chapitre4 sali

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ChaPitre 4: Ondes et Vibrations
forcé
Oscillations linéaires en régime
Introduction
l-
r^,'ann
I'application d'une
dans un système à cause de
apparaissent
forcées
Les oscillations
périodique ou
constante, sinusoidale,
puuictr"
excitation
cette
excitation extérieure.
ttîï::fion
s'exprime comme :
o" Lagrange pour un système forcé
es-\ - ry. : F(t) F(t) : force extérieure
ilat\aà)
oq
-
i
D(
+2e
i +azox
t\
+
afl
suivant
Soit le système mécanique
m i +u ic +l*: F(t)
:
?*
CË1Fcu
o(/)
r
-oulecircuitRlCalimentéparuneforceélectromotricee(r)
I
z ,r
L q +R q
*Tq:
e\t)
q +2e à +az"q:
Pour un Pendule de torsion
t'0 +a e +Ce
à +ze e +a!e
:
. -(t\
ï:
2
o(t)
Cttl
M(t)
: 4P:
o(/)
Doncpourtrouverlessolutionsdusystèmeforcé,nousdevonsrésoudredes
(3)'
équations de la forme (1), (2) et
ll-
L'excitation est constante
:
une excitation
L,oscillateur linéaire soumis à
La fonction o(r) est une constante.
ordre avec un
différentiete *néaire du second
équation
par
une
régit
est
constante
à ra sorution de
équation est obtenue en aioutant
""tt"la solution particulière'
l'équation sans second membre'
t"":u
iiili;rËllrÏo"
.Lasolutiondel,équationsanssecondmembreestcalculéede|amêmemanière
qu'en régime transitoire' entre I'instant
qu,en régime liore, cetie solution n'intervient
permanent est atteint'
initiat (r 0) et I'instant où le régime
mécanique:
Exemple : Etude du cas de !'oscillateur
:
*ï+oi+kx:Fo
i +2e x +a2ox: +
le' cas '. € I
(ùo
La solution générale s'écrit
:
-t-
3
avec: a)
r(t) = ae-êt cos(at + Q) + xc
lJî;::l?
J Jr.,,,"
:
a2o
- €'
x" avant de s'immobiliser à
autour de ra position d'équiribre
celle-ci.
*":J+:+
m0'o
À
2r^rCas,
'.€:0)o
x(t):
limr--x(/)
*
(a+bt)e-'t +x,
x"
3"^rcaslt:a)o
x(t)
limr--x(/) * x"
:
avec: B
(ae\t + 6n-9t7s-"t + x"
{-
o"t
:
-
a)2o
t
Lè
lll-
L'excitation est sinusoÏdale
O(/)
Dans le cas d'une excitation sinusoÏdale
régit par I'équation différentielle
ï +2e i
+a2ox
:
:
:
est
Acos{lt' l'évolution de I'oscillateur
AcosÇùt
Q est la Pulsation imPosée
système osc*re à ra pursation imposée
Y par rapport.à l'excitation o(/)'
avec une amplitude x) elun déphasage
qL l'excitation, elle prend la forme suivante :
La solution sera de même n"tur"
x(t): X,rzcos(Ot-Y)
î;,!ï';3ilîJJffi,,#ï:Ïi::i:tteint,
re
Pourretrouverl,amp|itudeXvetledéphasageYde|aréponse'ilestcommode
:
d'utiliser la représentation complexe
(D(/) :,4cosf)f -* O(/)
:
Aeiat
prend la forme suivante
Par conséquent, la solution
x(t) : Xlasi(ot-v)
comme suit:
L'équation différentielle se réecrit
ï +2e ic +af,x: Aeia'
onremplacel,expressiondelasolutionx(r)danscetteéquation
>t-
Ç)
- çzyrsit;t-v)
:
+i2eQXvsl(aFv) + alXvetgt-Y)
t1.eÇùXue-iY
-ç>2Xue-it"t
(al
-
(a2o
-
truiar
+alXve-iY -- A
+ j2eÇt)X1ae-iv :
Çt2
(a'o
:
-
Çt2
Q2)Xu
+ j}ett)Xu
+
/
:
i(2e})Xu:
:
'4(cosY +i sinY)
+7'4 sinY
'4 cosY
AeiY
partie imaginaire
Identification : partie réelle et
I r""-ÇL2)xu: IcosY
1 2e{2xu: I sinY/
expressions'
On somme les carrées des deux
(2ett)z)*,
t@Z çr')2 +
-
: trz
finalement
: Atl@Z - çtYi (2eÇt)2
: zetll(c't|- O2)' donc
et le rapport terme à terme : tanY
Y : arctan(ù6?"4^,
\2xu
-
Etude de la courbe XPr(O)
:
!!#:_zaa*ffffiy
4r#:
Q
+ Ç):
rrfo
-
2e2
à l,absence d'excitation, nous Voyons
0 n,est,pas une solution, el|e correspond
un max' il faut que:
nien Oe cette solution que, pour avoir
a
:
'"
'
:.
