Spé PC* Mathématiques Ch. 19 : Variables aléatoires Ch. 20 : Lois

2016/2017
Spé PC*
Mathématiques
Semaine n21
Lundi 20 Mars 2017
Programme de colle
Ch. 19 : Variables aléatoires
Variable aléatoire X sur un univers (Ω, A). Variable aléatoire discrète. Fonction de
répartition FX d'une variable aléatoire X à valeurs réelles dénie sur (Ω, A, P ) : cette
fonction est croissante, de limites égales à 1 en +∞ et 0 en −∞. Loi d'une variable
aléatoire discrète. Si X est une v.a. dénie sur (Ω, A) telle que X(Ω) = {xn/n ∈PN},
les xn tous distincts, et si (pn)n∈N est une suite de réels positifs tels que pn
soit convergente de somme 1, alors il existe une probabilité dénie sur Ω telle que
∀n ∈ N, P (X = xn ) = pn . Couple de variables aléatoires : loi conjointe. Lois
marginales. Loi conditionnelle de Y sachant (X = x). Indépendance de variables
aléatoires. Si X et Y sont indépendantes, ∀A ⊂ X(Ω) et ∀B ⊂ Y (Ω), P (X ∈
A, Y ∈ B) = P (X ∈ A) × P (Y ∈ B). Si X et Y sont indépendantes alors, pour
toute fonction f dénie sur X(Ω) et toute fonction g dénie sur Y (Ω) les variables
aléatoires f (X) et g(Y ) sont indépendantes. Variables mutuellement indépendantes.
Espérance d'une v.a.r. discrète. Théorème de transfert :X
si X est une v.a.r. discrète
avec X(Ω) = {xn, n ∈ I}, f (X) est d'espérance nie ssi f (xn)P (X = xn) est abn∈I
+∞
X
solument convergente et, en cas de convergence, E(f (X)) = f (xn)P (X = xn)..
n=1
Linéarité de l'espérance. Positivité, croissance. Si X possède une espérance nie et
+∞
X
si X(Ω) = N alors E(X) = P (X ≥ n). Exemples. Si X, Y sont indépendantes
n=1
et possèdent un espérance nie, XY aussi et E(XY ) = E(X)E(Y ). Idem avec
f (X), g(Y ). Si X 2 est d'espérance ni alors X également (dém.). Variance d'une
v.a.r. Écart type. Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (dém.). Variance
de aX + b. Variance d'une somme. Covariance de deux v.a.r. X et Y . Coecient de
corrélation. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Variance d'une somme de deux variables
indépendantes (dém.). Cas de n variables indépendantes.
Ch. 20 : Lois classiques
Révision rapide : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi Binomiale B(n, p). Espérance et
variance. Loi géométrique de paramètre p, dénition, espérance, variance ((dém.).Loi
de Poisson : dénition, espérance, variance . Série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N. Son rayon de convergence est supérieur à 1. X admet
une espérance nie ssi sa série génératrice GX est dérivable en 1 et dans ce cas
E(X) = GX (1). Lien de l'existence éventuelle de G00X (1) avec la variance. V (X) =
G00X (1) + G0X (1) − (G0X (1))2 . (formule à retrouver rapidement). Exemple de la loi
binomiale. Exemple de la loi géométrique, de la loi de Poisson espérance, varaiance
((dém.) pour une des lois au choix). Si X et Y sont indépendantes, GX+Y = GX ×GY
2016/2017
Spé PC*
(dém.).Somme de deux v.a.r. indépendants suivant une loi de Poisson (dém.). La
loi géométrique est sans mémoire : si X ,→ G(p) alors pour tout k de N∗, tout
n de N∗ , P (X > k + n / X > n) = P (X > k) . Cette propriété caractérise la
loi géométrique. Approximation de la loi binomiale : si on dispose d'une suite de
v.a.r. (Xn) telle que Xn ,→ B(n, pn) avec n→+∞
lim npn = λ, alors, pour tout entier k ,
lim P (Xn = k) = e−λ
n→+∞
λk
.
k!
Loi faible des grands nombres : si (Xn) est une suite de
Sn
var indépendantes admettant un moment d'ordre 2 alors ∀ε > 0, P n − m ≥ ε
tend vers 0 quand n tend vers +∞.