Théorie des possibilités

THEORIE DES POSSIBILITES
Didier Dubois
Institut de Recherche en Informatique
de Toulouse (IRIT)
CNRS and Universite P. Sabatier
www.irit.fr/~Didier.Dubois
Motivation : information incomplete et incertitude
Limitations des probabilités subjectives
Le cadre des théories de l’incertain
Eléments de théorie de possibilités
Aspects historiques
Version qualitative : logique possibiliste et non-monotonie.
Version quantitative : calcul d’intervalles flous.
Version quantitative : possibilité et probabilités imprécises
Survol des applications
Exemple motivant
Il y a au moins deux causes de l’incertitude : la variabilité des
phénomènes et le caractère incomplet de l’information disponible.
1. Variabilité :
Quantité de pluie journalière à Paris ??
Réponse probabiliste en fonction de la fréquence observée
2. Incomplétude
Date de naissance du président Brésilien ??
Ce n’est pas une grandeur aléatoire…Pourtant, réponses plus ou moins
précises en fonction de la connaissance détenue par les individus.
On veut une théorie de l’incertain dédiée à l’information imprécise.
INCERTITUDE
C´EST LA VERITE OU LA FAUSSETE D´UNE PROPOSITION
QUI EST INCERTAINE
La probabilité pour que l'opération prenne plus d'une heure est 0.7.
Il est très possible qu'il neige demain.
Il n'est pas absolument certain que Jean vienne à la réunion
ON EVALUE LA PROBABILITE,
LA POSSIBILITE
LA CERTITUDE
POUR QUE L´INFORMATION SOIT VRAIE OU FAUSSE
• Une proposition peut être incertaine si
-l'information disponible est incomplète (imprécise, vague, …)
-l'information disponible est contradictoire (variabilité, conflit)
• Degré d'incertitude ≠ degré de vérité :
"il est probable qu'il soit chauve" ≠ "il est presque chauve"
Incertitude d’une proposition floue : incapacité de calculer son degré
de vérité.
• Les valeurs de vérité, d'incertitude peuvent être elles-mêmes
imprécises, vagues (linguistiques).
"Il est probable qu'il pleuve beaucoup demain".
•
Antagonisme imprécision / incertitude
Une information peut être à la fois imprécise et incertaine
Pour un état donné de la connaissance :
les affirmations suffisamment vagues ou imprécises sont certaines
les affirmations trop précises sont incertaines.
On cherche un compromis entre les deux :
Jean est jeune ↔ il a probablement moins de 30 ans.
→ cadre formel commun souhaitable pour l'imprécis et l'incertain
CADRE GENERAL POUR LA REPRESENTATION DE
L'INCERTITUDE
Ensemble d'événements E formant une algèbre de Boole
On note S, Ø les événements toujours certain et toujours impossible
respectivement
Mesure de confiance g : fonction de E dans [0,1] telle que
g(Ø) = 0
;
g(S) = 1
si A implique (= inclus dans) B alors g(A) ≤ g(B)
(monotonie)
g(A) quantifie la confiance d’un agent dans la proposition ou
l’événement A.
PROPRIETES DES MESURES DE CONFIANCE
g(A∪B) ≥ max(g(A), g(B)) ;
g(A∩B) ≤ min(g(A), g(B))
Cette classe contient:
les mesures de probabilité
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
les mesures de possibilité
Π(A∪B) = max(Π(A), Π(B))
les mesures de nécessité
N(A∩B) = min(N(A),N(B))
Probabilités subjectives
(Ramsey, De Finetti)
-La probabilité subjective P(A) reflète le prix d’un billet de loterie que
j’accepte d’acheter pour gagner un euro si A se produit.
-Si le prix est trop bas, acheteur et vendeur échangent leurs rôles.
Ces contraintes impliquent que tout état de connaissance doit être
représenté par une mesure de probabilité unique.
Pourquoi ne pas représenter mon manque de connaissance sur la date de
naissance du président par une probabilité subjective ?
- Cette représentation est instable
- Cette représentation est infidèle à l’information disponible
- Cette représentation est trop riche.
Limitations de la probabilité subjective.
Supposons qu’on représente l’ignorance par une probabilité uniforme.
1. Si on sait seulement x ∈ A, et que x a une probabilité uniforme sur
A, en général f(x) n’a pas une probabilité uniforme : on génère de
l’information sur f(x) à partir d’ignorance sur x!!!
2. Parier sur la facette d’un dé : p = 1/6 parce que le dé est non pipé ou
parce qu’on ne connaît pas ce dé ??? Une probabilité subjective ne
correspond pas à un seul état de connaissance possible.
3. En général les procédures d’élicitation de probabilité subjective ne
fournissent que des informations partielles : on ne connaît les
valeurs de probabilité qu’avec imprécision.
Les théories de l'incertain
Théorie des probabilités : la plus classique
2 interprétations : statistique, subjective
Logique classique: Information incomplète représentée par des disjonctions
Calcul d’intervalles : utilisation d’ensembles de valeurs mutuellement
exclusives
Théorie des possibilités ordinale ou numérique:
distingue les états plausibles et les états peu plausibles
utilisation d’ensembles flous de valeurs mutuellement exclusives
Théorie des fonctions de croyance : combine information incomplète et
probabilité par utilisation d’ensembles aléatoires
Probabilités imprécises (la plus générale) :utilisation d’ensembles de fonctions
de probabilité et d’intervalles de probabilité
CARACTERE INCOMPLET DES INFORMATIONS
Information imprécise = insuffisante pour répondre aux questions
d’intérêt dans une situation donnée.
Caractère incomplet de l’information.
Exemples
en symbolique : une disjonction p ∨ q
en numérique : valeur mal connue d’un paramètre « x ∈ A »
(intervalle)
Ce qui est imprécis c’est le contenu de l’information.
