Électromagnétisme

X Séquence 11
Électromagnétisme
Plan du cours : Au verso
Documents complémentaires
• TD d’électrostatique ;
• TD de magnétostatique ;
• Cartographies de lignes de champs ;
• L’essentiel à retenir ;
• Fiche de colle.
Chapitre I - Analyse vectorielle
1 - Champs, lignes de champ, tubes de champ
2 - Circulation d’un champ de vecteurs
3 - Flux d’un champ de vecteurs
4 - Opérateur gradient d’un champ scalaire
5 - Potentiel scalaire
6 - Hors programme : tracés de lignes de champ
Chapitre II - Interaction électrostatique
1 - Charge électrique
2 - Loi de Coulomb
3 - Distributions de charges
Chapitre III - Champ électrostatique
1 - Définitions
2 - Champ créé par une charge ponctuelle dans le vide
3 - Champ créé par un ensemble de charges ponctuelles
4 - Circulation du champ électrique
5 - Potentiel électrostatique
6 - Flux du champ électrique
Chapitre IV - Symétries et invariances
1 - Symétries
2 - Invariances
Chapitre V - Calculs de champs et potentiels
1 - Méthode
2 - Petits résultats sur les continuités des grandeurs
3 - Fil infini, sphère chargée en volume et en surface, plan infini, disque chargé en
surface
Chapitre VI - Énergie électrostatique
1 - Charge ponctuelle dans champ extérieur
2 - Énergie potentielle d’interaction
Chapitre VII - Dipôle électrostatique
1 - Champ créé à grande distance
2 - Action d’un champ extérieur
3 - Utilité de la notion de dipôle
4 - Énergie dans un champ extérieur
Chapitre VIII - Champ magnétique
1 - Interaction magnétique
2 - Champ magnétostatique
3 - Fil infini
4 - Spire circulaire : champ sur l’axe
Chapitre IX - Calculs de champs magnétiques
−
→
1 - Flux et circulation de B
2 - Le solénoïde
3 - Petits exercices
TD Physique - Électrostatique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Électrostatique
I - Lignes de champ d’un champ sphérique ⋆
Rappeler le champ créé par une charge ponctuelle et tracer les lignes de champ. Calculer alors les lignes de
champs équipotentielles et les tracer.
II - Distribution volumique ⋆⋆
On considère une sphère de rayon R de distribution volumique en charge
 (
2 )
R
ρ 1 − a r
si r 6 √
0
2
R
a
ρ(r) =

0 sinon
Déterminer la charge totale contenue dans cette sphère.
III - Lignes de champ ⋆⋆
−
→
2k cos θ
k sin θ
Soit le champ E de composantes polaires Er =
et Eθ =
. Déterminer l’équation polaire des
r3
r3
lignes de champ, et les tracer. Mêmes questions pour les équipotentielles, par deux méthodes.
IV - Calcul de flux ⋆ ⋆ ⋆⋆
k
(3 cos2 θ − 1). Calculer le champ électrique associé
r3
→
puis le flux de ce champ à travers une calotte sphérique d’axe −
ez et de demi-angle au sommet α, ie définie par
r = R; θ ∈ [−α, α].
Soit le potentiel, en coordonnées sphériques, V (r, θ, φ) =
V - Champ créé par un segment chargé ⋆ ⋆ ⋆
→
On considère un segment uniformément chargé (densité λ), parallèle à un vertical −
ey et centré sur un axe
−
→
horizontal ex . Le segment a une longueur totale 2a. On considère un point A(0, Y ) avec y > a et un point B(X, 0).
Faire un dessin du système. Calculer le champ créé en Y par la distribution de charge linéïque. Même question
en B. Dans les deux cas, que vaut le champ si on a respectivement y ≫ a√et x ≫ a ? Pouvait-on s’y attendre ?
Calculer le potentiel créé en A et en B. On rappelle qu’une primitive de 1/ x2 + 1 est Argshx.
