Energie potentielle électrostatique – Topographie

TPC2
TD Électromagnétisme
13/14
Énergie potentielle électrostatique - Topographie
Exercice no 1 : Énergie électrostatique d’un système de quatre charges.
L’énergie électrostatique d’une distribution comportant N charges qi est l’énergie potentielle d’interaction
entre les différentes charges.
1 – Montrer que l’énergie électrostatique de la distribution est Ee =
N
1X
qi V (i) où V (i est le potentiel
2 i=1
créé sur la charge qi par les autres charges de la distribution.
2 – On considère maintenant que l’on place une charge ponctuelle q en chacun des 4 sommets d’un carré
de côté a. Calculer l’énergie électrostatique de cette distribution.
3 – On peut également considérer que Ee est le travail que doit fournir un opérateur pour créer la
distribution de charges à partir d’un état initial où les charges sont à l’infini les unes des autres.
L’opérateur apporte lentement, et une par une, les charges depuis l’infini. Calculer Ee à l’aide de
cette méthode et comparer au résultat du 2-.
4 – Au centre du carré on place une charge ponctuelle kq. À l’aide de la méthode du 3-, calculer la
nouvelle énergie électrostatique Ee0 de cette distribution. Pour quelle valeur de k Ee0 est-elle nulle ?
Exercice no 2 : Interaction entre un disque et une charge ponctuelle.
On considère un disque de centre O, de rayon R, uniformément chargé avec la densité surfacique de charge
σ > 0. Soit (Ox) l’axe perpendiculaire en O au disque.
1 – a – Calculer, en fonction de x, le potentiel V en tout point de l’axe (Ox) (distinguer les cas x > 0
et x < 0).
b – En déduire, en fonction de x, le champ électrostatique sur l’axe (Ox). Y a-t-il continuité pour
x = 0?
2 – Soit une charge ponctuelle −q (avec q > 0) mobile sur (Ox). Le disque est supposé percé en O de
façon que la charge puisse éventuellement le traverser mais sans que cela modifie V et E du 1-.
a – Calculer, en fonction de x, l’énergie potentielle Ep de la charge.
b – En déduire la position d’équilibre de la charge. Celle-ci est-elle stable ou instable ?
Exercice no 3 : Énergie potentielle de constitution d’une sphère.
Une sphère de rayon R porte la charge Q uniformément répartie en volume. On définit l’énergie de constitution (ou énergie coulombienne) de cette sphère comme le travail qu’il faut fournir pour la construire en
prenant les charges à l’infini. On admet que cette énergie ne dépend pas de la façon dont on construit la
sphère : on la construit par couches sphériques successives.
1 – La sphère a un rayon r < R. Calculer le travail qu’il faut fournir pour augmenter le rayon de cette
sphère de dr, en amenant les charges de l’infini.
2 – En déduire l’expression de l’énergie de constitution de la sphère complète de rayon R, en fonction
de Q et de R.
1
Exercice no 4 : Généralités sur les équipotentielles.
Soient les surfaces équipotentielles correspondant à une distribution donnée de charges.
1 – En tout point d’une même équipotentielle, le module du champ électrostatique est-il le même ?
2 – En un point d’une équipotentielle, quelle est l’orientation du champ électrostatique ?
3 – Une équipotentielle peut-elle se recouper ?
4 – Deux surfaces équipotentielles peuvent-elles se couper ?
Exercice no 5 : Topographie du champ créé par quatre charges.
La figure ci-dessous représente les lignes de champ de la distribution discontinue suivante :
+q en A(−1, +1) ; −q en B(−1, −1) ; +q en C(+1, −1) ; −q en D(+1, +1).
1 – Orienter les lignes de champ.
2 – Préciser les symétries de cette distribution et les conséquences sur la carte de champ.
3 – Trouver les points de champ nul.
Exercice no 6 : Renseignements sur un système à partir de l’observation de son champ.
La figure ci-dessus représente une sphère conductrice S isolée et globalement neutre qui a été mise en
présence d’un petit objet conducteur A porteur d’une charge positive.