PAUL a entre 20 et 25 ans = Age(Paul) ∈ [20, 25]
L’imprécision est toujours représentée par une
disjonction d’éléments mutuellement exclusifs dont l’un d’eux est la
vraie valeur d’une grandeur :
Age(Paul) ∈ [20, 25] = 20∨21∨22∨23∨24∨25
Ensembles disjonctifs (et non conjonctifs) :
En théorie des probabilités « événéments »
En logique: « clauses »(disjonctions de littéraux)
L’imprécision dépend du contexte, du référentiel U (du langage)
Sur S = {mineur , majeur}, mineur est précis,
mineur∨majeur = ignorance totale
Sur {0, 1, 2, …, 100} ans, mineur = < 18 ans : imprécis
REPRESENTATION DE L’INFORMATION INCOMPLETE PAR
DES ENSEMBLES :
Ne pas confondre imprécision et variables multivaluées
• Attribut multivalué précisément connu
ensemble conjonctif : les-sœurs(Paul) = Marie∧Nadine
• Attribut monovalué imprécisément connu
ensemble disjonctif : la-sœur(Paul) : Marie∨Nadine
• Attribut multivalué imprécisément connu
ensemble disjonctif d’ensembles conjonctifs:
les-sœurs(Paul) ∈ {Marie∧Nadine, Marie∧Anne}
REPRESENTATION DE L´IMPRECISION EN TERMES DE
POSSIBILITE
POSSIBILITE
1
AGE(JEAN)
0
15
20
JEAN A ENTRE 15 ET 20 ANS
Un ensemble disjonctif A se code par une distribution de possibilité à
valeurs dans {0, 1} :
π(x) = 1 ssi x ∈ A et 0 sinon.
IMPRECISION : cas extrêmes
- ignorance totale : π(x) = 1 pour tout x dans le référentiel U
- précision totale : x = u* soit π(u*) = 1
et π(x) = 0 pour tout x ≠ u*.
ORDRE DE SPECIFICITE : L’information x ∈ A est plus spécifique
que x ∈ B ssi A ⊆ B.
CARACTERE SUBJECTIF DE LA REPRESENTATION : Un
ensemble d’informations est toujours attaché à un agent (humain ou
artificiel)
REVISION DE L’INFORMATION
Un ensemble d’informations incomplètes est provisoire et peut évoluer
Acquisition d’informations : augmentation de la spécificité :
l’agent sait x ∈ A et apprend x ∈ B
Donc x ∈ A ∩ B
ou π = min(π A, π B)
Si A ∩ B = Ø : il faut conclure x ∈ A ∪ B par prudence.
Les deux cadres pour la représentation
d’informations imprécises : intervalles et logique.
Numérique : les intervalles
Problème typique : si on sait que xi ∈ Ai i = 1,…n
Et qu’on veut connaître f(x1 … xn), on doit calculer
B = {f(x1 … xn), xi ∈ Ai i = 1,…n}
Symbolique (booléen): la logique classique
K = ensemble de formules qui sont les croyances/connaissances d’un
agent sur le monde.
L’ensemble disjonctif sous-jacent est l’ensemble des modeles de K.
QUALIFICATION DES EVENEMENTS EN PRESENCE
D’INFORMATION INCOMPLETE
Si on sait seulement que x ∈ E alors
- L’événement A est possible si A ∩ E ≠ Ø (coherence logique)
Π(A) = 1, et 0 sinon
- L’événement A est certain si E ⊆ A (déduction logique)
N(A) = 1, et 0 sinon
- L’événement A est certain si et seulement si son contraire est
impossible: N(A) = 1 - Π(nonA)
- Ignorance totale sur A : Π(A) = Π(nonA) = 1, (N(A) = 0)
- N(A)> 0 implique Π(A) = 1
- Π(A ∪ B) = max(Π(A), Π(B)) et N(A∩ B) = min(N(A), N(B))
- Une simple logique modale (KD45)
Cette représentation n’est pas souple: on va y introduire de la
nuance
DISTRIBUTIONS de POSSIBILITE
Une distribution de possibilité est une représentation d'un état de
connaissance d’un agent relatif à l'état du monde.
U: référentiel (ensemble d'états du monde)
x : variable mal connue à valeur sur U
L: Echelle de plausibilité: ensemble totalement ordonné ([0,1], fini,...)
Une distribution de possibilité πx attachée à x est une fonction de U
dans L telle que ∀u, πx(u) ∈ L, et ∃u, πx(u) = 1 (normalisation)
Conventions
πx(u) = 0 si et seulement si x = u est impossible, totalement exclu
πx(u) = 1 si et seulement si x = u est normal, plausible
πx(u) < πx(u') x = u' est plus plausible que x = u
REPRESENTATION DE L´IMPRECISION EN TERMES DE
POSSIBILITE NUANCEE : exemple « JEAN EST JEUNE »
POSSIBILITE
1
µ
Jeune
π(a)
AGE(JEAN)
0
14
a
21
µJEUNE(x) = possibilité (AGE(JEAN) = x)
JEUNE = SOUS-ENSEMBLE FLOU DES VALEURS POSSIBLES DE L´AGE DE JEAN
Cas particulier : JEAN A ENTRE 15 ET 20 ANS :
possibilité(x) = 1 si 15 ≤ x≤ 20, et 0 sinon
Exemples de distributions de possibilité
Information précise x = u0 : πx(u) = 1 si u = u0 et 0 sinon
Information incomplète et nette « x ∈ E » : On ne connaît pas les
probabilités : πx(u) = 1 si u ∈ E et 0 sinon
Ignorance totale (pas d’information) : πx(u) = 1 pour tout u
Information imprécise nuancée
πx(u) = 1 si u ∈ E1
(valeurs les plus plausibles)
πx(u) = α2 < 1si u ∈ E2 (valeurs moins plausibles)
πx(u) = α3 < α2 si u ∈ E3 ..... et (E1, E2…En) est une partition de U
Une représentation simple et unificatrice des informations incertaines,
incomplètes, imprécises, linguistiques
POSSIBILITE NUANCEE D´UN EVENEMENT
POS.
1
Π(A)
µ
Jeune
AGE(JEAN)
0
A
Π(A) = max(π(u) | u ∈ A) = Hauteur (A ∩ 'JEUNE')
degré de cohérence entre une proposition A et l’information
disponible
= à quel point A n'est pas incompatible avec l'information "jeune"
NECESSITE NUANCEE D´UN EVENEMENT
POS.
1
µ
Jeune
AGE(JEAN)
0
A
N(A) = 1 - Π(nonA) = min(1 - π(u) | u ∉ A)
N(A) : degré d'inclusion : 'JEUNE' ⊆ A
On calcule à quel point A se déduit de l'information "jeune"
LE CALCUL DES POSSIBILITES
N Π, FONCTIONS D´ENSEMBLE A VALEURS DANS [0, 1] COMME LES
PROBABILITES
Axiome fondamental
Π(A ∪ B) = max(Π(A), Π(B))
Π(Ø) = 0; Π(U) = 1
réaliser A ou B = réaliser le plus facile des 2.
