Trigonométrie CAH SOH TOA*

Trigonométrie
I. Rappels : les relations dans un triangle rectangle
a) entre les angles aigus
La somme des angles d’un triangle est de 180°.
Donc la somme des deux angles aigus d’un triangle rectangle
est de 90° (ce sont des angles complémentaires)
A + C = 90°
b) entre les côtés
le théorème de Pythagore :
Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.
AC
2
= AB
2
+ BC
2
II. Vocabulaire
III. Rapports trigonométriques
Dès l’antiquité, on a cherché des relations liant les angles et les côtés.
Ce sont les rapports trigonométriques :
Dans un triangle rectangle
Cos (angle) = Côté
A djacent
H ypoténuse Sin (angle) = Côté
O pposé
H ypoténuse Tan (angle) = Côté
O pposé
Côté A djacent
Pour mémoriser :
Attention : Pour effectuer les calculs, vérifier que votre calculatrice est en mode degré.
H
ypoténuse
Côté A djacent
angle
Côté O pposé
C
A
H
S
O
H
T
O
A
*
M. Trigo te dit :
* Casse
-
toi
!
B
C
A

Exemples :
1°) Le triangle DEF est rectangle en D.
On a cos DFE = DF
EF
Donc cos 30 = 8
x
Produit en croix :
x × cos30 = 8 donc x = 8
cos30 ≈ 9,2 cm
2°) Le triangle CLE est rectangle en E.
On a sin CLE = CE
CL
Donc sin 35 = x
10
Produit en croix :
x = 10 × sin 35 ≈ 5,7 cm
3°) Le triangle HIC est rectangle en I
On a tan HCI = HI
IC
Donc tan x = 5
12
Donc x = tan–1
5
12 ≈ 22,6°
IV. Deux relations fondamentales de la trigonométrie
ABC est un triangle rectangle en A
(cos B)
2
+(sin B)
2
= 1
tan B = sin B
cos B
En 3
ème
, les rapports sinus, cosinus et tangente sont présentés comme des rapports de
longueurs. Donc cos B, sin B et tan B sont des nombres positifs.
Application : Soit α un angle aigu tel que cos α = 0,6. Calculer sin α et tan α.
Comme cos
2
α + sin
2
α = 1, on a (0,6)
2
+ sin
2
α = 1
0,36 + sin
2
α = 1
sin
2
α = 1 – 0,36 = 0,64
Comme sin α est positif, on obtient sin α = 0,64 = 0,8
Maintenant, on utilise la relation : tan α = sin α
cos α = 0,8
0,6 = 4 3
D
E
F
8 cm
30°
x
35°
10 cm
x
E
C
L
12 cm
5 cm
x
I
H
C
A
C
B