Nous admettrons ici, que dans une telle situation dite "équilibre électrostatique de conducteurs", le champ
est nul dans tout le volume des conducteurs et que seules les surfaces peuvent porter des charges excédentaires.
1 – Expliquer qualitativement la présence sur S d’une région positive et d’une région négative.
2 – Pourquoi A et S ont-ils chacun "un" potentiel bien déterminé (VA et VS ) ?
3 – Déduire le signe de VA et celui de VS de l’observation de la carte de champ.
4 – Établir de même une relation d’ordre entre VA et VS .
2
Exercice no 7 : Équipotentielle V = 0.
Soit la distribution D A(−1, 0) portant la charge −q et B(+1, 0) portant la charge +2q.
Déterminer la nature de l’équipotentielle V = 0.
Exercice no 8 : Points de champ nul.
On étudie dans le plan (xOy) la distribution de deux charges ponctuelles :
q au point A(−1, 0) et ±λq au point B(1, 0).
Discuter de l’existence de points de champ nul et déterminer leur position selon que λ = 4 et qA = q avec
qB = ±λq.
Exercice no 9 : Topographie du champ électrostatique.
On se propose d’étudier et de comparer les champs électrostatiques créés par deux distributions de charges,
notées χ1 et χ2 . Dans les deux cas, quatre charges ponctuelles sont placées aux points A, B, C et D du
plan (xOy). Les données nécessaires à la description des deux répartitions de charges sont regroupées dans
le tableau ci-dessous, dans lequel a désigne une longueur et q une charge positive.
1 – Déterminer, pour chacune des distributions, le champ électrique au point O et son orientation sur
les deux bissectrices.
2 – Les figures ci-dessous représentent les lignes de champ non orientées et les courbes équipotentielles
pour les deux distributions de charges. À l’aide d’arguments simples, identifier et orienter les lignes
de champ, puis associer chacun des tracés à une distribution.
3 – On cherche, dans chacun des cas, une expression approchée du potentiel électrostatique au voisinage
du point O, dans le plan (xOy), sous la forme :
V (x, y) = V0 + αx + βy + bx2 + cy 2 + dxy.
Donner, pour chacune des distributions, l’expression approchée du potentiel V (x, y).
3
Exercice no 10 : Fil infini.
1 – Un segment [P1 P2 ] d’un axe (Oz) porte une densité linéique de charge λ uniforme. Déterminer le
champ électrostatique en un point M , en fonction de sa distance r à l’axe (Oz), et des valeurs limites
ϕ1 et ϕ1 de l’angle défini sur la figure.
~ = λ ~ur .
2 – Dans la suite, le segment devient un fil infini : montrer que le champ s’écrit E
2πε0 r
3 – Déduire du 2- le potentiel V (r, θ, z) crée par un fil infini. Peut-on utiliser la convention du potentiel
absolu ?
4 – Pourquoi n’a-t-on pas
√ utilisé la relation intégrale (superposition) donnant V ? Pour s’en convaincre,
essayer le calcul (1/ x2 + 1 a pour primitive argsh(x)).
5 – Quel travail doit fournir un opérateur pour déplacer (réversiblement) une charge ponctuelle q de
N (r1 , θ1 , z1 ) en M (r2 , θ2 , z2 ) ?
6 – On considère maintenant deux fils rectilignes infinis et parallèles : (1) d’équation y = 0 et x = a, (2)
d’équation y = 0 et x = −a, portant respectivement des charges en densités linéiques λ et −λ.
a – Donner l’expression du potentiel en tout point, repéré par ses distances r1 et r2 aux fils (1) et
(2). On prendra V = 0 en r1 = r2 .
b – Montrer que les équipotentielles sont des cylindres dont on exprimera les rayons et les équations
des axes.
c – Dans un plan z = cte, tracer la carte des équipotentielles et en déduire l’allure des lignes de
champ.
La théorie c’est quand on sait tout mais que rien ne marche.
La pratique, c’est quand tout marche mais qu’on ne sait pas pourquoi.
Et l’informatique c’est l’union de la théorie et de la pratique : rien ne marche et on ne sait pas pourquoi !
4