Si E Information imprécise tenue pour certaine on peut poser
Π(A) = 0 : A est impossible
si
Π(A) = 1 : A est possible (très faible) si
A∩E=Ø
A∩E≠Ø
CAS GENERAL : à valeur dans [0,1] si E est FLOU
Π(A) = max(µE(u) | u ∈ A).
A
E
•
max(Π(A), Π(non A)) = 1 : L´un parmi A ou non A est possible.
•
Π(A) = Π(non A) = 1 : IGNORANCE TOTALE SUR A.
En général on a seulement Π(A∩ B) ≤ min(Π(A), Π(B))
DEGRES DE NECESSITE
• N(A) = 1 - Π(non A) degré de nécessité (dualité) (= degré de
certitude)
•
N(A) = 1 : A est certain : E ⊆ A
CAS GENERAL : à valeur dans [0,1] si E FLOU
N(A) = min(1 – µE(u) | u ∉ A).
E
A
• axiome caractéristique : N(A∩ B) = min(N(A), N(B))
• mais en général N(A ∪ B) ≥ max(N(A), N(B))
• Remarquons que 1 - Π(A) ≠ Π(non A) donc pour décrire l'incertitude
sur A il faut 2 nombres
A → (N(A), Π(A))
2 évaluations
On vérifie que N(A) ≤ Π(A)
N(A) > 0 ⇒ Π(A) = 1.
COMPARAISON DE DISTRIBUTIONS DE POSSIBILITE
Une distribution de possibilité π1 sur le référentiel U est plus spécifique
(au sens large) que π2 si et seulement si π1(u) ≤ π2(u), ∀u ∈ U.
Plus spécifique = plus informatif
1
Tout ce qui est tant soit peu
possible pour π1 est au moins
π2
π1
aussi possible que pour π2
0
Cas extrêmes :
Savoir complet π(u*) = 1 ; π(u) = 0 pour u ≠u*, spécificité maximale
Ignorance totale : π(u) = 1 ∀u ∈ U, spécificité minimale
U
PRINCIPE DE SPECIFICITE MINIMALE
Etant donné un ensemble d’informations imprécises ou incertaines Ii,
i = 1, …, n qui fournissent des contraintes sur la spécification de l’état
du monde (valeurs de variables, etc.) la distribution de possibilité
représentant ces informations est la moins spécifique parmi celles qui
valident ces informations.
Idée : quand un état n’est pas explicitement impossible, supposer qu’il
est possible. Donc maximiser les degrés de possibilité.
En général, un élément d’information Ii est modélisé par l’inégalité
π ≤ πi où πi est la représentation de l’information i et π est la
représentation de l’état de connaissance de l’agent.
∀i, π ≤ πi donc π ≤ min i = 1, …, n πi donc, par défaut, π =min i = 1, …, n πi
Comment construire une distribution de possibilité?
Un intervalle est une distribution de possibilité: « x ∈ E est certain » ssi
« x ∉ E est impossible », donc π ≤ µE et (spécificité minimale) π = µE
Un intervalle de confiance :
« x ∈ E est a-certain » ssi « x ∉ E est (1−a)-impossible »
Soit N(E) ≥ a ssi Π(Ec) = maxu∉E π(u) ≤ 1 − a
donc (spécificité minimale)
1
π(u) = max(µE(u), 1 − a)
= 1 si u ∈ E
1− a
= 1 − a sinon
et N(E) = a
0
π
E
Plusieurs informations incertaines consonantes :
Cela correspond à des intervalles emboîtés Ei avec des niveaux de
confiance associés ai : plus Ei est large, plus ai est grand.
En ⊃ En-1 ⊃ …E2 ⊃ E1
an > an-1 > …a2 > a1
ai = N(Ei) le degré de certitude de Ei
On cherche la distribution
E1 la moins spécifique telle que
1
ai = N(Ei) = min {1 – π(u), u ∉ Ei} pour i = 1, n
a1
a2
π
E2
∀u, πx(u) = mini max(1 – ai, Ei(u))
E3
0
α2
m2 = α − α
2
α3
3
Cas limite continu :
Un intervalle flou = Une ou plusieurs valeurs plausibles dans un
intervalle support , + une interpolation
M
Intervalle flou
Trapézoïdal
∀α ∈ (0, 1], N(Mα) = 1 − α
PROBABILITE
POSSIBILITE
VARIABILITE
INCOMPLETUDE, IMPRECISION
PRECIS FLUCTUANT
IMPRECISION COHERENTE (emboîtement)
1 SEUL DEGRE : P(A) = 1 − P(non A)
2 DEGRES Π(A) et N(A) = 1 − Π(non A)
GENERALISE LE POINT
GENERALISE L´ENSEMBLE
NATUREL POUR
PHENOMENES PHYSIQUES
NATUREL POUR LES
CONNAISSANCES SUBJECTIVES
TRES QUANTITATIF
+
AMPLIFICATION ERREURS
PROCHE DU QUALITATIF
MAX, MIN
ERREURS FIXES
P(A) = P(nonA) = 1/2
représente l’aléatoire
Π(A) = 1 ; N(A) = 0
représente l’ignorance
COMPENSATION D´ERREURS
RESULTATS PRECIS
PARFOIS ARBITRAIRES
PARFOIS DIFFICILES A OBTENIR
GENERALISE CALCUL D´ERREURS
RESULTATS PRUDENTS PARFOIS TROP PEU INFORMANTS
PLUS SURS,
PLUS FACILES EN GENERAL A OBTENIR
LES PIONNIERS DE LA THEORIE DES POSSIBILITES
• Vers 1950, G.L.S. Shackle appelle degré de surprise
potentielle d’un événement son degré d’impossibilité, qui doit
être relié à la notion de plausibilité, plutôt que de probabilité.
• La surprise potentielle (1 − π) s’évalue sur une échelle
d’impossibilité, un intervalle positif de la forme [0, y*], avec y*
qui indique le refus complet de l’événement correspondant.
• Le degré de surprise potentielle d’un événement est le degré
de surprise de sa réalisation la moins surprenante.
