe de
quantification.
En conséquence, on écrira d’abord 0’0 dans la base
LSML Ms >z puis par changement d’axe de quantification lié à une rotation qui amène oz sur oZ,
dans la baseLSML Ms > z, enfin dans la base couplée
LSJMJ >z.
Dans l’approximation dipolaire électrique, le champ
électrique RF, de fréquence N, couple les états de
parité opposée (111L1 1) et le couplage est d’autant
plus important que leur écart en fréquenceDF1
est proche de N. En particulier, dans le domaine
au
dans la
=
étudié : 400 MHz-700 MHz, et pour le niveau n
=
6
1223
4He+,
dipolaires :
de
on
peut distinguer quatre transitions
2.2 ETUDE DES OPÉRATEURS 0"0’ U(t) ET D.
2 . 2 .1 Opérateur 03C30 pour une excitation d’un faisceau
d’ions par cible solide mince.
2.2.1.1 Excitation
d’un faisceau d’ions par cible solide mince. - Si
l’on suppose en étendant l’hypothèse de Percival et
Seaton [3], une interaction faisceau-cible, de nature
purement électrostatique et si l’on tient compte de la
brièveté de l’excitation par rapport au temps correspondant au couplage de L et S, la base découplée
1 LSML Ms >z 1 LML >zSMS >z sera la plus
appropriée à la représentation de Jo qu’on pourra
décomposer selon :
-
-
Les durées de vie sont les suivantes :
Seules les deux premières ne sont pas indépendantes,
car elles admettent un état commun G9/2; nous les
considérons cependant comme telles compte tenu
de leur écart en AF et à cette approximation près,
l’espace des états du système sera formé de sousespaces disjoints à deux états, du type1 LSJMJ >z
etL’ SJ’ MJ >z.
La détection (en l’absence de polariseur) qui
s’effectue dans notre cas parallèlement à oZ, axe
du champ RF, est, elle aussi, invariante par rotation
autour de oZ, donc diagonale en Mj. De plus, D
ne pouvant coupler que des niveaux de même parité,
(j 0394L1 0,2), sera diagonale dans chaque sousespace Mj : seuls seront à calculer les éléments de
matrice tels que : z ( LSJMJ15)1 LSJMJ > z.
La détection est incohérente et l’expression (2.1)
du signal montre qu’alors, les cohérences de 03C3(t),
termes extradiagonaux tels que :
=
où °Q° et suo agissent respectivement dans les espaces
orbitaux et de spinLML >z etSMS >z.
Si l’on admet l’isotropie de l’excitation dans l’espace
de spin, suo se confond avec l’opérateur identité et
l’étude de Jo se réduit à celle de ’ao.
symétrie cylindrique de l’excitation a deux
conséquences :
a) 003C30 est invariant par rotation autour de l’axe
oz du faisceau, 003C30 est donc diagonal en MJ dans la
base coupéeLSJMJ >z;
b) 003C30 est invariant par réflexion dans tout plan
contenant oz ; on peut en déduire l’égalité
La
=
Il convient de noter que les symétries précédentes
n’excluent pas l’existence de termes de cohérence tels
que : z LML1 ouo1 L’ ML >z avec L # L’, mis en
évidence dans l’étude de Lombardi, Giroud et
Zgainski [4].
ne
seront pas
termes
détectées. Il suffit donc de calculer les
diagonaux :
On ne peut exclure a priori des cohérences d’excitation du type : z ( LSJMJ1 UoL’ SJ’ Mj )z dans
l’expression de ces derniers. En fait, nous verrons
qu’elles disparaissent par suite de la variation de la
phase du champ RF vue par les ions du faisceau.
2.2.1.2
au
En résumé, les paramètres de l’excitation relativement à l’axe du faisceau pris pour axe de quantifi-
cation sont de deux types :
e Les populations z LML1 ouo
1 LML >z ou sections efficaces d’excitation des sous-niveaux ML
d’un niveau L.
e Les cohérences z(
LML1 Ou 0LL’ ML >z entre
niveaux de L différents.
verrons que la détection optique de
électrique peut permettre l’obtention
de ces paramètres.
Nous
nance
tains
Eléments de matrice diagonaux de 6o dans la
changement d’axe de quantification (Oz en OZ), on a :
baseLSJMJ )z.
