ChaPitre 4: Ondes et Vibrations forcé Oscillations linéaires en régime Introduction l- r^,'ann I'application d'une dans un système à cause de apparaissent forcées Les oscillations périodique ou constante, sinusoidale, puuictr" excitation cette excitation extérieure. ttîï::fion s'exprime comme : o" Lagrange pour un système forcé es-\ - ry. : F(t) F(t) : force extérieure ilat\aà) oq - i D( +2e i +azox t\ + afl suivant Soit le système mécanique m i +u ic +l*: F(t) : ?* CË1Fcu o(/) r -oulecircuitRlCalimentéparuneforceélectromotricee(r) I z ,r L q +R q *Tq: e\t) q +2e à +az"q: Pour un Pendule de torsion t'0 +a e +Ce à +ze e +a!e : . -(t\ ï: 2 o(t) Cttl M(t) : 4P: o(/) Doncpourtrouverlessolutionsdusystèmeforcé,nousdevonsrésoudredes (3)' équations de la forme (1), (2) et ll- L'excitation est constante : une excitation L,oscillateur linéaire soumis à La fonction o(r) est une constante. ordre avec un différentiete *néaire du second équation par une régit est constante à ra sorution de équation est obtenue en aioutant ""tt"la solution particulière' l'équation sans second membre' t"":u iiili;rËllrÏo" .Lasolutiondel,équationsanssecondmembreestcalculéede|amêmemanière qu'en régime transitoire' entre I'instant qu,en régime liore, cetie solution n'intervient permanent est atteint' initiat (r 0) et I'instant où le régime mécanique: Exemple : Etude du cas de !'oscillateur : *ï+oi+kx:Fo i +2e x +a2ox: + le' cas '. € I (ùo La solution générale s'écrit : -t- 3 avec: a) r(t) = ae-êt cos(at + Q) + xc lJî;::l? J Jr.,,," : a2o - €' x" avant de s'immobiliser à autour de ra position d'équiribre celle-ci. *":J+:+ m0'o À 2r^rCas, '.€:0)o x(t): limr--x(/) * (a+bt)e-'t +x, x" 3"^rcaslt:a)o x(t) limr--x(/) * x" : avec: B (ae\t + 6n-9t7s-"t + x" {- o"t : - a)2o t Lè lll- L'excitation est sinusoÏdale O(/) Dans le cas d'une excitation sinusoÏdale régit par I'équation différentielle ï +2e i +a2ox : : : est Acos{lt' l'évolution de I'oscillateur AcosÇùt Q est la Pulsation imPosée système osc*re à ra pursation imposée Y par rapport.à l'excitation o(/)' avec une amplitude x) elun déphasage qL l'excitation, elle prend la forme suivante : La solution sera de même n"tur" x(t): X,rzcos(Ot-Y) î;,!ï';3ilîJJffi,,#ï:Ïi::i:tteint, re Pourretrouverl,amp|itudeXvetledéphasageYde|aréponse'ilestcommode : d'utiliser la représentation complexe (D(/) :,4cosf)f -* O(/) : Aeiat prend la forme suivante Par conséquent, la solution x(t) : Xlasi(ot-v) comme suit: L'équation différentielle se réecrit ï +2e ic +af,x: Aeia' onremplacel,expressiondelasolutionx(r)danscetteéquation >t- Ç) - çzyrsit;t-v) : +i2eQXvsl(aFv) + alXvetgt-Y) t1.eÇùXue-iY -ç>2Xue-it"t (al - (a2o - truiar +alXve-iY -- A + j2eÇt)X1ae-iv : Çt2 (a'o : - Çt2 Q2)Xu + j}ett)Xu + / : i(2e})Xu: : '4(cosY +i sinY) +7'4 sinY '4 cosY AeiY partie imaginaire Identification : partie réelle et I r""-ÇL2)xu: IcosY 1 2e{2xu: I sinY/ expressions' On somme les carrées des deux (2ett)z)*, t@Z çr')2 + - : trz finalement : Atl@Z - çtYi (2eÇt)2 : zetll(c't|- O2)' donc et le rapport terme à terme : tanY Y : arctan(ù6?"4^, \2xu - Etude de la courbe XPr(O) : !!