VI - Champ créé par un fil infini ⋆⋆
On considère un fil infini uniformément chargé (densité λ). Effectuer les raisonnements de symétrie et d’invariance pour simplifier le problème. Calculer alors le champ électrique en tout point de l’espace. En déduire le
potentiel.
1
TD Physique - Électrostatique
VII - Plan infini ⋆
Calculer champ et potentiel créés par un plan infini chargé surfaciquement (densité σ). Y-a-t-il une discontinuité
de champ au passage de la surface ? Quelle est son expression ?
VIII - Champ créé par une sphère ⋆
On considère une sphère uniformément chargée en volume (densité ρ). Effectuer les raisonnements de symétrie
et d’invariance pour simplifier le problème. Calculer alors le champ électrique en tout point de l’espace. En déduire
le potentiel. Tracer la norme du champ en fonction de la distance au centre de la sphère.
IX - Champ créé par une surface sphèrique ⋆
On considère une sphère creuse dont la surface est uniformément chargée en surface (densité σ). Effectuer les
raisonnements de symétrie et d’invariance pour simplifier le problème. Calculer alors le champ électrique en tout
point de l’espace. En déduire le potentiel. Tracer la norme du champ en fonction de la distance au centre de la
sphère.
X - Champ créé par un disque uniformément chargé ⋆
→
On considère un disque de rayon R chargé en surface de densité σ positive, d’axe −
ex horizontal. Sans calcul,
prévoir l’allure des lignes de champ. Calculer le champ créé sur l’axe. Vérifier qu’il y a discontinuité du champ au
passage de la surface. Que vaut cette discontinuité ? Calculer le potentiel sur l’axe. Cas limite des grandes distances
devant le rayon du disque. Conclusion ? Cas limite des faibles distances devant le rayon du disque. Conclusion ?
XI - Condensateur ⋆
On considère deux plans infinis parallèles portant des charges surfaciques uniformes et opposées. Étudier le champ
dans l’espace. Comment peut-on alors définir la capacité d’un condensateur ?
XII - Modèle de noyau ⋆ ⋆ ⋆
On représente un atome par un noyau central O de rayon a et contenant Z protons de charge +e, et un cortège
électronique dont la densité volumique de charges en un point M situé à une distance r de O est ρ = Ar−n . Sachant
que l’atome est électriquement neutre, montrer que n > 3. Déterminer la constante A. Calculer E(r) et V (r). La
théorie montre que ρ(r) et V (r) sont reliés par ρ = KV 3/2 . En déduire n et V (r).
XIII - Potentiel de Yukawa ⋆ ⋆ ⋆
Soit O un point fixe. Une distribution de charges crée en un point M (r) de l’espace le potentiel, dit de Yukawa :
q
V (r) =
e −r/a
4πε0 r
Déterminer E(r). Que vaut la limite en 0 du champ ? Que peut-on en déduire ? Calculer le flux du champ à travers
la sphère de centre O et de rayon R. Que valent les limites de ce flux pour R → ∞ et R → 0 ? Conclure.
XIV - Disque chargé ⋆ ⋆ ⋆
Un disque de centre O et de rayon R porte des charges réparties avec une densité surfacique
R
σ(r) = σ0 √
2
R − r2
Calculer le potentiel au centre du disque, puis la charge totale de celui-ci.
2
TD Physique - Magnétostatique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Magnétostatique
I - Champ d’un tore ⋆
On considère un tore de révolution d’axe (Oz),
sur lequel sont enroulées N spires, traversées par un
courant I. On appelle R− le rayon intérieur et R+
−
→
le rayon extérieur. Donner le champ magnétique B
créé en tout point de l’espace. Calculer le flux du
champ magnétique dans une section du tore supposé
→
rectangulaire de hauteur L selon −
ez .
−
→
ez
−
→
ez
I
I
R−
R+
I
II - Calcul de champ ⋆
I
2a
−
→
Calculer le champ magnétique B en C pour les
circuits suivants, pour I = 1 A, a = R = 1 cm.
a
I
A
a
C
R
I
B
Même question pour le circuit suivant, en supposant que les
deux branches sont infiniment proches sans toutefois créer un
′
court-circuit, et dans les deux situations I = +
−I .