-
Si R est
l’opérateur
la résode cer-
associé
1224
Pour les éléments diagonaux, les seuls à intervenir dans le
duisant les populations initiales U Omm:
L’invariance de Jo dans
une
signal comme le montrera l’étude de U(t),
rotation de 03C0 autour de l’axe du faisceau
2. 2. 2 Opérateur d’évolution.
Le hamiltonien Je(t) peut s’écrire :
-
2 . 2 . 2 .1
a
pour conséquence
et
en
intro-
:
Système à deux niveaux couplés par un champ électrique RF.
-
Jeo est le hamiltonien en champ nul, Jed le hamiltonien phénoménologique rendant compte du déclin radiatif
et JCRF le hamiltonien du couplage par le champ électrique RF
La phase ô traduit l’interaction des ions avec le champ RF à différents points de son cycle.
Dans l’approximation d’un système à deux niveaux (§ 2.1), H(t) a pour représentation dans la base des états
propresl 1> est| 2> de Jeo +X,:
col, y, et úJ2, 72 sont les pulsations et les inverses des durées de vie associées
| 2 >. L’interaction a pour expression :
respectivement
aux
états| 1 >
et
Le calcul de
l’opérateur d’évolution U(t) s’effectue généralement (Silverman et Pipkin [5]), selon les étapes :
passage dans la représentation d’interaction,
approximation du champ tournant,
diagonalisation du hamiltonien indépendant du temps obtenu dans la représentation associée au
référentiel du trièdre tournant. Dans ce dernier, la résonance électrique RF peut alors s’interpréter comme un
anticroisement de deux niveaux couplés par un champ électrique statique.
U(t) a pour expression dans la,base propre de Jeo + aCd :
-
-
-
Uo, Ul et U2. rendent compte respectivement de l’évolution du
référentiel tournant, et du couplage vu dans ce dernier.
2.2.2.2 Expression de l’opérateur densité u(t).
système due
à
Jeo
+
Jed, du
passage dans le
1225
désignant par Iij( t), aoij et 03C3ij (t) les éléments de matrice de U2(t), 03C30 et 0"( t) dans la base propre de Jeo + Xd
après moyenne sur la phase eifJ pour tenir compte du fait que les ions interagissent avec le champ électrique RI
en différents points de son cycle, l’expression (2. 2) se développe selon :
En
et
A la suite de la moyenne sur b, les cohérences d’excitation 03C30ij (i # 1) ont disparu des éléments diagonaux
de Q(t), mais demeurent dans les éléments non diagonaux. Comme l’opérateur de détection est diagonal dans
la même représentation, le signal est donc indépendant des cohérences d’excitation.
0 àt = tl,
FIG. 2.
Evolution de l’opérateur densité :
de to
de t,
évolution du système en l’absence de RF, décrite par Uo ;
à t2, interaction avec le champ RF, dont rend compte U ;
de t2
à t3, détection.
=
-
-
-
-
Dans notre expérience, l’évolution a lieu en trois
le temps d’interaction (i
t2 - tl), on obtient :
phases
comme
le montre la
figure
2. En
désignant par 03C4
=
Z peut être considéré comme la compo2.2.2. 3 Eléments de matrice de l’opérateur Z de couplage.
sante TJ du tenseur r - rCl où r et C représentent respectivement la partie radiale et angulaire de r1. Dans la
base coupéeLSJM, > z, un calcul classique donne :
-
où a est le rayon de la première orbite de Bohr et L > le plus grand des nombres quantiques L et L’. Les propriétés de symétrie des coefficients 3 j et 6 j impliquent que seuls seront couplés les états tels que :
De plus :
Le changement de MJ en - Mj
dans les sous-espaces Mj > 0.
conserve
donc les
-
une
il suffira de considérer l’excitation et l’évolution
,
En désignant
2.2.3 Opérateur de détection.
tenu des symétries (§ 2.1) on doit calculer :
1) étant invariant dans
éq. (2.3) :
par| lSjm j >
les états inférieurs de la transition et compte
rotation de 03C0 autour de l’axe du faisceau
Il suffit donc de déterminer D pour les
MJ
>
0.
1226
Le
produit
scalaire
e03BB.D a pour décomposition
tensorielle :
désignant les polarisations circulaires droite et gauche, eo la polarisation rectiligne. Dans notre
configuration, la lumière détectée est une superposition incohérente u+ et Q-. Par un calcul analogue à celui
de l’élément de matrice de l’opérateur Z, nous avons :
e+ 1 et e -1
avec
ANL,nl =
Pour
un
J rRNL Rnl dr. Les quantités ANL,nI sont liées aux valeurs de SH dans la tabulation de Wiese :
hydrogénoïde
2. 3 EXPRESSION ANALYTIQUE DU SIGNAL.