• Une notion reprise par W. Spohn (1988) qui remplace [0, y*]
par les entiers positifs: sur(A) = n veut dire P(A) = ε -n
• Shafer fait le lien entre fonctions de croyances consonantes et
Shackle
LES PIONNIERS DE LA THEORIE DES POSSIBILITES
• Dans son livre de 1973 sur le raisonnement contrefactuel, le
philosophe David Lewis définit une relation ≥Π entre mondes
possibles qu’il appelle "comparative possibility".
• Il relie ce concept de possibilité à la similarité entre mondes
possibles qui sert à définir les conditions de vérité des
contrefactuels.
• Il propose l’axiome A, B, C, A ≥Π B ⇒ C ∪ A ≥Π C ∪ B.
• Ses seules et uniques contreparties numériques sont les mesures de
possibilité (Dubois, 1986)
• L’ordre dual (nécessité) a été re-découvert par Gardenfors (1988)
pour les priorités qui guident la révision de connaissances
LES PIONNIERS DE LA THEORIE DES POSSIBILITES
• Le philosophe L. J. Cohen a considéré le problème
du raisonnement juridictionnel (1977).
• "Baconian probabilities" comprises comme des
degrés de prouvabilité.
• Dans un tribunal on ne peut pas condamner une
personne sur la base d’arguments statistiques.
• Une hypothèse et sa négation ne peuvent avoir
simultanément des degrés de "prouvabilité" positifs.
• Ces degrés de prouvabilité coincident avec des
mesures de nécessité.
LES PIONNIERS DE LA THEORIE DES POSSIBILITES
Zadeh (1978) propose d’interpréter les propositions où
interviennent des prédicats flous comme des contraintes flexibles
sur les valeurs de paramètres sous jacents
• La fonction d’appartenance d’un ensemble flou est alors
interprétée comme une distribution de possibilité.
• relations entre possibilité and probabilité: ce qui est probable
doit d’abord être possible.
• Se refère à l’idée de faisabilité graduelle ("degrees of ease")
plutôt que la notion épistémique de plausibilité.
• L’axiome de "maxitivité" pour les mesures de possibilité est
introduit (aussi pour des événements flous). Mais pas de
mesures de nécessité.
DEUX BRANCHES DE LA THEORIE DES
POSSIBILITES :
Approche ordinale
On range les valeurs possibles d’une grandeur par ordre de plausibilité.
On utilise une échelle qualitative finie ou ordinale de degrés de
possibilité.
Approche numérique
Les degrés de possibilités sont des valeurs réelles de [0, 1] ou des entiers
naturels.
Il faut les articuler avec les probabilités.
Toutes les théories admettent la maxitivité de la fonction de possibilité
Les deux branches diffèrent sur le conditionnement et l’interprétation.
Modèle possibiliste ordinal :
Certains états sont jugés plus plausibles que d'autres :
π : S → L échelle de plausibilité symbolique
Π(A) = maxs∈A π(s) évalue l'absence de surprise de l’événement A
On ne retient que l’état le plus normal où A est vrai. On néglige les
autres.
N(A) = n(Π(Ac)) avec n : fonction décroissante : n(α) = 1 – α
= mins∉A n(π(s))
Elle évalue à quel point la proposition A est certaine par un agent
= reflète l’impossibilité d’avoir des états plausibles hors de A
N(A) > 0 : La proposition A est provisoirement acceptée
B
π
A
.2: presque impossible
.4: plutôt impossible
1
.6: surprenant
.8
.6
.8: pas tellement surprenant
.4
.2
1: normal
Π(A) = 0.8 ; N(B) = 1 – 0.8 = 0.2
Π(A) = 0 : A impossible
Π(A) < 1 : A est plus ou moins surprenant.
Π(A) = 1 = Π(Ac) = 1 : A inconnu
N(A) > 0 : A est considéré comme vrai
N(A) > 0 ssi Π(A) > Π(Ac) ssi A est vrai pour tout s : π(s) = 1
N(A) = 1 : A est complètement certain
LOGIQUE POSSIBILISTE
• Un degré de certitude positif entre 0 et 1 est attaché à toute
proposition p de la logique classique : (p, α), α > 0.
• Techniquement il s'agit d'une borne inférieure de mesure de
nécessité N : (p, α) ⇔ N(p) ≥ α.
N(p) = 1 : p est certainement vrai
N(p) = 0 = N(¬p) on n'a pas d'information sur p
N(p) > 0 ⇒ N(¬p) = 0
• Base de connaissances possibilistes : ensemble de formules
classiques pondérées qualitativement.
K ={(pi, αi) | i = 1,n}
INFERENCE EN LOGIQUE POSSIBILISTE
Idée : On infère p au niveau α ssi on infère p avec les formules de
certitude au moins α. Soit Kα = {pi | (pi, αi) ∈ K et αi ≥ α} :
K |– (p, α) ssi Kα |– p.
REGLE DE RESOLUTION
(p ∨ q, α) (¬p ∨ r, β)
_________________
(q ∨ r, min(α,β))
La validité d’une suite d’inférences est celle du plus faible maillon.
METHODE DE REFUTATION
Etant donné un ensemble de formules valuées K, prouver (p, α)
= déduire (⊥, α) de K ∪ {(¬p, 1)} en maximisant α
On cherche la chaîne d’inférences la plus valide
SEMANTIQUE de la Logique Possibiliste Propositionnelle
Modèles de (pi, α i ) : On obtient donc une distribution de possibilité sur
les interprétations par le principe de minimum de spécificité, sachant
que(pi, αi) code N(pi) ≥ αi :
π i(I) = 1 si I |= pi (I modèle de pi)
= 1− αi sinon
On définit l'ensemble flou des modèles de K par:
π K(I) = mini=1,n π i(I) = min{1− αi : I |= ¬pi }
Conséquence logique: K |= (p, α) ssi π K(I) ≤ π (p, α)(I)
Théorème de complétude: K |— (p, α) ssi K |= (p, α) (En clair :
NK([p]) = minI |= p 1 − π K(I) = max{α, K |— (p, α)})
Inconsistance partielle et non-monotonie de l'inférence
• Si K |– (⊥, α) avec α > 0, alors Kα est inconsistant.
• Degré d’inconsistance de K : Inc(K) = max{α, K |– (⊥, α)}
• Si Inc(K) > 0, K |– (p, Inc(K)) pour toute formule p.