A
I
C
I
B
R
A
B
C
′
I
III - Deux fils infinis ⋆
On considère deux fils infinis séparés d’une distance 2a = 2 cm, parcourus respectivement par un courant I et
I ′ . Calculer le champ magnétique en un point M au milieu des deux fils, ou en un point M ′ situé à la distance a
′
du fil parcouru par I, dans les deux cas où I = +
−I = +
− 1 A.
IV - Champ d’un segment de fil ⋆⋆
−
→
Calculer le champ magnétique B créé par un segment de fil de longueur ℓ, à une distance d de ce fil. On appelle α1 et α2 les angles entre
l’horizontale et les extrémités respectivement supérieures et inférieures
du fil. On suppose que ce fil est traversé par un courant I.
1
ℓ
I
d α1
α2
L'essentiel ... en électromagnétisme
Il faut connaître AVANT TOUT le cours de mathématiques pour la physique sur les champs
vectoriels et scalaires, intégrés dans cette fiche, et celui plus général d'intégration (on intègre une
fonction de plusieurs dimensions en « découpant » la surface ou le volume à intégrer en parties sur
lesquelles la valeur de la fonction à intégrer est constante). Il est aussi très important de connaître le
cours de symétries et invariances qui permet de simplifier rapidement des problèmes avec des
arguments simples.
Il faut connaître les définitions ...
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d'un grandeur scalaire,vectorielle, uniforme, stationnaire et constante ; d'un champ, d'une ligne
et d'un tube de champ ; d'une circulation et d'un champ à circulation conservative (pour lequel la
circulation entre deux points est indépendante du chemin suivi) ; d'un flux et d'un champ à flux
conservatif (pour lequel le flux s'appuyant sur un contour fixé est indépendant de la surface
s'appuyant sur ce même contour) ;
du gradient d'un champ scalaire et son expression dans les trois systèmes principaux de
coordonnées, ainsi que sa formule fondamentale de définition intrinsèque ; d'un potentiel
scalaire et de sa relation de définition par le gradient ;
d'une symétrie géométrique, puis physique, d'une antisymétrie, d'un vrai vecteur (ou vecteur
polaire), tel le champ électrostatique, et d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial), tel le champ
magnétique ; les notions de symétries axiale, de révolution, plane, centrale, sphérique ;
d'un dipôle et de son moment dipolaire associé ;
de l'énergie potentielle électrostatique, comme étant la charge multipliée par le potentiel ;
d'une spire, d'un solénoïde, d'un aimant et des lignes de champ associées, du champ magnétique
terrestre et de son « erreur » historique dans la définition des lignes de champ.
Il faut retenir ...
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que les lignes de champ sont tangentielles au déplacement et orientées dans le sens de celui-ci ;
que deux lignes de champ ne peuvent se croiser qu'en un point de champ nul ; que les lignes de
champ d'un champ à circulation conservative ne peuvent être fermées ; que les lignes (ou
surfaces) équipotentielles sont orthogonales aux lignes (ou surfaces) de champ ;
l'orientation d'un vecteur surface ;
qu'un champ à circulation conservative dérive d'un potentiel scalaire, et réciproquement ;
que les champ « descend » des potentiels, ie. que les lignes de champs, orthogonales aux
équipotentielles, sont orientées depuis les équipotentielles les plus élevées vers les plus basses ;
le théorème de Gauss reliant le champ électrostatique en un point et le flux de celui-ci à travers
une surface, dite de Gauss ;
le comportement d'un dipôle dans un champ électrique extérieur : résultante nulle et moment
dépendant du champ extérieur et du moment dipolaire uniquement, tendance à s'orienter
parallèlement au champ, et son interprétation énergétique ;
le théorème d'Ampère reliant le champ magnétique en un point avec la circulation de celui-ci.
Il faut connaître ...