La
détection a lieu de t2 à t3, déterminés par l’angle
d’ouverture du système optique (Fig. 2).
Dans un sous-espace Mj, l’intensité lumineuse
détectée sera :
-
2.4 SIMULATION.
En fonction des populations
initiales choisies, on peut calculer le signal correspondant. On a considéré (Fig. 3) trois cas de peuplement
des niveaux L : pondération plate, statistique et
triangulaire (avec le maximum en F), avec les trois
hypothèses de non-alignement, alignement en
-
Le calcul a été effectué pour les conditions expérimentales résumées dans le tableau I.
Cette étude montre que le signal obtenu varie considérablement selon les choix de populations initiales :
sont donnés par (2.3), 01, et
sont les éléments de matrice diagonaux de D.
03C311(t2) et 03C3 22(t2)
D22
Remarque : On peut montrer que l’intensité lumiI(MJ) est indépendante de la fréquence du
champ RF dans deux cas particuliers :
durées de vie égales : y 1 = y2,
populations initiales égales 03C3011 03C3022 ;
durées de vie égales : y,
y2,
éléments de matrice de la détection égaux :
neuse
-
=
-
.
=
Si l’on revient à la base découpléeLML SMS >z
l’axe du faisceau comme axe de quantification,
l’intensité totale s’exprime comme combinaison
linéaire des L03C30mm, notées ai :
avec
FIG. 3.
dans 3
Simulation du
signal pour 3 hypothèses de peuplement
d’alignement :a) S : P : F : G : H = 1 :1 :1 :1 :11
(distribution plate) ;b) S : P : F : G : H = 1 : 3 : 7 : 9 :11 (distribution statistique) ;c) S : P : F : G : H = 1 : 2 : 4 : 3 : 2 (distribution triangulaire, avec maximum en F). 1. Pas d’alignement;
2. alignement en ML
0 ; 3. alignement en |1 ML= L.
-
cas
=
1227
TABLEAU 1
Conditions
expérimentales
Energie des ions He +
Excitation :
300 keV
Cible de carbone 10 gg/cm’
Courant 3 03BCA
Distance cible-plaques RF 1 cm
Radiofréquence : Distance d’interaction 8,5 cm
Séparation des plaques 5 mm
Champ électrique Eo 94 V/m ;
=
V 03C4 ~
0,6
été faite pour un domaine de fréquence allant de 400
à 700 MHz.
Le signal observé (Fig. 4) résulte ainsi de la somme
des contributions de 14 sous-espaces Mj orthogonaux
entre eux, mettant en jeu les 18 paramètres ULM.,,,
populations évaluées avec l’axe du faisceau pour axe
de quantification.
3.1 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS.
Les paramètres du problème sont les 18 populations initiales
U LM L’ que nous appellerons ici ai. La méthode des
moindres carrés consiste à minimiser l’expression
-
PM 9656 S EMI
Filtre 6 560 A
Détection synchrone
Détection :
fréquence chopper 1 kHz
durée de comptage dans chaque
état du cycle : D = 0,47
temps de comptage : T 100 s
taux de comptage du bruit :
RB 6 000 cp/s
taux de comptage du signal :
RS 100 cp/s
Distance d’observation après les
plaques : 3 cm
=
=
fonction des variables 03B1j, N étant le nombre de
points expérimentaux définis par N valeurs de xi
pour lesquelles le signal est y;, de variance U2(y¡)
et Jj(xJ la contribution de chaque variable 03B1j. Le
système à résoudre est :
en
=
Compensation
du
champ magnétique
avec
et
terrestre.
i
certaines résonances peuvent être fortement atténuées
ou déplacées, leur amplitude inversée ; si la structure
du niveau excité est supposée connue, la résonance
électrique peut donc fournir des informations sur
les sections efficaces d’excitation à la fois en L et en
ML. Qualitativement, c’est une distribution plate
en L intermédiaire entre un alignement en ML
0
et un non-alignement, qui décrit au mieux les résultats
=
expérimentaux (Fig. 4).
Si certains paramètres 03B1j sont corrélés, la matrice A
mal conditionnée et le système à résoudre sera
indéterminé. C’est le cas de notre expérience. En effet,
le signal peut être une fonction d’une certaine combinaison linéaire des U LML plutôt que des populations
elles-mêmes. Ainsi, la transition Sl/2-P 1/2 a pour
paramètres indépendants les populations P 1 j2 et Sl/2.