• Inférence non-triviale : K |~ p ssi K |– (p, α) avec α > Inc(K)
Exemple :
K = {(Etu(x) → Jeu(x), α1) (Jeu(x) → Cél(x), α2)
(Etu(x) ∧ Par(x) → ¬Cél(x), α3) (Etu(Léa), 1)} avec α 3 > α 1
1) Inc(K) = 0 : K |– (Cél(Léa), min(α1,α2))
(mais pas ¬Cél(Léa))
2) Mais K ∪ {(Par(Léa), 1) }est partiellement inconsistante
Inc(K∪ {(Par(Léa), 1)}) = min(α1, α2, α3) = min(α1,α2)
K ∪ {(Par(Léa), 1)} |~ ¬Cél(Léa)
car K ∪ {(Par(Léa), 1)} |– (¬Cél(Léa), α3) et α3 > min(α1,α2).
CONDITIONNEMENT ORDINAL
Π(A ∩ B) = min(Π(A |B),Π(B))
maximiser Π(A | B) (spécificité minimale)
Π(A | B) = 1 if A ≠ Ø, Π(B) = Π(A ∩ B) >0
= Π(A ∩ B) si Π(A ∩ B) < Π(B)
N(A | B) = 1 – Π(Ac | B) (pour les mesures de nécessité)
π(s| B) = 1 si π(s) = Π(B)
= π(s) sinon.
C’est la restriction de π à B + normalisation, en ramenant à 1 le degré
de possibilité des états normaux de B
On peut avoir
N(Ac) > 0 ( A est considéré
comme faux en général)
N(A|B) > 0 (A est considéré
comme vrai dans le contexte B)
A
B
Non-nonotonie et théorie des possibilités
Quand Π(B) > 0, N(A | B) > 0 ssi Π(Ac ∩ B) < Π(A ∩B)
A est vrai dans les états normaux de B (les états les plus plausibles).
N(A | B) > 0 représente une règle “ si B alors A ” ayant des exceptions
(A ∩B est plus normal que Ac ∩ B)
Formalisation possibiliste d’une règle par défaut
« (Sauf exception) si p alors q » se traduit par la contrainte :
p∧q est une proposition plus plausible que p∧¬q.
Formellement : p→q se code Π(p∧q) > Π( p∧¬q)
Soit π une distribution de possibilité : cette inégalité signifie que les
modèles les plus plausibles de p selon π vérifient q.
« Les étudiants sont jeunes » = quand on est étudiant, il est plus
plausible d’être jeune que pas.
La distribution la moins spécifique qui vérifie cette condition est telle
que Π(p∧q) = Π(¬p∧q) = Π(p∧q) = 1 > Π( p∧¬q) = α.
On a donc les modèles normaux [¬p∨q] et les modèles moins normaux
[p∧¬q] (les contre-exemples)
Formalisation possibiliste de plusieurs règles par défaut
• Si on a une famille de n règles par défaut, « si pi alors qi » on les formalise
par l’ensemble de contraintes Π(pi ∧ qi) > Π(pi ∧ ¬qi) pour i=1, n
1.On construit la distribution de possibilité qualitative π la moins
spécifique qui vérifie ces contraintes, et on obtient une suite
d’ensembles de modèles des plus normaux aux moins normaux.
2. On peut calculer pour chaque règle i un poids de priorité
αi = N(¬pi∨qi)
3. On obtient une base de connaissances possibiliste
K = {(¬pi∨qi, αi)), i =1, …n}
4. Déduire une règle p→q à partir de { pi→qi : i =1, …n} revient à
tester si K ∪ (p, 1) |~ q.
Méthode pour calculer la distribution de possibilité
qualitative
1. Les interprétations qui falsifient ∨i = 1, n( pi ∧ ¬qi) ne sont pas
contraintes et reçoivent le degré maximal de possibilité.
2. On obtient une classe E1 de modèles normaux. On retire les règles
i dont un modèle de E vérifie pi ∧ qi (c’est un exemple de la
règle i)
3. On recommence avec les contraintes qui restent, jusqu’à
épuisement.
Note : si ∨i ( pi ∧¬qi) est une tautologie à une étape de la procédure,
alors l’ensemble de règles est incohérent.
Exemple : Manchot →Oiseau, Oiseau →Vole, Manchot →¬ Vole
Soit 1. Π(M∧O) > Π(M∧¬O) ;
2. Π(O∧V) > Π(O∧¬V) ;
3. Π(M∧¬V) > Π(M∧V).
Etape 1 : Modèles normaux :
¬( (M∧¬O) ∨( O∧¬V)∨(M∧V)) = ¬M∧(¬O ∨ V)
(les non-manchots qui, s’ils sont des oiseaux, volent).
Comme (O∧V) ∧¬M∧(¬O ∨ V) = O∧V∧¬M on enlève la règle 2.
Etape 2 : Modèle sous-normaux : les oiseaux qui ne volent pas
¬( M∧¬O)∨(M∧V)) ∧ (M∨ (O ∧ ¬V) = O ∧ ¬V ()
Fin : O ∧ ¬V est consistant avec M∧O et M∧¬V.
Modèles anormaux : ¬[(O ∧ ¬V) ∨ (¬M∧(¬O ∨ V)] = M∧( ¬O ∨ V)
(les manchots qui soient volent, soit ne sont pas des oiseaux)
N
A
O
SN
A
N
SN
M
A
SN
V
N
TRADUCTION EN LOGIQUE POSSIBILISTE
Normal : Possibilité 1 ;
Sous-Normal : Possibilité 1 − α ;
Anormal : Possibilité 1 − β < 1 − α .
K = { (¬M∨O, β), (¬O∨V, β), (¬M∨¬V, β)}
Car N(¬M∨O) = 1 − Π(M∧¬O) = β > α
N(¬O∨V) = 1 − Π( O∧¬V) = α
N(¬M∨¬V) = 1 − Π( M∧V) = β > α
Donc comme espéré :
• K ∪ (O, 1) |~ V car Inc(K ∪ (O, 1)) = 0 et K ∪ (O, 1) |– (V, α)
• K ∪ {(O, 1) , (M, 1)} |~ ¬V car car Inc(K ∪ {(O, 1) , (M, 1)})= α
et K ∪ {(O, 1) , (M, 1)} |– (¬V, β)
PRINCIPE D’EXTENSION
Soit f une fonction de U dans V
F un ensemble flou sur U
Trouver les images de U par la fonction f.
