6 Ecoulements à nombre de Reynolds faible.

6 Ecoulements à nombre de Reynolds faible.
L’analyse d’un écoulement caractérisé par un nombre de Reynolds faible (Re ≪1)
peut être réalisée de façon approximative lorsque certains termes dans les équations de
Navier-Stokes deviennent négligeables.
Un exemple provient du cas d’un écoulement à vitesse très faible: les termes non
linéaires (d’inertie) peuvent devenir plus petits que les termes visqueux puisque
|(v·∇)v|=O(U2/L),(terme d’inertie)
|
ν ∇2v|=O( ν U/L2),(terme visqueux)(269)
et le rapport entre les deux termes devient
|(v·∇)v|
| ν ∇2v|=OU2/L ν U/L2=O(Re).(270)
Par conséquent, pour un écoulement qui est suffisamment lent (U≪1) et en supposant
que l’écoulement est stationnaire (ou presque), (235) se simplifie en les équations sta-
tionnaires de Stokes:
0=−∇p+ η ∇2v,(271)
∇·v=0.(272)
Une autre manière d’obtenir le même résultat est d’introduire les nouvelles variables
adimensionnelles
x∗=x/L,t∗=t/(L/U),v∗=v/U,p∗=p/(
η U/L).
Cette fois on obtiendra
Re Dv∗
Dt∗=−∇∗p∗+∇∗2v∗.(273)
Si on suppose que les termes dans la dérivée matérielle restent bornée lorsque Re →
0 on obtient la même équation de Stokes en laissant tendre vers zéro le nombre de
Reynolds.
6.1 Unicité des écoulements lents
Soit Vun volume occupé par un fluide visqueux et borné par une frontière fermée S.
On suppose que la vitesse vest prescrite comme v=vBsur S. Il y a alors tout au plus
une solution vdes équations de Stokes en Vqui satisfait cette condition limite.
Démonstration. Supposons qu’il existe une autre vitesse v∗qui satisfait aussi les équa-
tions de Stokes (avec une pression correspondante p∗, disons) et la condition limite
v∗=vBsur S. On définit u=v∗−vet P=p∗−p.
En soustrayant les équations de Stokes pour (v,p)et (v∗,p∗)on obtient
0=−∇P+
η ∇2u,∇·u=0,(274)
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avec u=0sur S. Sous la forme des composantes les équations (274) s’écrivent
0=−
∂ P
∂ xi
+
η∂
2ui
∂ xj2,
∂ ui
∂ xi
=0.(275)
On multiplie la première de ces équations par uipour arriver à l’équation
0=−
∂
∂ xi
(Pui) +
η ui
∂
2ui
∂ xj2,(276)
puisque
∂ ui/ ∂ xi=0.On intégre sur Vet on emploi le théorème de la divergence pour
voir que
0=−ZS PuinidS +
η
ZV
ui
∂
2ui
∂ xj2dV.(277)
Le premier membre de droite disparait et donc
η
ZV"
∂
∂ xiui
∂ ui
∂ xj−
∂ ui
∂ xj2#dV =0,
⇒
η
ZS
ui
∂ ui
∂ xj
njdS −
η
ZV
∂ ui
∂ xj2
dV =0,
⇒ZV
∂ ui
∂ xj2
dV =0.(278)
On conclut que uest une constante partout. Puisque u=0sur Scette constante
est égale à zéro et donc v=v∗.
Une conséquence de l’unicité de la solution vdes équations de Stokes avec des
conditions limites de type Dirichlet v=vBest que lorsqu’on remplace vBavec −vB,
la solution du problème ainsi “inversé" est −v. La nouvelle pression devient cte −p.