Pi/2 est une combinaison linéaire donnée de 6Po et up,
et l’expérience ne permettra pas de séparer les termes
sera
3. Détermination des sections efficaces et discussion.
- Le déplacement de Lamb pour le niveau n
6 de
He II a pour valeur 524 MHz [6]. La largeur de la
courbe de résonance observée est telle que cette
transition n’est pas entièrement séparée des trois
transitions voisines. L’étude expérimentale a donc
=
FIG. 5.
Signaux des populations LUML’ prises égales à l’unité
(sur les sous-niveaux + ML et - ML). Certaines contributions
sont très voisines et apparaissent confondues sur le graphique.
Pour chaque niveau, l’amplitude croît avec ML.
-
FIG. 4.
calculé à
Comparaison du signal expérimental avec le signal
partir des 7 combinaisons linéaires 03B1tj les plus significatives
-
du tableau II.
,
1228
de cette combinaison. Une seconde difficulté provient
du signal lui-même : si deux contributions provenant
de deux sous-espaces Mj différents peuvent être
considérées comme proportionnelles (eu égard aux
incertitudes expérimentales), le signal dépendra là
encore d’une combinaison linéaire des (jLML concernés.
La figure 5 montre que les contributions des différents QLML sont peu différenciées et donc que la
méthode des moindres carrés n’est pas applicable.
Le problème est alors de trouver quels sont les paramètres ou leurs combinaisons linéaires que l’expérience permettra de définir.
DES COMBINAISONS LINÉAIRES DES
CORRÉLÉES.
La matrice A, si elle
ne peut être inversée, peut par contre être diagonalisée
par une transformation unitaire S. Les variables ai
sont alors transformées en variables ex) dont on sait [7]
qu’elles ne sont plus corrélées et dont on peut calculer
l’écart quadratique moyen 03C3(03B1tj). On peut montrer
(voir appendice) que si 03BBj est une valeur propre de
3. 2 RECHERCHE
POPULATIONS NON
S -’ AS,
-
u(rxi) = Â j- ’/«
Les ce) étant des combinaisons linéaires déterminées
des variables ocj initiales (otj = E Su oci), a(dj) définit la
e
=
on a
avec laquelle est connue telle combinaison
linéaire des inconnues aj. Si la matrice A est mal
conditionnée, son déterminant est voisin de zéro et
par suite certains Âi seront voisins de zéro. Il leur
correspondra une incertitude élevée ; 03B1tj) sera indéterminé et donc les 03B1j eux-mêmes seront indéterminés.
Ainsi, l’expérience ne permettra de connaître que
certaines combinaisons linéaires des populations initiales, celles correspondant aux les plus élevés.
précision
.
TABLEAU II
Le tableau II décrit les valeurs propres Âj et les
incertitudes relatives J(ce))/oe§ dans notre expérience.
Les calculs sont effectués avec les données expérimentales du tableau I. Si l’on admet une distribution
de Poisson des impulsions, l’écart quadratique moyen
des signaux yi est donné par :
La détection synchrone digitale donne en effet les
taux de comptage RB + Rs et RB respectivement en
présence et absence de champ électrique RF, durant
le temps DT de comptage ; le facteur D tient compte
de la durée effective de comptage dans chaque état du
cycle. Comme R. » RS, a(y.)
est
pratiquement
constant.
En définitive, seules deux combinaisons linéaires
des populations initiales (j = 5 et 9) sont bien
connues, et pour une incertitude relative de l’ordre de
1/3, 7 d’entre elles seront connues. Si et seulement si les
valeurs de tous les oeÉ étaient bien déterminées, on
pourrait en déduire les populations initiales a J.
Il est clair dans notre cas qu’on ne peut donner l’ensemble des populations initiales ocj. Le tableau III
donne les coefficients des combinaisons linéaires les
plus significatives ainsi que ceux d’une combinaison
déterminée avec une précision bien moindre.
On vérifie bien (Fig. 4) que si l’expérience n’est
sensible qu’à certaines combinaisons linéaires, réciproquement la connaissance de ces grandeurs permet
de reconstituer le signal. Les différences observées
représentent les contributions que l’on a alors
négligées.