Non flou : f(F) = { f(u), u ∈ F}
Flou : f(F) = ∪u ∈ U {(f(u), µF(u))}
Soit : µf(F)(v) = sup {µF(u), f(u) = v}
On a pour chaque niveau α : f(Fα) = {f(u), u ∈ Fα}
Si A ⊆ B alors f(A) ⊆ f(B)
Si f est continue, ou sur un référentiel fini, on prouve f(Fα) = f(F)α
On peut reconstruire f(F) à partir des f(Fα)
INTERPRETATIONS :
Théorie des possibilités :
–1
µf(F)(v) = Π(f (v))
Analogue de la démarche probabiliste (remplacer Π par P)
Incertitude (information incomplète) induite par F sur V.
Propagation de contraintes flexibles :
on trouve la contrainte induite par f sur V
en raison de la restriction de u à F
NOMBRE FLOU, INTERVALLE FLOU.
= mesure d'incertitude "possibiliste" sur les nombres
= ensemble flou M de nombres de fonction d'appartenance
µM : Réels → [0,1]
* convexe (µM, unimodal)
* normalisé (∃x : µM(x) = 1 (Π(R) = 1)
* µM semi continue supérieurement =
α-coupes {x | µM(x) ≥ α} = fermés
→ Généralisation des intervalles fermés
→ bornes à la fois optimistes et pessimistes
CALCUL D’INTERVALLES FLOU
ANALOGUE "POSSIBILISTE" DU CALCUL DES
VARIABLES ALEATOIRES
Etant données les distributions de possibilité de variables x, y
(ensembles flous M et N sur r)
Si la distribution de possibilité jointe est
πMxN(x, y) = min(µM (u), µ N(v))
Trouver la distribution de possibilité µf(M,N) de f(x,y). C’est :
µf(M,N)(w) = ΠM x N(f-1(w)) = sup{min(µM (u), µN(v)) | f(u,v) = w}
Si M, N sont des intervalles flous
f(M,N) est un intervalle flou dès que f est continue
CALCUL PAR COUPES DE NIVEAUX
1
λ
N–
ƒ(M,N) +
+
N
M+
ƒ(M,N) –
M–
0 a
b
a+b
cas de l’addition.
C’est une extension du calcul d’intervalles.
r
CALCUL PAR COUPES DE NIVEAUX
Si M, N = intervalles : on retrouve le calcul d'erreurs.
f(M,N) = {f(u, v) u ∈ M, v ∈ N}
On a [f(M,N)]α = f(Mα,Nα)
Donc : CALCULS SIMPLES, AISEMENT PARAMETRABLES si les
calculs d’intervalles correspondants sont faciles.
A adapter selon la monotonie de f :
par exemple : si f n’a pas d’extrema ni de minima locaux et est
continue :
f([a, a’], [b, b’)] = [min (f(a, b), f(a, b’), f(a’, b, f(a’, b’)),
max (f(a, b), f(a, b’), f(a’, b, f(a’, b’))]
MAXIMUM ET MINIMUM d’intervalles flous
max([a, a'], [b, b']) = [max(a, b), max( a', b')]
min([a, a'], [b, b']) = [min(a, b), min( a', b')].
1
max(M,N)
min(M,N)
0
M
N
r
Les opérations max et min sont commutatives et associative, et
max (– M, – N) = – min (M, N).
max
and min sont mutuellement distributives, idempotentes,
(M, N) ⊕ max (M, N) = M ⊕ N;
M ⊕ min (N1, N2) = min (M⊕N1, M⊕N2);
M⊕ max (N1, N2) = max (M⊕ N1, M ⊕ N2);
max (M, N) = M if and only if min(M, N) = N.
min
CALCUL AVEC REPRESENTATIONS PARAMETREES
Si : Noyau(M) = [m*, m*] ; Support(M) = [m*-a m*+b]
µM (u) = L((m*- x)/a) si x ≤ m*,
= R((m*- x)/b) si x ≤ m*
L et R modélisent la forme de M à gauche et à droite du noyau.
On écrit
M = (m*, m*, a, b)LR
λM = (λm*, λ m*, λa, λb) LR λ > 0
= (λm*, λ m*, –λb, –λa) RL λ < 0
Si M = (m*, m*, a, b)LR
et N = (n*, n*, c, d) LR
M + N = (m* + n*, m* + n*, a + c, b + d) LR
plus généralement si f monotone croissante, on peut exprimer
simplement l’inverse des parties croissantes et décroissantes de µf(M,N)
[µεf(M,N)]-1 = f((µεM)-1, (µεN)-1) ε ∈ {-,+}
trouver λ tel que :
z = f(m* - aL-1(λ), n* - cL-1(λ))
z = f(m* - bR-1(λ), n* - dR-1(λ)),
pour ε = –
pour ε =+
PRECAUTIONS AVEC LE CALCUL D’INTERVALLES FLOUS :
les mêmes qu’avec le calcul d’intervalles :
• Attention aux expressions algébriques d’une fonction non-monotone
où une même variable apparaît plusieurs fois
Exemples :
1. x(y + z) et xy + xz
le résultat de MN +MN’ est plus imprécis que M(N + N’)
2
2
2. M = {u , u∈M }⊂ M·M = {uv, u∈M v∈M }
• Si la fonction n’est pas monotone par rapport à une variable : tenir
compte des extrema de la fonction.
2
2
Exemples : f(x) = x : [–1, 1] = [0, 1] ≠ [f(–1), f(1)] = {1}
THEORIE DES POSSIBILITES
THEORIE DES PROBABILITES
Informations cohérentes
Mais imprécises
Informations précises
mais dispersées
Incomplétude
Variabilité
Condition de compatibilité :
N(A) ≤ P(A) ≤ Π(A), ∀A
Ce qui est certain doit être probable
Ce qui est probable doit être possible
Interprétations probabilistes des mesures de possibilité :
Un degré de possibilité est la borne supérieure d'un degré de probabilité
π est équivalent à la famille de probabilités
P(π) = {P: P(A) ≤ Π(A), ∀A}
Exemple: Des intervalles de confiance emboîtés
En ⊃ En-1 ⊃ …E2 ⊃ E1 avec niveau de confiance ai : P(Ei) ≥ ai
Pour tout événement A on calcule:
Π(A) = sup{P(A) où pour tout i, P(Ei) ≥ ai }
La distribution de possibilité associée est comme auparavant
π(u) = 1 si u ∈ E1( valeurs les plus plausibles)
= min{1− ai, u ∉ Ei} sinon
Approximations consonantes de familles convexes de probabilité.