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6.2 Mouvement lent d’une sphère
On cherche une solution aux équations de Stokes pour l’écoulement uniforme autour
d’une sphère, et donc un champ de vitesse axisymétrique sous la forme
v= (vr,v
θ
,v
ϕ
) = (vr(r, θ ),v
θ
(r, θ ),0),(279)
où on utilise des coordonnées sphériques (r, θ , φ ). Pour satisfaire la condition d’incompressibilité
exactement on peut introduire une fonction de courant
ψ sous la forme
vr=1
r2sin θ
∂ ψ
∂ θ
,v
θ
=−1
rsin θ
∂ ψ
∂ r.(280)
Alors,
∇×v=0,0,−1
rsin θ
E2 ψ
,(281)
où E2désigne l’operateur différentiel
E2=
∂
2
∂ r2+sin
θ
r2
∂
∂ θ
1
sin θ
∂
∂ θ
.(282)
En écrivant l’équation (271) sous la forme
∇p=− η ∇×(∇×v),(283)
on obtient
∂ p
∂ r=
η
r2sin θ
∂
∂ θ
E2 ψ ,
1
r
∂ p
∂ θ
=−
η
rsin θ
∂
∂ rE2
ψ ,(284)
et en éliminant la pression (par différentiation) on trouve que E2(E2
ψ ) = 0, c.à.d.,
∂
2
∂ r2+sin
θ
r2
∂
∂ θ
1
sin θ
∂
∂ θ
2
ψ =0.(285)
Les conditions limites sont
∂ ψ
∂ r=
∂ ψ
∂ θ
=0 en r=a,(286)
avec la condition que l’écoulement devient uniforme lorsque r−→ ∞:
vr∼Ucos
θ et v
θ
∼ −Usin θ lorsque r−→ ∞.(287)
La condition ci-dessus peut être reécrite
ψ ∼1
2Ur2sin2
θ lorsque r−→ ∞,(288)
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et on essayera de trouver une solution de la forme
ψ =f(r)sin2 θ .(289)
On voit que
E2 ψ =
∂
2
∂ r2+sin
θ
r2
∂
∂ θ
1
sin θ
∂
∂ θ
fsin2
θ =
∂
2
∂ r2−2 r2fsin2
θ ,(290)
et donc que
E4
ψ =
∂
2
∂ r2−2 r22
fsin2
θ .(291)
Par conséquent, une solution de type (289) est possible pourvu que
d2
dr2−2 r22
f=0.(292)
Cette équation a des solutions de la forme f=r
α
à condition que
(
α ( α −1)( α −2)( α −3)−2( α −2)( α −3)−2 α ( α −1) + 4)r
α −4=0,
⇒[( α −2)( α −3)−2][ α ( α −1)−2] = 0,
⇒ α =−1,1,2 ou 4,(293)
et donc
f(r) = A
r+Br +Cr2+Dr4.(294)
Les conditions vers l’infini impliquent que
f∼1
2Ur2,
lorsque r→∞ce qui nécessite que C=U/2 et que D=0. D’après les conditions
limites (286) nous avons f(a) = f′(a) = 0⇒A=Ua3/4 et B=−3Ua/4.La solution
ψ est maintenant écrite
ψ =U
42r2+a3 r−3arsin2
θ ,(295)
d’où on obtient les composantes de vitesse:
vr=U
22+a3 r3−3a rcos
θ ,v
θ
=−U
44−a3 r3−3a rsin
θ .(296)
Pour calculer la traînée Dde la sphère on commence en calculant
E2
ψ =d2
dr2−2 r2U 42r2+a3 r−3arsin2
θ
=3aU
2rsin2
θ ,(297)
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et après on intègre les equations (284) pour obtenir
p=p∞−3Ua
η
2r2cos
θ .(298)
La formule pour Dest
D=Z2
π
ϕ
=0Z
π
θ
=0
σ·n·ea2sin
θ d θ d ϕ ,(299)
où n=eret e=ercos
θ −e
θ
sin θ désigne un vecteur unitaire dans la direction de
l’écoulement (suivant l’axe
θ =0). Donc
D=2 π a2Z
π
θ
=0
(
σθ
re θ
+ σ
rr er)·(ercos
θ −e
θ
sin θ )sin θ d θ ,
=2
π a2Z
π
θ
=0
(
σ
rr cos
θ − σθ
rsin
θ )sin θ d θ ,
=6 πη Ua,(300)
où nous avons utilisé les résultats (voir (A.44) d’Acheson)
σ
rr =−p+2
η∂
vr
∂ r,
σ
r θ
= η r
∂
∂ rv
θ
r+
η
r
∂ vr
∂ θ
,(301)
avec vret v
θ
données par (296) et la pression pdonnée par (298). La vitesse terminale
Ud’un ballon qui tombe (lentement) dans une étendue infinie d’un fluide très visqueux
peut être calculée maintenant du fait qu’en ce moment-là la traînée est en équilibre avec
le poids net du ballon:
6
πη Ua =4
3
π a3( ρ
sphère −
ρ
fluide)g.(302)
6.3 Ecoulement dans une couche mince
Il s’agit d’un écoulement dans l’espace formé par deux parois rigides z=0 et z=
h(x,y). Soit Uune vitesse horizontale typique et Lune longueur caractéristique de
l’écoulement. Supposons, en plus, que h≪L. Pour que la condition de non-glissement
sur les parois en z=0 et z=hsoit satisfaite les composantes de vitesse dans les di-
rections xet ychangeront de l’ordre de Usur une distance de zde l’ordre de h. C’est
à dire,
∂ u/ ∂ zou ∂ v/ ∂ zsont de O(U/h), et ∂
2u/
∂ z2ou ∂
2v/
∂ z2sont de O(U/h2).
Cependant, les dérivées de uou vpar rapport à xou ysont beaucoup plus faibles:
∂ u/ ∂ xest de O(U/L), ∂
2u/
∂ x2est de O(U/L2)avec des résultats pareils pour v.
L’ordre de grandeur de la troisième composante de vitesse west obtenu de l’équation
d’incompressibilité:
∂ u
∂ x+
∂ v
∂ y+
∂ w
∂ z=0,(303)
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