"
"9! lLta
Anofiirr*r.,f Cc:+tr
err,fic-È- À flcx
$ra*r-U*aonar(^)
û
L
\Âlc
ê=ë I
5-.
I
(uort;,n-'r4hÉ
)
Lorsquel,amortissementesttrèsfaible(s<0,laro),lemaximumàlieupour:ç):t)o
LacourbeXM:^ç').présenteunpicaiguenÇl:@oilacourbeestd'autantplus
aiguequel'amortissementestfaible,cephénomènes,appel:|aRésonance.
X'rz(f') est
La valeur du maximum de la fonction
Xlamax
:
onvoitbienquesiediminue,alorsXlamaxaugmente.
liryXumax --) co phénomène de résonance
7-
Représentation
ilt
graPhique:
ço n
gqt
êi{
1(
t\
\/
{i:
{Â-3
llq
Etude du déPhâsâ$e Y
tanY: 2eAl@7-Q2)
:
liq tanY
--+ Q+
;
Y
:
0*
faible, la réponse du système est en
lorque la fréquence de l'excitation est très
phase avec
I'excifateur'
.!imu tany -+ co -
Ç)-c.l
-
y: +
o
proche de la fréquence propre du système' la
lorque la fréquence de l'excitation est
réponse du système est en phase avec l'excitateur'
Y tt
lim tanY -' 0C)-o
-
:
relativement à la fréquence
>nce de l'excitation est très importante
lorque la
en oppos ition de phase
propre du système, la réponse du système est
rréquen:".::1"":t:î:'::
|orsquee*O,tanY-+Q+pouro<ooettanY-*0-pour(ù2'i.o'donclaphase
passesubitementde0àzquandÇ)traverselafréquencealo.
Représentation g raPhique'
{
I
t
io'
tr
s4 &#
rf
rl
lf f
t"/un/r
":#**'"æ"
*-æ
lV-
Circuit RLC
forcé
._
p6-Vt
SoituncircuitRLCsêriesoumisàunetensionsinusoÏda|eL{2e(t) : e ocosÇ)/'" ;ri 7
:
est régit par l'équation
L'évolution de l'oscillateur
idt
+ ni-
Lfi
t''
: e(t)
àI
c
i {L
^:^,.-^ïÀaro
-
11
fpl-l
"erc)
1
Al,,excitatione(r),laréponsedusystèmeestlacirculationd'uncourantélectrique
r(r)
.
y par rapport à r'excitation e(r)'
Laréponsedusystèmeenrégimepermanent(courant)oscilleàlapu|sation
oepr.,asage
io uùn
imposée Ç), avec unâampritude
i(t) :iocos(Qr - Y)
Pourrésoudrel,équationdifférentieltedusystème,onutiliselareprésentation
complexe
"
e(t) : eocosÇ)/
---'
:
e(t)
i(t):;osi@t-v)
i(t):i"cos(Qr-Y)*
on remplace
eoeiQt
L
(1)'
(2) dans l'équation différentielle
e(t)
iLai4)+Ri(r) * fuitt>:
: e(t)
- +/La-
&W#*\
I :1:x
$lt'to
[R
Zi(t):
ête)
e(t)
";ç
continue
la loi d'Ohm en courant
expression analogue à
fc4
Z: R+iQa- $t
7
*z*lrei
et
Y:
i(t):
LuG)
par identification
nous
&Lv
Le"_ -J_
arctan
#
I
.
"
€o
-
lzl
i,(Ç)) :
à : opour Ç) :
avons une résonance
estmaximum PourrQ-
-)o>'
S-o-uila'-v)
: __L-en4ç)r
ret ist -" - tzl
lLl4'
I^
io
\L-O6è
: lZlerY
avec
R2 +
o
(IO
ctlo
'5-
.1
- za)'
: fi :
Ê-
{Do
-
i
oei(Qt-Y)
t
tt
pouli
f) : alo l*ini(r) -' *
*t'
Èo
g
Ws
: ao,tanY:0 - Y :
PourQ
est nul)
0. (à la résonance, le déphasage
Méthode des imPédances
V-
:
:
lmpédance d'une résistance
Rt(/) -- e(t)
1-
È
e(t) _ R
"^: iA
Z^: lZolrin lZ^l: RetY:0
€tt"/
e(r) et t(t) sont en Phases'
lmPédance d'une self
2-
uI
i(t)
:
;osi6u-Y), ce qui donne:
di\!) : e0)
-\/
dt
iLAiQ)
:
e(t)
,,: #:iLçr:lZrlaY lz'l :
donc
iU)
:
ffiei(at-tt2)
à e(r)'
i(r) est en retard de rl2 par rapport
3-''
(/te)
(.4.t
:
lmPédance d'une capacité
'
-6-
LÇ)
elY
:
rc12
1l
,
i(t) = ioei(et-y), ce qui donne:
Zr:!!I:76|
i@
CJr@dt:r(t)
#rfO :
..r :
:- -iô
e(t)
lZrl"iv
donc
i(t) :
lzrl
#"ty:-r/2
eoÇ{)si(at+xrz7
finalement, i(/) est en avance
de n/2par rapport à e(t).