Fonctions de répartition cumulatives supérieures et
inférieures
POSSIBILITE
1
F*
M
F*
0
Un intervalle flou M produit 2 fonctions de répartitions F*, F*
correspondant à deux mesures de probabilité P*, P*
F*(r) = Π( x≤r) = µM(r) pour r ≤ m* ;
1 pour r ≥ m*
F*(r) = Ν( x≤r) = 0 pour r ≤ m* ;
1 − µM(r) pour r ≥ m* ;
INTERVALLE MOYEN D’UNE MESURE DE
POSSIBILITE
Soit E*(M) = inf{∫x dP(x), P ∈P(µM)}= E(P*)
espérance mathématique inférieure
E*(M) = sup{∫x dP(x), P ∈P(µM)} = E(P*)
espérance mathématique supérieure
L’intervalle moyen de M est = [E*(M), E*(M)].
1
Et E*(M) = ∫0 inf Mαdα; E (M) =
*
Donc defuz(M) = (E*(M) + E*(M))/2
∫0
1
supMαdα
Possibilité et vraisemblance
P(um | u) = la probabilité que la mesure lue soit um quand la valeur
réelle est x = u.
Si on lit x = um, P(um | u) est vu comme la vraisemblance v(u) de x = u,
quand on ne dispose pas de la probabilité a priori p(u)
La distribution {P(um | u): u ∈A} n'est pas une distribution de
probabilité : il faut Identifier π(u) à P(um | u)
Raisons:
1) P(um | A) ≤ maxu∈A P(um | u)
2) si u ∈ A, v(u) ≤ v(A) donc P(um | A) ≥ maxu∈A P(um | u)
Identifier Π(Α) à P(um | A)
MESURE DE POSSIBILITE =
ENSEMBLE ALEATOIRE CONSONANT
On pose mi = αi – αi+1
F
1
α2
possibility levels
1 > α 2 > α 3 >… > α n
α3
α4
Masse affectée à l’α i -coupe Fi
(m1 +… + mn = 1 par construction)
MESURE DE POSSIBILITE =
ENSEMBLE ALEATOIRE CONSONANT
La pondération m est une allocation de probabilité sur les sousensembles de S :
m(E) = probabilité de tirer E (de savoir seulement x∈E).
Un cas particulier de la théorie des fonctions de croyance
Inversement on recalcule :
π(s) = ∑i: s∈Fi mi
N(A) = ∑Fi⊆A mi ; Π(A) = ∑Fi∩A≠ Ø mi
POSSIBILITE CONDITIONNELLE NUMERIQUE
Conditionnement Dempster
* = produit
Π(A ∩ B) = Π(A |B)*Π(B)
∏(A ∧ B)
∏(B)
N(A |* B) = 1 – Π(Ac |* B)
Π(A |* B) =
Π(A |* B) reste σ-maxitive si Π l’est.
On renormalise la distribution de possibilité sur B :
π(x|* B) = π(x) / Π(B) si x ∈ B et 0 sinon.
Conditionnement Bayesien possibiliste :
Si : Π(A |b E) = sup{P(A|E), P ≤ Π, P(E) >0} = 1 –N(Ac |b E)
Alors
Π(A ∩ E)
Π(A |b E) =
Π(A ∩ E) + Ν(Ac ∩ E)
C’est encore une mesure de possibilité de distribution :
π(ω |b E) = max π(ω), π(ω)
π(ω) + N(E)
Ν(A ∩ E)
1 – Π(Ac |b E) = N(A |b E) =
Ν(A ∩ E) + Π(Ac ∩ E)
Transformation possibilité ––> probabilité
Comment tirer au hasard un élément dans un ensemble flou F ?
Idée:
-tirer au hasard un représentant non flou de F (α−coupe)
-tirer au hasard un élément dans cette coupe.
POSSIBILITE
1
µ
Jeune
α ?
AGE(JEAN)
0
14
pM(x) =
∫0
a
1
21
(Mα(x)/λ(Mα) )dα
avec λ(Mα) = longueur de l’α-coupe et Mα(x) = 1 si x∈ Mα(x), 0 sinon
CAS DISCRET
Un référentiel U = {u1, u2, …un}
et une distribution de possibilité πn = 1 > πn-1 > …> π1
Soit Mπi = {u1, u2, … ui}
pM(u) = Σu M πi(u)/i
soit pj = Σi = 1, j (πi – πi–1)/i
Interprétations
- Valeur de Shapley et probabilité pignistique (fonctions de croyance)
- Principe de raison insuffisante de Laplace généralisé (ce qui est
équipossible est équiprobable)
- Centre de gravité de P(π) = {P: P(A) ≤ Π(A), ∀A}
1
- On retrouve ∫0 pM(x) dx = (E*(M) + E*(M))/2
TRANSFORMATIONS PROBABILITE → POSSIBILITE
Trouver une représentation possibiliste fidèle d'une mesure de
probabilité
remplacer p(x) par « x ∈ E » avec probabilité P(E)
Donc πE(s) = 1 si x ∈ E et 1 − P(E) sinon
On vérifie P(A) ≤ Π E(A), ∀A
Exemple : trouver un intervalle de dispersion représentant une densité
de probabilité
= remplacer p(x) par « x ∈ E » avec une confiance suffisamment haute,
E étant aussi précis que possible.
Exigences contradictoires : plus E est précis moins il est probable.
Principes de transformation de P vers Π:
Probabilité statistique
Etant donné une mesure de probabilité P
1. Cohérence probabilité/ possibilité: Π(A) ≥ P(A)
2. Respect de l'ordre : p(u) > p(v) implique π(u) > π(v)
3. Préservation de l'information: π aussi spécifique que possible
Résultats : cas fini
si pn >… > p1 alors π est unique
πi = ∑j=1,i pj.
si pi = pi+1 choix entre
i) spécificité ⇒ ordre arbitraire entre i et i+1
ii) respect de l'ordre : probabilité uniforme ⇒ possibilité uniforme
Application : comparaison de distributions de probabilités
L’ordre de spécificité possibiliste sur les transformées revient alors à
comparer les distributions de probabilité quant à leur « concentration »
(entropie):
π1 < π2 implique -∑ p1ilog p1i < -∑ p2ilog p2i
π1 < π2 ssi ∑ f(p1i) < ∑ f(p1i), pour tout f concave.