Le tableau III permet
sions :
un
certain nombre de conclu-
Valeurs propres de la matrice A des moindres carrés,
paramètres transformés aj’ (combinaisons linéaires des
populations initiales) et incertitudes relatives associées ;
l’indice j repère les différentes valeurs propres ; les
chiffres entre parenthèses indiquent les puissances de
10 ; les puissances inférieures â - 14 ne sont pas
les populations (J’po et dpi interviennent toujours
la forme ap, + 2 03B1p1, ce qui met en évidence
leur corrélation déjà prévue (§ 3.1) ;
les coefficients de (J’po et api sont toujours
très faibles : le signal est peu sensible à la population P,
compte tenu de la faible durée de vie de ce niveau ;
signficatives.
5 comporte un
la combinaison linéaire j
coefficient prépondérant : 0,998 pour la population
us ; elle traduit essentiellement le signal de résonance Si/2’Pi/2 dont le maximum est situé à 524 MHz
-
sous
-
=
-
(Fig. 4) ;
coefficients de aG et uH qui sont les
plus importants dans la combinaison j 9 : elle
décrit principalement les transitions G9/2-Hll/2 et
H9/2-G7/2 situées respectivement à 432 et 649 MHz ;
-
ce
sont les
=
1 et j
13 font intervenir
les combinaisons j
des poids comparables les populations u.,
03C3G et aH : elles rendent compte de la transition
G9/2-F7/2 à 649 MHz et complètent la description de
la précédente (j = 9).
-
=
=
avec
pour les 4 combinaisons les plus significatives,
le signe des coefficients est conservé à l’intérieur d’un
niveau L donné, ce qui n’est plus le cas pour les autres
-
1229
TABLEAU III
Coefficients des combinaisons linéaires 03B1tj des populations initiales les plus significatives. A titre
de comparaison, on a fait figurer en dernière colonne les coefficients de la combinaison j
4, obtenue
avec une incertitude relative plus importante : 0,80.
=
TABLEAU IV
Décomposition des combinaisons linéaires de populations 03B1tj les plus significatives sur les coefficients Laq de Uo exprimée dans la base L T k. La dernière colonne correspond à la combinaison 03B1t4 connue
avec une incertitude relative plus importante : 0,80.
1230
(à titre d’exemple, on a choisi la combinaison j 4). (à titre d’exemple, on a fait figurer la combinaison
Elles apparaissent de plus, comme très proches d’une j = 4 dans le Tableau IV).
combinaison linéaire des populations
Ceci confirme la conclusion précédente (§ 3.2) :
=
pour les niveaux F, G, H. En définitive, elles rendent
essentiellement compte des populations, l’écart traduisant la contribution des alignements ou moments
multipolaires des niveaux.
On est ainsi amené à étudier les contributions des
composantes tensorielles de l’excitation Qo au signal.
3.3 DÉCOMPOSITION
TENSORIELLE DE
aa.
Une
-
autre approche du problème peut être faite en substituant à la description de la matrice densité a par les
populations L03C3mm celle de u
sur une base d’opérateurs
par les coefficients
L6q
tensoriels irréductibles
est
Dans
notre
dans la base
cas,
03C3
diagonale
LTq.
découplée avec l’axe du faisceau comme axe de
quantification et la décomposition ne comportera
que des termes Le tels que :
Les combinaisons linéaires § peuvent ainsi se
(Tableau IV),
décomposer sur des termes
c’est-à-dire en populations d’un niveau L(k
0),
son alignement (k
2) et les alignements d’ordre
supérieur (k > 2). On remarque alors que les ce) les
mieux connus se décomposent principalement sur
les termes k
0 et k
2 (avec un poids plus important sur k
0), à l’inverse des autres 03B1tj pour lesquels
les coefficients sont du même ordre pour tout k
L03C3K0
=
les combinaisons des sections efficaces initiales L03C3mm
les mieux connues correspondent, à une assez bonne
approximation, aux termes de populations de Qo.
Si l’on examine le signal correspondant à chaque
La’ 0 (Fig. 6), on voit que les contributions des alignements sont de plus en plus faibles à mesure que
l’ordre k augmente, ce qui explique la large incertitude
obtenue pour certaines combinaisons linéaires aâ.
La résonance radiofréquence n’est donc pas sensible
aux alignements d’ordre supérieur. Cependant, l’expérience ne permet pas d’atteindre les populations
des niveaux (k
0) et leur alignement (k 2), car
la corrélation entre ces grandeurs demeure.
=
=
La connaissance analytique des
4. Conclusion.
composantes du signal dans une expérience de
résonance radiofréquence sur des ions hydrogénoïdes
permet de prévoir deux sortes de déterminations.