#:_zaa*ffffiy 4r#: Q + Ç): rrfo - 2e2 à l,absence d'excitation, nous Voyons 0 n,est,pas une solution, el|e correspond un max' il faut que: nien Oe cette solution que, pour avoir a : '" ' :. " "9! lLta Anofiirr*r.,f Cc:+tr err,fic-È- À flcx $ra*r-U*aonar(^) û L \Âlc ê=ë I 5-. I (uort;,n-'r4hÉ ) Lorsquel,amortissementesttrèsfaible(s<0,laro),lemaximumàlieupour:ç):t)o LacourbeXM:^ç').présenteunpicaiguenÇl:@oilacourbeestd'autantplus aiguequel'amortissementestfaible,cephénomènes,appel:|aRésonance. X'rz(f') est La valeur du maximum de la fonction Xlamax : onvoitbienquesiediminue,alorsXlamaxaugmente. liryXumax --) co phénomène de résonance 7- Représentation ilt graPhique: ço n gqt êi{ 1( t\ \/ {i: {Â-3 llq Etude du déPhâsâ$e Y tanY: 2eAl@7-Q2) : liq tanY --+ Q+ ; Y : 0* faible, la réponse du système est en lorque la fréquence de l'excitation est très phase avec I'excifateur' .!imu tany -+ co - Ç)-c.l - y: + o proche de la fréquence propre du système' la lorque la fréquence de l'excitation est réponse du système est en phase avec l'excitateur' Y tt lim tanY -' 0C)-o - : relativement à la fréquence >nce de l'excitation est très importante lorque la en oppos ition de phase propre du système, la réponse du système est rréquen:".::1"":t:î:':: |orsquee*O,tanY-+Q+pouro<ooettanY-*0-pour(ù2'i.o'donclaphase passesubitementde0àzquandÇ)traverselafréquencealo. Représentation g raPhique' { I t io' tr s4 &# rf rl lf f t"/un/r ":#**'"æ" *-æ lV- Circuit RLC forcé ._ p6-Vt SoituncircuitRLCsêriesoumisàunetensionsinusoÏda|eL{2e(t) : e ocosÇ)/'" ;ri 7 : est régit par l'équation L'évolution de l'oscillateur idt + ni- Lfi t'' : e(t) àI c i {L ^:^,.-^ïÀaro - 11 fpl-l "erc) 1 Al,,excitatione(r),laréponsedusystèmeestlacirculationd'uncourantélectrique r(r) . y par rapport à r'excitation e(r)' Laréponsedusystèmeenrégimepermanent(courant)oscilleàlapu|sation oepr.,asage io uùn imposée Ç), avec unâampritude i(t) :iocos(Qr - Y) Pourrésoudrel,équationdifférentieltedusystème,onutiliselareprésentation complexe " e(t) : eocosÇ)/ ---' : e(t) i(t):;osi@t-v) i(t):i"cos(Qr-Y)* on remplace eoeiQt L (1)' (2) dans l'équation différentielle e(t) iLai4)+Ri(r) * fuitt>: : e(t) - +/La- &W#*\ I :1:x $lt'to [R Zi(t): ête) e(t) ";ç continue la loi d'Ohm en courant expression analogue à fc4 Z: R+iQa- $t 7 *z*lrei et Y: i(t): LuG) par identification nous &Lv Le"_ -J_ arctan # I . " €o - lzl i,(Ç)) : à : opour Ç) : avons une résonance estmaximum PourrQ- -)o>' S-o-uila'-v) : __L-en4ç)r ret ist -" - tzl lLl4' I^ io \L-O6è : lZlerY avec R2 + o (IO ctlo '5- .1 - za)' : fi : Ê- {Do - i oei(Qt-Y) t tt pouli f) : alo l*ini(r) -' * *t' Èo g Ws : ao,tanY:0 - Y : PourQ est nul) 0. (à la résonance, le déphasage Méthode des imPédances V- : : lmpédance d'une résistance Rt(/) -- e(t) 1- È e(t) _ R "^: iA Z^: lZolrin lZ^l: RetY:0 €tt"/ e(r) et t(t) sont en Phases' lmPédance d'une self 2- uI i(t) : ;osi6u-Y), ce qui donne: di\!) : e0) -\/ dt iLAiQ) : e(t) ,,: #:iLçr:lZrlaY lz'l : donc iU) : ffiei(at-tt2) à e(r)' i(r) est en retard de rl2 par rapport 3-'' (/te) (.4.t : lmPédance d'une capacité ' -6- LÇ) elY : rc12 1l , i(t) = ioei(et-y), ce qui donne: Zr:!!I:76| i@ CJr@dt:r(t) #rfO : ..r : :- -iô e(t) lZrl"iv donc i(t) : lzrl #"ty:-r/2 eoÇ{)si(at+xrz7 finalement, i(/) est en avance de n/2par rapport à e(t). 