Cas continu : Une densité p continue, unimodale et strictement
monotone de part et d'autre du mode
Alors sa transformée π est unique: Ses coupes de niveau α sont les
coupes de niveau de p et ses intervalles de dispersion optimaux avec un
niveau de confiance 1 − α de p autour de son mode.
Soit Ir = {u, p(u) ≥ r} et λ(Ir) sa longueur.
Proposition : i) Ir est l’intervalle de probabilité maximale parmi ceux
de même longueur : P(Ir) = sup{P(I): λ(I) = λ(Ir)}
ii) Ir est l’intervalle de longueur minimale parmi ceux de même
confiance : λ(Ir) = inf{ λ(I): P(I) = P(Ir) = 1 − α }
densité p
π(u) = 1 – P(I)
•
•
I
u
v
Construction d’un intervalle I de dispersion : si on tire une valeur x
au hasard selon p, x ∈ I avec une probabilité P(I).
Si Iα = [aα, bα] = {u, p(u) ≥ α} on pose π(aα) = π(bα) = 1 - P(Iα)
Exemples de transformations proba-> possibilité :
• P a une distribution uniforme sur un intervalle
π = distribution de possibilité uniforme
ou distribution (symétrique) triangulaire
• P a une densité symétrique de support borné et de mode m.
alors π est convexe de part et d'autre du mode
La distribution de possibilité triangulaire de même support I et de mode
m domine toujours P .
L’intervalle flou triangulaire est le modèle naturel pour représenter une
probabilité symétrique inconnue de support borné
• P de densité quelconque et de moyenne et écart-type connus: l'inégalité
de Bienaymé-Tchebytchev fournit une distribution de possibilité qui
domine P.
Possibilités subjectives
Idée : exploiter l’approche par la théorie du pari échangeable des
probabilités subjectives
Critique : Un agent est forcé de donner une distribution de probabilité
quelles que soient ses connaissances.
Par exemple la probabilité uniforme code le hasard et l’ignorance
(principe de raison insuffisante de Laplace : les symétries).
Principe : la probabilité subjective est induite par les croyances d’un
agent, mais n’est pas en liaison univoque avec elles.
Possibilités subjectives
Hypothèse 1 : Les croyances incomplètes d’un agent se
modélisent par des fonctions de croyances
(masses m(A) de somme 1 affectées aux sous-ensembles A)
Hypothèse 2 : On a seulement accès à la probabilité subjective
fournie par l’agent
Hypothèse 3 : L’agent fournit la probabilité pignistique (Laplace
généralisé aux ensembles focaux, valeur de Shapley)
Méthode : retrouver la fonction de croyance sous
tendue par la probabilité subjective.
Possibilités subjectives
Il y a plus d’une fonction de croyance qui donne une
probabilité subjective p.
Postulat : choisir la moins informative
- au sens de la cardinalité espérée : I(m) = ∑ Α m(A)⋅card(A).
- au sens du minimum de spécificité : p(x) = ∑ x in A m(A).
- au sens du maximum de commonalité (Q)
• Résultat : La moins informative des fonctions de
croyances dont la valeur de Shapley est p est unique and
consonante. C’est une mesure de nécessité
Possibilités subjectives
• Dans le cas fini la fonction de croyance
- qui maximize I(m)
- de fonction de contour la moins spécifique
- de fonction de commonalité maximale
est consonante et est caractérisée par la distribution de possibilité
πi = Σj=1,n min(pj, pi).
Déjà proposée par Dubois et Prade (1983)
Elle est moins informative que la transformée optimale probabilité
possibilité statistiques, car elle obéit à un principe de moindre
engagement
Théorie des possibilités numérique: quand ?
• Le modèle possibiliste est naturel pour
– informations expertes sous forme d’un intervalle et d’une
valeur plausible
– Intervalles experts emboîtés
– Intervalles de confiance (plus de seuil 0.95)
– Fonctions de vraisemblance : P(A|x) = π(x)
– Les inégalités probabilistes (Bienaymé-Tchebytchev):
construire π connaissant moyenne et écart-type seulement
PERSPECTIVES ET APPLICATIONS
La théorie des possibilités n’a pas été appliquée autant que la logique
floue dans les sciences de l’ingénieur.
• Elle est moins facile à appréhender que la théorie des ensembles flous
• Elle fait une concurrence directe à la théorie des probabilités
• Elle possède des sous-branches numériques liées à la statistique non
bayésienne, et symboliques liées à la logique et l’intelligence artificielle.
• Interprétations diverses : Bornes de probabilité ou probabilité
infinitésimales
- Il n’y a pas UNE théorie des possibilités.
- La théorie des possibilités utilise les outils de la théorie des ensembles
flous, qu’elle réinterprète.
Applications
1) Représentation d’informations linguistiques sur des
domaines numériques : règles floues de divers types. Applications
au raisonnement par cas, aux procédures d’apprentissage spécifiques
dans l’optique de la fouille de données.
2) Les problèmes de satisfaction de contraintes ont été étendus
aux contraintes flexibles avec priorités dans le cadre de la théorie
des possibilités [16]. Dans ce cadre, une contrainte est vue comme
un ensemble de solutions plus ou moins possibles et un degré de
nécessité attaché à une contrainte traduit sa priorité.
3) Les mesures de possibilité quantitatives permettent de
représenter des modèles probabilistes incomplets. Applications
en analyse de risque pour la mise en évidence la différence entre
ignorance partielle et variabilité.
4) La fusion d’informations imprécises : Si le cadre théorique des
possibilités est restreint, les modes de combinaison sont variés
(opérations de combinaison d’ensembles flous).
5) Les bases de données contenant des informations imparfaites
(incomplètes, mal connues, contradictoires). La mise en œuvre
pratique de cette approche n’est pas simple.
6) Le
diagnostic automatique : Contreparties ordinales et
numériques possibilistes des réseaux bayésiens probabilistes.
7) La propagation de l’incertitude pour l’analyse de risque : évaluer la
sortie d’un modèle mathématique dont les paramètres sont incertains :
- représentation d’informations expertes par des intervalles flous
- utilisation du calcul d’intervalles flous : dépendance entre variables
inconnue, et dépendance totale entre les sources d’information
- extension à l’utilisation conjointe du calcul d’intervalle et du calcul de
variables aléatoires
8) Ordonnancement avec des durées d’activité mal connues : calculs de
dates au plus tôt , au plus tard, de marges imprécises de tâches. On suppose
moins d’information que le PERT probabiliste.