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les raisonnements de symétries, permettant de prévoir les directions privilégiées d'un champ et
certaines de ses propriétés, en fonction de son caractère polaire ou axial ;
la loi de Coulomb donnant l'interaction électrostatique et la loi de Biot et Savart donnant
l'interaction magnétique entre deux particules ;
l'expression du champ électrostatique élémentaire créé par une charge ponctuelle, et sa
généralisation à des distribution volumiques, surfaciques ou linéïques grâce au théorème de
superposition ;
le calculs des champs très classiques électrostatiques (distributions plane, filaire, sphère creuse,
pleine, disque uniformément chargé), car la plupart des exercices reviennent alors à ces
situations qu'il faut donc maîtriser parfaitement (avec tous les arguments !) ;
l'allure des lignes de champs et équipotentielles d'un dipôle électrostatique, et savoir retrouver
celles-ci à grande distance grâce à un développement limité (cf. le cours, qu'il faut en fait
presque connaître complètement !) ;
le calculs des champs très classiques magnétiques (distributions filaire, spire circulaire et
solénoïde), car la plupart des exercices reviennent alors à ces situations qu'il faut donc maîtriser
parfaitement (avec tous les arguments !).
le calcul du champ d'un fil fini, qui est l'exercice IV du TD. Ce n'est pas au programme, mais
c'est un résultat très très pratique, qui de plus, si sa démonstration est connu, permet de se sortir
de pas mal de situations mathématiques pas évidentes.
Il faut savoir ...
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trouver l'équation des lignes de champ (cf. exercice type dans le cours) lorsque l'on connaît
celui-ci, et l'équation des équipotentielles ;
mener une étude de symétrie, en exhibant un plan de symétrie ou antisymétrie contenant le point
auquel on s'intéresse, puis en avançant les arguments de polarité ou axialité du champ étudié ;
que le champ électrostatique dérive d'un potentiel scalaire (CE QUI N'EST PAS LE CAS DU
CHAMP MAGNETIQUE), et qu'il faut privilégier celui-ci lors des calculs de champs ;
que le champ électrostatique ne peut connaître un extremum (maximum ou minimum) qu'en une
charge (théorème de l'extremum) ;
qu'en général, si la distribution de charges est bornée, on retrouve à grandes distances le même
comportement que pour une charge ponctuelle portant l'ensemble de la charge (si celle-ci est
non nulle, sinon on rentre dans le cadre du dipôle) ;
qu'en dehors des charges ponctuelles, le potentiel électrostatique est une grandeur continue prise
nulle à l'infini (si la distribution de charges est bornée). Le champ électrostatique est lui
discontinu au passage d'une surface chargée; la discontinuité vaut la densité surfacique de
charge divisée par ε0 (c'est le théorème de Coulomb, à ne pas confondre avec la loi de
Coulomb), le champ est continu dans les autres situations ;
que les lignes de champ magnétiques sont fermées, et que le champ magnétique est toujours
continu ; qu'il n'existe pas de potentiel scalaire magnétique.
Feuille de compte-rendu de colles N°
Trinôme N°
Thème de la quinzaine : Électromagnétisme
Questions de cours (10 à 15mn maxi)
1 – Interaction électrostatique : loi de Coulomb. Expression du champ électrostatique E d'une charge ponctuelle. Propriété de la
circulation de E et démonstration, existence d'un potentiel.
2 – Théorème de Gauss : énoncé. Exemple d'application avec le fil infini.
3 – Plan infini : établissement du champ électrique. Vérification du théorème de Coulomb. Établissement de la capacité du
condensateur.
4 – Énergie électrostatique : démonstration.
5 – Dipôle électrostatique : établissement du potentiel créé à grande distance.
6 – Actions mécaniques sur un dipôle dans un champ extérieur électrique uniforme.
7 – Champ magnétique : propriétés. Loi de Biot et Savart. Théorème d'Ampère. Calcul du champ d'un fil infini.
8 – Solénoïde : définition. Calcul du champ dans l'espace pour un solénoïde infini.