4- Composition des impédances - En série : : f"t:lz, i schéma -En parallèfe: 5- *:>i Cas du circuit RLC série i(t) : ^, r) - +1/eÇ /ea jLa*tr *n e(r) : IR+i(La_ w5 € (vl *)litt) CQ L'impédance électrique d'un circuit est une grandeur complexe, définie par re rapport il",' Ë. I ,." ou," .o' pr exp ri m e,e 3r r;:y^:é?":i:"î : îï1ff 5 î:* :'1,"1;,; Z:n +ix; R: résistance ;X J* "ie- ,e*t.n." vf- coefficient de quafité d'un circuit RLC ' La tension aux bornes de ra self à ra résonance : f) o,o est: et(roo) : Lato.i(iao) or: i(@o) : solP donc: er(oto) on pose : *"" *+* : donc o" ,î*n;frï u" surtension ",, oo,.nllii!,: "?;(coerricienr de euar*é ou coefficienr ' La tension aux bornes du condensateur à fa résonance c) = ec(a.):i(9")Cao I -_La : =f : Eea;e" ec(roo) à la résonance : et(oto) VIt- : aro êst: Qeo Qeo ec(rrto) : e", o Bande passante d,un circuit résonant 'Pfus R est faible' : pfus la courbe de résonance est aigue est grand ; (o) presente ,nl-rimetrie ,u," un" àige et re coefficient de quarité bande de fréquences. "roo 'affin d'estimer I'acuite oe ia-Ào;",.à, B = Qz - Or teffe que p".r"ntroe rargeuer C)1 ," ,nuent Oe part eiàl;ru"bande de ,-oet correspondent à : * ffiï',l" "i", , i(Qr) : i(ç)2): I "",T:il,lï;"#ffi :îi.';:ïH:ii,["lilç:i,'r""ff P(Or):p(ez): :[:,,,carréde,,amp,itude, P(oro) à4o*'e'/e ù, n"*f ,/î fu t rJo ."rr:ï:iiï'."!',0" "!v 2. la bande passante -8, nous devons chercher io = io"*- à fa résonance io74^ : e6/R, avec €o/ R2 + t. \t- io: c€ QUi nous donne (Le_ I r, R2:(Ltù' ca, 7fu1, :" e^ JIn +ZC)-#:* :8 Ç)r et.C)2.qui, l"cas: LO- !_ :+R L{ù2_ÀCI_à -0 : LCl-- 7f, : _n L(ù2+RO-â:0 2"m"ces A,:R2*4+ C)- n+ In2iT c Y-- A: R2 *4t R-ÏLlR2+4L ___u.- t : ouf): -R+,[^z*F , donc R+ ou f) : -R-q+47 R2+a$ B:AC):C)z_f),:4 L C)r et Oz sont appelées Les fréquences de coupure. Remarque: .oto : l/JLe et AO : R/L, le rapport n'est autre que le coefficient de qualité I RCao e, donc. a:+ La qualité d'un oscillateur est d'autant meiileure que le circuit est sélectif. f- vlf La Puissance absorbée par un circuit résonant puissance absorbée par un circuit est donnée par : P(r) e(r)i(t) Donc r'énergie absorbée par te circuit pendant un temps dE : e(T)i(t)dt et l'énergie absorbée sur une période Zest: ô-o : avec e(t) : eo cosf)/ et i(r) : io cos(C)r 6E nous avons: cosacosô : 6E : dt est pr J _ re(t)i(t)dt y) eoioJt.orOr"o s(et -y)dt ]lcos(c + b) +cos(a _ ô)] : ?-ole-lJtcosqzei 6E: t -y)dr + [r cosvat] ffrcosv 6E: s!-gzcosy J2 J2 6E: eeî.i16.T.cosy La puissance absorbée par le circuit A la résonance y: P: Urî.ie11'.COSV 0, nous avons donc un maximum d,absorption d,énergie. *)- q :