Ce sont d’une part celle de la structure du niveau
considéré et d’autre part celle des sections efficaces
dans le mode d’excitation utilisé.
Le traitement numérique utilisé ici, qui substitue
à l’inversion habituelle du système linéaire bâti à
partir de la méthode des moindres carrés, sa diagonalisation, permet de se placer dans une représentation
où ont été mises en évidence :
-
=
=
=
=
FIG. 6.
Signaux des populations et alignements LUk 0 pris égaux à
l’unité. Niveau P : les contributions de 6ô et 6ô sont confondues.
Niveau F : courbe 1 : a’, courbe 2 : Ji, courbe 3 : u’ et a8. Niveau G :
courbe 1 : 6ô, courbe 2 : a’, courbe 3 : 03C340, a8 et 03C380. Niveau H :
courbe 1 : ag, courbe 2 : Ji, courbe 3 : 03C340, courbe 4 : 03C360, u8 et Qôo.
Les contributions des Qô décroissent rapidement avec l’ordre k.
-
les corrélations existant entre les signaux dus
différents sous-niveaux magnétiques : les valeurs
propres correspondantes sont alors voisines de zéro
et les variances associées importantes ;
-
aux
les combinaisons linéaires des sections efficaces
d’excitation auxquelles le signal total est sensible,
et qui correspondent aux plus grandes valeurs propres,
donc aux variances les plus faibles.
-
Il s’agissait ici d’excitation par cible solide mince,
mais il est important de noter que la matrice A des
moindres carrés ne fait pas intervenir le signal luimême, mise à part la variance des points expérimentaux. En conséquence, dans un autre mode d’excitation, comme celui de la cible gazeuse, A aura les
mêmes éléments à un facteur près, pour toute expérience mettant en jeu les mêmes sous-niveaux magnétiques. La diagonalisation de A conduira aux mêmes
combinaisons linéaires de population non corrélées,
avec des variances toutefois différentes selon le signal
obtenu.
Cependant, il faut remarquer que les résultats
dépendent de la grandeur du champ électrique radiofréquence : la nature et le nombre des combinaisons
linéaires bien déterminées varient avec l’intensité du
champ ; l’étude de la diagonalisation en fonction du
champ montre en effet que pour des champs plus
élevés, les signaux correspondants aux moments
multipolaires ne sont plus négligeables, ce qui augmente le nombre de combinaisons linéaires des
1231
sections efficaces d’excitation connues avec précision et
peut donc contribuer à lever partiellement leur indétermination. Ce même objectif peut être atteint en exploitant la possibilité de séparation des sous-niveaux par
un champ magnétique axial.
Le traitement numérique a supposé connues les
fréquences de transition. Ces grandeurs peuvent être
aussi considérées comme de nouveaux paramètres,
mais la précision que l’on peut escompter dans les
conditions actuelles demeure trop faible pour avoir
un intérêt dans la confrontation avec les prévisions
théoriques : la détermination des structures n’est en
effet possible qu’en présence de transitions dipolaires
suffisamment éloignées les unes des autres, ou, ce
qui revient au même, dans le cas de sous-niveaux
magnétiques excités sélectivement par raie laser.
En posant :
on
est amené à inverser le
système linéaire :
La matrice de covariance des 03B1j s’écrit
tenu de (1) :
donc, compte
Remerciements.
Les auteurs souhaitent remercier les Dr J. D. Silver et M. L. Gaillard qui ont été
à la base de l’expérience et nous ont apporté leurs
critiques et suggestions, ainsi que M. le Pr Dufay
dans le laboratoire duquel ce travail a été réalisé.
-
APPENDICE
1. Calcul de la matrice de covariance associée
paramètres OEK définis par combinaisons linéaires
des variables y1 :
aux
Le
système (2) diagonalisé devient :
La matrice de covariance associée
aux ce)
a
pour
expression :
2. Application aux paramètres ak déterminés par
la méthode des moindres carrés :
On doit minimiser l’expression :
La diagonalisation a donc pour conséquence l’obtention de combinaisons linéaires non corrélées ce) des otk
initiaux ; une matrice de moindres carrés mal conditionnée possède des valeurs propres ek voisines de 0,
ce qui impliquera une grande incertitude sur la combinaison linéaire ak correspondante.
L’incertitude relative est donnée par :
Remarque : les valeurs propres d’une matrice de
moindres carrés sont nécessairement positives ou
nulles.
Bibliographie
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