4-
Composition des impédances
- En série
:
:
f"t:lz,
i
schéma
-En parallèfe:
5-
*:>i
Cas du circuit RLC série
i(t)
:
^, r)
- +1/eÇ
/ea jLa*tr *n
e(r)
:
IR+i(La_
w5
€ (vl
*)litt)
CQ
L'impédance électrique d'un
circuit est une grandeur complexe,
définie par re rapport
il",'
Ë.
I
,."
ou,"
.o' pr exp ri m e,e
3r r;:y^:é?":i:"î :
îï1ff
5 î:* :'1,"1;,;
Z:n +ix; R: résistance ;X
J*
"ie-
,e*t.n."
vf-
coefficient de quafité d'un circuit
RLC
' La tension aux bornes de ra self à ra résonance
:
f) o,o est:
et(roo)
: Lato.i(iao)
or:
i(@o)
:
solP
donc:
er(oto)
on pose
:
*""
*+*
:
donc
o"
,î*n;frï
u" surtension
",, oo,.nllii!,: "?;(coerricienr
de euar*é ou coefficienr
' La tension aux bornes du
condensateur à fa résonance
c) =
ec(a.):i(9")Cao
I -_La
: =f :
Eea;e"
ec(roo)
à la résonance
:
et(oto)
VIt-
:
aro
êst:
Qeo
Qeo
ec(rrto)
:
e",
o
Bande passante d,un
circuit résonant
'Pfus R est faible'
:
pfus la courbe de
résonance est aigue
est grand ; (o) presente
,nl-rimetrie ,u," un" àige et re coefficient de quarité
bande de fréquences.
"roo
'affin d'estimer I'acuite oe ia-Ào;",.à,
B = Qz - Or teffe que
p".r"ntroe rargeuer
C)1
," ,nuent Oe part eiàl;ru"bande
de ,-oet correspondent à :
* ffiï',l"
"i",
,
i(Qr)
:
i(ç)2):
I
"",T:il,lï;"#ffi :îi.';:ïH:ii,["lilç:i,'r""ff
P(Or):p(ez):
:[:,,,carréde,,amp,itude,
P(oro)
à4o*'e'/e
ù,
n"*f
,/î
fu t rJo
."rr:ï:iiï'."!',0"
"!v
2.
la bande passante
-8, nous devons chercher
io = io"*-
à fa résonance io74^ :
e6/R, avec
€o/ R2
+
t.
\t-
io:
c€ QUi nous donne
(Le_
I r,
R2:(Ltù' ca,
7fu1,
:"
e^
JIn
+ZC)-#:*
:8
Ç)r
et.C)2.qui,
l"cas: LO-
!_ :+R
L{ù2_ÀCI_à -0
: LCl-- 7f, : _n
L(ù2+RO-â:0
2"m"ces
A,:R2*4+
C)-
n+
In2iT
c
Y--
A: R2 *4t
R-ÏLlR2+4L
___u.- t :
ouf):
-R+,[^z*F
,
donc
R+
ou
f) : -R-q+47
R2+a$
B:AC):C)z_f),:4
L
C)r et Oz sont appelées Les fréquences
de coupure.
Remarque:
.oto
: l/JLe et AO :
R/L, le rapport
n'est autre que le coefficient de qualité
I
RCao
e,
donc.
a:+
La qualité d'un oscillateur est d'autant
meiileure que le circuit est sélectif.
f-
vlf
La
Puissance absorbée par un circuit résonant
puissance
absorbée par un circuit est donnée par
:
P(r) e(r)i(t)
Donc r'énergie absorbée par te circuit pendant
un temps
dE : e(T)i(t)dt
et l'énergie absorbée sur une période
Zest:
ô-o :
avec e(t)
:
eo
cosf)/ et i(r)
:
io cos(C)r
6E
nous
avons:
cosacosô
:
6E
:
dt est
pr
J
_
re(t)i(t)dt
y)
eoioJt.orOr"o s(et
-y)dt
]lcos(c + b) +cos(a _ ô)]
:
?-ole-lJtcosqzei
6E:
t -y)dr + [r cosvat]
ffrcosv
6E: s!-gzcosy
J2 J2
6E:
eeî.i16.T.cosy
La puissance absorbée par le circuit
A la résonance
y:
P:
Urî.ie11'.COSV
0, nous avons donc un maximum d,absorption
d,énergie.
*)- q
:
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